Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Facultad de Ingeniería de Sistemas e Informáticag
Investigación de Operaciones I
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IntroducciónIntroducción.-
El concepto de conjunto convexo es fundamental en el
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Idea de conjunto convexo
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Conjuntos Convexos
Ejemplos de conjuntos convexos:
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Ejemplos de conjuntos no convexos:
Conjuntos Convexos
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Conjuntos Convexos
Definición formal
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Definición formal.-
es convexo sí
n
S ℜ⊂El conjunto es convexo síS...
Conjuntos Convexos
Obsérvese que:
Conjuntos Convexos
Obsérvese que:
• Cuando λ = 1, entonces x = x1, 1
• Cuando λ = 0, ent...
Conjuntos Convexos
Vértices o Puntos extremos
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Vértices o Puntos extremos
de un conjunto convexo.-
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Programación MatemáticaProgramación Matemática
En el modelo matemático del sistema aparecenEn el modelo matemático del sis...
Programación Matemática
donde (X) son funciones de X de valor real En
Programación Matemática
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Programación Matemática
Las restricciones del tipo:
Programación Matemática
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0X ≥
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El valor óptimo de la función objetivo f(X) se obtiene a
Programación Matemática
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Programación Matemática
La programación matemática se puede clasificar en:
Programación Matemática
La programación matemát...
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PROBLEMA
Programación Matemática
PROBLEMA.-
Una jarra de vidrio de forma cilíndrica, tiene una tap...
Programación MatemáticaProgramación Matemática
Alto costo de
Mediano costo de
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Programación MatemáticaProgramación Matemática
MetalMetal
V = π r2 h
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Programación Matemática
Volumen de la tapa de metal:
Programación Matemática
Volumen de la tapa de metal:
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Si un volumen determinado en vidrio cuesta 1 u m en
Programación Matemática
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PROBLEMA
Programación Matemática
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Luego tendríamos:
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Programación Matemática
CASO PRACTICO:
Programación Matemática
CASO PRACTICO:
Objetivo: Optimizar el uso de hojalata en la...
Programación Matemática
Cantidad de hojalata del nuevo diseño (D H ):
Programación Matemática
Cantidad de hojalata del nue...
Programación Matemática
La relación entre D y H es:
Programación Matemática
La relación entre D1 y H1 es:
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000224
H = 2
...
Programación Matemática
Graficando la función obtenida:
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Derivando e igualando a cero la función:
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Unmsm fisi - conjuntos convexos y programación matemática - io1 cl02

  1. 1. Universidad Nacional Mayor de San Marcos Facultad de Ingeniería de Sistemas e Informáticag Investigación de Operaciones I Conjuntos Convexos óy Programación MatemáticaMatemática Docente : Lic. Gabriel Solari Carbajal
