Distribuciones de probabilidad discretas y continuas
1. Sesión DosSesión Dos
Distribuciones de probabilidadDistribuciones de probabilidad
discretas y contínuasdiscretas y contínuas
Dr. Jorge Ramírez Medina
EGADE Business School
2. Dr Jorge Ramírez Medina
EGADE Business School
Nuestro interés es el número de éxitosNuestro interés es el número de éxitos
que ocurren en los n intentos.que ocurren en los n intentos.
Tomamos x como el número de éxitosTomamos x como el número de éxitos
que ocurren en los n intentos.que ocurren en los n intentos.
Distribución Binomial
3. Dr Jorge Ramírez Medina
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donde:
f(x) = La probabilidad de x éxitos en n intentos
n = el número de intentos
p = la probabilidad de éxito de cualquier intento
Función de probabilidad binomial
Distribución Binomial
)(
)1(
)!(!
!
)( xnx
pp
xnx
n
xf −
−
−
=
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Función de probabilidad binomial
Distribución Binomial
Probabilidad de unaProbabilidad de una
secuencia particular de resultadossecuencia particular de resultados
con x éxitos en n intentoscon x éxitos en n intentos
Número de resultadosNúmero de resultados
experimentales que danexperimentales que dan
x éxitos en intentosx éxitos en intentos
)(
)1(
)!(!
!
)( xnx
pp
xnx
n
xf −
−
−
=
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Ejemplo
La empresa está preocupada por la alta rotación
de sus empleados. Para un empleado seleccionado
al azar, se estima una probabilidad de 0.1 de que la
persona no esté el próximo semestre trabajando. Si
se seleccionan 3 empleados al azar ¿cuál es la
probabilidad de que uno de ellos no esté trabajando
el próximo semestre en el CITEC?
Distribución Binomial
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Diagrama de árbol
1st
Worker 2nd
Worker 3rd
Worker x Prob.
Leaves
(.1)
Stays
(.9)
3
2
0
2
2
Leaves (.1)
Leaves (.1)
S (.9)
Stays (.9)
Stays (.9)
S (.9)
S (.9)
S (.9)
L (.1)
L (.1)
L (.1)
L (.1) .0010
.0090
.0090
.7290
.0090
1
1
.0810
.0810
.0810
11
Distribución Binomial
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Utilizando la función de probabilidad Binomial
tome: p = .10, n = 3, x = 1
Distribución Binomial
)(
)1(
)!(!
!
)( xnx
pp
xnx
n
xf −
−
−
=
243.0)81)(.1(.3)1.01(1.0
)!13(!1
!3
)1( )13(1
==−
−
= −
f
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El valorEl valor esperadoesperado;;
La varianza;La varianza;
La desviación estándar,La desviación estándar, σσ ==
Var(Var(xx) =) = σσ 22
== np(1-pnp(1-p)
EE((xx) =) = µµ == npnp
Distribución Binomial
)1( pnp −
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E(x) =E(x) = npnp = 3(.1) = .3= 3(.1) = .3 empleadosempleados de 3de 3
Var(Var(xx) =) = σσ 22
== 3(.1)(.9) = .273(.1)(.9) = .27
Distribución Binomial
empleados52.)9)(.1(.3 ==σ
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Una variable aleatoria con una distribución PoissonUna variable aleatoria con una distribución Poisson
es útil para estimar el número de ocurrencias sobrees útil para estimar el número de ocurrencias sobre
un intervalo especificado de tiempo o espacio.un intervalo especificado de tiempo o espacio.
Es una variable aleatoria discreta que puede tomarEs una variable aleatoria discreta que puede tomar
una secuencia de valores infinita (x = 0, 1, 2, . . . ).una secuencia de valores infinita (x = 0, 1, 2, . . . ).
Distribución Poisson
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Ejemplo de variables aleatorias conEjemplo de variables aleatorias con
distribución Poissondistribución Poisson
La cantidad de fugas en 10 km. de unLa cantidad de fugas en 10 km. de un
gaseoductogaseoducto
Los automóviles que pasan porLos automóviles que pasan por
una caseta en una horauna caseta en una hora
Distribución Poisson
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Propiedades de los experimentos Poisson
La ocurrencia o no-ocurrencia en cualquierLa ocurrencia o no-ocurrencia en cualquier
intervalo es independiente de la ocurrencia ointervalo es independiente de la ocurrencia o
no-occurrencia en cualquier otro intervalo.no-occurrencia en cualquier otro intervalo.
La probabilidad de una ocurrencia es la mismaLa probabilidad de una ocurrencia es la misma
para dos intervalos cualesquiera de igual longitudpara dos intervalos cualesquiera de igual longitud
Distribución Poisson
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Distribución Poisson
Función de probabilidad
Poisson
en donde:en donde:
f(x) = probabilidad de x ocurrencias en un intervalof(x) = probabilidad de x ocurrencias en un intervalo
µ= media de ocurrencias en un intervaloµ= media de ocurrencias en un intervalo
e = 2.71828e = 2.71828
!
)(
x
e
xf
x µ
µ −
=
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MERCYMERCY
• Ejemplo: Hospital López Mateos
Los fines de semana en la tarde
a la sala de emergencias del
Hospital LM llegan en promedio
6 pacientes por hora .
