1. Fundamentos del C´lculo
a
Rub´n Flores Espinoza
e
Marco Antonio Valencia Arvizu
Guillermo D´vila Rasc´n
a o
Mart´ Gildardo Garc´ Alvarado
ın ıa
Proyecto FOMIX
CONACYT, Gobierno del Estado
Clave: SON-2004-C02-008
Publicado por Editorial GARABATOS
Febrero, 2008
ISBN: 970-9920-18-5
Tiraje: 1000 ejemplares
7. Presentaci´n
o
La invenci´n del C´lculo en el ultimo cuarto del siglo XVII representa un hito
o a ´
en la historia de las matem´ticas; puede decirse con toda certeza que ah´ inician
a ı
las matem´ticas modernas, pues este acontecimiento dio origen al desarrollo de
a
m´ltiples ramas de las matem´ticas, mantuvo pr´cticamente la exclusividad del
u a a
trabajo de los matem´ticos durante un siglo, y a´n los ocupa en sus m´ltiples ra-
a u u
mificaciones y aplicaciones. Antes del C´lculo, las matem´ticas s´lo serv´ para
a a o ıan
describir lo fijo y est´tico, con ´l se pudo describir el movimiento y lo din´mico;
a e a
estableciendo una comparaci´n, podr´ decirse que antes del C´lculo las matem´ticas
o ıa a a
s´lo proporcionaban fotograf´ de la realidad, y despu´s de ´l, pel´
o ıas e e ıculas. Adem´s a
de describir el movimiento, el C´lculo lleg´ para resolver y unificar los problemas de
a o
c´lculo de ´reas y vol´menes, el trazo de tangentes a curvas y la obtenci´n de valo-
a a u o
res m´ximos y m´
a ınimos, proporcionando una metodolog´ general para la soluci´n
ıa o
de todos estos problemas; tambi´n permiti´ definir el concepto de continuidad y
e o
manejar procesos infinitos. El resultado fue que el C´lculo y sus derivaciones pronto
a
encontraron m´ltiples aplicaciones y sirvieron para modelar procesos en todos los
u
a
´mbitos cient´ ıficos, empezando por la f´ ısica y las ciencias naturales, hasta llegar a
las ciencias sociales. Por todas estas razones, el conocimiento y manejo del C´lculo a
marca una diferencia cualitativa muy importante en la formaci´n de una persona y en
o
su capacidad para utilizar las matem´ticas en otras ciencias y la ingenier´ Podemos
a ıa.
afirmar, sin lugar a dudas, que un buen curso de C´lculo cambia la percepci´n del
a o
estudiante universitario.
A escala mundial, la ense˜anza y el aprendizaje del C´lculo Diferencial e Inte-
n a
gral presenta una severa problem´tica debido a los altos ´
a ındices de reprobaci´n y o
deserci´n de estudiantes en los cursos b´sicos de esa materia a nivel de licenciatura.
o a
En t´rminos generales, tanto en los pa´
e ıses industrializados como en los pa´ ıses en
desarrollo se reportan ´ ındices de reprobaci´n y deserci´n superiores al 50%, lo que
o o
representa un costo muy elevado en recursos y en oportunidades desaprovechadas.
Siendo el C´lculo una disciplina fundamental en la formaci´n de ingenieros,
a o
t´cnicos y cient´
e ıficos, el problema educativo que presenta nos impulsa a la b´squeda u
de estrategias y metodolog´ tanto disciplinarias como de car´cter pedag´gico, que
ıas, a o
permitan asegurar est´ndares apropiados para poblaciones crecientes de estudiantes.
a
Los malos resultados que se presentan en el aprovechamiento y desempe˜o escolar n
en los cursos de C´lculo se pueden considerar como producto de las dificultades y
a
caracter´ ısticas de los conceptos y m´todos propios de esta rama de las matem´ticas
e a
y de la insuficiencia de profesores y recursos pedag´gicos de apoyo a su ense˜anza
o n
y aprendizaje. Al masificarse la educaci´n universitaria, la homogenizaci´n de los
o o
8. 8 Presentaci´n
o
niveles de formaci´n en C´lculo Diferencial e Integral a nivel universitario se presenta
o a
como uno de los grandes retos nacionales ante el imperativo de estandarizar la
calidad del sistema educativo y facilitar la integraci´n exitosa de los egresados a los
o
mercados de profesionistas que soportan el desarrollo econ´mico y social.
o
Ante esta situaci´n, un grupo de profesores del Departamento de Matem´ticas
o a
de la Universidad de Sonora, encabezados por el Doctor Rub´n Flores Espinoza,
e
hemos propuesto un conjunto de estrategias para la homogenizaci´n y certificaci´n
o o
de los cursos de matem´ticas a nivel estatal, en el marco de un proyecto apoyado
a
por el Fondo Mixto CONACYT-Gobierno del Estado de Sonora.
Como primera estrategia para la homogenizaci´n de los programas de C´lculo en
o a
las instituciones de educaci´n superior en Sonora, se aborda el problema del uso del
o
libro obligatorio en los cursos de esta materia. Este problema constituye, en gene-
ral, una de las m´s notables deficiencias en la organizaci´n y atenci´n de los cursos
a o o
b´sicos en el sistema universitario en M´xico. Al no establecerse textos b´sicos obli-
a e a
gatorios que incluyan y desarrollen los contenidos completos de los programas, se
deja al estudiante sin una gu´ para su trabajo personal, a la vez que se propicia la
ıa
discrecionalidad en el cumplimiento de los programas, se dificulta el establecimiento
y evaluaci´n de los est´ndares de calidad y se vuelve al estudiante m´s dependiente
o a a
del profesor. Para contribuir a resolver la problem´tica anterior, el texto que aqu´
a ı
se presenta desarrolla en forma completa los distintos conceptos, m´todos y aplica-
e
ciones del C´lculo que son necesarios y suficientes para una formaci´n de calidad en
a o
ciencias e ingenier´ Este texto permitir´ a todos los estudiantes y profesores de la
ıa. a
materia, contar con un referente completo sobre los contenidos y t´picos del c´lculo,
o a
as´ como con un amplio conjunto de ejemplos, ejercicios y problemas para el estudio
ı
y entrenamiento personal, los cuales se ampliar´n en un problemario aparte.
a
El segundo elemento estrat´gico para la homogenizaci´n de los cursos de C´lculo
e o a
a nivel superior contemplado en el proyecto antes citado, consiste en la constituci´n o
de un Sistema de Entrenamiento y Evaluaci´n en L´
o ınea que tiene por prop´sito o
el poner a disposici´n de estudiantes y profesores un sistema electr´nico basado
o o
en el software MAPLE TA 30 de apoyo a la elaboraci´n, aplicaci´n y evaluaci´n
o o o
autom´tica de ex´menes y pruebas, dise˜ados de un amplio banco de reactivos
a a n
y problemas sobre los distintos t´picos de la materia. Este sistema permite la
o
aplicaci´n de ex´menes simult´neos a grandes conjuntos de estudiantes de distintas
o a a
instituciones, lo cual permitir´ establecer y conocer los niveles de calidad de la
a
formaci´n en esta materia.
o
En este texto, intitulado Fundamentos del C´lculo, se incluyen todos los t´picos
a o
de un programa b´sico en C´lculo Diferencial e Integral de funciones reales de una
a a
variable real. El texto presenta una estructura acorde al desarrollo hist´rico del
o
C´lculo y orienta sus aplicaciones a la descripci´n y estudio de las leyes din´micas
a o a
que constituyen su verdadero poder y que lo han significado como la invenci´n o
matem´tica de mayor impacto en el desarrollo de la ciencia y la tecnolog´ en toda
a ıa
la historia.