  2. 2. Conjuntos ConvexosConjuntos Convexos IntroducciónIntroducción.- El concepto de conjunto convexo es fundamental en el t di d l P ió M t áti itestudio de la Programación Matemática porque permite obtener resultados teóricos importantes. D t d l P ió M t áti ti hDentro de la Programación Matemática tienen mucha importancia los problemas convexos, donde las variables de decisión pertenecen a un conjunto convexovariables de decisión pertenecen a un conjunto convexo y la función objetivo es una función convexa, dado que el teorema fundamental de la programación convexag nos asegura que todo óptimo local es un óptimo global. 2
  3. 3. Conjuntos Convexos Idea de conjunto convexo Conjuntos Convexos Idea de conjunto convexo.- Un conjunto S de puntos es un conjunto convexo si t d l t d l t d ttodos los puntos del segmento de recta que une a cualquier par de puntos del conjunto también pertenecen al conjunto Spertenecen al conjunto S. Para comprender mejor la definición de conjunto convexo debe tenerse en cuenta que dados dos puntosconvexo debe tenerse en cuenta que dados dos puntos x1 y x2, los puntos λ x1 + (1-λ) x2 con 0 ≤ λ ≤ 1 corresponden justamente con los puntos del segmentoj g que une x1 y x2. 3
  4. 4. Conjuntos Convexos Ejemplos de conjuntos convexos: Conjuntos Convexos Ejemplos de conjuntos convexos: 4
  5. 5. Conjuntos Convexos Ejemplos de conjuntos no convexos: Conjuntos Convexos Ejemplos de conjuntos no convexos: 5
  6. 6. Conjuntos Convexos Definición formal Conjuntos Convexos Definición formal.- es convexo sí n S ℜ⊂El conjunto es convexo síS ℜ⊂ Sx,x 21 ∈∀ λλ El conjunto 10, ≤λ≤ℜ∈λ∀ los puntoslos puntos ( ) 21 x1xx λ−+λ= pertenecen a S. 6
  7. 7. Conjuntos Convexos Obsérvese que: Conjuntos Convexos Obsérvese que: • Cuando λ = 1, entonces x = x1, 1 • Cuando λ = 0, entonces x = x2 • Para valores de λ comprendidos entre 0 y 1 el punto x correspondiente se sitúa entre x1 y x2.p 1 y 2 7
  8. 8. Conjuntos Convexos Vértices o Puntos extremos Conjuntos Convexos Vértices o Puntos extremos de un conjunto convexo.- U t d j tUn punto x de un conjunto convexo S es un vértice o punto extremo del conjunto sipunto extremo del conjunto, si no es posible encontrar dos puntos x1, x2 en S tales que: ( )x1xx 21 λ−+λ= ( ) 10 21 <λ< 8
  9. 9. Programación MatemáticaProgramación Matemática En el modelo matemático del sistema aparecenEn el modelo matemático del sistema aparecen variables X = (x1, x2, ..., xn) que pueden controlarse y variarse (variables endógenas), y parámetros sobre losvariarse (variables endógenas), y parámetros sobre los cuales no hay control y que se consideran como constantes dadas (variables exógenas). Las limitaciones sobre X, al ponerse en términos matemáticos, toman la forma de restricciones del tipo: pi10)X(gi ≤≤≤ ri1p0)X(gi ≤≤+≥ mi1r0)X(gi ≤≤+= 9
  10. 10. Programación Matemática donde (X) son funciones de X de valor real En Programación Matemática donde gi(X) son funciones de X de valor real. En general las restricciones pueden siempre ponerse como:como: mi10)X(gi ≤≤≤)(gi 10
  11. 11. Programación Matemática Las restricciones del tipo: Programación Matemática Las restricciones del tipo: 0X ≥ referidas usualmente como condiciones de no negatividad, aparecen con frecuencia en modelosnegatividad, aparecen con frecuencia en modelos matemáticos de sistemas, ya sea porque los valores negativos de las variables carecen de sentido y se excluyen por lo tanto del análisis, o bien porque sea matemáticamente conveniente introducir algunas variables de holgura con esta restricciónvariables de holgura con esta restricción. 11
  12. 12. Programación Matemática El valor óptimo de la función objetivo f(X) se obtiene a Programación Matemática El valor óptimo de la función objetivo f(X) se obtiene a través de una solución matemática. El valor X0 de la variable X que hace a f(X) óptima, se denomina el valorvariable X que hace a f(X) óptima, se denomina el valor óptimo de X o solución óptima. Por lo común, el valor óptimo de f(X) es el máximo o mínimo de f(X) bajo el sistema de restricciones. 12