Cuál es la probabilidad de que
lleguen 4 pacientes en 30 minutos
en la tarde de un fin de semana?
Distribución Poisson
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Utilizando la Función de Probabilidad Poisson
MERCYMERCY
µ = 6/hora = 3/media-hora, x = 4
Distribución Poisson
1680.0
!4
)71828.2(3
)4(
34
==
−
f
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Utilizando las tablas de probabilidad Poisson
MERCYMERCY
Distribución Poisson
Utilizando excel; =POISSON(4,3,FALSO)
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ITESM EGADE Zona Centro
MERCYMERCY
Poisson Distribution of Arrivals
Poisson Probabilities
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Número de llegadas en 30 Minutos
Probabilidad
La secuenciaLa secuencia
continua:continua:
11, 12, …11, 12, …
Distribución Poisson
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Una propiedad de la distribución Poisson es queUna propiedad de la distribución Poisson es que
La media y la varianza son iguales.La media y la varianza son iguales.
µ = σ 2
Distribución Poisson
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MERCYMERCY
Varianza de las llegadas durante el periodo de 30
minutos.
µ = σ 2
= 3
Distribución Poisson
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SLOW
Distribución de probabilidad
exponencial
• Útil para describir el tiempo que toma el completar una
tarea.
• Las variables aleatorias exponenciales pueden ser
utilizadas para describir:
Tiempo de llegada
Entre vehículos
a una caseta.
Tiempo requerido
para llenar un
cuestionario
Distancia entre
baches en una
autopista
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• Función de densidad
donde: µ = media
e = 2.71828
Para xPara x ≥0,≥0, μ≥μ≥00
Distribución de probabilidad
exponencial
µ
µ
x
exf
−
=
1
)(
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• Probabilidades
acumulativas
donde:
x0 = algún valor específico de x
Distribución de probabilidad
exponencial
−
−=≤ µ
ox
exxP 1)( 0
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• Ejemplo; gasolinera las Torres
El tiempo entre carros que llegan a
la gasolinera las Torres sigue una
distribución de probabilidad
exponencial con una media entre
llegadas de 3 minutos. Se
quiere saber cuál es la probabilidad
de que el tiempo entre 2 llegadas
sea menor o igual de 2 minutos.
Distribución de probabilidad
exponencial
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x
f(x)
.1
.3
.4
.2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tiempo entre llegadas (mins.)
P(x < 2) = 1 - 2.71828-2/3
= 1 - .5134 = .4866P(x < 2) = 1 - 2.71828-2/3
= 1 - .5134 = .4866
Distribución de probabilidad
exponencial
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Una propiedad de la distribución exponencial esUna propiedad de la distribución exponencial es
que la media,que la media, µµ, y la desviación estándar,, y la desviación estándar, σσ, son iguales, son iguales
La desviación estándar,La desviación estándar, σσ, y la varianza,, y la varianza, σσ 22
, para el, para el
tiempo entre llegadas en la gasolinera las Torres:tiempo entre llegadas en la gasolinera las Torres:
σ = µ = 3 minutes
σ 2
= (3)2
= 9
Distribución de probabilidad
exponencial
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La distribución exponencial está sesgada positivamente.La distribución exponencial está sesgada positivamente.
La medición del sesgo para la distribuciónLa medición del sesgo para la distribución
exponencial es 2.exponencial es 2.
Distribución de probabilidad
exponencial
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La distribución PoissonLa distribución Poisson
da una descripción apropiadada una descripción apropiada
del número de ocurrenciasdel número de ocurrencias
por intervalopor intervalo
La distribución exponencialLa distribución exponencial
da una descripción apropiadada una descripción apropiada
de la longitud del intervalode la longitud del intervalo
entre las ocurrenciasentre las ocurrencias
Relación entre las
distribuciones exponencial y
Poisson
Aclarar que función Binomial será vista rápidamente
Guía; Pon 3 personas para ejemplificar combinaciones. Combinar 3 personas = 1. Combinar de dos maneras 3 personas = 3. C (3, 2). Anota en el pizarrón. Enfatizar que es como si tuviera 2 opciones c/persona --- ojo, importa y no importa el orden, ejemplificar sobre el diagrama de árbol-- Haz el ejercicio con la compra de tres clientes, no importa el orden .p=0.3 (probabilidad de que compre). Hacer diagrama de árbol. Compra no compra. Ojo x=compra. Escribe valores de x 3,2,2,1,2,1,1,0 Checar x=2 éxitos en n=3 intentos C(3, 2) = 3!/2!(3-2)! =3 x=3 éxitos en n=3 intentos C(3,3) = 1 La probabilidad de que los primeros dos clientes compren y que le tercero no compre; pp(1-p) Compra, compra, no compra pp(1-p) = p 2 (1-p) = 0.63 Compra, no compra, compra p(1-p)p = p 2 (1-p) No compra, compra, compra (1-p)pp = p 2 (1-p) => p x (1-p) (n-x) Para 2 éxitos, en 3 intentos = 0.63 F(x) = (n x) p x (1-p) (n-x)