Varias particularidades importantes distinguen este libro de la gran cantidad de
9. 9
textos sobre esta materia. En primer lugar, ha sido escrito en un lenguaje llano
y familiar, con un buen n´mero de observaciones y notas que buscan motivar y
u
explicar el sentido de los conceptos y resultados y llamar la atenci´n sobre puntos
o
y detalles importantes. Tambi´n se ha procurado mostrar las caracter´
e ısticas del
razonamiento y el discurso matem´tico presentando los conceptos con todo rigor
a
pero sin caer en sofisticaciones formales que a veces dificultan el aprendizaje, e
incluyendo demostraciones completas de todos los resultados. En este sentido, se
puede considerar el texto como una iniciaci´n al an´lisis matem´tico.
o a a
Por otro lado, el texto incluye un buen n´mero de las aplicaciones del C´lculo,
u a
principalmente las orientadas a la descripci´n y estudio de los fen´menos gobernados
o o
por leyes din´micas o de movimiento. Con ese prop´sito se incluye el estudio de
a o
problemas cuyo planteamiento remite a ecuaciones dadas en t´rminos de los concep-
e
tos y operaciones del C´lculo y cuya soluci´n requiere el uso y manejo de las reglas
a o
de derivaci´n y el conocimiento de los distintos tipos de funciones. En particular,
o
se incluye el tratamiento completo de las ecuaciones diferenciales de segundo orden
con coeficientes constantes, por ser ´stas las de mayor aplicabilidad en problemas
e
b´sicos de mec´nica y otras disciplinas.
a a
Por la precisi´n con que se presentan los conceptos, el cuidado puesto en las
o
demostraciones y el ´nfasis que se hace en los fundamentos del C´lculo, este texto
e a
cumple con todo lo necesario para la formaci´n de los estudiantes en el ´rea de
o a
ciencias. Al mismo tiempo, por los temas abordados, las t´cnicas desarrolladas y las
e
aplicaciones presentadas, resulta id´neo para las carreras de ingenier´ pues no so-
o ıa,
lamente incluye las t´cnicas para la localizaci´n de m´ximos y m´
e o a ınimos, el c´lculo de
a
longitudes, ´reas y vol´menes, la determinaci´n de presiones y la ubicaci´n de cen-
a u o o
tros de gravedad, sino que tambi´n proporciona elementos para comprender mejor
e
las relaciones est´ticas y din´micas entre variables y construir modelos matem´ticos
a a a
que describan cuantitativa y cualitativamente los patrones de comportamiento surgi-
dos de la observaci´n. o
El cap´
ıtulo primero incluye una historia breve del C´lculo a partir de su invenci´n
a o
en el siglo XVII y se describen las etapas sucesivas de su desarrollo, hasta llegar a
la ´poca actual. Este referente hist´rico del texto se complementa mediante notas
e o
de pie de p´gina con datos alusivos a personajes cuyas aportaciones aparecen en los
a
dem´s cap´
a ıtulos.
El cap´
ıtulo segundo est´ dedicado a una presentaci´n del sistema de los n´meros
a o u
reales y sus propiedades a partir de su representaci´n como expansiones decimales.
o
Este enfoque permite, desde un principio, poner al estudiante en contacto con nuevos
entes matem´ticos expresados como conjuntos infinitos de s´
a ımbolos sobre los cuales
se opera y argumenta en preparaci´n a la posterior formalizaci´n de los conceptos
o o
fundamentales de l´ ımite y convergencia de sucesiones. En este cap´ ıtulo se presenta
la propiedad de completez o continuidad, que hace de los n´meros reales el sistema
u
algebraico adecuado para la descripci´n de las magnitudes que toman valores con-
o
tinuos. Aunque esta presentaci´n es en parte intuitiva, la formalizaci´n del uso de
o o
esas representaciones que involucran un n´mero infinito de d´
u ıgitos puede lograrse
10. 10 Presentaci´n
o
con los resultados del ultimo cap´
´ ıtulo, referente a series.
El cap´ ıtulo tercero est´ dedicado al concepto de funci´n, el cual se introduce
a o
como una relaci´n entre variables o atributos, para despu´s abstraer su esencia
o e
como regla de correspondencia entre conjuntos de n´meros reales. Este enfoque
u
facilita el descubrimiento y construcci´n de funciones en contextos tanto de la vida
o
real como de origen matem´tico, en campos como la geometr´ o el ´lgebra.
a ıa a
En el cap´ ıtulo cuarto se introducen los Fundamentos del C´lculo a partir de los
a
conceptos de sucesi´n y convergencia; se incluyen demostraciones completas de los
o
principales resultados b´sicos del an´lisis matem´tico, procurando evitar compli-
a a a
caciones o sofisticaciones formales en la medida de lo posible. El cap´ ıtulo incluye
varios comentarios sobre aspectos finos en la definici´n y sentido del concepto de
o
continuidad de funciones y su relaci´n con las propiedades de los n´meros.
o u
El cap´ ıtulo quinto aborda el concepto de derivada de una funci´n en un punto
o
como la raz´n de cambio puntual o instant´nea; se comenta el significado geom´trico
o a e
y din´mico de la derivada y se presentan las reglas de derivaci´n para las diferentes
a o
operaciones entre funciones, as´ como su generalizaci´n a derivadas de orden supe-
ı o
rior.
El cap´ ıtulo sexto muestra, a trav´s del teorema del valor medio y sus consecuen-
e
cias, el poder de la derivada en la descripci´n cualitativa del comportamiento de las
o
funciones, y concluye con la aproximaci´n polinomial que proporciona el teorema
o
de Taylor.
En el cap´ ıtulo s´ptimo se caracteriza la funci´n exponencial a partir de las
e o
propiedades de su funci´n derivada. Este enfoque muestra c´mo aparecen nuevas
o o
familias de funciones a partir del estudio de leyes din´micas y facilita la introducci´n
a o
de la familia de funciones de tipo exponencial y logar´ ıtmico, a la vez que nos prepara
para el cap´ ıtulo octavo, donde se aborda el problema del c´lculo de antiderivadas o
a
integrales indefinidas.
Por otra parte, en el cap´ ıtulo noveno se estudia el concepto de integral de Rie-
mann y sus propiedades cuando se aplica a funciones continuas, concepto surgido al
aplicar el m´todo exhaustivo o de agotamiento al c´lculo del ´rea bajo la gr´fica de
e a a a
una funci´n. Tambi´n se muestra, con el teorema fundamental del C´lculo, c´mo el
o e a o
proceso de integraci´n permite “integrar o sumar” las variaciones infinitesimales de
o
una funci´n a lo largo de un intervalo para obtener la variaci´n neta de la funci´n
o o o
en ese intervalo. En el caso particular del movimiento de una part´ ıcula, hace posible
calcular el desplazamiento total de la part´ ıcula en un intervalo de tiempo, a partir
de las velocidades instant´neas mostradas durante ese intervalo.
a
En el cap´ ıtulo d´cimo se incluyen algunas de las aplicaciones m´s comunes de
e a
la integral al c´lculo de ´reas y vol´menes, lo mismo que al c´lculo de presiones de
a a u a
fluidos sobre superficies.
