Nekomutativna fyzika

Nekomutatívna fyzika
Juraj Tekel
Katedra teoretickej fyziky a didaktitky fyziky
FMFI, UK
Smery fyzikalneho vyskumu
4.5.2015

Krátke zhrnutie
Čo je nekomutatívna fyzika.
Prečo chceme nekomutatívnu fyziku.
Aké má nekomutatívnosť dôsledky.
Na akých problémoch pracujú ľudia z našej fakulty.
Nekomutatívnosť
⇓
Netriviálna štruktúra na krátkych vzdialenostiach
Juraj Tekel Nekomutatívna fyzika

Funkcie na úsečke

Ako vyzerá kmitanie struny?
Harmonické frekvencie zodpovedajú rôznym módom kmitania struny.

Zakladný mód

Vyššia harmonická

Ako vyzerá kmitanie struny?
Výsledné kmitanie je zloženie takýchto kmitov
u(x, t) =
∞
n=1
ak sin
nπt
L
+ bk cos
nπt
L
sin
nπx
L
Pre nás budú dôležité „bázové“ funkcie
sin
nπx
L
Každú funkciu na intervale môžeme vyjadriť ako lineárnu kombináciu
týchto funkcií
f(x) =
∞
n=1
ck sin
nπx
L
Pre iné správanie na okrajoch iná sada bázových funkcií, všeobecne teda
f(x) =
∞
n=1
ckΦk(x)

Napríklad

Všeobecný prípad
Takáto báza sa dá nájsť pre ľubovoľný priestor (s konečným objemom)
f(x) =
K
cKΦK(x)
Takéto funckie tvoria algebru- dajú sa
sčítavať
násobiť čislom
násobiť medzi sebou (f · g)(x) = f(x)g(x)
V takejto algebre je zakódovaná celá informácia o pôvodnom priestore
Dôležitý špeciálny prípad - dvojrozmerná sféra

Funkcie na sfére

Sférické harmoniky

Sférické harmoniky
Ľubovoľná funkcia na sfére sa dá napísať ako
f(θ, φ) =
∞
l=0
l
m=−l
clmYlm(θ, φ)
Analóg sínusov a kosínusov, tiež vlastné funkcie Laplaceovho operátora.
A teraz príde nekomutativita! Aj keď zatiaľ trochu v prezlečení.

Nekomutatívna sféra
Budeme študovať inú algebru funkcií, ktoré sa dajú napísať ako
f(θ, φ) =
L
l=0
l
m=−l
clmYlm(θ, φ)
Tie isté sférické harmoniky, ale iná suma.
Zaviedli sme obmedzenie na najvyššiu možnú hodnotu l. Kde je tu
nekomutativita? Pre takéto funkcie pobodový súčin nie je elementom
algebry fg sa nedá takto napísať. Aby sa dalo, musíme upraviť súčin
bázových funkcií
(Ylm · Yl m )(θ, φ) = Ylm(θ, φ)Yl m (θ, φ) → (Ylm ∗ Yl m )(θ, φ)
ktorý sa ukáže byť nekomutatívny
Ylm ∗ Yl m = Yl m ∗ Ylm
Toto sa spraví prevedením takejto algebry na maticovú algebru a
„požičaním“ maticového násobenia.

Netriviálna štruktúra na krátkych vzdialenostiach
Veľmi dôležitý dôsledok.
V takomto priestore neexistujú body. Nevieme povedať „Tu!“. Intervaly
nevieme deliť na nekonečne malé kúsky.
Body boli v pôvodnej algebre zakódované ako δ-funkcie, tj. funkcie ktoré
sú nenulové iba na veľmi malom kúsku.
Funkcia Ylm má ∼ l2
maxím a miním, na lokalizovanie funkcie na priestor
o ploche ∆x2
potrebujeme funkciu Ylm s
l ∼ 1/∆x
Keďže k dispozícií nemáme ľubovoľne veľké l, nevieme ísť s ∆x
ľubovoľne nízko.

