Senoides y fasores

C a p í t u l o
Senoides
y fasores
Aquel qLteno sabe v no sabe que no sabe es un idíota; evíÍaro. Aquel c¡uen.
sabe v-sabe que no sabe es un niño; edúcalo. Aquel que sabe 1,no .sabeque
sabe está dormido; despíértalo. Aquel que sabe ¡, sabe que sabe es urtsabío;
sísuelo.
-Proverbio persa
Mejoresushabilidadesy su carrera
*)W:&TWM&*%,&ffi*VY.qW ** l'e"*?,"*e.p**i*ar{pxr* i*{:t:ti{t..,,,,t...,!.
muf¿*ry r***fu*r gar*{*l*rsxs;** lxg*ní*ri*/, ,
La "capacidadpara funcionar en equipos multidisciprinarios"es inherente-
mente crítica para el ingenieroen activo.Es raro, si es que algunavez ocu-
tre, que los ingenierostrabajensolos.Siempreformaránpartede un equipo.
Algo que me agradarecordara los estudianteses que no esnecesarioque les
simpaticentodoslos miembrosde un equipo:lo único necesarioes que sean
parleexitosade eseequipo.
Muy a menudotalesequiposincluyena individuosde una ampliararie-
dad de disciplinasde la ingenieríay a otros de disciplinasajenasa la in-se-
niería,como mercadotecniay finanzas.
Los estudiantespuedenadquirir y reforzarde manerafácil esacapacidad
trabajandoen gruposde estudioen todos suscursos.Evidentemente.trabajar
en gruposde estudioen cursosajenosa la ingenieía así como en cursosde
ingenieríaajenosa su disciplinatambiénIe daráa ustederperienciaen equi-
pos multidisciplinarios.
Fotografíatomadapor Charles
Alexander

370 Capítulo9 Senoidesyfasores
Pertileshistóricos
NikofaTesla1ts-se-te43)y GeorgeWestinghouse(1846-1914)conrri-
buyerona establecerla corrientealtemacomo el modo primario de la trans-
misión y distribuciónde electricidad.
Hoy es obvio que la generaciónde ca estáfirmementeestablecidacomo
la forma de energíaeléctricaque vuelve eficientey económicala extensadistri-
bución de estetipo de energía.Sin embargo,a fines del siglo xrx y principios
del xx, determinarqué era mejor, si la ca o la cd, se debatióacaloradamente
y tuvo muy decididospartidariosde amboslados.El lado a favor de la cd fue
encabezadopor ThomasEdison, quien se habíaganadoenormerespetopor
sus numerosascontribuciones.La generaciónde energíaeléctricacon el uso
de ca en realidadcomenzóa asentarsetraslas exitosascontribucionesde Tes-
la: sin embargo,el verdaderoéxito comercialde la ca procedió de George
Westinghousey el sobresalienteequipoque reunió,entrecuyosmiembrosse
contabaTesla.Además,hubo otrosdos nombresimportantes:C. F. Scotty B.
G. Lamme.
La contribuciónmás significativaa los primeroséxitosde la ca fue la pa-
tentelogradapor Teslaen 1888del motor polifásico de ca. El motor de in-
ducción y los sistemaspolifásicosde generacióny distribuciónsentenciaron
a muerteel uso de la cd como fuenteprimaria de energía.
9.1 lntroducción
Hastaahorael análisisseha limitado en su mayor partea circuitosde cd: los
circuitos excitadospor fuentesconstanteso invariablesen el tiempo. se ha
restringidola función de fuerza a fuentesde cd por simplicidad,razonespe-
dagógicasy, también,razoneshistóricas.Las fuentesde cd, históricamenre.
fueronel principal medio de suministrode energíaeléctricahastafinesdel si-
glo xtx; a finalesde esesiglo comenzóla batallade esacoriente contra la
corrientealterna.Ambas teníandefensoresentrelos ingenieroseléctricosde
la época.A causade que la ca es más eficientey económicapara la transmt-
sión a grandesdistancias.los sistemasde ca terminaronimponiéndose.por
ello, en correspondenciacon la secuenciahistóricade los acontecimientosse
ha consideradoprimero las fuentesde cd.
Ahora -qeinicia el análisisde circuitosen los que la tensióno la corrien-
te de fuentevaríacon el tiempo.En estecapítulonos interesaráen particular
la excitaciónsenoidalvariablecon respectoal tiempo, o simplementeexcita-
ción por una senoide.
Unasenoideesunaseñalquetienela formade lafunciónsenoo coseno.
una corrientesenoidalseconoceusualmentecamocorrientealterna (ca). Es-
ta corrientese invierte a intervaloi regularesy tiene valoresalternadamente
positivoy negativo.Los circuitosexcitadospor fuentesde corrienteo tensión
senoidalse llaman circu-itosde ca.
Las senoidesinteresanpor variasrazones.primero, la propia naturaleza
es característicamentesenoidal.Hay variaciónsenoidalen el movimiento de
un péndulo,la vibraciónde una cuerda,las olasen la superficiedel océanoy
la respuestanaturalde sistemassubamortiguadosde segundoorden,por men-
cionar sólo unos cuantosejemplos.Segundo,una señalsenoidales fácil de
generary transmitir.Es la forma de la tensióngeneradaen todo el mundo y
GeorgeWestinghouse.Fotografía
O Bettmann/Corbis

9.2 Senoides
suministradaa hogares,fábricas,laboratorios,etc. Es Ia forma dominantede
señalen las industriasde comunicacionesy energíaeléctrica.Tercero,por me-
dio del análisisde Fourier,cualquierseñalperiódicaprácticapuederepresen-
tarsecomo una sumade senoides.Las senoides,por lo tanto,desempeñanun
importantepapel en el análisisde señalesperiódicas.Por último, una senoi-
de esfácil de manejarde maneramatemática.La derivaday la integral de una
senoideson ellas mismas senoides.Por éstasy otras razones,la senoidees
una función extremadamenteimportanteen análisisde circuitos.
Una función forzada senoidal produce tanto una respuestanatural como
una respuestaen estadoestable,a semejanzade la función de escalónvista
en los capítulos7 y 8. La respuestanaturalseextinguecon el tiempo,de mo-
do que sólo la respuestaen estadoestablepermanece.Se dice que el circuito
operaen estadoestablesenoidalcuandola respuestanaturalseha vuelto des-
preciableen comparacióncon la respuestaen estadoestable.La respuestase-
noidal en estadoestablees la que más nos interesaráen estecapítulo.
Se inicia con una exposiciónbásica de senoidesy fasores.Despuésse
presentanlos conceptosde impedanciay admitancia.Las leyes de circuitos
básicas,de Kirchhoff y Ohm, ya presentadasen relacióncon los circuitosde
cd, seaplicarána circuitos de ca. Por último, seconsideranaplicacionesde cir-
cuitos de ca en desfasadoresv Duentes.
9.2 Senoides
Considerela tensiónsenoidal
u(t) : V- senot (e.1)
donde
V,n: la amplitud de la senoide
at : la.frecuencíaang,ularen radianes/s
at : el argumentode la senoide
La senoidesemuestraen la figura 9.1¿)como función de su argumento,y en
la figura 9.1á) como función de tiempo. Es evidenteque la senoideserepite
cadaZ segundos;así, Z se llamaperiodo de la senoide.En las gráficasde la
figura9.1 seobservaqueaT :2rr,
(e.2)
u(¡)
Y,
0
-u,,
Figura9.1
GráficadeV,,senr,.rl:a) comofuncióndeat, b) comofunciónde¡.
371
u(¡)
Y,,
(.)
Y,,

Capitulo9 Se'ordesyfasores
Pertileshistóricos
Heinrich Rudorf Herlz (1857-1894),físico experimenralalemán,demostró
quelasondaselectromagnéticasobedecenlasmismasleyesfundamentalesque
la luz. Su labor confirmó la celebradateoríay predicciónhechaen 1864por
JamesClerk Maxwell de que talesondasexistían.
Hertz nació en el senode una prósperafamilia en Hamburgo,Alemanra.
Asistió a la Universidadde Berlín, e hizo su doctoradobajo la conduccióndel
distinguidofísico Hermannvon Helmholtz.Fue profesoren Karlsruhe,donde
inició su indagaciónde las ondaselectromagnéticas.Generóy detectóexito-
samenteondaselectromagnéticas;fue el primero en demostrarque la luz es
energíaelectromagnética.En 1887señalópor primera vez el efectofotoeléc-
trico de los electronesen unaestructuramolecular.Aunque sólovivió 37 años,
su descubrimientode las ondaselectromagnéticaspavimentóel camino para
el usoprácticode talesondasen la radio,la televisióny otros sistemasde co-
municación.La unidadde frecuencia.el heltz. lleva su nombre.
El hechode que u(t) se repita cada T segundos
por 1 + Z en la ecuación(9.1).Así se obtiene
se demuestraremplazandof
u(t + T) : V,,senlo(t+ Z) :
(e.3)
: V,,,sen(aÍ+ 2n): V,,,senat: u(l)
En consecuencia.
| 2¡
7-senro[r* I

(t-)
'/
Cortesíade The Burndy Library'
Cambridge,Massachusetts.
Launidodde f sebautizó¿nhonor
alfísicoaleménHeinrichR.Hertz
(1857-1894)
u ( t + T ) : u ( t )
lo cual quiere decir que u tiene el mismo valor en
que u(0 esperiódictt. En general,
Unafunción periódicaes aquellaque sat¡sfac€f(t) : f(t * nI) paracual-
qu¡€rf y paracualquiern entero.
Como ya se mencionó,el perioclo I de la función periódicaes el tiempo de
un ciclo completo,o el número de segundospor ciclo. El recíprocode esta
cantidades el número de ciclos por segundo,conocido como.frecuencíací-
cLicaf de la senoide.Así,
(e.s)
(:e.4)
/ f Zque en /, y se dice
De las ecuaciones(9.2)y (9.5)
Mientras que ., está
"n
.u¿ion.l
sedesprendeclaramenteque
: 2trf (9.6)
por segundo(rad/s),.1'estáenhentz(Hz).