El und´cimo cap´
e ıtulo constituye a la vez una introducci´n a las ecuaciones dife-
o
renciales y un ejemplo m´s elaborado de la aplicaci´n del C´lculo; en ´l abordamos
a o a e
la soluci´n de ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes,
o
11. 11
cuyas aplicaciones en las ciencias naturales son de primera importancia.
En el duod´cimo y ultimo cap´
e ´ ıtulo, se presentan el concepto de serie y los criterios
m´s relevantes para decidir sobre su convergencia, para concluir con la presentaci´n
a o
de la familia de las funciones anal´ıticas, o sea las funciones expresables como series
de potencias, y la demostraci´n de que constituyen una familia cerrada bajo la
o
operaci´n de derivaci´n, lo que resulta de gran trascendencia en varias ´reas de las
o o a
matem´ticas y sus aplicaciones.
a
Como se se˜al´ antes, este texto se elabor´ en el marco del proyecto Homo-
n o o
genizaci´n y certificaci´n de los programas de matem´ticas de las instituciones de
o o a
educaci´n superior en Sonora, con registro SON-2004-C02-008, apoyado con los re-
o
cursos del Fondo Mixto CONACYT-Gobierno del Estado de Sonora. Los autores
expresan aqu´ su agradecimiento al CESUES y a la Universidad de la Sierra por su
ı
apoyo institucional a la realizaci´n del proyecto, as´ como a distintas personas que
o ı
contribuyeron de maneras diversas a la realizaci´n de este trabajo, especialmente
o
al Delegado de CONACYT en Sonora, Ing. Francisco Javier Ceballos y a su co-
laboradora, Lic. Laura Petra Reyes Medina. Agradecemos tambi´n a los CC.PP.
e
Ricardo Efr´n Espinoza, Ang´lica Pereida Hoyos y Blanca Irene L´pez Fimbres, por
e e o
su apoyo en la gesti´n administrativa al interior de la Universidad de Sonora du-
o
rante el desarrollo de este proyecto. A Eduardo Tellechea Armenta, Jacobo N´nez u˜
Ur´ Jos´ Luis D´ G´mez y Jos´ Ram´n Jim´nez Rodr´
ıas, e ıaz o e o e ıguez, profesores del De-
partamento de Matem´ticas de la Universidad de Sonora, nuestro reconocimiento
a
por sus comentarios y observaciones, y a Manuel Francisco Ocejo Monta˜o, por su
n
participaci´n en la captura del texto.
o
Los autores
Hermosillo, Sonora, M´xico
e
Diciembre del 2007
13. Cap´
ıtulo
1 Una historia breve del c´lculo
a
1.1 El siglo XVII: Newton y Leibniz
El C´lculo Diferencial e Integral ha sido reconocido como el instrumento m´s efectivo
a a
para la investigaci´n cient´
o ıfica que jam´s hayan producido las matem´ticas. Conce-
a a
bido para el estudio del cambio, el movimiento y la medici´n de ´reas y vol´menes,
o a u
el c´lculo es la invenci´n que caracteriza la revoluci´n cient´
a o o ıfica del siglo XVII.
Su creaci´n se debe al trabajo independiente de dos matem´ticos, el ingl´s Isaac
o a e
Newton (1642-1727) y el alem´n Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), quienes
a
publicaron sus investigaciones entre los a˜os de 1680 y 1690. Leibniz en 1684, en la
n
revista Acta Eruditorum, y Newton en 1687, en su gran obra Principia Mathematica
Philosophiae Naturalis.
Sir Isaac Newton Gotfried Whilhelm Leibniz
(1642–1727) (1646–1716)
El c´lculo se desarroll´ a partir de las t´cnicas infinitesimales utilizadas para
a o e
resolver dos tipos de problemas: el c´lculo de ´reas y vol´menes y el c´lculo de
a a u a
tangentes a curvas. Arqu´ ımedes de Siracusa (287 a.C.-212 a.C), desde tiempos an-
tiguos, hab´ realizado los avances m´s significativos sobre esos problemas, aplicando
ıa a
el m´todo exhaustivo o de agotamiento para la determinaci´n de ´reas y vol´menes
e o a u
14. 14 Una historia breve del c´lculo
a
y obteniendo importantes resultados sobre el c´lculo de tangentes para ciertas cur-
a
vas particulares. En la primera mitad del siglo XVII, se renov´ el inter´s por esos
o e
problemas cl´sicos y varios matem´ticos como Bonaventura Cavalieri (1598-1647),
a a
John Wallis (1616-1703), Pierre de Fermat (1601-1665), Gilles de Roberval (1602-
1675) e Isaac Barrow (1630-1677), lograron avances que prepararon el camino para
la obra de Leibniz y Newton.
A partir de la utilizaci´n del m´todo cartesiano1 para sintetizar los resultados y
o e
t´cnicas desarrollados previamente para el c´lculo de ´reas y tangentes de curvas,
e a a
Newton y Leibniz inventaron los m´todos y algoritmos que hacen del c´lculo una
e a
herramienta aplicable a clases generales de problemas. Sus contribuciones en la
creaci´n del c´lculo difieren en origen, desarrollo e influencia y merecen ser tratadas
o a
separadamente.
Newton, hijo de granjeros, naci´ en Lincolnshire, Inglaterra, en el d´ de Navidad
o ıa
de 1642 y lleg´ en 1669 a ocupar, en la Universidad de Cambridge, la C´tedra
o a
Lucasiana como profesor de matem´ticas. En sus primeras investigaciones introdujo
a
las series infinitas de potencias en una variable x para reformular resultados previos
de John Wallis y bajo la influencia de su profesor Isaac Barrow utiliz´ infinitesimales
o
para mostrar la relaci´n inversa entre el c´lculo de ´reas y el c´lculo de tangentes.
o a a a
Las operaciones de derivaci´n e integraci´n de funciones y su relaci´n rec´
o o o ıproca,
emergen como un proceso anal´ ıtico que puede ser aplicado al estudio general de las
curvas.
