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  1. 1. Sesión DosSesión DosDistribuciones de probabilidadDistribuciones de probabilidaddiscretas y contínuasdiscretas y contínuasDr. Jorge Ramírez MedinaEGADE Business School
  2. 2. Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business SchoolNuestro interés es el número de éxitosNuestro interés es el número de éxitosque ocurren en los n intentos.que ocurren en los n intentos.Tomamos x como el número de éxitosTomamos x como el número de éxitosque ocurren en los n intentos.que ocurren en los n intentos.Distribución Binomial
  3. 3. Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business Schooldonde:f(x) = La probabilidad de x éxitos en n intentosn = el número de intentosp = la probabilidad de éxito de cualquier intentoFunción de probabilidad binomialDistribución Binomial)()1()!(!!)( xnxppxnxnxf −−−=
  4. 4. Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business SchoolFunción de probabilidad binomialDistribución BinomialProbabilidad de unaProbabilidad de unasecuencia particular de resultadossecuencia particular de resultadoscon x éxitos en n intentoscon x éxitos en n intentosNúmero de resultadosNúmero de resultadosexperimentales que danexperimentales que danx éxitos en intentosx éxitos en intentos)()1()!(!!)( xnxppxnxnxf −−−=
  5. 5. Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business SchoolEjemploLa empresa está preocupada por la alta rotaciónde sus empleados. Para un empleado seleccionadoal azar, se estima una probabilidad de 0.1 de que lapersona no esté el próximo semestre trabajando. Sise seleccionan 3 empleados al azar ¿cuál es laprobabilidad de que uno de ellos no esté trabajandoel próximo semestre en el CITEC?Distribución Binomial
  6. 6. Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business SchoolDiagrama de árbol1stWorker 2ndWorker 3rdWorker x Prob.Leaves(.1)Stays(.9)32022Leaves (.1)Leaves (.1)S (.9)Stays (.9)Stays (.9)S (.9)S (.9)S (.9)L (.1)L (.1)L (.1)L (.1) .0010.0090.0090.7290.009011.0810.0810.081011Distribución Binomial
  7. 7. Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business SchoolUtilizando la función de probabilidad Binomialtome: p = .10, n = 3, x = 1Distribución Binomial)()1()!(!!)( xnxppxnxnxf −−−=243.0)81)(.1(.3)1.01(1.0)!13(!1!3)1( )13(1==−−= −f
  8. 8. Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business Schoolutilizando Tablas de Probabilidad Binomialn x .05 .10 .15 .20 .25 .30 .35 .40 .45 .503 0 .8574 .7290 .6141 .2430 .4219 .3430 .2746 .2160 .1664 .12501 .1354 .2430 .3251 .3840 .4219 .4410 .4436 .4320 .4084 .37502 .0071 .0270 .0574 .0960 .1406 .1890 .2389 .2880 .3341 .37503 .0001 .0010 .0034 .0080 .0156 .0270 .0429 .0640 .0911 .1250pDistribución BinomialX P(X)0 0.7291 0.2432 0.0273 0.001Utilizando excelBinomial
  9. 9. Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business SchoolEl valorEl valor esperadoesperado;;La varianza;La varianza;La desviación estándar,La desviación estándar, σσ ==Var(Var(xx) =) = σσ 22== np(1-pnp(1-p)EE((xx) =) = µµ == npnpDistribución Binomial)1( pnp −
  10. 10. Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business SchoolE(x) =E(x) = npnp = 3(.1) = .3= 3(.1) = .3 empleadosempleados de 3de 3Var(Var(xx) =) = σσ 22== 3(.1)(.9) = .273(.1)(.9) = .27Distribución Binomialempleados52.)9)(.1(.3 ==σ
  11. 11. Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business SchoolUna variable aleatoria con una distribución PoissonUna variable aleatoria con una distribución Poissones útil para estimar el número de ocurrencias sobrees útil para estimar el número de ocurrencias sobreun intervalo especificado de tiempo o espacio.un intervalo especificado de tiempo o espacio.Es una variable aleatoria discreta que puede tomarEs una variable aleatoria discreta que puede tomaruna secuencia de valores infinita (x = 0, 1, 2, . . . ).una secuencia de valores infinita (x = 0, 1, 2, . . . ).Distribución Poisson
  12. 12. Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business SchoolEjemplo de variables aleatorias conEjemplo de variables aleatorias condistribución Poissondistribución PoissonLa cantidad de fugas en 10 km. de unLa cantidad de fugas en 10 km. de ungaseoductogaseoductoLos automóviles que pasan porLos automóviles que pasan poruna caseta en una horauna caseta en una horaDistribución Poisson
  13. 13. Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business SchoolPropiedades de los experimentos PoissonLa ocurrencia o no-ocurrencia en cualquierLa ocurrencia o no-ocurrencia en cualquierintervalo es independiente de la ocurrencia ointervalo es independiente de la ocurrencia ono-occurrencia en cualquier otro intervalo.no-occurrencia en cualquier otro intervalo.La probabilidad de una ocurrencia es la mismaLa probabilidad de una ocurrencia es la mismapara dos intervalos cualesquiera de igual longitudpara dos intervalos cualesquiera de igual longitudDistribución Poisson
