1. Multiplicación
Si se trata demultiplicar con numero positivo por un log, se hace la operación de la manera usual si
la características es positiva o; si por el contrario la características es negativa es conveniente
multiplicar el número por la características y por la mantisa, separadamente, sumando después los
resultados obtenidos
-4+0,26423 -20,00000 4,26723
* 5 1,33615 * 5
-20+1,33615 11,33615 21,33615
5,46483 2,62454 9,28386
* 6 * 7 * 5
32,78898 18,370778 46,41930
9,84232 4,23245
* 7 * 6
68,89624 25,39470
-5+0,46483 -4+0,23245
* 6 * 6
-32,78898 -24+1,39470
PROPORCIONALIZADAD
RAZONES.-Se han 12 o4 dos números enteros con los dos establecemos una relación 12:4::4:12
usualmente se escribe como una fracción 12 4 significa que es igual a 3 veces.
4 12
4 12=34y significa de 4es la tercera parte de12y 4es la tercera parte de 12.
TERMINOS.- Son términos de la razón a y b; a= antecedente
En la relación 20; la razón es 5.
4
En la relación 4; la razón es 1.
20 5
CONCEPTO.-La razón es la relación entre cantidades, de la misma especie e indica el número de
veces que la única contiene a la otra.

2. Si una razón se multiplica i divide no por un mismo número esta no altera.
4 8 = 32 = 4 13 / 3 = 4 = 4
5 * 8 40 5 3 3 1
PROPORCION
Si los términos de la razón 8 multiplicados por 3 son:
4
8*3 = 24 Obtenemos otra fracción equivalente; relacionado los dos razones tenemos.
4*3 12
8 = 24=96 Esto significa que los 4 números que lo forman.
4 12 96
Son proporciones o que están en proporción también podemos escribir de la siguiente forma
8:4::24:12 donde el 8 y el 12 son extremos; por el 4 y 24 son extremos medios.
a=c a Por lo tanto la proporción es la relación entre dos razones iguales que cumplan uno.
b d b
c
d
PROPIEDAD FUNDAMENTAL.- En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto
de los medios, como indica el ejemplo anterior.
8:4::24:12 a:b::c:d
8*12=4*24 ad=bc
96=96
CUARTAPROPORCION.-Cada uno de los 4 términos constituyen la cuarta proporción delos valores
conocidos.
3 = 12 3:6::12:x 3 = 12 3:6::12:24
6 x 3x=72 6 24
X=72 3*24=6*12
3 72=72
X=24
3 = 12 = 3:x::12:24
X 24 3.24=x.12
72=12x
12x=72
X= 72
12
X=6

3. 3= x 3:6:x:24
6 24 3.24=6x
72=6x
6x=72
X=72
6
X=12
X = 12 x:6::12:24
6 24 x.24=6.12
24x=72
X=72
24
X=3
DEBER
Hallar el extremo desconocido en las proporciones siguientes.
a) X = 8 x:6::8:24 2=8 2:6::8:24
6 24 24x=48 6=24 2.24=6.8
X=48 48=48
24
X=2
b) x = 12 x:5::12:3 20=12 20:5::12:3
5 3 3x=60 5 3 60=60
X=60
3
X=20
c) 2 = 5 2:x::5:4 2 =5 10=5 10::8:5:4
X 4 8=x5 8 4 8 -4 40=40
X=8 5
5
d) 1 3 1 = 27 1:2x::27:30 1 3
2 = 5 2x 30 30=54x 2= 5 9 = 27 9:10::27:30
X 6 54x=30 5 6 10 30 270=270
9 54 9 9
X=5
9

4. e) 2 1 -2 3 9 11 63 = 11
4 = 4 4= 4 32 4x
1 1 x 8 x
7 7
63:32::-11:4x x=352 x= 88
252x=/352 252 63
f) 2 2
3 = 3 =8=2 8:9:2:3x 8 1 8= 8 x= 3 8:9::8:9
3 x 9 3x 24x=18 9 3 9 9 4 72=72
4 x= 18 3
24 4
3) 3 = x 5) x = 5 50 5
X 0,6 5 7 7= 1
3= x 2 5 7
5x 6 x = 10 1 2
10 5 7
3 = 5x x:5::10:7 50 = 10
5x 3 7x=50 35 7
3:5x::5x:3 x=50 10:7::10:7
9=25x 7 70=70
X= 9
25
X= 2 9
25
X= 3
5
4) 2 +1 2 45 = 2
3 = 9 6 4
2 x 135
9 15 = 270
2+3 2 36
3 =2
2 9x 15= 15
9 2 2
5 15:2=25:2
3=2 30=30
2 9x
9