Všeobecné nekomutatívne priestory
Všeobecný nekomutatívny priestor je zakódovaný v nekomutatívnej
algebre rovnako, ako je komutatívny priestor zakódovaný v komutatívnej
algebre.
Nekomutatívna verzia daného komutatívneho priestoru vznikne z orezania
algebry funkcií.
Videli sme, že v takýchto priestoroch vzniká štruktúra na krátkych
vzdialenostiach, je rozmazaný.

Prečo chceme netriviálnu štruktúru?

Prečo chceme netriviálnu štruktúru?
Spojenie kvantovej mechaniky a všeobecnej relativity to predpovedá!
Keď chceme odmerať čosi, čo má priestorový rozmer ∆x, musíme na to
poslať časticu s vlnovou dĺžkou menšou ako táto hodnota. Podľa de
Broglieoho to znamená poslať časticu s energiou
E ∼
1
∆x
Avšak keď pôjdeme s ∆x nižšie a nižšie, vytvoríme takú koncentráciu
energie, že vznikne čierna diera. Výsledok takého experimentu bude
ukrytý za horizontom čiernej diery a túto informáciu nemôžme získať.
Nie je prekvapením, že toto sa začne diať na Planckovych škálach.
RS =
2GM
c2
, E = Mc2
, E =
hc
λ
⇒ L =
√
2
hG
c3
lpl

Kvantová mechanika
Podobný argument ako v kvantovej mechanike, ktorý vedie k neurčitosti
medzi meraním polohy a hybnosti. Tam má netriviálnu štruktúru
(nevieme povedať „Tu!“) fázový priestor.
Tu dostávame princíp neurčitosti medzi meraním polohy v rôznych
smeroch
∆xi∆xj ≥ čosi
Tu sa uzatvára kruh medzi nekomutatívnosťou a štruktúrou na krátkych
vzdialenostiach. V kvantovej mechanike sme princíp neurčitosti dostali z
nekomutovania operátorov polohy a hybnosti. To znamená, že to isté
dosiahneme nekomutovaním operátorov súradníc
[xi, xj] = iθij
Stláčanie častice v jednom smere nám ju roztiahne v inom smere.

Čo sa teda v nekomutatívnej fyzike naozaj robí?
Za konﬁguračný priestor častice sa zoberie nekomutatívna verzia
priestoru.
Na takomto priestore sa napíše (kvantová) teória, ktorá ma zaujíma.
Sledujú sa dôsledky.

Dôsledky nekomutatívnosti a experimentálne
hranice

Zachovanie symetrie
Aj jednoduchá mriežka zavádza najmenšiu možnú vzdialenosť. Tá však
má menšiu symetriu ako pôvodný priestor. Posunutia iba o mriežkový
vektor, obmedzené otočenia.
Nekomutatívny priestor má tie isté symetrie, ako pôvodný priestor.
Najlepšie to vidno na nekomutatívnej sfére v reprezentácií cez funkcie
f(θ, φ) =
L
l=0
l
m=−l
clmYlm(θ, φ)
Každu z harmonických funkcií v tomto rozvoji viem ľubovoľne otočiť a
teda viem otočiť aj výslednú funkciu f. A odpovede na otázky, ktoré sú
vo funkciách zakódované viem dostať aj otočené.
Nekomutatívnosťou sme nestratili žiadnu symetriu.