Considéreseahorauna expresiónrnásgeneralde la senoide.
u(.t): V,,sen(a;/* S)
donde(rot + @)es el argumentoy d es la.fase.Tantoel
fasepuedenestaren radianeso grados.
Examínenselasdos senoiclei
ut(t) : Vn senat y uzQ) : V^sen(a,tt-f
$¡ (e.8)
que aparecenen la figura 9.2.8r punto de parridade u2 en la figura g.2 0cu-
rre primero en er tiempo.por lo tanto, se ái.. qua u2se arleranta au, en ó
o que ur se utrasqde u2 en é Si é * 0, tambiénse dice que ur y u2 están
desfasadas.Si d : 0, sedice que ur y u2 estánen.fase; afcanzansusvalores
mínimos y máximos exactamenteal mismo tiempo. Se puedecompararuj y
u2 de estamancraporqueoperana ra mismafrecuencia:no es neccsarioque
tenganla misma amplitud.
Figura9.2
Dossenoidescondif'erentesfases.
una senoidepuedeexpresarseen forma de senoo de coseno.cuando se
comparandos senoides,es útil expresarambascomo senoo cosenocon am_
plitudes positivas.Esto se realiza usandolas siguientesidentidadestrigono-
métricas:
senA cosB -¡ cosA senB
cosA cosB -+ senA senB
I2 Senoides
(:9.7)
argumentocomola
(e.e)
sen(A -].
cos(A -F
B ) =
B ) :
Con estasidentidades,es fácil demostrarque
sen(curl-r 180') : -sen¿¿/
cos(col-¡ 180"): -cos(d/
sen(ol +- 90') : +cos¿¿/
cos(c.r/-+ 90") : -r sen¿r.rf
(e.10)
Usandoestasrelacionessepuecletransformaruna senoidede la forma senoa
la forma cosenoo viceversa.
u2 = V,,sen(.at+ $)

+ coso,
Capítulo9Senoidesyfasores
Puedeemplearseun métodográficopara relacionaro compararsenoides
como opciónal uso de las identidadestrigonométricasde las ecuaciones(9.9)
y (9.10). considéreseel conjunto de ejesque se presenraen la figura 9.3a).
El eje horizontalrepresentala magnituddel coseno,mientrasque el eje ver-
tical (el cual apuntahaciaabajo)denotala magnituddel seno.Los ángulosse
miden positivamenteen sentidocontrarioal movimientode las manecillasdel
reloj desdeel eje horizontal,como suelehacerseen coordenadasoolares.Es-
ta técnicagráficapuedeutilizarsepara relacionardos senoides.por ejemplo,
en la figura 9.3a) seobservaque restar90oal argumentode cosa.¡1da sen@/,
o cos(crrl- 90'): seno/. De igual manera,sumar 180. al argumentode
seno/ da -Senrt,l1,o sen(rr-rf+ 180'): -Sen¿¿f,como se muestraen la fieu-
ra 9.3b¡.
Esta técnicagráficatambiénpuedeaplicarsepara sumardos senoidesde
la misma frecuenciacuandouna estáen la forma senoy la otra en la forma
coseno.ParasumarA cos¿¿¡/y Bsenot, se adviertequeA es la magnitudde
cos¿r.¡/mientrasque B es la magnitudde senorf,como se observaen la figura
9.4a).La magnitudy el argumentode la senoideresultanteen la forma cose-
no se obtienenfácilmentedel triáneulo.Así.
A cosat * B sen¿oi: Ccos(a.¡¡- g) (e.1r)
donde
+ sen @¡
+ cos(,1
+ seno¡
b)
Figura 9.3
Medio gráficopararelacionarcosenoy
seno:a) cos(arr* 90") : sen¿d/,
D)sen(a.rr+ 180"): -sen@/.
a )
C: /F-+ u2,
Por ejemplo,se puedesumar3 cos@/y
gura9.4b) y obtener
^ - r B
U : t a n ' -
^
sen0¡
b)
b) suma de 3 cos at y -4 sen at.
-4 sen¿¿/como se muestraen la fi-
(e.r2)
3 cos¿.¡/- 1 senat : 5 cos(a.¡r+ 53.1') (e.13)
En comparacióncon las identidadestrigonométricasde las ecuaciones
(9.9) y (9'10)' el método gráfico elimina la memorización.Sin embargo,no
se debeconfundir los ejesde senoy cosenocon los ejespara númeroscom-
plejos que se explicaránen la siguientesección.Algo más por señalaren las
figuras9.3 y 9.4 esqueaunquela tendencianaturalesqueel eje verticalapun-
te hacia arriba,la direcciónpositiva de la función senoes hacia abaio en el
presentecaso.
Figura9.4
¿¡)SumadeA cosat y B senat.
COS @¡

9.2 Senoides
Halle la amplitud,fase,periodo y frecuenciade la senoide
u(.t): 12cos(5or+ 10.)
5olución:
La amplitudesV,n: l2y.
La fasees@: 16".
La frecuenciaangularesrr,l: 50radls.
El periodo,, T : ?o 2¡
;: so
: o'1257s'
La frecuenciaes/:
|:
r.OSAUr.
Dadala senoide5 senl4zr -
lar.periodoy fiecuencia.
60'), calculesu amplitud,fase,frecuenciuansu_ Problema
práctica9.1de
Respuesta:5. 12.57rad/s.O.5s,2 Hz.
Calculeel ángulode faseentreur : -l0cos(ctrt + 50")y uz : 12 senlr¡ _
10"). Indique cuál de ambassenoidesestáadelantada.
Solución:
Se calculó la fase de tres maneras.Los dos prlmeros métodosse sirven deidentidadestrigonométricas,y el tercerodet entOquegráfico.
I MÉTODO f para compararut y uzse debeexpresaren la misma for_ma. Si se expresaen la forma .or.no-.on amplitudespositivas,
ur : -l0cos(<¿r+ 50'): l0cos(or+ 50" - lg0")
ur : lOcos(rr;/- 130') o ur : lOcos(r,_rr+ 230.) $.2.1
v
u2: 12sen(arr- 10) : 12cos(at- 10" _ 90.)
uz: 12cos(col- 100")
De las ecuaciones(9.2.1)y (9.2.2)puedededucirseque la diferencia.e faseentreu1 y u2 es de 30". puedeescribirseu, como
uz: 12cos(rrrr- 130.+ 30.) o uz: l2cos(.at+ 260.) (9.2.3)
La comparaciónde las ecuaciones(9.2.r) y (9.2.3)indica craramenteque u?se adelantaa u1 en 30o.
I MÉTODO 2 Alternativamente,se puedeexpresaful en Ia fbrma seno:
ur : -l0cos(<r.rr+ 50.) : l0sen(or + 50" * 90.)
: l0 sen(arr- 40) : 10sen(tur_ 10. _ 30.)
(e.2.2)

seno¡
Figura9.5
Paraelejemplo9.2.
Problema
de práctica9.2
CharlesProteusSteinmetz(18ó5-1923)
fueunmateméticoe ingenieroeléctr-
co alemén-austrioco
Enel apéndiceBsepresentaunbreve
tutorialsobrenúmeroscomplejos.
Capítulo9 Senoidesyfasores
Pero u" : r2sen(at - 10").La comparaciónde estasdos ecuacionesindica
que ul se atrasade u2 en 30". Esto es lo mismo que decir que u2 se adelan-
ta a u1 en 30'.
r MÉToDo 3 Se puedeconsiderara ur como simpremente-10 cosar/
con un desplazamientode fasede *50". Así, u¡ es como se muestraen la fi-
gura 9.5. De igual manera,u2 es 72senrr/ con un desplazamientode fasede
-10o, como se muestraen Ia figura 9.5. En estafigura se advierlefácilmen-
te que u2 se adelantaa ul en 30o,es decir90. - 50. - 10".
Halle el ángulode faseentre
it : -4 sen(3llt + 25")
se adelantao se atrasade 12?
i 2 : 5 c o s ( 3 7 7 t - 4 0 " )
Respuesta: 155', i r se adelantaa ü.
9.3 Fasores
Las senoidesse expresanfácilmenteen términosde fasores,con los que es
más cómodotrabajarque con las funcionessenov coseno.
un fasores un númerocomple.ioque representala amplitudy la fasede una
senolde.
Los fasoresbrindan un medio sencillo para analizarcircuitos linealesexcita_
dos por fuentessenoidales;las solucionesde talescircuitosseríanimpractica-
bles de otra manera.La noción de resolvercircuitosde ca usandofasoresla
propusooriginalmentecharles steinmetzen 1g93.pero antesde definir cabal-
mente los fasoresy aplicarlosal análisisde circuitos,hay que familiarizarse
por completocon los númeroscomplejos.
un número complejo : puedeescribirseen forma rectangularcomo
z : x + . ¡ (9.14a)
donde7 : l1; ¡ es la parte real de ¡ y.1,es la parte imaginaria de ¿. En
este contexto, las variablesx y -l¡no representanuna posición, como en el
análisisde vectoresbidimensionales,sino las partesreal e imaginariade ;
en el plano complejo. No obstante,cabe señalarque existen algunasseme-
janzas entre la manipulación de números comprejosy la de váctoresbidi-
mensionales.
El número complejo ¿ tambiénpuedeescribirseen forma polar o expo_
nencial.como
z : r / _ ó : r e j ' b (9.r4b)

Pertileshistóricos
charles Proteussteinmetz (r865-r923),maremáricoe ingenieroale-mán-austriaco'introdujo el método fasorial (tratadoen este cap"ítulo)en elanálisisde circuitos de ca. Tambiéndestacópor su labor en la teoría de lahistéresis.
Steinmetznació en Bresrau,Aremania,y perdió a su madre cuandotenía
un año de edad.En sujuventud se vio obligadoa salir de Aremaniaa causa
de susactividadespolíticasjusto cuandoestaLaa puntode terminarsu tesisdedoctoradoen matemáticasen la universidadde Bresrau.Emigró a Suizay des-puésa Estadosunidos, dondefue contratadopor GenerarElectricen rg93.Ese
mismo año publicó un estudioen el que po, p.rn'".o vez se usabannúmeros
complejospara analizarcircuitosde ca. Ésto condujo a uno de susprincipa-
les libros de texto, Theo!; and CalculationoJ'ac phenomena,publicadopor
McGraw-Hill en r897, En r90l se le nombrá presidentedel American rnsti-
tute of ElectricalEngineers,que más tardese conveftlríaen el IEEE.
donder es la magnitudde ; y { la fasede :. Se advierteentoncesgue : pue_
de representarsede tres maneras:
9.3 Fasores
(e.1s)
(9.16a)
(e.r6b)
(e.r7)
3 : ,r + .l,l Forma rectangular
rf! Formapolar
reta Formaexponencial
, : f 7 + t 2 , ó : r a n - r I
x
Por otra parte,si se conocer y S, se puedeobtenerx y y como
x : r c o s Q ,
Así, z puedeescribirsecomo
) : i ' s e n é
: : r + j . r : , / ! - : r ( c o s ó* j s e n ó ) Figura9.6
Representacióndeunnúmerocomplejo
? : , r + j y : r / _ 9 -
z =
La relación entrela forma rectangurary ra polar se muestraen la figura
9'6' dondeel eje r representala parteieal y el eJe.r ra parteimaginariade unnúmerocomplejo.Dadas¡ y ):, sepuedeobtenerr y ó como
Eje real
.J
,);
La sumay restade númeroscomplejoses mássencilla en ra forma rec-
tangular;la multiplicacióny división lo ton en forma polar.Dadoslos ntme_
ros complejos
¿ : , r r i l : , 1 ! . t r : r ¡ * j t , : r , / g 1
Zz: xz + j.,'-z: rz/óz
son lmportanteslas siguientesoperaciones.
Suma:
Zt * zz: (¡r * x2)+ ie1 + y2) (9.18a)

Capítulc9 Sencidesyfasores
Resta:
Zt - ?.2= (¡r - xz) +jjt _ yz)
Multiplicación:
Z 1 Z 2 : f 1 f 2
División:
1 : / ó , - ó ,
L 2 f 2 '
' '
(e.18b)
(9.18c)
(9.18d)
Inverso:
Raíz cuadrada:
ú: r; /st,Conjugado complejo:
z x : ¡ - j y = r / - ! : r r i a
Nóteseque con baseen el ecuación(9.lge),
I- : - '
¡
cos4t: Re(e/+)
sendt : Im(eiÓ)
Estassonlaspropiedadesbásicasdelosnúmeroscomplejosquesenecesitan.En el apéndiceB sepuedenhallarotrasp-pi"aua", ¿. io, n,i."ros compre-
JOS.
La ideade ra representaciónfasorialse basaen la identidadde Eurer.Engeneral,
:! ¡th
( ' : c o s @ * 7 s e n g )
lo que indica q-uesepuedeconsiderara cos@y sen@como las partesreal eimaginariade eió; se puedeescribir
l l / .- : - / - Ó
z , r ' ' (9.18e)
(9.18f)
(e.18e)
(e.18h)
(9.19)
donde Re e Im significan raparte rear de y 'a parte imaginaria de. Dad,auna
::il;d"
u(t) : v' cos(rol+ d), s" usala Lcuación (9.20a)paraexpresaru(/)
(9.20a)
(e.20b)
(e.21)
(e.22)
(e.23)
o sea
Por lo tanto,
u(t) : V- cos(<r.r/+ ó) : Re(V,,ei@t+ót',
u(¡) = Re(V,,s"iÓ.i-t¡
u(l) : Pe1Y".l-1
donde
V : V m e t Q : V ^ / !
(e.24)