  13. 13. Programación Matemática La programación matemática se puede clasificar en: Programación Matemática La programación matemática se puede clasificar en: Lineal No lineal Lineal No lineal Estática Dinámica Lineal No lineal Lineal No lineal Modelo estático de Leontieff Programación no lineal convexa Modelos dinámicos de Leontieff Programación lineal Programación no lineal no convexa Sistemas dinámicos Determinística Redes Programación Modelo general de programación lineal estocástica de programación dinámica Juegos de suma Teoría de Probabilística 13 cero inventarios
  14. 14. Programación Matemática PROBLEMA Programación Matemática PROBLEMA.- Una jarra de vidrio de forma cilíndrica, tiene una tapa metálica Si el metal cuesta tres veces mas que elmetálica. Si el metal cuesta tres veces mas que el vidrio, hallar las dimensiones de una jarra de capacidad fija V, para que su costo sea mínimo.fija V, para que su costo sea mínimo. 14
  15. 15. Programación MatemáticaProgramación Matemática Alto costo de Mediano costo de metal medianoBajo costo de metal, alto costo de vidrio. Alto costo de metal, bajo costo de vidrio. metal, mediano costo de vidrio. V V V 15
  16. 16. Programación MatemáticaProgramación Matemática MetalMetal V = π r2 h Vidrio 16
  17. 17. Programación Matemática Volumen de la tapa de metal: Programación Matemática Volumen de la tapa de metal: erV 2 1 π= Volumen de la jarra de vidrio: ehr2V2 π= V 2 Lateral F d erV 2 3 π=Fondo 17
  18. 18. Programación Matemática Si un volumen determinado en vidrio cuesta 1 u m en Programación Matemática Si un volumen determinado en vidrio cuesta 1 u.m., en metal custa 3 u.m. L t d íLuego, tendríamos: )erehr2()er(3Zmin 22 π+π+π= sujeto a Vhr2 =π Vhrπ 0h,r ≥ 18
  19. 19. Programación Matemática PROBLEMA Programación Matemática PROBLEMA.- Halle las coordenadas de un punto de ℜ2, tal que la suma de sus coordenadas sea máxima que sea mayorsuma de sus coordenadas sea máxima, que sea mayor que cinco y que el punto no se aleje más de cinco unidades del origen de coordenadas.unidades del origen de coordenadas. 19
  20. 20. Programación MatemáticaProgramación Matemática y (x, y) 22 yx + x 20
  21. 21. Programación Matemática Luego tendríamos: Programación Matemática Luego, tendríamos: yxZmax += sujeto a 5yx >+ y 5yx >+ 5yx 22 ≤+ 0y,x ≥ y 21
  22. 22. Programación Matemática PROBLEMA Programación Matemática PROBLEMA.- Hallar el punto de la superficie de ecuación 4yxz 22 ++= que este más cercano al origen de coordenadas. 22
  23. 23. Programación MatemáticaProgramación Matemática z (x, y, z) y 222 zyx ++ x 23
  24. 24. Programación Matemática Luego tendríamos: Programación Matemática Luego, tendríamos: 222 zyxZmin ++= sujeto a 4yxz 22 ++= y 4yxz ++ 0z,y,x ≥ 24
  25. 25. Programación Matemática CASO PRACTICO: Programación Matemática CASO PRACTICO: Objetivo: Optimizar el uso de hojalata en las conservas d dde pescado. Información de las conservas de pescado (170 gr.): Peso neto = 170 gr. Peso escurrido = 120 gr. Diá t (D) 80Diámetro (D) = 80 mm. Altura (H) = 35 mm. Cálculo del volumen: 3 2 19929175 HDπ V 25 3 mm19.929175 4 V ==
  26. 26. Programación Matemática Cantidad de hojalata del nuevo diseño (D H ): Programación Matemática Cantidad de hojalata del nuevo diseño (D1, H1): 2 Dπ fondoyTapa 2 1 = 2 yp 11 HDπLateral = 11 2 1 HDπ 2 Dπ Total += 2 El volumen para 170 gr. se mantiene: 31 2 1 mm19.929175 4 HDπ V == 26 4
  27. 27. Programación Matemática La relación entre D y H es: Programación Matemática La relación entre D1 y H1 es: 21 000224 H = 2 1 1 D H R l d l ió t i 2 Reemplazando en la expresión anterior: 1 2 1 D π000224 2 Dπ Total += 1 27
  28. 28. Programación Matemática Graficando la función obtenida: Programación Matemática Graficando la función obtenida: Total D1 D1 * D1 28 1
  29. 29. Programación Matemática Derivando e igualando a cero la función: Programación Matemática Derivando e igualando a cero la función: 000224(T t l)d 0 D π000224 Dπ Dd (Total)d 2 1 1 1 =−= De donde se obtiene: mm60.73D1 = mm60.73H1 = 29

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