En la presentaci´n de sus ideas, Newton recurre a argumentos basados en el
o
movimiento y la din´mica de los cuerpos. As´ las variables son vistas como algo
a ı,
que cambia o fluye con el tiempo (fluente) y a su derivada o raz´n de cambio con
o
respecto al tiempo la llama su fluxi´n. El problema b´sico del c´lculo es, para
o a a
Newton, el estudio de las relaciones entre fluentes y sus fluxiones. En 1671, Newton
concluye su tratado sobre el m´todo de fluxiones que no es publicado sino hasta
e
1736, casi diez a˜os despu´s de su muerte, ocurrida en 1727.
n e
En su libro Principios Matem´ticos de la Filosof´ Natural, escrito en 1687, New-
a ıa
ton estudia la din´mica de las part´
a ıculas y establece las bases matem´ticas para el
a
c´lculo de razones de cambio mediante una teor´ geom´trica de los l´
a ıa e ımites. Uti-
lizando estos conceptos, desarrolla su teor´ de gravitaci´n y reformula las leyes de
ıa o
Kepler para el movimiento de los cuerpos celestes. En su libro, Newton expresa mag-
nitudes y razones de cambio en t´rminos de cantidades geom´tricas, tanto de tipo
e e
finito como infinitesimal, tratando deliberadamente de evitar el uso del lenguaje
algebraico. Esta reticencia de Newton a usar los m´todos algebraicos, limit´ su
e o
influencia en el campo de las matem´ticas e hizo necesario reformular sus contribu-
a
ciones en t´rminos del c´lculo de Leibniz.
e a
G. W. Leibniz fue el hijo de un profesor de filosof´ y naci´ en la ciudad de
ıa o
Leipzig, Alemania, en 1646. Ingres´ a la universidad a la edad de quince a˜os y
o n
1
Por Ren´ Descartes (1596-1650), quien invent´ la geometr´ anal´
e o ıa ıtica, independientemente de
Pierre de Fermat, y la di´ a conocer en 1637 en su obra La G´om´trie.
o e e
15. 1.2 El siglo XVIII: Euler y Lagrange 15
obtuvo el doctorado en filosof´ a la edad de 21 a˜os. El inter´s de Leibniz por las
ıa n e
matem´ticas naci´ en 1672 durante una visita a Par´ donde el matem´tico holand´s
a o ıs, a e
Christiaan Huygens (1629-1695) lo introdujo al estudio de la teor´ de curvas. Des-
ıa
pu´s de varios a˜os de estudio bajo la direcci´n de Huygens, Leibniz investig´ las
e n o o
relaciones entre la suma y la diferencia de sucesiones infinitas de n´meros y dedujo
u
varias f´rmulas famosas.
o
Leibniz se interes´ en las cuestiones de l´gica y de notaci´n para la investigaci´n
o o o o
formal, y su c´lculo infinitesimal es el ejemplo supremo, en todas las ciencias y las
a
matem´ticas, de un sistema de notaci´n y terminolog´ perfectamente adaptado a
a o ıa
su objeto de estudio. En el sentido anterior, Leibniz formaliz´, con su notaci´n,
o o
las propiedades y reglas fundamentales de los procesos de derivaci´n e integraci´n,
o o
haciendo de su aplicaci´n a los m´s variados problemas, un ejercicio de rutina que un
o a
estudiante puede aprender desde sus primeros a˜os. Su primera publicaci´n sobre el
n o
c´lculo diferencial apareci´ en 1684, en el Acta Eruditorum, bajo el t´
a o ıtulo Un nuevo
m´todo para m´ximos y m´
e a ınimos as´ como para el c´lculo de tangentes que incluyen
ı a
cantidades tanto fraccionales como irracionales y un notable tipo de c´lculo para a
todo esto. En este art´ ıculo, Leibniz introduce la diferencial dx y las reglas b´sicas
a
del c´lculo diferencial d(x + y) = dx + dy y d(xy) = xdy + ydx. Dos a˜os despu´s,
a n e
publica su segundo art´ ıculo Sobre una geometr´ oculta, donde introduce y explica
ıa
el significado del s´ ımbolo de integraci´n y aplica el poder del c´lculo para estudiar
o a
curvas trascendentes y deriva una f´rmula anal´
o ıtica para la cicloide.
El vigoroso empuje de Leibniz al estudio y desarrollo del nuevo c´lculo, el esp´
a ıritu
did´ctico de sus escritos y su habilidad para relacionarse con otros investigadores
a
contribuyeron a fortalecer su gran influencia en las matem´ticas. Mantuvo una es-
a
trecha colaboraci´n con otros estudiosos de su ´poca, incluyendo los hermanos Juan
o e
(1667-1748) y Jacobo Bernoulli (1654-1705), quienes se convirtieron en los prin-
cipales usuarios, investigadores y promotores del nuevo m´todo, Pierre Varignon
e
y Guillaume Fran¸ois Antoine de L’Hospital (1661-1704), este ultimo, autor del
c ´
primer libro de texto de c´lculo diferencial publicado, en 1696. En 1700, Leibniz
a
convence a Federico I de Prusia para crear la Academia de Ciencias de Branden-
burgo (despu´s Real Academia de Berl´ de la cual ser´ su presidente vitalicio. En
e ın) a
contraste, el aislamiento y la lentitud mostrada por Newton para difundir sus ideas
y descubrimientos redujo su presencia en las matem´ticas europeas de ese tiempo y
a
aunque un buen n´mero de matem´ticos ingleses continu´ desarrollando el c´lculo,
u a o a
su programa result´ inferior al desarrollado por Leibniz.
o
1.2 El siglo XVIII: Euler y Lagrange
El siglo XVIII es denominado “El siglo del An´lisis Matem´tico”. De 1700 a 1800 se
a a
di´ la consolidaci´n del c´lculo y sus aplicaciones a las ciencias naturales, particu-
o o a
larmente a la Mec´nica. Con ese desarrollo, vino la especializaci´n y el nacimiento
a o
de nuevas ramas de las matem´ticas, tales como: la Teor´ de Ecuaciones Dife-
a ıa
16. 16 Una historia breve del c´lculo
a
renciales, ordinarias y parciales, el C´lculo de Variaciones, la Teor´ de Series y
a ıa
la Geometr´ Diferencial. Las aplicaciones del an´lisis incluyen ahora la Teor´ de
ıa a ıa
Vibraciones, la Din´mica de Part´
a ıculas, la Teor´ de Cuerpos R´
ıa ıgidos, la Mec´nica
a
de Cuerpos El´sticos y Deformables y la Mec´nica de Fluidos. A partir de entonces,
a a
se distinguen las matem´ticas puras de las matem´ticas aplicadas.
a a
El desarrollo del an´lisis matem´tico en el siglo XVIII est´ documentado en los
a a a
trabajos presentados en las Academias de Par´ Berl´ San Petersburgo y otras, as´
ıs, ın, ı
como en los tratados expositorios publicados en forma independiente. Las figuras
dominantes de este periodo son el matem´tico suizo Leonhard Euler (1707-1783) y
a
el matem´tico italo-franc´s Joseph-Louis Lagrange (1736-1813).
a e
Leonhard Euler Joseph Louis Lagrange
(1707–1783) (1736-1813)
Euler naci´ en Basilea, Suiza, y complet´ se educaci´n universitaria a la edad
o o o
de quince a˜os. Es considerado el matem´tico m´s prol´
n a a ıfico de todos los tiempos,
sus obras abarcan casi setenta y cinco vol´menes y contienen contribuciones funda-
u
mentales a casi todas las ramas de las matem´ticas y sus aplicaciones. La carrera
a
profesional de Euler se desarroll´ en la Real Academia de San Petersburgo, Rusia
o
(1727-1741 y 1766-1783) y en la Academia de Berl´ (1741-1766).