9.3 Fasores
v es entoncesla representació,.fasoriarde ra senoideu(r), como ya se dijo.En otraspalabras,un fasor .r unu representacióncomplejade la magnitudyfasede una senoide.La ecuación(s.2oa)o (9.20b)pueoÉutitizarr" pu.u oe-sarrollarel faso¡ aunquela convenciónestándaresutilizar la ecuación(9.20a).
Una manerade examinarlas ecuaciones(9.23) y (9.2a) e, consid"ra,lagráfica del sinor Yei'' : V,,¿i(-t+ót en el plano complejo.Al aumentareltiempo. el sinor rota en un círculo de radio v^ u unuverocidadangurarcoensentidocontrarioa rasmanecillasdel reloj,
"oáo
r. advierte enrafrgura9.7a).
Se puede consideraru(/) corno ia proyeccióndel sinor Vrr-,
"n
Ji.¡e ,"at,como seadvierteen ra figurag.,b).Er valor del sinoren er tiempoi --'0 .,
"lfasor v de la senoitleu(r) El si'or puedejuzgarsecomo un fasor giratorio.
Así' cadavez que una senoide,.
"^p."ru
como faso.,el términoe.i,utestáim-plícitamentepresente.En consecuencia,al tratarcon fasoreses importantete-ner en cuentala frecuenciao der fasor; de ro contrario, se puede cometergraveserTores.
379
I Unfasorpuedeconsroerdrseca- . ,-
f equivalentemdtemétrcoo€ Lrndse-: _
f de sinladependencradeltre,npc
I
Siseusael senoparael fasorenvez
delcoseno,entoncesv(t) : V.sen
(at + g) : lm(Vmer@t*ó))y el fasor
correspondtenteesel mismoqueei
de laecuación(9.p4).
Seusancursivascomoz pararepre_
sentornúmeroscomplejos,peronegri-
tascomoV pararepresentarfosores,
porquelosfasoressoncontidadesse_
mejantesa losvectores.
Rotación a a rad./s
u
h l
Figura9.7
Representaciórtdeyeju":a) sinorquerotaensentidocontrariodelasmaneci-llasdelreloj,&)suproyeccióneneieje..ut,.uÁoiuncróndetiemoo.
La ecuación(9.23) estabreceque para obtenerla senoidecorrespondien-
te a un fasor V dado,se multiplica el ?asorpor el factor de tiempo er-, y setoma la partereal.como cantidadcompleja,un fasorpued.
"^pr"r*r"
en for_ma rectangular'forma polar o forma exponencial.Dado que un fasor poseemagnitudy fase("dirección"),t" .o-portu como un vectory serepresentaennegritas.Por ejemplo,tosfasoresv :'v.,/_Q.er : I*1_1!ó."pr.i"nion g.a_ficamenteen la figura 9.g. Esta ."pr"r.n?ñion gráfica de fasoresse conocecomo dictgramaJ'a.sorial.
Las ecuaciones(9.2r) a (9.23) revelanque para obtenerer fasor cones_pondientea una senoide,primero se expresala senoideen la forma de cose_no paraque seaposibreescribirracornola partereal de un númerocomplejo.Despuésse elimina el f'actorde tiempo ,t'i, y ro que restaes el fasor cones_pondientea la senoide-Al suprimir er factor de tiempo, se transformara se_
1o1og
ael dominio temporalar dominio fasorial.Estatransformaciónseresumedel siguientemodo:
u(t) : V,ncos(a.rl* @) +> V : V.-./ó
(Representaciónen rn.pr.."notí
"nel dominio temporal) ét ¿bminio faioi¡at)
u(, = Re(Veio¡)
(e.2s)

Eje imaginario
Eje real
Figura9.8
DiagramafasorialdeV : V^1g_"I: 1,,f
*0.
Dada una senoideu(r) : v,, cos(('.)/+ @),se obtieneer fasor correspon-
dientecomo Y : V,n
& f" ecuación(9.25)sedemuestraasimismoen la ta_
bla 9.1, donde seconsiderara función senoademásde la función coseno.En
la ecuación(9.25) se advierteque para obtenerla representaciónfasoriarde
una senoide,éstase expresaen la forma de cosenoy setoman la magnitudy
la fase.Dado un fasor,la representaciónen el dominio temporal se obtiene
como la función cosenocon la misma magnitudque el fasoi y el argumento
como .,r más la fasedel fasor.La idea de expresarinformaciónen domrnlos
altemoses fundamentalen todaslas áreasde la ingeniería.
TABTA9.1 Transformaciónsenoide_fasor.
Representaciónen el dominio
temporal
V,,,cos(al -t
Q)
V,,,sen(ot* S)
I,,,cos(.atI 0)
I,,,sen(.at* 0)
Representaciónen el dominio
fasorial
v^/g_
v- /ó
- 90.
h,&_
1,,/0
- 90"
obsérveseque en la ecuación(9.25)seha suprimidoel factorde frecuen-
cia (o de tiempo) et-' y quela frecuenciano se muestraexplícitamenteen la
representaciónen el dominio fasorial,porque., esconstante.Sin embargo,la
respuestadependede r¿.Por estarazón,el dominio fasorialtambiénse cono_
ce como dominiofrecuencial.
A partir de las ecuación(9.23) y (9.24), u(¡): Re(V¿i-,): V^ro,
(ot + ó), de maneraque
du
,1,
: -.V,,sen(col+ ó) : oV^cos(at+ ó + 90.)
: Re(.aV,net-rejÓeieo") : p.e(j@V ei-')
(e.26)

9.3 Fasor¿s
,uil:,
tnot.uquela derivadade u(t) serransformaal dominiofasorialcomo
<+ jay
(Dominio fasorial)
(e.27)
(Dominio temporal)
?irt:.*t
modo,la integralde u(r) serransformaal dominiofasorialcomo
(e.28)
Evalúeestosnúmeroscomplejos:
a¡ @o/29 + 2o/-30'¡t/z
b)
1 0 L : 0 . + G - j 4 )
__=_
(2+ j4)(3-.i5)*
Solución:
a) Al aplicarra transformaciónde coordenadasporaresa rectangulares,
401:0. = 40(cos50.*7 sen50.): 25.71+ i30.64
20L30" : 20[cos(-30)+¡sen(-30")l : 17.32_ j10
La sumada por resultado
du
dr
381
Laderivaciónde unasenorde ee- ,. z_
a multiplicarsufosorcorresponde_i¿
porja
!
lntesrorunasenojdeequrvdteo djvro,"
I
suldsorcorrespondrenteentrejLo
[ . . " . v
J U d r
< +
j ;
(Dominio temporal) (Dominio fasorial)
La ecuación(9.27) permiteel remplazodeuna derivadarespectoal tiem_po por la murtiplicaciónde jc,-ren el ion-,inio tasoriar,mientrasque la ecua_ción (9.28) permire el remplazo d. ;;;'j;;
división.í,.ijr." er dominio fasoriat.r_u::q*'respecto-al
riempopor la
útiresenradeterminación<rela,"1".,ó";:;il:':ffi li¡1^rl"X;i;1lf::re conocerlos valoresinicialesde rasvariablesimplicadas.Éstaes una de lasaplicacionesimportantesde los f.asores.
Ademásde la derivacióne integraciónrespectoaJtiempo.otro irteusoderosfasoresresicleenrasima¿. *noia., ¿. ru,nir,no'r.llllril. $Esto¡e ilustramejor con un elemplo,el 9.6.
Conviene,uU.uyu,tas ¿iferencia,.ntr""rf¡l y V,
f
1' u(t) es ra representaciónínstantcíneao en er crt¡minioÍenq)orar,mientras
, ;ü ff:#.'lll;'::ll*'un
de¡'ecuerlcioo'n't ao"rnio'.¡o,iir.
vidar estehecho.)
lempo! mientrasque v no' (Los estudia;t., *"t.n ol-
3' u(/) siemprees real y no tieneningún término comprejo,mientrasque ves generalmentecompleja
Finalmente,sedebeten
dorafrecuen;,;;:,'.J:l[i :i "r,l1.fiÍTTffi:T]#!:xrj ffJ::_ñalessenoidalessólo si sonde la mismafrecuencra.
Lasumade senoidesde lamrsmafre_
cuenciaequivaledsumarsuscorres_
pondientesfasores.
Ejempto9J
4A/5O. + 2A/_j" __4j.j + izsA : 4-t:12/zsss

382 Capítulo9SenoidesYfasores
Calculandola raíz cuadradade estaexpresión,
úof5o"+ 2of-30")t2: 6'9lft2.8t'
b) A1 aplicar la transformaciónpolar-rectangular,suma,multiplicación y di-
visión,
rf -30"+ (3- i4) 8 . 6 6 - j s + ( 3 - j 4 )
(2+ j4)(3- js)* (2+ i4)(3+ is)
rr.66-is_r4.13L!.66'
-14 + j22 26.08f122.41"
: o.s6s/
-160.13"
Problema
de práctica9.3
Ejemplo9.4
Problema
de práctica9,4
Evalúelos siguientesnúmeroscomplejos:
a) t(5 + j2)(-I + i4)
- 5f 60"1*
l 0 + t 5 + 3 / 4 0 "
U # r 1 0 / 3 0 .
- 3 + i 4
Transformeestassenoidesenfasores:
a) i:6cos(50r- 40")A
S:¡p : -4 sen(3Ot+ 50')V
Solución;
a) i : 6 cos(50r- 40') tieneel fasor
r : 6 f - 4 0 " A
b) Puestoque-sen A : cos(A+ 90"),
u : -4 sen(30t+ 50') : 4 cos(3Or*
: 4 cos(30r*
La formafasorialde u es
v :4/140'v
Expreseestassenoidescomofasores:
a) u : -'7 cos(2t+ 40")V
b) i: 4 sen(lOr+ 10')A
Respuesta:c) V : 7f220" V. b) I : 4/'80" A.
50'+ 90')
140")v
Respuesta:a) -15.5 -
i13.67,b) 8'293+ i2.2.

rl
il
I
t
9 3 Fasores
Halle las senoidesrepresentadaspor estosfasores:
c t ) I = - 3 + i 4 A
b)V: j8e-izo",
Solución:
a) | : -3 + j4 : 5/126.g7".Transfbrmandoal dominiodeltiempo
i(t) : scos(a.rt+ 126.81.)A
á) Puestoquej: I/90o,
/so" - 20.: B/70.v
La transformaciónde estoal dominio temporalda por resultado
u(/):3cos(a;/+ 70.)V
Respuesta:a) u(t): l0cos(ror+ 210.)v, b t(0: 13cos(rr;r*22.62")A.
Dadasi¡(r) : 4 cos(rr.r/+ 30.)A e i2Q):
Solución:
y su fasor es
I z : 5
Si se concedeque i : ít * i2, entonces
I : 11+ lz: 4/30" + 5/-U0"
= 3.464+ j2 _ t.jt _ j4.698: 1.754_ j2.698
= 3.2t8[56.97.A
Este^esun uso importantede los fasores:parala sumade senoidesde la mis_ma frecuencia.La corrientei¡(/) estáen la forma estándar.Su fasor es
r,: aE!
Se debeexpresari2(t) en la forma de coseno.La regla para convertirel senoen cosenoesrestar90.. Así.
i2 : 5 cos(a-rt* 20' - 90.) : 5 cos(a;r- ¡0..t
Halle lassenoidescorrespondient.,u
"rto,
fu"_"_.--
4) V: *10/30"v
b)r: j(s --l^ A