  14. 14. Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business SchoolDistribución PoissonFunción de probabilidadPoissonen donde:en donde:f(x) = probabilidad de x ocurrencias en un intervalof(x) = probabilidad de x ocurrencias en un intervaloµ= media de ocurrencias en un intervaloµ= media de ocurrencias en un intervaloe = 2.71828e = 2.71828!)(xexfx µµ −=
  15. 15. Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business SchoolMERCYMERCY• Ejemplo: Hospital López MateosLos fines de semana en la tardea la sala de emergencias delHospital LM llegan en promedio6 pacientes por hora .Cuál es la probabilidad de quelleguen 4 pacientes en 30 minutosen la tarde de un fin de semana?Distribución Poisson
  16. 16. Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business SchoolUtilizando la Función de Probabilidad PoissonMERCYMERCYµ = 6/hora = 3/media-hora, x = 4Distribución Poisson1680.0!4)71828.2(3)4(34==−f
  17. 17. Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business SchoolUtilizando las tablas de probabilidad PoissonMERCYMERCYDistribución PoissonUtilizando excel; =POISSON(4,3,FALSO)
  18. 18. Dr Jorge Ramírez MedinaITESM EGADE Zona CentroMERCYMERCYPoisson Distribution of ArrivalsPoisson Probabilities0.000.050.100.150.200.250 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Número de llegadas en 30 MinutosProbabilidadLa secuenciaLa secuenciacontinua:continua:11, 12, …11, 12, …Distribución Poisson
  19. 19. Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business SchoolUna propiedad de la distribución Poisson es queUna propiedad de la distribución Poisson es queLa media y la varianza son iguales.La media y la varianza son iguales.µ = σ 2Distribución Poisson
  20. 20. Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business SchoolMERCYMERCYVarianza de las llegadas durante el periodo de 30minutos.µ = σ 2= 3Distribución Poisson
  21. 21. Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business SchoolSLOWDistribución de probabilidadexponencial• Útil para describir el tiempo que toma el completar unatarea.• Las variables aleatorias exponenciales pueden serutilizadas para describir:Tiempo de llegadaEntre vehículosa una caseta.Tiempo requeridopara llenar uncuestionarioDistancia entrebaches en unaautopista
  22. 22. Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business School• Función de densidaddonde: µ = mediae = 2.71828Para xPara x ≥0,≥0, μ≥μ≥00Distribución de probabilidadexponencialµµxexf−=1)(
  23. 23. Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business School• Probabilidadesacumulativasdonde:x0 = algún valor específico de xDistribución de probabilidadexponencial−−=≤ µoxexxP 1)( 0
  24. 24. Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business School• Ejemplo; gasolinera las TorresEl tiempo entre carros que llegan ala gasolinera las Torres sigue unadistribución de probabilidadexponencial con una media entrellegadas de 3 minutos. Sequiere saber cuál es la probabilidadde que el tiempo entre 2 llegadassea menor o igual de 2 minutos.Distribución de probabilidadexponencial
  25. 25. Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business Schoolxf(x).1.3.4.21 2 3 4 5 6 7 8 9 10Tiempo entre llegadas (mins.)P(x < 2) = 1 - 2.71828-2/3= 1 - .5134 = .4866P(x < 2) = 1 - 2.71828-2/3= 1 - .5134 = .4866Distribución de probabilidadexponencial
  26. 26. Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business SchoolUna propiedad de la distribución exponencial esUna propiedad de la distribución exponencial esque la media,que la media, µµ, y la desviación estándar,, y la desviación estándar, σσ, son iguales, son igualesLa desviación estándar,La desviación estándar, σσ, y la varianza,, y la varianza, σσ 22, para el, para eltiempo entre llegadas en la gasolinera las Torres:tiempo entre llegadas en la gasolinera las Torres:σ = µ = 3 minutesσ 2= (3)2= 9Distribución de probabilidadexponencial
  27. 27. Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business SchoolLa distribución exponencial está sesgada positivamente.La distribución exponencial está sesgada positivamente.La medición del sesgo para la distribuciónLa medición del sesgo para la distribuciónexponencial es 2.exponencial es 2.Distribución de probabilidadexponencial
  28. 28. Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business SchoolLa distribución PoissonLa distribución Poissonda una descripción apropiadada una descripción apropiadadel número de ocurrenciasdel número de ocurrenciaspor intervalopor intervaloLa distribución exponencialLa distribución exponencialda una descripción apropiadada una descripción apropiadade la longitud del intervalode la longitud del intervaloentre las ocurrenciasentre las ocurrenciasRelación entre lasdistribuciones exponencial yPoisson
  29. 29. Fin Sesión 2

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