Zachovanie symetrie

Regulácia integrálov
Najmenšia možná vzdialenosť znamená najväčšiu možnú hybnosť (opäť de
Broglie) a najväčšiu možnú energiu. V situáciách, kedy nevlastné integrály
cez energie divergujú to prináša úľavu. Odpoveď na rozumné otázky je
potom často pomer dvoch takýchto integrálov a namiesto výrazov
∞
∞
=???
dostávame výrazy
veľké ale konečné číslo
veľké ale konečné číslo
= normálne slušné číslo

Regulácia integrálov
Kvantová teória poľa je plná takýchto výrazov a to bolo prvé miesto, kde
sa vo fyzike nekomutativita objavila.
Tu sa ale aj ukazuje veľmi netriviálny problém týchto teóriu, UV/IR
mixing. Nekomutatívne teórie sú veľmi iné ako komutatívne.
Procesy na malých škálach dávajú efekty aj na veľkých škálach. Keď
poviem že čosi sa stalo Tu! veľmi presne v jednom smere, neviem kde
presne sa to stalo v inom smere.
Prehadzovanie veľmi lokalizovaných častíc.
Tento rozdiel zostane aj v komutatívnej limite. V limite θ → 0 sa priestor
vráti do pôvodnej podoby, ale teória na ňom si nekomutativitu pamätá.

Experimentálne hranice
Nekomitativitu priestoru a ani žiadnu štruktúru na krátkych
vzdialenostiach sme ešte nevideli.
Najprísnejšie ohraničenie je zo štúdia žiarenia kozmického pozadia, hroná
hranica na jednotkovú bunku priestoru je
10−30
m až 10−35
m
Odhady ukázali, že bude asi ešte oveľa menej.

Nekomutatívny štandardný model časticovej fyziky
Problémom fyziky je nekonzistentnosť formalizmu gravitačnej sily a
ostatných interakcií.
Gravitácia je geometrická, látka a interakcie sú časticové.
Snaha je napísať gravitáciu ako časticovú teóriu, kvantovú teóriu
gravitácie.
Môžeme sa ale pokúsiť aj o opak. Napísať časticovú teóriu ako
geometrickú teóriu.
Symetriou časopriestoru sú Lorentzove transformácie.
Symetriou Štandardného modelu je grupa SU(3) × SU(2) × U(1).
Idea je teda mať priestor, ktorého grupa symetrie je
SO(3, 1) × U(3) × SU(2) × U(1)
Tento priestor je nekomutatívny. Na tomto sa intenzívne pracuje, už
existujú aj predpovede modelu, napríklad hmotnosť Higgsovho bozónu je
v ňom predpoveďou a veľmi uspokojivo sedí s nameranou hodnotou.

Efektívny popis systémov
Nekomutativita je dôležitá aj ako efektívny popis systémov.
V takom prípade sa nikde nepovie, že čosi je „naozaj“ nekomutatívne.
Avšak dynamika systému môže byť taká, že „komutatívne“ správanie
systému obmedzí a bude popísané nekomutatívnou matematikou.
V tuhých látkach, napríklad Halov jav. Silné magnetické pole obmedzí
životný priestor elektrónov v kove tak, že budú efektívne nekomutatívne.

Nekomutativna fyzika na FMFI

Peter Prešnajder
Skupina okolo profesora Prešnajdera študuje trojrozmernú nekomutatívnu
kvantovú mechaniku.
Z akéhosi dôvodu je trojrozmernosť problematická, ale podarilo sa im
nejak to naformulovať.
Našli nekomutatívne opravy k energií atómu vodíka, hrubou silou aj
veľmi elegantne algebricky. Explicitne našli horné ohraničenie na energiu
voľnej častice.
Aktuálne študujú detailnejšie správanie voľných častíc, riešia harmonický
oscilátor a začínajú sa venovať čiernym dieram v nekomutatívnom
priestore.

JT
Ja sa venujem nekomutatívnej teórií poľa. Častice = vlny v poli.
Študujem fázovú štruktúru a fázové prechody vo veľmi zjednodušenom
systéme. Veľa netriviálnych otázok a problémov.
Cieľom je lepšie pochopiť problém UV/IR mixingu, najmä spôsobu ako
písať teórie, ktoré ho nemajú a ktoré v komutatívnej limite dajú
požadovanú teóriu.

Vďaka za pozornosť!

Nekomutativna fyzika

Recommended

Recommended

More Related Content

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Nekomutativna fyzika