ın
La obra de Euler en dos vol´menes intitulada Introducci´n al an´lisis infinitesi-
u o a
mal, publicada en 1748, da lugar al nacimiento del llamado An´lisis Matem´tico
a a
a ´
como rama de esta disciplina, an´loga al Algebra y la Geometr´ ıa. El An´lisis
a
Matem´tico es construido a partir del concepto fundamental de funci´n y de los
a o
procesos infinitos desarrollados para la representaci´n y estudio de las funciones.
o
En esa gran obra, por primera vez se presenta el estudio sistem´tico de las fun-
a
ciones exponenciales y de las funciones trigonom´tricas como funciones num´ricas,
e e
as´ como el estudio de las funciones transcendentes elementales mediante sus desa-
ı
rrollos en series infinitas. A esa primera obra de Euler, siguieron dos obras m´s, en
a
1755 y 1768, sobre el c´lculo diferencial e integral, respectivamente, que constituyen
a
la fuente original de los actuales libros y textos sobre el c´lculo y las ecuaciones
a
diferenciales.
El enfoque anal´ ıtico de Euler recibi´ un gran impulso de la otra gran figura del
o
siglo XVIII, el matem´tico Joseph Louis Lagrange, quien a la muerte de Euler, en
a
17. 1.3 El siglo XIX: Cauchy, Riemann y Weierstrass 17
1783, lo reemplaz´ como el matem´tico l´
o a ıder de Europa. Aplicando m´todos pura-
e
mente anal´ ıticos, Lagrange extendi´ y perfeccion´ el C´lculo de Variaciones y a par-
o o a
tir de sus aplicaciones a la mec´nica, sent´ los fundamentos de la llamada Mec´nica
a o a
Anal´ ıtica. En 1788 se public´ su famoso tratado Mec´nica Anal´
o a ıtica en donde, apli-
cando las ideas del c´lculo de variaciones, presenta los fundamentos anal´
a ıticos de la
mec´nica. En el prefacio de su tratado, Lagrange declara que en su exposici´n s´lo
a o o
recurre a argumentos anal´ ıticos, sin dibujos, figuras o razonamientos mec´nicos. Es
a
decir, Lagrange hace de la mec´nica una rama del an´lisis matem´tico.
a a a
Para fines del siglo XVIII hab´ preocupaci´n en Europa por los fundamentos
ıa o
del c´lculo y del an´lisis. Los argumentos basados en la teor´ de fluxiones de
a a ıa
Newton y en la idea de infinitamente peque˜o mostraban serias inconsistencias que
n
fueron puntualmente se˜aladas por el obispo anglicano irland´s George Berkeley
n e
(1685-1753) en 1734. Afrontando la situaci´n anterior, Lagrange public´ en 1797
o o
su obra Teor´ de funciones anal´
ıa ıticas en la cual pretende presentar un desarrollo
completo del c´lculo de funciones sin recurrir a los conceptos de l´
a ımite o de cantidad
infinitesimal. El enfoque de Lagrange se basa en considerar que las funciones son
representables como series de potencias, cuyos coeficientes definen las derivadas de
los distintos ´rdenes. En este tratado, Lagrange sienta las bases para la aproxi-
o
maci´n de funciones por polinomios y da la forma del residuo denominada Residuo
o
de Lagrange.
1.3 El siglo XIX: Cauchy, Riemann y Weierstrass
Al finalizar el siglo XVIII, los matem´ticos hab´ ya detectado distintas limitacio-
a ıan
nes e incongruencias en las bases sobre las que se hab´ desarrollado hasta entonces el
ıa
c´lculo diferencial e integral. Los trabajos de Jean D’Alembert (1717-1783) sobre la
a
cuerda vibrante y de Joseph Fourier (1768-1830) sobre la Teor´ Anal´
ıa ıtica del Calor,
de 1807, remit´ a la necesidad de considerar clases m´s amplias de funciones que
ıan a
las meramente representables como series de potencias a la manera de Lagrange. En
ese momento, emerge la necesidad de aclarar las propiedades de continuidad y de
integrabilidad de las funciones, as´ como las condiciones de convergencia para series
ı
de funciones.
El concepto de continuidad de una funci´n aparece expl´
o ıcitamente definido, por
primera vez, en el trabajo del matem´tico checo Bernhard Bolzano (1781-1848), pero
a
es el matem´tico franc´s Augustin Louis Cauchy (1789-1857) quien desarrolla en su
a e
generalidad la teor´ de funciones continuas y formula los conceptos y procesos fun-
ıa
damentales del c´lculo para ese tipo de funciones en los t´rminos en que actualmente
a e
se presentan. En sus tres grandes obras Curso de An´lisis (1821), Resumen de Lec-
a
ciones sobre el C´lculo Infinitesimal (1822) y Lecciones sobre el C´lculo Diferencial
a a
(1829), Cauchy hace una exposici´n rigurosa del c´lculo bas´ndose en el concepto
o a a
fundamental de l´ ımite de una funci´n. En particular, define la derivada de una
o
funci´n como el l´
o ımite de cocientes de los incrementos de las variables y demuestra
18. 18 Una historia breve del c´lculo
a
sus distintas propiedades; presenta el teorema del valor medio y sus aplicaciones a
la aproximaci´n de funciones por polinomios; establece rigurosamente los criterios
o
para la existencia de m´ximos y m´
a ınimos de funciones; define la integral definida
de una funci´n continua en un intervalo mediante el l´
o ımite de sumas asociadas a
particiones de ese intervalo; y formula, con todo rigor, el llamado teorema funda-
mental del c´lculo, estableciendo la relaci´n inversa que existe entre los procesos de
a o
derivaci´n e integraci´n de funciones.
o o
El siguiente avance en la evoluci´n hist´rica del c´lculo, se debe a Bernhard F.
o o a
Riemann (1826-1866), quien introdujo las funciones esencialmente discontinuas en el
desarrollo del c´lculo, extendiendo el proceso de integraci´n a este tipo de funciones,
a o
con importantes consecuencias sobre los conceptos primarios de longitud, ´rea y vol-
a
umen de conjuntos. A pesar de los grandes esfuerzos por dotar al an´lisis matem´tico
a a
Augustin Louis Cauchy Bernhard Riemann Karl Weierstrass
(1789–1857) (1826–1866) (1815-1897)
de bases s´lidas, a mediados del siglo XIX varias suposiciones sobre la estructura de
o
los n´meros reales utilizadas en la prueba de las propiedades importantes de las fun-
u
ciones continuas, y otras suposiciones, como por ejemplo la existencia de derivada en
casi todos los puntos para toda funci´n continua, son se˜aladas cr´
o n ıticamente y des-
mentidas por contundentes contraejemplos dados por matem´ticos como el mismo
a
Bolzano y el alem´n Karl Weierstrass (1815-1897) quienes, por ejemplo, logran ex-
a
hibir funciones continuas que no poseen derivada en punto alguno. Ese tipo de
situaciones, obliga a los matem´ticos al estudio y construcci´n del sistema de los
a o
n´meros reales a partir del sistema de los n´meros naturales. El a˜o de 1872 registra
u u n
la publicaci´n, casi simult´nea, de construcciones de los n´meros reales debidas a
o a u
Georg Cantor (1845-1918), Richard Dedekind (1831-1916) y Edward Heine (1821-
1881), basadas en los conceptos de l´ ımite y sucesiones, previamente desarrollados.
