Teoría de Integrales

1. 1 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO
2.1.4 integrales
2.1.4.1 Introducción a la Integral
1
Se define la integración como:
a) una operación inversa a la derivación
b) la integral definida se presenta como una ampliación del concepto de área.
2.1.4.2 La Integral como operación inversa a la derivación
Hasta el momento en el estudio del cálculo se ha resuelto el problema de: Dada
una función f encontrar su derivada f’.
Una función F(x) cuya derivada, en un cierto intervalo del eje x, F’(x)=f(x), decimos
que F(x) es la 2primitiva o integral indefinida de f(x). La integral indefinida dada no
es única; por ejemplo: x2, x2 + 5, x2 – 4, son las primitivas o integrales indefinidas
de f(x)=2x, ya que f ' ( x 2 ) = f ' ( x 2 + 5) = f ' ( x 2 − 4) = 2 x .
Todas las primitivas de f(x)=2x están representadas por la expresión x2 + C, en la
que C es una constante cualquiera y que se denomina constante de integración.
La primitiva o integral indefinida de la función f(x) se representa por
medio del símbolo ∫ f ( x)dx
De acuerdo a nuestro ejemplo tenemos:
∫ 2 xdx = x +C
2
Para el cálculo de las Integrales, partiremos de las siguientes reglas básicas de
integración:
1
Introducción al Cálculo (Edipime)
2
Cálculo (Schaums)

2. 2 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO
1. Los factores constantes se pueden sacar del signo de la integral
es decir si K es una constante entonces
∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx
2. La integral de una suma algebraica de varias funciones es igual
a la suma algebraica de las integrales de cada una de ellas, es
decir
∫ [ f 1( x) + f 2( x)] − f 3( x)]]dx = ∫ f 1( x)dx + ∫ f 2( x)dx −∫ f 3( x)dx
3. Tabla de fórmulas fundamentales
x n +1 f ) ∫ cos xdx = senx + c
a) ∫ x n dx = + c, n ≠ 1
n +1 g ) ∫ sec 2 xdx = tan x + c
dx
b) ∫ = ln x + c h) ∫ csc 2 xdx = − cot x + c
x
c) ∫ e x dx = e x + c i) ∫
dx
= arcsenx + c
ax 1− x2
d ) ∫ a x dx = +c dx
ln a j)∫ = arctan x + c
1 + x2
e) ∫ senxdx = − cos x + c
2.1.4.2.1 Ejemplos
Hallar la integral de:
a) ∫ (3x − 7)dx , (Regla 2, suma algebraica de funciones)
∫ (3x − 7)dx =
∫ 3xdx − 7dx =
x2
3( + c1) − 7( x + c 2) =
2
x2
3 + 3c1 − 7 x − 7c 2
2

3. 3 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
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Como 3c1-7c2, es otra constante, entonces se puede escribir la respuesta como
x2
∫ (3x − 7)dx = 3 2
− 7x + c
b) ∫ 3 y dy , (Regla a, función elevada a exponente)
∫ 3 y dy =
1
∫ y 3 dy =
1
+1
y 3
1
+c=
+1
3
1+ 3
y 3
1+ 3
+c
3
4
y 3
∫ 3 y dy = 4
+c
3
x 2 − 2x + 3
c) ∫ x3
dx , (Regla 2 y a, suma algebraica y elevada a exponente )
x 2 − 2x + 3
∫ x 3 dx =
x2 2x 3
∫ x 3 dx − ∫ x 3 dx + ∫ x 3 dx =
1
∫ xdx − ∫ 2 x dx + ∫ 3x dx =
−2 −3
x − 2 +1 3x −3+1
ln x − 2 + =
− 2 +1 − 3 +1
x −1 3x − 2
ln x − 2 +
−1 −2
x 2 − 2x + 3 2 3
∫ x 3 dx = ln x + x − 2 x 2 + c
d) ∫ ( x + 1)( x − 2)dx , (Regla 2, suma algebraica)

4. 4 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
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∫ ( x + 1)( x − 2)dx
∫ ( x − 2 x + x − 2)dx
2
∫ ( x − x − 2)dx
2
∫ x dx − ∫ xdx − ∫ 2dx
2
x 2 +1 x 1+1
− − 2x
2 +1 1+1
x3 x 2
∫ ( x + 1)( x − 2)dx = 3
−
2
− 2x + c
2.1.4.2.2 Ejercicios propuestos
x6
∫ x dx , Sol. +c
5
1. Hallar la integral de
6
2x 3 5x 2
∫ (2 x − 5 x + 3)dx , Sol. − + 3x + c
2
2. Hallar la integral de
3 2
x 3 + 5x 2 − 4 1 4
3. Hallar la integral de ∫ x 2
, Sol. x 2 + 5 x + + c
2 x
33 4
∫ z +c
3
4. Hallar la integral de y= z dz , Sol.
4
dx
5. Hallar la integral de y= ∫ 3
x 2
, Sol. 33 x + c
2 3 2 5
6. Hallar la integral de y= ∫ (1 − x) x dx , Sol.
3
x −
5
x +c