Problema
de práctica9.6
Problema
de préctica9.7
Peror¿: 2. asíque
Capítulo9SenoidesYfasores
Al transformarestoal dominio temporalse obtiene
i(t) : 3'218cos(col- 56'91")A
Desdeluego que sepuedehallar il + i2 mediantela ecuación(9'9), pero ése
es el métododifícil.
Siur : -l0sen(ot + 30")Y yur: 20cos(¿¿l- 45')V'halleu
Respuesta:u(r) : 10.66cos(rr;/- 30.95")V.
Aplicando el método fasorial,determinela corrientel(t) en un circuito des-
crito por la ecuaciónintegrodiferencial
4l+ 8 l, o,-¡4 : socos(2t* 75')
l d r
Solución¡
Se transformacadatérmino de la ecuacióndel dominio temporalal fasorial'
Teniendoen cuentalas ecuaciones(9.27) y (9.28), se obtienela forma faso-
rial de la ecuacióndadacomo
RI
4I +
-- - 3.ial-- 50/75"
.lu
r | 4 - i 4 - i 6 t : 5 0 f 1 5 "
50 /':'5"" " / - 50f] 5"
: 4.642/143.2"A
4 - j10 10j7f
-68.2"
Al convertirestoal dominio temporal,
i(t) : 4.612cos(2r* 143'2')A
Tengapresenteque éstaes sólo la soluciónde estadoestable,y que no sere-
ouiereconocerlos valoresiniciales.
Halle la tensiónu(r) en un circuito descritopor la ecuaciónintegrodiferencial
d u f
2: + 5u + l0 | u dt :20 cos(5r
d t J
aplicandoel métodofasorial.
Respuesta:u(f¡: 2.12cos(5r- 88")V.

9.4 Relacionesfasorialesde elementosde circuitos
9.4 Refacionesfasorialesde elementos
de circuitos
Ahora que ya se sabecómo representaruna tensióno una corrienteen el do-
minio fasorialo frecuencial,el lector sepodía preguntarlegítimamentecómo
aplicaresoa circuitosque implicana los elementospasivosR, L y C. Lo que
sedebehaceres transformarla relaciónde tensión-corrientecleldominiotem-
poral al dominio frecuencialen cada elemento.Hay que adoptar de nuevo la
convenciónpasivade los signos.
Iníciese por el resistor.si la corriente que circula por el resistor R es
i: I,ncos(.at+ ó),la tensióna travésde él estádadapor la lev de Ohm
como
385
I
+ i
V = I R
b)
Figura 9.9
Relacionesde tensión-corrientedeun re-
srstorenel: n) dominio temporal,b) do-
minio fiecuencial.
o R e
Figura9.10
Diagramafasorialparaelresistor.
I
l
i
u . : ; L
II
- l
^ l
_ . , d i
0) b)
Figura 9.1I
Relacionesde tensión-cor¡ientedeun in-
ductoren el: a) dominio temporal,D)do-
minio de frecuencia.
I
" l
+ i
l
:'
, ':,
I_ l
u = l R
d )
u : i R : R l ^ c o s ( a t * $ )
La forma fasorialde estatensiónes
V : RI,,/!
Pero la representaciónfasorialde la corrientees I : t^f!-. Lsi,
V : R I
lo que indica que la relacióntensión-corrientedel resistoren el dominio faso-
rial siguesiendola ley de ohm, como en el dominio temporal.La fi-eura9.9
ilustralas relacionesde tensión-corrientede un resistor.cabe señalar..ro..ro
a la ecuación(9.31)que tensióny corrienteestánen fase.como lo ilustrael
diagramafasorialde la figura 9.10.
En cuantoal inductorL. supóngaseque la corrienteque circula por él es
i : I^ cos(cr.rr+ S). Así, la tensióna travésdel inductor es
at
u : L ,^:
-oLI,n sen(¿rl+ d)al
(e.32)
Recuérdesede la ecuación(9.10)que -senA: cos(A+ 90").Se puedees_
cribir la tensióncomo
u : atLln,cos(c.r/+ ó + 90")
lo que al transformaren la forma fasorialda por resultado
Y : aLl,,ei(ó+e0') : aLl,,ejóejqo": aLI^/ó + g0"
Perol-ft: I, y con baseen la ecuación(9.19),e.¡eo"-j. por lo tanto,
Y : jaLl (e.3s)
1o cual indica que la tensión tiene una magnitud de aLI,, y una fase de
ó + 90'. La tensióny la corrienteestándesfasadas90o.Específicamente,la
coriente se atrasade la tensiónen 90o.En la figura9.1I semuestranlas re-
lacionestensión-corrientedel inductor.En la figura9.12 semuestrael diagra-
ma fasorial.
En cuantoal capacitorc, supóngaseque la tensióna travésde él es u :
V^cos(at + $:).La corrientea travésdel capacitores
(e.36)
(e.2e)
(e.30)
(e.31)
I
r-l.
, ,:rt
*__]
y = jaLl
(e.33)
(e.34)
du
i : C -
dt
,, Re
Figura9.12
Diagramaf'asorialparael inductor;I
seatrasadeV.
Aunqueesigualmenteconectodecr
quelatensióndel inductorseodela¡ie
a lacorrienteen90",loconv¿nciónes
indicarlafosede laconienteer,rea-
ciónconlade lotensión.
Al seguirlos mismospasosdadosen el casodel inductoro al aplicarla ecua-
ción (9.27) en la ecuación(9.36) se obtiene
I : j a f Y + V :
I
.iaC
(e.37)

fl
u ::i:::c
_ l^ t
, ^ d v
OT
a) b)
Figura 9.13
Relacionesde telrsión-corrien-
te del capacitorenel: a) do-
minio temporal,D)dominio
frecuencial.
0
Figura9.14
Diagramafasorialparaelcapacitor;I
seadelantaaV.
lo que indica que la corrientey la tensiónestándesfasadas90.. para sermás
específicos'la corrienteseadelantaa la tensiónen 90o.En la figura 9.r3 apa-
recenlas relacionestensión-corrientedel capacitor,y en la figula 9.14 el dia-
gramafasorial.En la tabra9.2 seresumenlas representacionesen el dominio
temporaly en el dominio fasorialde estoselementosde circuitos.
TABLA9.2Resumende relacionesde tensión_corr¡ente,
Elemento Dominio temporal Dominio de frecuencia
u : R i
di
u : [ , -
dt
. ^Llu
dt
v 12/15"I -
jaL j60 x 0.i
L2/45'
= 2/-45" A
6/90"
Al convertirestoal dominio tenrporal.
i ( t ' ; l: 2 c o s ( 6 0 r - 4 5 ) A
R
L
V : R I
Y :.jaLl
V :
I
j.C
Ejemplo9.8
Problema
La tensiónu : 12cos(60r+ 45') se apricaa un intluctorcle0.1 H. Halrela
conlenfe en estadoestableque circula por el inductor.
Solución:
En el casodel inducto¿Y : jotLl, donde¿,.¡: 60 rad/sy V : 12f 45.V. Así,
Si la tensiónu : 6 cos(100t- 30.) se aplica a un capacitorde 50 ¡.rp.al"u_
la corrienteque circula por el capacitor.
I = j a C Y
de práctica9.8
Respuesta:30cos(100r* 60.)mA.

9.5 lmpedanciay admitancia
9.5 lmpedanciay admitancia
En la secciónanteriorse obtuvieronlas relacionesde tensión-corrientede los
tres elementospasivoscomo
V : R I , y : i a L t , V : (e.38)
387
Fstasecuacionespuedenescribirseen términosde ra razón entre ra tensión
fasorialy la corrientefasorialcomo
I
jaC
V V I
= : iaL.
r " l j a C
vI
: R ,
z = !
I
o s e a Y : Z l
Z : R + . i X
De estastresexpresionesseobtienela ley de ohm en forma fasorialparacual_
quier tipo de elementocomo
(e.3e)
(e.40)
(e.4r)
dondez es una cantidaddependientede la frecuenciaconocida cornotmpe-
dancia, medidaen ohms.
Laimpedanciaz de un circuitoes ra razónentreratensiónfasoriary y raco-
rrientefasoriall, medideen ohms(O).
La impedanciarepresentara oposiciónque exhibeel circuito ar flujo de la co-
rriente senoidal.Aunque es ra reraciónentredos fasores,la impedanciano es
un fasor, porque no correspondea una cantidad que varíe ,"noidul,'rnr".
Las impedanciasde resistores,inductoresy capacitorespuedenobtener_
sefácilmentede la ecuación(9.39).En la tabla9.3 seresum.n
"ro,
impedan-
cias.De ella se desprendequeZ¡: jaL y Zr: _i/oC. Considérensedos
casosextremosde frecuenciaangular.Cuandoa : 0 (es decir, para el caso
rle fuentesde cd), Zr: 0 y Zc -->co,lo que confirmalo que ya se sabe:que
el inductor actúacomo cortocircuito,en tanto que el capacitoilo hacecomo
circuito abierto.Cuando@ _+ 6 (es decir,parael casode altasfrecuencias),
zr -+ * y zc: 0, lo que indica que el inductoresun circuito abiertoen al_
tas frecuencias,en tanto que el capacitores un cortocrrcuito.La fleura 9.15
ilustraesto.
como cantidadcompleja,ra impedanciapuedeexpresarseen forma rec-
tangularcomo
TAEIA 9.3
lmpedanciasy adm¡tancias
de elementospasivos.
Elemento Impedancia Admitancia
R Z : R Y
, 7: j<oL y
Y : iotC
¡ Cortirct¡.liitoen .d
J¡¡l':_ _
C:r¡ui¡cabieno
en ¿ka:tiecuencias
( ; l
--o
C Circuito abiertoen cd
;#.t.*ft;
altasfrecuencias
b)
Figura9.15
Circuitosequivalentesencdy altasfre_
cuencias:rz)inductor,b) capacitor.
: ]
R
_ 1
jrL
C z =
1
.iac
dondeR : Re Z es la resistenciay x : rm z es la reactancia.Lareactan-
cia X puede ser positiva o negativa.Se dice que la impedanciaes inductiva
cuandoX es positivay capacitivacuandoX es negativa.Así, se dice que ra
impedanciaz : R * 7x es inductivao de retardo,puestoque la corrientese
atrasade la tensión,mientrasque ra impedanctaz - R - jX es capacitir,ao
de adelanto,puestoque la corrientese adelantaa ra tensión.La impedancia.
la resistenciay la reactanciasemiden en ohms.La impedanciatambiénpue-
de expresarseen forma polar como
z : lzl/! (e.42)

Al compararlas ecuaciones(9.41)y (9.42)seinfiereque
z : R + j x : l z l &
G + i B -
I
" R +.jx
donde
4 : Q ' + X . , (e.44)
R : lZlcosd, X: lZlsen7 (e.4s)
A vecesresultaconvenientetrabajarcon el inversode la impedancia,co-
nocidocomoadmi¡ant'ia.
LaadmitanciaY esel inversode la impedancia,medidoen siemens(S).
La admitanciaY de un elemento(o circuito) es la razónentrela cor:rientefa-
sorial y la tensiónfasoriala travésde é1,o sea
(e.46)
Las admitanciasde resistores,inductoresy capacitorespuedenobtenersede
la ecuación(9.39).Tambiénseresumenen la tabla 9.3.
Como cantidadcompleja,sepuedeescribiry como
Y : G + j B (e.47)
dondeG: Re Y se llama conductanciay B : Im y se llama susceptancia.
La admitancia,Ia conductanciay la susceptanciase expresanen siemens(o
mhos).Con baseen las ecuaciones(9.41)v 0.4'D.
, X
d : t a n '
R
(e.43)
(e.48)
(e.4e)
Por racionalización,
I R _ j x R _ j x
c + i B" R + j X R - i X R 2 + X 2
La igualaciónde laspartesreale imaginariadacomoresultado
G : . R ; , B : - . X
R- + x. R. + xz
(9.50)
lo queindicaqre G * 1/R comoenloscircuitosresistivos.por supuesroque
s i X : 0 , e n t o n c e s G : l / R .
Y : f : I
z v