La construcci´n de los n´meros reales es el paso decisivo hacia la aritmetizaci´n
o u o
del an´lisis matem´tico, que permite al mismo Karl Weierstrass dar la definici´n de
a a o
l´
ımite en t´rminos de las meras estructuras algebraicas y de orden de los n´meros
e u
reales, y con ello los conceptos y procesos propios del c´lculo quedan debidamente
a
justificados y adquieren la presentaci´n definitiva con que hoy son expuestos en los
o
19. 1.4 El siglo XX: Lebesgue y Robinson 19
libros de texto y dem´s trabajos matem´ticos.
a a
1.4 El siglo XX: Lebesgue y Robinson
Finalmente, es necesario decir que el siglo XX registra dos nuevos avances en el
desarrollo del an´lisis: la integral de Lebesgue, debida al franc´s Henri Lebesgue
a e
(1875-1941), y el An´lisis no-Est´ndar, debido b´sicamente a Abraham Robinson
a a a
(1918-1974).
El concepto de integral desarrollado por Cauchy se aplica a funciones continuas,
pero aunque ´ste fue generalizado despu´s, por Riemann, a funciones con cierto tipo
e e
de discontinuidades, el espacio de las funciones integrables no es cerrado bajo los
procesos de convergencia y de l´ ımite de sucesiones de funciones, lo que restringe su
aplicablidad a otras ramas de la matem´tica.a
Basado en trabajos del italiano Giuseppe Peano (1858-1932) y del franc´s Camille
e
Jordan (1838-1922), Henri Lebesgue logr´ dar, en 1920, una definici´n de conjunto
o o
medible y de medida que generalizan, en la recta, las nociones de intervalo y de
longitud de un intervalo, respectivamente. Con base en estos nuevos conceptos,
Lebesgue introdujo una nueva clase de funciones llamadas funciones medibles, para
las cuales adquiere sentido una nueva definici´n de integral, definida como el l´
o ımite
de integrales de funciones que toman valores constantes en conjuntos medibles. En
este sentido, la integral de Lebesgue es una generalizaci´n de la integral de Riemann,
o
que se obtiene como el l´ ımite de integrales de funciones que toman valores constantes
sobre intervalos.
Henri Lebesgue Abraham Robinson
(1875–1941) (1918–1974)
La clase de las funciones integrables en el sentido de Lebesgue tiene propieda-
des inmejorables para los prop´sitos del an´lisis matem´tico en tanto que l´
o a a ımites
de sucesiones y series convergentes de funciones de este tipo resultan ser tambi´n
e
funciones integrables. La nueva teor´ de la medida e integraci´n sienta las bases
ıa o
20. 20 Una historia breve del c´lculo
a
para el desarrollo de la Teor´ Matem´tica de la Probabilidad y la Estad´
ıa a ıstica, que
tanta importancia tienen en la ciencia actual.
El otro desarrollo importante del an´lisis del siglo XX fu´ presentado en 1960 por
a e
Abraham Robinson, seguido de su libro An´lisis no Est´ndar, en el que se retoma
a a
el problema de la aritmetizaci´n del an´lisis a partir del concepto de n´mero y de
o a u
magnitud infinitamente peque˜a. A partir de construcciones basadas en la teor´
n ıa
de conjuntos, Robinson introdujo el concepto de n´mero hiperreal con lo que logra
u
dar un significado preciso a los “infinitamente peque˜os” que Euler usaba en sus
n
argumentos y demostraciones. Con ello, los procesos de l´ ımite y de convergencia del
an´lisis son sustituidos por operaciones y procedimientos meramente algebraicos en
a
la clase de los n´meros hiperreales.
u
Aunque la nueva formulaci´n de Robinson da lugar a un c´lculo m´s simple, la
o a a
construcci´n de los n´meros hiperreales es muy elaborada y los libros en los que se
o u
expone el c´lculo no est´ndar no han logrado tener ´xito en los niveles matem´ticos
a a e a
medio y b´sico.
a
21. Cap´
ıtulo
2 Los n´meros reales
u
El sistema de los n´meros reales es la estructura algebraica adecuada al prop´sito
u o
del c´lculo diferencial e integral. Son precisamente los atributos y las relaciones
a
expresables en t´rminos de este tipo de n´meros, los objetos de estudio de esa rama
e u
de las matem´ticas. Las propiedades especiales del sistema de los n´meros reales
a u
permiten definir los conceptos fundamentales para la descripci´n y estudio del cambio
o
y el movimiento.
La presentaci´n que aqu´ se hace del sistema de los n´meros reales, se basa en el
o ı u
concepto de expansi´n decimal, utilizado en la vida diaria para representar y operar
o
con n´meros y magnitudes. As´ cada n´mero real se identifica con una sucesi´n
u ı, u o
infinita de d´ ıgitos separados por un punto decimal y el conjunto de tales objetos
resulta ser una extensi´n del conjunto de los n´meros racionales, los cuales quedan
o u
identificados con las llamadas expansiones peri´dicas. Las operaciones de suma y
o
multiplicaci´n, y la relaci´n de orden entre los n´meros racionales se extienden de
o o u
manera natural, preservando sus propiedades algebraicas y de orden, al conjunto de
los n´meros reales.
u
La propiedad que distingue al sistema de los n´meros reales del sistema de los
u
n´meros racionales es la propiedad de continuidad o completez. Esta propiedad,
u
de car´cter geom´trico o topol´gico, es la que permite dar un sentido preciso a los
a e o
conceptos fundamentales de l´ ımite y continuidad, sobre los cuales se desarrolla el
c´lculo diferencial e integral.
a
2.1 Expansiones decimales
Desde la escuela primaria, hemos aprendido a representar y a manejar las medidas
y las cantidades mediante n´meros expresados en el sistema decimal, es decir, me-
u
diante la utilizaci´n de sucesiones de los d´
o ıgitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 que forman lo
que llamamos la expansi´n decimal del n´mero de que se trate.
o u
Las expansiones decimales a cuyo uso nos acostumbramos en los primeros niveles
de educaci´n, s´lo constan de un n´mero finito de d´
o o u ıgitos separados por un punto
22. 22 Los n´meros reales
u
decimal. Por ejemplo, la expansi´n
o
A = 123.7584
representa al n´mero
u
A = 1 · 102 + 2 · 101 + 3 · 100 + 7 · 10−1 + 5 · 10−2 + 8 · 10−3 + 4 · 10−4 .
Para ese tipo de expansiones, se desarrollan algoritmos para realizar las opera-
ciones b´sicas de la aritm´tica y posteriormente, ya en la escuela secundaria, se
a e
incluyen expansiones negativas, sobre las cuales se extienden las operaciones arit-
m´ticas vali´ndose de la regla de los signos
e e
(−A) · (−B) = +(A · B)
(−A) · (+B) = −(A · B),
para cada par de expansiones decimales A, B.
