este software, implementa los metodos del trapecio, simpson 1/3 y simpson 3/8 para hallar la solucion de una funcion

1. Aplicación libre II
Ejemplo de Aplicación de los métodos de integración Numérica

2. INTRODUCCION
Obtener el modelo matemático que represente al fenómeno en estudio será
difícil si se trata de fenómenos dinámicos, es decir, que experimenten cambios
respecto al tiempo o respecto a otras variables. Este tipo de modelos
matemáticos son las ecuaciones diferenciales y se resuelven generalmente
mediante el Cálculo Integral, aunque también pueden hacerse por medio de
métodos numéricos y una computadora como instrumento de apoyo.
A continuación aplicaremos los métodos de integración numérica para calcular
el valor promedio de una función y el área bajo la curva de una función que
modela un caso real.

3. VALOR PROMEDIO DE UNA FUNCIÓN Y
ÁREA BAJO LA CURVA
 En el Polo Norte se registra semanalmente la temperatura del ambiente al
mediodía, durante un año. Las lecturas obtenidas fueron las siguientes:

4. Después de muchas observaciones se ha determinado que el modelo matemático,
cuya gráfica pase por los 52 puntos, aunque sea cercanamente, es una función
que tiene la forma siguiente:
ƒ 𝑡 = 0.0001 𝑡 – 13 4
– 0.169 𝑡 – 13 2
+ 25.7
Donde t es el número de semanas, el cual queda comprendido en el intervalo
0 ≤ t ≤ 52,
y ƒ(t) expresa la temperatura en grados Celsius (°C).
Determine:
 La temperatura promedio anual del polo norte.
 El área bajo la curva o el total acumulado de temperatura anual
 La temperatura acumulada durante cada semestre del año

5. Solución
 Aplicando Integrales Numérica tenemos que:

0
52
𝑓 (𝑡) 𝑑𝑡
Al calcular la función:

0
52
𝑓 (𝑡) 𝑑𝑡 = 0
52
[0.0001 𝑡 – 13 4– 0.169 𝑡 – 13 2 + 25.7 ] 𝑑𝑡

0
52
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 0.0001 𝑡 – 13 5
5
–
0.169 𝑡 – 13 3
3
+ 25.7𝑡 𝑑𝑡

0
52
𝑓 (𝑡) 𝑑𝑡 = [0.0002 𝑡 – 13 5
– 0.05633 𝑡 – 13 3
+ 25.7𝑡 ] 52
0

0
52
𝑓 (𝑡) 𝑑𝑡 =-316.886 °C /semana

6. Solución por medio de Software

7. Solución por medio de Software

8. Solución por medio de Software

9. Solución Analítica
Para obtener estos resultados de forma analítica, tenemos que sumar los datos
que se tabularon durante la observación.
PRIMER SEMESTRE
A1= 𝑖=0
26
𝑇𝑖 = 434.7
𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
26
=
434.7
26
= 16.72°𝑐
SEGUNDO SEMESTRE
A2= 𝑖=26
52
𝑇𝑖 = −751.6
𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
26
=
−751.6
26
= −28.91°𝑐

10. Solución analítica
 La temperatura acumulada anual o área total bajo la curva se obtiene
sumando las dos áreas así:
 Tacu= 𝐴1 + 𝐴2 = 434.7 + (−𝟕𝟓𝟏. 𝟔) = −316.886°𝐶
 La temperatura promedio de las 52 semanas se obtiene mediante la suma de
las dos áreas, que se divide entre el número de semanas como sigue:
 Tprom= 𝐴1+𝐴2
52
=
434.7 +(−𝟕𝟓𝟏.𝟔)
52
= −6.1°𝐶

11. Tabla Comparativa
 Para la temperatura acumulada:
 Valor analítico: −316.886°𝐶
 En conclusión el método que mas se acerca a ala solución de nuestro
problema es el método de Simpson 1/3, ya que presenta menos porcentaje de
error con respecto a los demás. Por lo tanto el método mas eficiente en
nuestro caso seria el antes mencionado.
METODO RESULTADO ERROR
TRAPECIO -158.697 -158.189
SIMPSON 1/3 -317.091 0.205
SIMPSON 3/8 -435.95 119.064