Halle u(t) e i(r) en el circuito que apareceen la figura 9.16.
Solución:
A partirde la fuentede tensiónl0cos4¡, a:1,
V . : l o / o ' v
La impedanciaes
Z : 5 - r
I
: : s - t r s c l
i . C
-
j 4 x 0 . 1
r r L ' J r L
Así. la corriente,
, * v" _ lop_ 1o(5+ j2.5)
' - Z - 5 - t ' ? - 5 : 5 ' : + 2 J
: 1.6+ j0.8: t.189f26.s1"A
La tensióna travésdelcapacitores
r 1.789/26.57.
: I Z ¡
jaC j4 x 0.1
_ t.78e/2st _
o'4fgo"
=1'47/
-63'43"Y
9.6 Lasleyesde Kirchhoffenel dominiofrecuencial
(e.e.1)
(9.e.21
Ejemplo9.9
u,= 10cos4¡
Figura9.1ó
Parael ejemplo9.9
Problema
de práctica9.9
--l* 4t¿
Al convertirI y V delasecuaciones(9.9.1)y (g.g.2)al dominioremporalse
obtiene
i(t¡ : 1.7tncos(4r+ 26.57")A
u(t): 4.47cos(4r- 63.43")V
Nótesequei(r) seadelantaa u(r)en90o,comoeradeesperar.
Refiérasea la figura9.17.Determineu(/) e i(l)
9.6 TLasleyesde Kirchhoffen el dominio
frecuencial
No se puedehacerun análisisde circuitos en el dominio frecuencialsin las
leyesde la corrientey de la tensiónde Kirchhoff. por lo tanto,se debenex-
presaren esedominio.
En lo tocantea la LTK, seanul, uz, ... ,u, lastensionesa lo largode un
lazo cerrado.Así,
u 1* u 2+ . ' . + u , : 0 ( 9 . 5 1 )
En el estadoestablesenoidal,cada tensiónpuede escribirseen la forma de
coseno,de modo que la ecuación(9.51) se conviefteen
V^t cos(rot+ Pr) + V*2cos(at -f gr)
+ "' + V^, cos(at+ 0n) : 0
Q52)
Figura9.17
Paraelproblemadepráctica9.9.
Respuesta:2.236sen(l}r+ 63.43")y l.1tg sen(lOr- 26.57A.

Esto puedeescribirsecomo
Re(v,,reio,ej') * Re(v,r2e.io2ei'ut)+ + Re(V,,neie"ei' : 0
Re[(V-1elo'* V,,2eie.+ ... + V*reie"¡s.i-'1: g
Si Vr : V^teier,entonces
Re[(Vr + V, + ... * Y,¡ei-t1 : g
Dado que ei'' + 0,
v r + v 2+ . . . +v , : 0
lo que indica que la ley de la tensiónde Kirchhoff es válida en el casode los
fasores.
Siguiendoun procedimientosimilar,se puededemostrarque la ley de la
corrientede Kirchhoff se cumple en el casode los fasores.Si i 1,12,... , i, es
ia corrienteque saleo entraa una superficiecerradaen una red en el tiempo
/. entonces
i t + i 2 + . . . + 1 , : 0 (e.s6)
l r + 1 2+ " . + I , : 0 (e.s7)
la cual es la ley de la corrientede Kirchhoff en el dominio de la frecuencia.
Una vez que seha demostradoque tanto la LTK como la LCK son válidas
en el dominio de la frecuencia,es fácil hacer muchascosas,como combina-
ción de impedancias,análisisnodal y de lazo, superposicióny transformación
de fuentes.
9.7 Combinacionesde impedancias
Considérenselas N impedanciasconectadasen serieque aparecenen la figu-
ra 9.18.A travésde ellas fluye la misma corrienteL La aplicaciónde la LTK
a 1olargo del lazo da
V : V r + V 2+ " ' * V ¡ , , : l ( Z t+ Z 2 + " ' + Z * )
f ^ z t z 1 z N
(e.s8)
Figura9.18
N impedanciasenserie.
La impedanciaequivalenteen las terminalesde entradaes
(e.s3)
(e.s4)
(e.ss)
t . r : + : Z t* Z z* . . . *Z N
Z.,t: Zt + Z2 + "' * Zu (e.se)

9.7 Combrnacionesdeimpedanoas
lo que indica que la impedanciatotal o equivalentede impedanciasconecta-
dasen seriees la sumade cadauna de ras impedanciasindividuales.Esto se
asemejaa la conexiónde resistenciasen serie.
Si N : 2, como semuestraen la figura g.lg,lacorriente que circula por
las impedanciases
z r + 2 2
Puestoque V1 : ZJ y y2: Z2l, entonces
v,:lfu;v,v,:;fr¿;v
la cual es la relaciónde ditísión de tensión.
De la misma manera,sepuedeobtenerla impedanciao admitanciaequi-
valentede las N impedanciasconectadasen parareloque se presentanen la
figura 9.20.La tensiónen cadaimpedanciaes la misma.Al aplicarla LCK al
nodosuperior.
r : 1 1* r : * . . . , fr N : v ( ! * ] * * ! )
2 , Z ^ Z , /
vI : (e.60)
I
z2
I
+ _
ZN
ir,
ZtZz
zN
Figura9.19
Divisióndetensión
(e.61)
(9.62)
(e.63)
(9.64)
(9.65) Figura9.21
Divisióndecorriente
z"o
Figura9.20
N impedanciasenparalelo.
La impedanciaequivalentees
I
- - T
zl
I I
z-.. v
y la admitanciaequivalentees
Y " q : Y l + Y 2 + . . . * Y ,
Esto indica que la admitanciaequivalentede una conexiónde admitanciasen
paraleloes la sumade las admitanciasindividuales.
CuandoN :2, como se muestraen la figura9.2l,la impedanciaequr_
valente se convierte en
z
l - I
! q
e e l ' r + Y . l / z t + l / z z z t + 2 2

Asimismo, puestoque
Y : lZ"r: ItZt : lzZz
las corrientesen las impedanciasson
Z, Z,
I : - 1 . l - : I'
z t + 2 2
-
z t + 2 2
(e.66)
que es el principio del divisor de coniente.
Las transformacionesdelta a estrellay estrellaa delta aplicadasa circui-
tos resistivostambiénson válidaspara las impedancias.En referenciaa la fi-
gwa 9.22, las fórmulasde conversiónson las siguientes.
Figura9.22
Redesly A sobrepuestas.
ConversiónY-L:.
(e.67)
Con,-ersiónL,-Y:
2,,:
z t :
Z , :
z t z 2 + z 2 z j + z j z l
z1
z t z 2 + z 2 z j + 2 1 2 1
z2
z t z z + 2 2 2 1+ z 1 z l
zj
z r :
z z :
z z :
Zt Z,
z o + z b + 2 ,
Z''Zo
z o + z b + 2 .
ZnZt
z o + z b + 2 ,
(e.68)

9.7 Combinacjon¿sdeimpedancras
se dice que unc¡rcuitodertao estreraestánequiribradossi tienenimpedan-
ciasigualesen sustresramas.
Cuando un circuito A-y está equilibrado,las ecuaciones(9.67) y (9.6g)convlertenen
Z ¡ : 3 Z y o Z v :
r ^
Halle la impedanciade entradaa.l .ir.uito a. lu figu* e::
circuito operaa r¿ : 50 rad/s.
dondeZy: Zt : Zz: Zz y Zd,: Zo : Zu: 7,.
como puedeverseen estasección,los principios de división de tensión,división de corriente,reducciónde circuito, impedanciaequivarentey rrans-formaciónf-A se aplicanpor igual u.irruitor'á;-.;.
""";i";"0n","
,o *mostraráque otrastécnicasde circuitos-como superposición,análisisnodar,análisisde malla, transformaciónde fuente,,"o.",nu de Théveniny teoremade Norton- tambiénse aplicanen circuitos de ca en forma similar a comoocurreen circuitosde cd.
393
(e.6e)
Supongaqueel
Solución:
Sean
Así,
: _710+
Porlo tanto,
l m F
Figura9.23
Parael ejemplo9.10.
0.2H
21 = Impedanciadel capacitorde 2 mF
22: Impedanciadel resistorde 3 O en seriecon el capacitorde l0 mF
23 : Impedanciadel iniructor de 0.2 H en seriecon el resistorde g c)
Z t : +
iaC /soxl x 10=
: -iloo
Z : : 3 * {
J , r c '
- , s o ; t o ; l o . : ( 3- i a
Zt : 8 + joL :8 +j50 x 0.2: (8 + jl0) O
La impedanciadeentradaes
Z"n: Zt + ZzllZ, : -jI} +
( 4 4 + j 1 4 ) ( 1 1 - j 8 )
1 1 2+ g 2
( 3 - j 2 ) ( 8 + j 1 0 )
il + j8
-jlo + 3.22- j1.070
Z,n,: 3.22- jll.07e

ü Oepráctica9.10
E
ü 2 m F 2 0 ! ¿ 2 H
- T - l
Z^^, L'
4 m F
__l
Figura9.24
Paraelproblemadepráctica9.10.
Ejemplo9.11
& r
---t----_l
,,^ I .lt*
20cos(.l¡- 1-5"1(, tOmF ,t 5 H .1.iu,
í " l i
Figura9.25
Paraelejemplo9.1I
Problema
6 0 o
Problema
de préctica9.11
0.5H
l0 cos(10¡+ 75o)
Figura9.27
Paraelproblernadepráctica9.I 1.
5 0 o
Cdprtulog S¿^oldesYrasores
Determine la impedanciade entradadel
10rad/s.
Respuesta:32.38-
i'73.16O.
de la figura 9.24 en
Determineu,,(/) en el circuito de la figura 9.25.
Solución:
Parahacerel análisisen el dominio de la frecuencia.primero se debetrans-
formar el circuito en el dominio temporal de la frgura 9.25 al equivalenteen
el dominio fasorial de la figura 9.26. Esta transformación produce
u , : 2 0 c o s ( 4 t - 1 5 ' ) = + v , : 2 0 f - 1 5 ' v ' a : 4
lomF =+ +-
I
.taL i4 X l0 x l0-3
= -j25 O
5 H + j o L : i 4 x 5 : j 2 0 o ,
Sean
Z1 : Impedanciadel resistorde 60 O
22 : Impedanciade la combinaciónen paralelo
del capacitorde l0 mF y el inductor de 5 H
Así,Z1: 60O y
_it5 x r20
z2: -j25ll72o:
ffi=
ilooo
Por el principio de división de tensión,
v": z-|Zv': ¿ffio .zof_t5.1
: (0.8s7sft.s6")Q0f
- rs"): r7.s/ 15'96'V
Se convierteestoal dominio temporaly se obtiene
u,,(t): 17.15cos(4r+ 15.96")V
Calculeu., en el circuito de la figura 9.27'
Respuesta:u"(t'):7.071 cos(lOt- 60') V
[-''"1_-1 .
20,/-ts"O -¡25a I rzoo
I
L _ l l -
Figura9.2ó
Equivalenteene1dominiodelafrecuen-
ciadelcircuitodela figura9.25.