Otro tipo de expansiones que tambi´n nos son familiares, son las que aparecen
e
al construir la representaci´n decimal de los n´meros racionales m/n, donde m y n
o u
son enteros, con n = 0, y que resultan ser expansiones infinitas y peri´dicas, pues
o
tienen la propiedad de presentar un bloque de d´ ıgitos que se repite indefinidamente
a la derecha a partir de un cierto lugar de la expansi´n. Por ejemplo,
o
1
= 0.3333 · · · 33 · · ·
3
o
29
= 4.142857142857 · · · 142857 · · ·
7
Ejemplo 2.1 Para ilustrar c´mo se genera la expansi´n decimal peri´dica de un
o o o
n´mero racional, construyamos paso a paso, como ejemplo, la expansi´n decimal del
u o
n´mero racional
u
4
D=
7
aplicando el algoritmo de la divisi´n que aprendimos en la escuela primaria. Al
o
realizar esa operaci´n, vamos obteniendo en cada etapa un d´
o ıgito del cociente y un
residuo r mayor o igual a cero y menor que el divisor 7, de tal manera que al efectuar
a lo m´s 7 veces el procedimiento de divisi´n, forzosamente tendr´ que repetirse,
a o a
por primera vez, alguno de los residuos obtenidos en las etapas anteriores, con la
consiguiente repetici´n de los d´
o ıgitos correspondientes en la expansi´n decimal del
o
cociente que se est´ construyendo. As´ en el caso de 4/7, al aplicar el algoritmo
a ı,
de la divisi´n, tal como se muestra en la figura, se obtienen, en el primer paso, 0
o
unidades en el cociente y residuo 4; en el segundo paso se obtienen 5 d´cimos en
e
el cociente y residuo 5; en el tercer paso se obtienen 7 cent´simos en el cociente y
e
residuo 1, y as´ sucesivamente, hasta llegar al s´ptimo paso, en el que se obtienen
ı, e
8 millon´simos en el cociente y residuo 4, tal como lo tuvimos en el primer paso.
e
23. 2.1 Expansiones decimales 23
Luego, a partir del octavo paso, se repite la sucesi´n de residuos, dando lugar a una
o
repetici´n del bloque de d´
o ıgitos 571428, obteni´ndose as´ la expansi´n decimal que
e ı o
representa al n´mero 4/7:
u
4
= 0.571428571428 · · · 571428 · · ·
7
Bloque que se repite
0.571428571428 · · ·
7 4
Primer residuo 40
50
10
30
20
60
Se repite 40
..
. ⊳
En este punto, lo notable no s´lo es que la expansi´n decimal de todo n´mero racional
o o u
sea una expansi´n peri´dica, sino que m´s a´n, cada expansi´n decimal peri´dica es
o o a u o o
la expansi´n decimal de alg´n n´mero racional, estableci´ndose as´ una equivalencia
o u u e ı
entre ambos conjuntos de objetos. Enseguida mostramos, con un ejemplo, c´mo seo
encuentra el n´mero racional que corresponde a una expansi´n peri´dica dada.
u o o
Ejemplo 2.2 Si queremos encontrar el n´mero racional que corresponde a la ex-
u
pansi´n decimal peri´dica
o o
D = −2.83434 · · · 3434 · · · ,
procedemos a multiplicarla por 10 y luego por 1000 y obtenemos las siguientes
expresiones, que tienen los mismos d´
ıgitos a la derecha del punto decimal
10 · D = −28.3434 · · · 34 · · ·
1000 · D = −2834.3434 · · · 34 · · ·
Al restar la primera expansi´n de la segunda, obtenemos
o
990 · D = −2806,
por lo que
2806 ⊳
D=− .
990
Notaci´n. Escribiremos las expansiones decimales peri´dicas en forma simplificada
o o
omitiendo los d´
ıgitos despu´s de la primera aparici´n del bloque de d´
e o ıgitos que se
repite y marcando con una l´ınea superior dicho bloque. Por ejemplo, la expresi´n
o
3.2345
24. 24 Los n´meros reales
u
representa la expansi´n decimal peri´dica
o o
3.234545 · · · 45 · · · ⊳
A los n´meros que no se pueden expresar como un cociente de n´meros enteros
u u
se les llama n´meros irracionales y por lo que mostramos anteriormente, sus expan-
u
siones decimales no pueden ser peri´dicas. El conjunto de los n´meros irracionales
o u
se denota por I. Un ejemplo de n´mero irracional es la ra´ cuadrada de 2. Esta
u ız
afirmaci´n se justifica en el ejemplo siguiente.
o
√
Ejemplo 2.3 Para probar que 2 no puede expresarse como cociente de dos n´- u
meros naturales, argumentaremos por contradicci´n, es decir, supondremos que es
o
cierto lo contrario, que existen n´meros primos relativos a, b (es decir, sin divisores
u
comunes) tales que
√ a
2= .
b
Elevando al cuadrado, tenemos que
a2
2= ,
b2
o, equivalentemente,
2b2 = a2 . (2.1)
Pero (2.1) implica que el n´mero a2 es un n´mero par, por lo que a debe ser un
u u
n´mero par (ya que el cuadrado de un n´mero par es un n´mero par y el cuadrado
u u u
de un n´mero impar es impar). Por lo tanto, a se puede escribir en la forma
u
a = 2c, (2.2)
para alg´n n´mero entero c. Sustituyendo ahora (2.2) en (2.1), tenemos
u u
2b2 = 4c2 ,
y, consecuentemente,
b2 = 2c2 ,
es decir, b2 es un n´mero par y por lo tanto b tiene que ser a su vez un n´mero par y,
u u
por consiguiente, tanto a como b son n´meros pares, lo cual es falso pues supusimos
u
desde el principio que a y b no ten´ divisores en com´n. Luego, la suposici´n es
√ ıan u o
falsa y por lo tanto 2 no es un n´mero racional.
u ⊳
Es relativamente sencillo generar n´meros irracionales, como se muestra en el ejem-
u
plo siguiente.
25. 2.2 El Sistema de los N´meros Reales
u 25
Ejemplo 2.4 La expansiones decimales
i−veces (i+1)−veces
A = 23.010010001 · · · 1 00 · · · 0 1 00 · · · 0 1 · · ·
i−veces (i+1)−veces
B = −2.454554555 · · · 4 55 · · · 5 4 55 · · · 5 4 · · ·
corresponden a n´meros irracionales.
u ⊳
Tomando en cuenta la discusi´n anterior, tenemos la definici´n siguiente.
o o
Definici´n 2.1 Una expansi´n decimal A, es una expresi´n de la forma
o o o
A = ±ak ak−1 · · · a1 a0 .b1 b2 · · · br−1 br · · ·
donde ak , ak−1 , . . . , a0 y b1 , b2 , . . . , br−1 , br , · · · son algunos de los d´
ıgitos
{0, 1, 2, . . . , 8, 9}. Al punto despu´s del d´
e ıgito a0 se le llama punto decimal de
la expansi´n. Si la expansi´n decimal va precedida del signo + se dice que la ex-
o o
pansi´n decimal es positiva y si va precedida del signo - se le llama expansi´n
o o
decimal negativa.
Nota Importante:
Cada expansi´n decimal se extiende a la derecha del punto decimal, mientras que a
o
la izquierda del punto decimal s´lo consta de un n´mero finito de d´
o u ıgitos.
2.2 El Sistema de los N´ meros Reales
u
Se define el conjunto R de los n´meros reales como el conjunto de las expansiones
u
decimales, sobre el cual se establece el siguiente criterio de igualdad: Dos expansiones
decimales A y B son iguales (representan el mismo n´mero real) si se presenta alguna
u
de las dos situaciones siguientes:
1. A y B constan de los mismos d´
ıgitos y estos ocupan el mismo orden, o
2. A y B constan de los mismos d´ ıgitos hasta un cierto lugar r y enseguida la
expansi´n de uno de ellos contin´a en la forma
o u
±ak ak−1 · · · a0 .b0 b1 · · · br br+1 9
con br+1 = 9, mientras que la expansi´n del otro es de la forma
o
±ak ak−1 · · · a0 .b0 b1 · · · br (br+1 + 1)0
26. 26 Los n´meros reales
u
Ejemplo 2.5 Las expansiones 1.349 y 1.350 son, por definici´n, iguales y represen-
o
tan el mismo n´mero real.
u ⊳
Nota Importante:
En general, en la definici´n de las operaciones y propiedades de los n´meros reales
o u
siempre evitaremos escribir expansiones decimales con bloques repetidos de nueves.