5. 45 = 2
5 9x
15:2::2:9x
135x4
X= 4
135
6) 2- 3 2.3 7) 2 + 1 2 405x=12
5= 91 3 =9 x=12
X 20.1 2 x 45
5 9 x=4
10-3 6 2+3 135
5 = 9 3 = 2
X 20 2 9x
5 9
7= 2 5
5 126 3= 2
x 2 9x
1 9
45= 2
7 6 9x
5x
7 =1
5(42)= 1 6
8 6
1:6::1:6
6=6
0,133=0,6
12 x
5
8) 1 3 1 9) 3.5= x 35=5x 35 5(7)
2 =5 2=9 2,4 0, 8 24 4 24 = (6)
X 2 5 10
-3 9 35 35:24:5x:4 35=35
1 = 9 9= 9 10 = x 140=120x 24 24
2x 10 10 10 2 4 84 120x=140 35:24::35:24
10 10 x=7140 840=840

6. 18x=10 9:10::9:10 7 6120
x =10 90=90 2 =5x x= 7
18 12 4 6
5 x= 7
6
10) x = 0,125 0,33 =0,6 x = 0,1+0,4
0,33 0,36 12 x 0,1+0,4 0,3- 0,25
X 125 5 x
33 = 1000 133 1 + 4 =1 +4
100 36 1000 = 6 10 10 10 10
100 7 10 x 3 25
100x = 25 5 x 1 +4 10 100
33 72 10
100x:33::25:72 665 = 3
7200x=825 7000 5x x = 5 1+4
X=825 133 = 3 5 10 10
7200 1400 5x 10 1 6-5
X= 11 133:1400::3:x 20 20
96 665x=4200
X=4200 2x = 20
665 1 2
X=12 2x = 10
19 1 1
133= 3 2x:1::10:1
1400 5 2x=10
12 x=10
19 2
19 = 57 x=2
200 60
X = 80,7- 5)2 25x = 200
(0,7- 5)2 10) 1 122325
10 (1 55. 333) 25x:1.:40.24465
100 1000 611625x=40
(0,7 – 5)2 x= 40
X = 10 611625
(7 - 1)2 (1 55. 333) 25x= 40

7. (10 2) 100 1000 24465
7-5 25 ( 40 )
X = 10 611625
( 7-5)2 21 . 233 40 = 40
10 20 10 24465 24465
1 40:24465::40:24465
X = 25 978600=978600
4 4893
100 200
(2. 2) (1 – 3)2 5000 =2500x
9 4 2 5 = X 16749x 1111
X 0,02 X 22,22 5000
2 .4 5- 6 16749(5555)= 2500x
9 2 10 8375 1111
14888 5000
100000 = X 93040695= 2500x
X 2 22 22 8375 1111
100 100 5000
(4) ( - 1) 18608138= 2500x
(9) (10) 1675 1111
1861
12500 = x
X 1. 111
50 50
4. 1
9 100
1861
12500 = x
X 1111
2500
1
225
1861
12500 = 2500x
X 1111
12500
418725 = 2500x
X 1111
500:16749x::2500:1111
555500=4187500
X=555500

8. 4187500
X=5555
41875
EJERCICIO
2: 2 1-3
9 4 2 5
0,14888 = X
X 0,02*22.22
4 5-6
9 10
1488
100000 = X
X 2 22. 22
50 100
4 1
9 20
1861
12500 = X
X 1 111
50 50
4
900
1861
12500 = X
X 1111
2500
12500
418725 = 2500X
X 1111
12500 = 2500X
418725X 1111
1 = 2500X
5 1111

9. 1:5X::2500X:1111
1111=12500X2
X= 1111
12500
X= 111.80
33.33
X = 0,7- 5
0,7- 5 2 10
10 (1,55*0,333)
X = 7 - 1
7- 1 10 5
10 5 1 55. 333
100 1000
7-2
10
X = 155. 333
7-2 100 100
10
5
X = 10
5 31. 33
10 20 100
X 25
25 = 100
100 1023
2000
1X =200
4 4092
X = 500
4 1023
X:4.:500.1023
1023X=20000
X=2000
1023