9.7 Combinacionesde impedancias
Halle la corrienteI en el circuito d. ;figu* 92&
2 Q - j 4 0
Figura9.28
Paraelejemplo9.12.
Ejempfo9J P
a-
16o
8 O
Solución:
La reddeltaconectadaa rosnodosa, b y c puedeconvertirseenla redy deIa
Íiil",[3?;i:;li:Tl
rasimpedanciu'
"n'vconbase
"nru
".uu"ion(e.68)
7 . _ j 4 ( 2 - j 4 )
_ 4 4 + . ¡ 2 1on' *
¡4-+2- j4 + g : (1.6-rjo.SrO
, , , , , : t # : f i . 2 r l . t , , , = Y = r r . 6- 7 3 . r r o
La impedanciatotal en las teminales de fuenrees
z : 12+ zon+ (zt, _ j3)lle.,+ j6 + g)
: t2 + 1.6+ j0.8+ (j0.2)lle.6+ .i2.8)
: 13.6+ io.8+ io'2(9'6+ i2.8)
9.6+ j3
: 13.6+ jl : 13.64/4.204.A
La corrientedeseadaes
v 50/0"
[: =: ------ -
z n.64/!4!
C
*. ioa
I
i: so
Figura9.29
;,, ,;-_l'-l-- ---1.
-4.204. A
Circuito dela figura9.2gdespuésde la transformacióndeltaa estrella
:,{n

Problema
de práctica9,12
30/0" v
Figura9.30
Paraelproblemadepráctica9.12
Capítulo9 Senordesyfasores
Halle I en el circuito de la fisura 9.30
Respuesta:6.364f3.802"A,.
9.8 rAplicaciones
En los capítulos7 y 8 seanalizaronciertosusosde los circuitosRC,RL y RLC
en aplicacionesde cd. Estoscircuitostambiéntienenaplicacionesde ca; entre
ellasestánlos circuitosde acoplamiento,los circuitosdesfasadores,los filtros,
los circuitosresonantes,Ios circuitospuentede ca y los transformadores.Esta
lista de aplicacionesesinagotable.Despuésseveránalgunasde ellas.Por aho-
ra bastarácon observardos simples:los circuitosRC desfasadoresy los cir-
cuitospuentede ca.
9.8.1 Desfasadores
Un circuito desfasadorsueleemplearsepara corregirun corrimientode fase
indeseableya presenteen un circuito o para producir efectosespecialesde-
seados.Un circuitoRC es convenienteparaestepropósito.porquesu capaci-
tor provocaque la corrientedel circuito seadelantea la tensiónaplicada.Dos
circuitosRC de uso común aparecenen la figura 9.31. (CircuitosRL o cua-
lesquieracircuitosreactivostambiénpodríanservirparael mismo propósito.)
En la figura9.31a),la corrientedel circuitoI seadelantaa la tensiónapli-
cadaV¡ en algún ángulode fase0, donde0 < 0 < 90", dependiendode los
valoresde R y C. Si Xc : -|/aC, entoncesla impedanciatotal es Z: R +
jX¿, y el desplazamientode fase estádado por
I
+
Y,
b)
Figura9.31
CircuitosRCdesfasadoresenserie:a)de
salidaadelantada,b)desalidaatrasada.
, X .
0 : t a n ' - - - - :
R
(e.70)
Esto indica que el corrimientode fase dependede los valoresde R, C y la
frecuenciade utilización.Puestoque la tensiónde salidaV,, a travésdel re-
sistorestáen fasecon la corriente,Vo seadelanta(desplazamientode fasepo-
sitivo) a V¡ como se muestraen la figura 9.32a).
En la figura 9.31b),la salidase toma a travésdel capacitor.La coriente
I se adelantaa la tensiónde entradaV¡ en 0, pero la tensiónde salidau,,(r)a
travésdel capacitorse atrasa(desplazamientode fasenegativo)de la tensión
de entradaur(t) como se ilustra en la figura 9.32b).
a)
Figura9.32
DesplazamientodefaseencircuitosRC:a) salidaadelantada,b) salidaatrasada.
Desplazamientode fase

9.8 Aplicacrones
Se debe tener en cuentaque los circuitos RC simplesde la figura 9.31
también actúancomo divisoresde tensión.Por lo tanto, conforme el cori-
miento de fase 0 se aproxima a 90o, la tensión de salida V, se aproxima a
cero. Por estarazón,esoscircuitosRC simplessólo seutilizan cuandosere-
quierencorrimientosde fasereducidos.Si se deseatenerdesplazamientosde
fase mayoresde 60', se disponenredesRC simples en cascada,para producir
un desplazamientode fasetotal igual a la sumade los desplazamientosde fa-
se individuales. En la práctica, el corrimiento de fase debidosa las etapasno
esigual,porquela cargade las etapassucesivases menor que la de las etapas
anteriores,a menosque seusenamplificadoresoperacionalesparasepararlas
etapas.
Diseñeun circuito RC que produzcaun adelantode fasede 90'.
Solución:
Si se seleccionancomponentesde circuitosde igual valor en ohms,por decir
R :
lxcl : 20 O, a una frecuenciaparticular,de acuerdocon la ecuación
(9.70) el corrimiento de fase seráexactamentede 45'. Mediante la disposi-
ción en cascadade dos circuitos RC similaresa los de la figura 9.31¿),se
obtieneel circuito de la figura 9.33,el cual produceun desplazamientode fa-
se positivo o de adelantode 90', como se demostraráen seguida.Aplicando
la técnicade combinaciónen serie-enDaralelo.Z en la fisura 9.33 se obtie-
ne como
397
z : 2olt(20- j2ot:
2o::: -
!|ot : D - j4 tl'
40- .r20
Al aplicarla división de tensión,
Y , :
z
v - t 2 - j 4 r , : { ' / 1 5 . Y
z - i 2 0 ' ' 1 2- i 2 4 ' ' 3 t - - : - -' t
'": ^?irov':f /+s"v'
(9.r3.1)
(e.r3.2)
-j20a
(:)-.'-'.--..
+
Z
Figura 9.33
CircuitoRC de corrimientodefasecon
adelantode90";parael ejemplo9.13.
Problema
de práctica9.13
1 0 o 1 0 f ¿
o-,/.¡l
+
(e.13.3)
La sustituciónde la ecuación(9.13.2)en la ecuación(9.13.3)produce
/n /V1 |
v,,: (| /+s"ll#/qs' v,l:; /so'v, z - /
J
-
/ ) -
Así, la salidase adelantaa la entradaen 90o,aunquesu magnitudes de ape-
nas alrededorde 33Vode la entrada.
Diseñeun circuito RC queproporcioneun colrimiento de fasecon un retrasode
90" de la tensiónde salidarespectoa la tensióndeentrada.Si seaplicaunaten-
sióndeca de 10V efectivos,¿cuálesla tensiónde salida?
Respuesta: En la figura 9.34 se muestraun diseño representativo;3.33 V
efectivos.
Figura9.34
Paraelproblemadepráctica9.13

Ejemplo9,U
150Q 100o
o=-'r¿r!-Tr 1f,,,***f --,-o
romH:i -srnHI
a )
l 5 0 Q v t 0 0 Q
J
----l--
v i l ) s 7 0
7 Ó l 8 r g U
b l
Figura9.35
Paraelejemplo9.I4.
Problemá
de práctica9,1+
l0 mH
5 m H
de fasees de adelantoo de atraso.
Respuesta:0.172,120.4.,de arraso
X¿ : ttL : 2tr x2 X 103X 10 x l0-3
: 40tr : i25.1 O
X¿ : oL : 2¡r x 2 x 103x 5 x l0-3
: 20¡ : 62.33,f)
Enreferenciaal circuitoqueaparece
"n
tunguffi
to defaseproducidoa 2 kHz.-
' --ó"-
Solución:
A 2 kHz, se transformanras inductanciasde l0 mH y 5 mH en ras corres-pondientesimpedancias.
considéreseel circuito.de_lafigurag.35b).La impedancia z eslacombina-ciónenparalelodej125.7Cty*toO+.tOLSlil. eri.
z : jr2s.7ll(100+ j62.83)
_ jt25.7(100_r162.83)
loo il'18&5
: 6es6/6}'f A
Al aplicar la división de bnsión.
Z 69.s6/60.1"rt:21¡5s',:¡¿7fisJv,
(e.r4.2)
: 0.3582/42.02.y,
v
j62.832
""
:
loó + /6t^832
vt:0.532/57.86"v1
Al combinarlasecuaciones(9.14.2)y (9.1a.3).
v,, : (0.532/5j.86")(0.3582/42.02")
V¡ : 0. tg06/100.vi
lo que indica que la salidaes de alrededor de rg,c de la entradaen magnr-tud' pero seadelantaa la entradaen 1000.Si el circuito terminaen una carga,éstaafectaráal desplazamientode fase.
(9.14.1)
(e.r4.3)
Remítaseal circuito RZ de la ngu* O:0. S
y el conimiento de faseproducidoa -5kHz.
se aplica I y halle la magnitud
Especifiquesi el desplaza,ii"n,o
Figura9.3ó
Parael problemadepráctica9.I4 9.8.2 Puentesde ca
un circuito puentede ca se usapara medir la inductanciaz de un inductoro la capacitanciaC de un capacitor.Es de forma srmilaral puentede wheat-stone'para la medición de una resistenciadesconocida(como se explicó enla sección 4'10)' v sigue el mismo p.r*ipi.,"ru; ñ;;;é, .,it.,nou.-go' se necesitauna fuentede ca, asico,no un medidor de ca en vez del eal-

9 B Apllcaciones
vanómetro.El medidor de ca puedeserun amperímetroo voltímetrode pre-
cisiónde ca.
considéresela forma generaldel circuito puentede ca que sepresentaen
la figura 9.37.81 puente estáequilibrado cuandono fluye.onlente a través
del medidor.Esto significaque v1 : vz. Al aplicar el principio de división
de tensión,
399
Y
v,:
# zrv":v::
*2"" (9.7r¡
(9.72
Así,
Z 2 _ Z *
z 1 + 2 2 2 3 + 2 ,
Figura9.37
Puentedecageneral
Z.
,,:
^r, (9.73¡
Esta es la ecuaciónpara un puentede ca equilibrado,similar a la ecuación
(4.30) para el puentede resistencia,salvoque las R se sustituya con lasz.
En la figura 9.38 se muestranpuentesde ca específicospara medir L y
C, dondeL, y C, son la inductanciay la capacitanciadescontcidaspor me_
dir, mientrasque z" y c. son una inductanciay capacitanciaestándar(los ,,,a-
lores de las cuales se conocencon gran precisión).En cada caso. dos
resrstores,Rr y Rz, se hacenvariar hastaque el medidor de ca lee cero. El
puenteestáequilibradoentonces.De la ecuación(9.73)seobtiene
R'
L r :
n r L ,
R l
C,:
R.C,
(9.74
(e.7s)
a)
Figura9.38
Puentesdecaespecíficos:a)
+ Z 2 Z j : Z 1 Z ,
Rl ,
b)
para medir l,, ó) para medir C.
Nóteseque el equilibrio de los puentesde ca de la figura 9.3g no dependede
la frecuencia/de la fuente,ya que/no apareceen rasrelacionesde iu,
".uu-ciones(9.74)y (9.15).