2.2.1 Operaciones con los n´ meros reales
u
Las operaciones con los n´meros reales, son las usuales de suma y multiplicaci´n que
u o
empezamos a manejar desde la escuela primaria. De hecho, en la escuela secundaria
aprendemos los m´todos o algoritmos para sumar y multiplicar expansiones deci-
e
males finitas tanto positivas como negativas y sabemos c´mo construir la expansi´n
o o
decimal correspondiente a la suma o al producto, a partir de la suma y producto
de los d´
ıgitos y la posici´n que ´stos ocupan en las expansiones decimales que se
o e
pretende operar.
Antes de introducir las operaciones entre expansiones decimales infinitas, para
cada expansi´n A = ±ak ak−1 · · · a0 .b1 · · · br br+1 · · · definimos su expansi´n truncada
o o
de orden r, con r 0, como la expansi´n decimal peri´dica
o o
Ar = ±ak ak−1 · · · a0 .b1 · · · br 0
que consta de los mismos d´
ıgitos que la expansi´n de A hasta el lugar r despu´s del
o e
punto decimal, y todos los d´ıgitos siguientes a la derecha son cero. La expansi´n
o
truncada de orden r se puede escribir tambi´n en t´rminos de sumas de potencias
e e
del n´mero 10 en la forma usual
u
Ar = ±ak ak−1 · · · a0 .b1 · · · br 0
b1 b2 br
= ± ak 10k + ak−1 10k−1 + · · · + a1 10 + a0 + + 2 + ··· + r .
10 10 10
Nota Importante:
Un n´mero real est´ totalmente determinado si se conocen sus expansiones truncadas
u a
de cualquier orden y viceversa. Observe que la expansi´n decimal truncada de orden
o
cero es el n´mero entero a la izquierda del punto decimal de la expansi´n decimal
u o
inicial.
Para sumar dos expansiones decimales A = ±ak ak−1 · · · a0 .b1 · · · br br+1 · · · y
B = ±cj cj−1 · · · c0 .d1 · · · dr dr+1 · · · y formar la expansi´n decimal correspondiente a
o
la suma A + B, se procede como sigue: Para cada orden r = 0, 1, 2, · · · la expansi´n o
truncada de orden r de la suma A + B se define como la expansi´n truncada de o
orden r de la suma de las expansiones truncadas de orden r + 1 de A y B.
Por ejemplo, si queremos sumar las expansiones decimales A = 2.95 y B =
1.2020020002 · · · 200 · · · 02 · · · , la expansi´n suma A + B es aqu´lla que tiene por
o e
27. 2.2 El Sistema de los N´meros Reales
u 27
expansiones decimales truncadas de los distintos ´rdenes, las siguientes:
o
(A + B)0 = 4.0
(A + B)1 = 4.10
(A + B)2 = 4.160
(A + B)3 = 4.1650
(A + B)4 = 4.16590
.
.
.
que se forman sumando, de acuerdo a la definici´n, las expansiones truncadas corres-
o
pondientes de los n´meros iniciales.
u
An´logamente, para multiplicar las dos expansiones decimales A y B y formar
a
la expansi´n decimal correspondiente al producto A · B, se procede como sigue:
o
1. Se determina cu´ntos d´
a ıgitos a la izquierda del punto decimal tiene cada uno de
los factores. Digamos que A tiene m d´ ıgitos y B tiene n d´
ıgitos a la izquierda
del punto decimal.
2. Se multiplica la expansi´n truncada de orden n + 1 de A con la expansi´n
o o
truncada de orden m + 1 de B y la expansi´n truncada de orden cero del
o
producto de estas ser´ la expansi´n truncada de orden cero de la expansi´n
a o o
decimal de A · B,
3. Para determinar la expansi´n truncada de orden r > 0 de A · B, se multiplica
o
las expansi´n truncada de orden n + r + 1 de A por la expansi´n truncada de
o o
orden m + r + 1 de B y la expansi´n truncada de orden r de ese producto
o
de expansiones truncadas se toma como la expansi´n truncada de orden r del
o
producto A · B.
Ejemplo 2.6 Para multiplicar las expansiones decimales
A = 12.34,
B = −253.2020020002 · · · ,
las expansiones truncadas de A · B se determinan de acuerdo a la definici´n anterior,
o
en la forma siguiente:
(A · B)0 = −3125.0,
(A · B)1 = −3125.30,
(A · B)2 = −3125.380,
.
.
.
etc´tera.
e ⊳
28. 28 Los n´meros reales
u
A partir de las definiciones de suma y multiplicaci´n de los n´meros reales, dadas
o u
en t´rminos de sus expansiones, enlistamos sus propiedades principales.
e
Sean A, B, C n´meros reales y + : R × R → R, · : R × R → R las operaciones
u
de suma y multiplicaci´n. Entonces se cumple:
o
(S1) A + B = B + A (Conmutatividad de la suma)
(S2) A + (B + C) = (A + B) + C (Asociatividad de la suma)
(S3) 0 + A = A (Existencia de neutro bajo la suma)
(S4) A + (−A) = 0 (Existencia de inversos aditivos bajo la suma)
(M1) A · B = B · A (Conmutatividad de la multiplicaci´n)
o
(M2) A · (B · C) = (A · B) · C (Asociatividad de la multiplicaci´n)
o
(M3) 1 · A = A (Existencia de neutro bajo la multiplicaci´n)
o
(M4) Si A = 0 existe A−1 tal que A · A−1 = 1 (Existencia de inversos multiplicativos)
(M5) A · (B + C) = A · B + A · C (Distributividad de la multiplicaci´n
o
respecto a la suma)
Cuando un conjunto S posee dos operaciones (suma y multiplicaci´n) que tienen
o
las propiedades (S1)–(S4) y (M1)–(M5), arriba mencionadas, se dice que tiene es-
tructura algebraica de campo y as´ se habla del campo de los n´meros reales.
ı, u
2.2.2 El orden de los n´ meros reales
u
El conjunto de los n´meros reales se descompone en tres subconjuntos mutuamente
u
ajenos:
(i) los reales positivos, R+ , formados de las expansiones decimales positivas,
(ii) los reales negativos, R− , formado por las expansiones decimales negativas, y
(iii) el conjunto {0} formado por la expansi´n cero.
o
La descomposici´n anterior da lugar a la llamada ley de tricotom´ para el orden, que
o ıa
estipula que cada n´mero real A tiene una y s´lo una de las siguientes propiedades:
u o
o
´ A es positivo, ´ A es negativo, ´ A es el n´mero cero.
o o u
El conjunto R + de los reales positivos tiene la propiedad de que tanto la suma
como la multiplicaci´n de cualesquiera dos de sus elementos, es nuevamente un real
o
positivo.