Ejemplo9.15
dondeZ,: R, * jX,,
El circuito puentede ca de la figura 9.31 se equilibracuando21 es un resis-
tor de I ka,z2 es un resistorcle4.zkQ,z3 es unacombinaciónen paralelo
de un resistorde 1.5 M,f) y un capacitorde 12 pF y f = 2 kHz. Halle: a) los
componentesen serieque integrana 2., y b) los componentesen paraleloque
integran a 2,.
Solución:
l. Definir. El problemaestáclaramenteenunciado.
2. Presentar.Se debendeterminarlos componentesdesconocidossujetos
al hechode que equilibranlas magnitudesdadas.como existenun
equivalenteen paraleloy uno en seriede estecircuito, se debenhallar
ambos.
3. Alternativas. Aunque existentécnicasiterativasque podríanaplicarse
para hallar los valoresdesconocidos,una igualdaddirectafuncionará
mejor. una vez que se tenganrasrespuestas,sepuedencomprobarsi-
guiendotécnicasmanualescomo el análisisnodal o sencillamente
utilizandoPSpice.
4. Intentar. Con baseen la ecuación(9.73).
"r:7", (e.rs.u
(9.rs.2)Z t : 1 0 0 0 O , Z 2 : 4 2 0 0 O
R3
t jaCz
Zt: Rzll.-:-' '"
ja¡Cz + 1/jaC3
PuestoqueRj : 1.5MO y C7: l2pF,
: R .
| + jafuC3
z z :
o
1.5x 10" 1.5x l0Ó
| + j2n x 2 x 103x 1.5x 106x 12x 1 0 - 1 2 t + j 0 . 2 2 6 2
Zz: 1.421- j0.3228MA
a) Suponiendoquez, constade componentesen serie,se sustituyenlas
ecuaciones(9.15.2)y (9.15.3)en la ecuación(9.15.1)y se obtiene
4 )OO
R' + jx' :
I ooo'
l'421 -j0.3228)x loÓ
: (s.993-
.i1.356)MO
La igualaciónde las partesreal e imaginariaproduce,R, : 5.993MO y
una reactanciacapacitiva
(9.1s.3)
(e.1s.4)
1.356x 100x - :
I :^ a C
C :
I
@X, 2 r r x 2 x 1 0 3 x 1 . 3 5 6 x 1 0 6
: 58.69pF

9.8 Apiicaciones
b) Z, semantieneigual queen la ecuación(9.15.4),perorR.y X, están
en paralelo.Suponiendouna combinaciónRC en paralelo,
Z, : (.5.993- jI.356)MO
l R r
: R - l i,"
jaC, | -f jaR^C^
Al igualar las partesreal e imaginariase obtiene
_ Real(Z,)2+ Imag(.2,)2_ 5.9932+ 1.3562
5.993
R,. : 6.3Mo
Real(2.,)
Imag(2,)
a[R:eal(Z,)2+ lmag(2,¡21
- 1.356
2¡r(2000)(5.91'72+ 1.3562)
: 2.852¡.,.F
Se ha supuestouna combinaciónRC en paralelo.Tambiénes posiblete-
ner una combinaciónRL en paralelo.
5. Evaluar. ÚseseahoraPSpicepara ver si realmentese tienen las igual-
dadescorrectas.La ejecuciónde PSpicecon los circuitosequivalentes.
un circuitoabiertoentrela porciónde "puente"del circuito),una ten-
siónde entradade l0 voltsproducelas siguientestensionesen los
extremosdel "puente" en relacióncon una referenciaen la basedel cir-
cuito:
FREQ v¡4($N_0002) vP ($N_0002)
2 . 0 0 0 E + 0 3 9 . 9 9 3 E + 0 0 - 8 . 6 3 4 8 - 0 3
2 . 0 0 0 E + 0 3 9 . 9 9 3 E + 0 0 - 8 . 6 3 7 E - 0 3
Dado que las tensionesson básicamentelas mismas,ningunacorriente
apreciablepuedefluir por la porción de "puente" del circuito entre
cualquierelementoque conectelos dos puntos,y se tiene un puente
equilibrado,como era de esperar.Esto indica que se han encontrado
adecuadamentelas incógnitas.
¡Perohay un problemamuy importanteen lo realizadol¿,Cuáles?
Se tiene lo que podría llamarseuna respuestaideal, "teórica", pero no
muy eficazen la práctica.La diferenciaentrelas magnitudesde las im-
pedanciassuperioresy las inferioreses demasiadograndey jamás se
aceptaríaen un circuito puentereal. Paramayor exactitud,el tamañode
las impedanciasdebeestardentro del mismo orden de magnitud.Para
mejorar la precisiónde la soluciónde esteproblema,es recomendable
incrementarla magnitudde las impedanciassuperiorespara ubicarlas
en el rango de 500 k0 a 1.5MO. Un comentarioprácticoadicional:el
tamañode estasimpedanciastambiéngeneraproblemasen la toma de
las medicionesreales,así que debenemplearselos instrumentosapro-
piadospara minimizar la carga(que alteraríalas lecturasde tensión
reales)en el circuito.
6. ¿Satisfactorio? Dado que se hallaron los términos desconocidosy
despuésseprobaronpara ver si funcionaban,los resultadosestánvali-
dados.Puedenpresentarseahoracomo una solucióndel problema.
c,

Problema
de práctica9.15
En el circuito puentede ca de la figura 9.37, supongaque el equilibrio se ro-
gra cuandoZ1 es un resistorde 4.8 ko, 22 es un resistorde l0 o en serie
con un inductorde 0.25 pH,Zt es un resistord.e12 kO y,f :6MHz. De_
terminelos componentesen serieque integran2,.
Respuesta: un resistorde 25 o en seriecon un inductor de 0.625 uH.
9.9 Resumen
l. una senoidees una señalcon la forma de la función senoo coseno.Tie-
ne la forma general
u(t) : Vn cos(cor* @)
donde V,, es la amplitud,a :2nf Ia frecuenciaangula¡ (arr* @)el ar_
g u m e n t o y @ l a f a s e .
2. un fasor es una cantidadcomplejaque representatanto la magnitudco-
mo la fasede una senoide.Dada la senoideu(t) :V,,cos(a;r + @),su fa_
sor V es
v : v^/_9.
3. En circuitos de ca, los f'asoresde tensióny de corrientesiempretienen
unarelaciónfija entresí en cualquiermomento.Si u(r) :4, cos(rrrr+ @,;
representala tensióna travésde un elementoy r(0 : I^cos(of * $,; re_
presentala corrientea travésdel elemento,entoncesó¡ : ó" si el ele-
mento es un resistor,@¡se adelantaa <f, en 90o si el elementoes un
capacitory ó; se atrasade @, en 90' si er elementoes un inductor.
4. La impedanciaz de un circuito es la razónentrela tensiónfasorialv la
corrientefasoriala travésde él:
Z : : R(ar)+ jX(o)
La admitanciaY es el inversode la impedancia:
G(<'t)+ jB(a)
vI
y : l :
z
Las impedanciasse combinanen serieo en paralelode la misma mane-
ra que las resistenciasen serieo en paralelo;esdecir,las impedanciasen
seriese suman,mientrasque las admitanciasen pararelose suman.
5. Paraun resistorZ : R, para un inductorZ : jX : ja¡L, y paraun capa_
citorZ: _jX: l/.jaC.
6' Las leyesde circuitosbásicas(de ohm y de Kirchhoffl se aplicana los
circuitosde ca de la mismamaneraque a los circuitosde cd; es decir.
Y : Z l
) I r : 0 ( L C K )
) v r : 0 ( L T K )

probl¿mas
Las técnicasde división de tensión/corriente,de combinaciónen serie/en
paralelode impedancias/admitancias,dereducciónde circuitosy de trans-
formación )'-A se aplicanpor igual al análisisde circuitosde ca.
Los circuitosde ca se aplicanen desfasadoresy puenres.
403
7,
8.
9.1 ¿Cuálde los siguientesenunciados/?oesunamaneraco-
recta de expresarla senoideA cos¡o¡?
a) A cos2r J! b) A cos(2rt/T)
c) A cos@(/- f) d) A sen(or- 90.)
9.2 Sedicequeunafunciónque serepitedespuésde inter-
valosfijos es:
a) un fasor
c) periódica
9.3 ¿,Cuáldeestasfrecuenciastieneel periodomáscorto?
a) I krad/s b) l kHz
9.4 Si u' : 30 sen(rr.rr+ 10")y ut: 20 sen(a;r* 50.).
¿cuálesde los siguieiltesenunciadossonciertos?
a) u I seadelantaa U2 b) u2 seadelantaa u I
c) ur seatrasade u I d) u 1seatrasade u,
e) UI y U2estánen fase
9.5 La tensióna travésde un inductorseadelantaa la co-
ruientea travésdeól en 90".
a) Cierto ó) Falso
9.6 La parteirraginariade la impedanciasellama:
9.8 ¿A quéfrecuenciala tensiónde salidau,,(r)de la figura
9.39seráigual a la tensiónde entradau(t)?
a) 0 rad/s ü) I radls c) 4 rad/s
d) r ¡a6¡t e) ningunade lasanteriores
Figura9.39
Paralapreguntaderepaso9.8
9.9 Un circuitoRC en serietiene lV^]
: I2 V y
lyc] : 5 V. La tensiónde alimentaciónrotales:
c t ) - ' 7 Y b ) l V c ) 1 3 V d ) t 7 V
9.10 Un circuitoRLC en serietieneR : 30 O, X6 : 50 f) y
X¡. : 90 0. La impedanciadel circuitoes:
a ) 3 0 + j l 4 0 O ó ) 3 0 + ¡ 4 0 O
c ) 3 0 - j 4 0 Q
e) -30 + j10 Q
d) --r0 - 140f)
Respuesfas:9.I d, 9.2c,9.3b,9.4b,ct,9.5a,9.6e,9.7b,9.gct
9.9c,9.1ab.
c) resistencia
r') susceptancia
ó) armónica
d) reactiva
ó) admitancia
r/) conductarrcia
¿)reactancla
9,7 La inipedanciade un capacitorseincrementacon una
frecuenciacreciente.
a) Cieno D)Falso
l:',.::r::r:i:l::t{ii.* !,'::.,,*¡rJ;
9.1 Dadala tensiónsenoidal u(r) : 50 cos(30¡+ 10")V,
halle:r¡)la arnplitudV,,,,b) el periodo7',c) la frecuencra
J y d ) u ( t )e n ¡ : 1 0 m s .
9.2 Una fuentede conienteen un circuitolincal tiene
a) ¿Cuálesla amplitudde la corriente?
b) ¿Cuálesla frecuenciaangular?
c) Halle la frecuenciade la corriente.
d) Calculel. en z : 2 ms.
9.3 Expreselassiguientesfuncionesenla formadecc,:en,rr
a)4sen(a.rt- 30")
c) - l0 sen(¿o¡* 20")
r, : 8 cosl-500zrr 25")A 1l)-2 sen6r

9.4 a) Expreseu : 8 cos(7rf 15")enla formade seno.
b) Conviertat : - 10sen(3t- 85") en
la forma decoseno.
9.5 Dadasu1 : 20 sen(¿¿l+ 60') y uz:60 cos(c,rr- 10'),
determineel ángulode faseentrelasdos senoidesy cuál
seatrasarespectoa la otra.
9.6 En relacióncon los siguientesparesde senoides,deter-
mine cuál seadelantay en cuánto.
a) u(t'): l0 cos(4r- 60")e
i ( t ) : 4 s e n ( 4 t + 5 0 ' )
b) u(t) : 4 cos(377t+ l0') y u2Q)-, -20 cos371t
c) -r(l) : 13cos2r f 5 sen2t Y
l(0 : 15cos(2r* 11.8")
t{:.i:.t:::;}t',t:}.'.7 ití}'.,;;'r;;.,;,,
9.7 Si .l(ó) : cosó + j sen@,demuestreqtref (4i : e¡'b.
9.8 Calculeestosnúmeroscomplejosy expresesusresulta-
dos en forma rectangular:
t < / ^ < a
a l _ + l ¿
e / - ) ^ "
,
o / - L v l 0
t r t f -
( 2 I j ) t l - j 4 t - 5 + . 1 1 2
c) r0 + (8/50)(-5 - j12)
9.9 Evalúelos siguientesnúmeroscomplejosy expresesus
resultadosen forma polar.
. / -1,/00'I
0tsf3o' ( 6 j8 -
^: )- ¿ ' . 1/
(l0160)(35l-50')
t ) |' ( . 2 +j 6 )- ( s + j )
9.I0 Dadogueir: 6 - j8, z2: 10/ 30", y¡:: 8 e i1 2 o " ,
halle:
¿l) il
-r
it * ,¡
r
' l { :
t)) -
i¡
9.11 Halle los fasorescorrespondientesa las siguientesse-
ñales.
a) u(t) : 2l cos(4t 15')V
b) i(t) : 8 sen(10¡+ 70') mA
c) u(¡) : 120sen(10¡- 50') V
d) i(t) : 60 cos(30t* 10")mA
9.12 Seanx: 8/40'yY : lf -30'. Evalúelassiguienres
cantidadesy expresesusresultadosen forma polar.
a) (X + Y)X* D)(X - Y¡* c) (x + Y)/x
9.13 Evalúelossiguientesnúmeroscomplejos:
. 2 + j 3 7 - j 8
n " _
j u * 5 i l x
(s/10")(10/-40")
I)l ._
'
(4/ -80")(-6/s0")
dl'n..!' ^-p.-l
|
-i2 8 -i5l
9,14 Simplifiquelassiguientesexpresiones:
. ( 5 - j 6 ) - ( 2 + j 8 )
o'
(-3 , ¡ql5-
¡t + (4 - j6)
b)
(240/75'+ 160/-30"X60- j80)
(67 + j84)(20/32')
/ r0 + 1202
. ) ( " .
' - "
) V r t O1 ' s r r t o- ; z O r
- 1 - 1 - / 4 , /
9.15 Evalúeestosdeterminantes:
l r 0 + j 6 2 j 3 l
a ) t _ . l
|
- 5 - r + i l
, l2o/-30" -4/-to. Ib ) l - . - ' .
I
I 16g_ 3/4s" I
l l j - j 0 I
. ) li i j r l
| ; ' lI I . i l - , t
9.16 Transformelas siguientessenoidesenfasores:
a) - l0 cos(4t+ 75") ó) 5 sen(20¡- 10")
c ) 4 c o s 2 t * 3 s e n 2 r
9.17 Dos tensionesu1) u2aparecenen serie,de modo que su
sumaesu : ut + u2.Si u¡ : t0cos(50¡- n/3¡Y y
uz: 12cos(5Ot+ 30")V. halleu.
9,18 Obtengalas senoidescorrespondientesa cadauno de los
siguientesfasores:
a)Y, : 60/15"V, ¿'¡: I
b ) Y t - 6 + j 8 V , a : 4 0
c')1, : 2.gn ir/3 A, o : 7':'7
d )lz : -0 .5 - jl.2 A, a r : 1 0 3
9.19 Usandofasores,halle:
a )3 co s(2 Ot+1 0 " ) 5 co s(2 Or-3 0 " )
ó) 40 sen501+ 30 cos(50r- 45")
c) 20 sen400t + 10cos(400t+ 60')
5 sen(400t- 20')
9,20 Una redlineal tieneunaentradade corriente
4 cos(rr.r/+ 20) A y unasalidade tensión
I0 cos(c.rr+ l 10")V. Determinela impedancia
asociada.

405
9.21 Simplifiquelo siguienre:
a) f(t) :5 cos(2r+ 15")- ,1sen(2r- 30")
b')S(.0: g sen¡* 4 cos(r+ 50")
rc) h(¡¡ :
| (tO cos40/ + 50 sen4}r)th
l'{)
9.22 tJnarensiónalrernala dau(.t¡:20 cos(5r_ 30")V.
Usefasoresparahallar
lou(¡)+ +* - zf ,o,¿,d r J -
Supongaqueel valor de la integralescleceroen
9.23 Aplique el análisisibsorialparaevaluarlo siguiente.
a) u : 50 cos(o/ + 30) + 30 cos(a.rr_ 90.) V
b) i : 15cos(rr.rt* 45') - 10sen(rol+ 45") A
9.24 Halle u(l) en Iassiguientesecuacionesintegrodif.erencia_
lesaplicandoel métoclofasorial:
I
n ) u ( t ) + l u d t : l 0 c o s ¡
J
. d u t
o)
¿,
5u(t)+ +
I
u dr: J0senr4rt 10.¡
9.25 Usandofasores,determine1(t)enlassiguientesecua_
clones:
di
a t 2 O t 3 i t n : 4 c o r 1 l ¡ _ 4 5 . ,
I s;
bt to
I i dr + + 6i(¡¡:5 cos(5r+_22.;J d t
9.26 La ecuacióndellazodeuncircuitoRLCcjaporresul-
tado
di i'
¿ , * Z i + I
i d t : c o s 2 t
J _-,.
Suponiendoqueel valorde la integralen / : _a esde
ce¡o,hallel(r) aplicandoel métodofasorial.
9.27 tJncircuitoRLC enparalelotienela ecuacióndenodo
d u f- + 5 0 u + l 0 0 ' J u t l r _ l 0 c o s ( 3 7 7 ¡ _ 1 0 " )
Determineu(r) aplicandoel métodotasorial.puedesu_
ponerqueel valorde Ia integralen ¡ : _m esdece¡o.
1:?,t:_:;;i¡;p.:;.4 ii*i*;:r:trt:t t*rr:l.tí:tlc:,::,r.:.r::/:r,t,ftL*,
:1;:: :::rr:t.-;it.{:a
9.28 Determinela corrientequefluye a travésde un reslstor
de 8 O conectadoa unafuentede tensión
u , : l l 0 c o s 3 7 7 ¡ V .
9.29 ¿Cuálesla tensióninstantáneaa travésdeun capacitor
de2 pF cuandola corricntea travesdc él es
i : 4 s e n ( 1 0 6 r + 2 5 . ) A ?
9.30 Unatensiónu(l) : 100cos(60r+ 20.)V seaplicaa
unacombinaciónenparalelode un resistor¿. +OtO u
un capacrtorde 50 ¡rF.Halle lasconientesen estadoes-
Iablea lravérdel resisttu.yel capacitor.
9.31 Un circuiroRtC en serierieneR : g0 dl,L : Z4OmH,
y C : -5mF. Si la tensióncleentradaesu(/) : l0 cos2¡,
hallela comientequefluye a través¿elcircuito
9,32 En ref'erenciaa la redde la figura9.40,hallela corrrente
decargaI..
100,/0.v
Figura9.40
Paraelproblema9.32
+) | Carga
7 ls+jao
{t,
9.33 Un circuitoRZ enseneseconectaa unafuentedecade
i ll) . Si la rensitinenet rcststorescleg5V. hallela ten_
siónenel inducror.
9,3.t ¿Quéralor deorcauiar¿lquela respue:tafbrzada¿,,,en
la fi-eura9.jl seadece¡c¡l
50 cosr¿¡V
Figura 9.41
Parael problema9.3,1.
i it;;-:;¡a;;y1t:¡y,, lrty:r.* :,rtr:t;: l. *{}r4 1y.47ri o
9.35 Halle la corrienrei en el circuitode la figura9.12 cttan_
do u,(r) : 50 cos200¡V.
.i 20 mH
Figura9.42
Paraelprobiema9.35.
¿ l g e ¿ 5 m F
+

40ó Capítulo9 Senoidesy fasores
9.36 En el circuitodela figura9.43,determinel. Seau. : 9.40
60 cos(200t- 10")V.
100mH
Figura 9.43
Parael problema9.36.
9.37 Determinela admitanciaY en el circuito de la figura
9.44.
Figura 9.44
9.38 Halle t(0 y u(¡) en cadauno delos circuitosde la figura
9.45.
I 0 cos(3r+ 45o)A U
Ene1circuitodela figura9.47, hallei,,cuando
a) <¿: 1rad/s b) @ : 5 radls
c ) a : l 0 r a d / s
Io
4 cos ¿¿¡V 0.05F
Figura 9.47
9.4L Halle u(t) enel circuitoRLC de la figura9.48.
l0 cos¡ V
Figura 9.48
9.42 Calculeu,,(t¡en el circuitode la figura9.49.
5 0 o
60sen200¡V
Figura 9.49
9.43 Halle la corrienteI., enel circuitoquesemuestraen la
figura9.50.
I n 5 0 Q r00o
- { r . l
ó0//0'v(1) " ls0o | -7a0o
UFigura9.50
9.44 Calculel(¡) en el circuitode la figura9.5l.
6 cos200¡V
Figura9.51
Paraeloroblema9.44.
¡ zto
50 cos4¡ V
t ;
t '
t -
] ] r
8 O
- t n
b)
Figura 9.45
9.39 En relacióncon el circuitoqueapaÍeceen la figura9.46,
halleZ"oy úselaparahallarla corrienteI. Sea
¡¿ : l0rad/s.
I , 4 0 i 2 o a - i l 4 o
-{v.v,------'iitr:-
f----r
1 t l
l . r .
1 2 / 0 " v ( ! : l ó Q : ¡ : s o
-/ ,' "
t l l
l t _ l
Figura9.4ó
Paraelproblema9.39.
i:
I

t/.|r*--f--/ irr'.-__r.-
I i-lr'* ¡ z a * * ; z o * 3 z o
9.45
.Halle
la corrienteI,,en la redde Ia figura9.52
lrP, .l{'
,), {J
P S M L 2 a i 4 e
Problemas
9.50 Determineu, enei circuitode la figura9.57.Seai,(¡r
5 cost100¡r 40.) A.
Figura 9.57
9.51 Si la tensiónu,, afravésclelresisrorde 2 () del circuitcr
dela figura9.5ges l0 cos2l V, obtenga1.,.
Figura 9.58
9.52 Si V,, : 8/30" V en el circuito de la figura9.59,halle
I..
407
0 . r H
s/_0""A
Figura9.52
9.46 Si z',: 5 cos(l6l
^8p 9.53,hanet,.
ps
4d¿
+ 40") A en el circuito dela ñgura
3C¿
Figura 9.53
9.47 En el circuitode la figura9.54,determineel valor de
i.,(t).
/ . ( ¡ ) 2{> 2m H
5 cos2 000/V
Figura 9.54
u,(/)
Paraelproblema9.47.
9-48 Dadoqueu"(r): 20sen(100r- 40.)enla figura9.55,
$l
determiner'*(r).
ps
1 0 c ¿ 3 0 Q
9-.53 Halle I,, en el ci¡cuito de Ia figura9.60.
dY,S
Ps Mt 4e
-;5 (.)
Figura9.59
Paraelproblema9.52.
2 0
60 -30"v
Figura9.ól
Parael problema9.54
ru
Figura 9.55
Parael problema9.4g.
9,49 Halle u,(r)en el circuitode la figura9.56si la corriente
r. a travésdel resistorde I f) es0.5 sen200¡A.
2 Q _ ! r o
Figura9.5ó
Figura 9.ó0
9,54 En el circuitode la figura9.61,halle V,,si I., : 2p A
ó),ll
PS ML
U',:,:t r:
iI
0.1F 0.5H
f-----[_
l 0 Q ; : i 5 Q
.,i,,--¡Jvr/1,1
¡"
{,0,, J.-0,,".
t r ; { f t
I
f r o

F 400 Q
2 p-F
Figura9.ó5
Paraelproblema9.58
100mH
I K O
9.59 En referenciaa la redde la figura9.66,halleZ.,,
¿¿: l0rad,/s.
+ :i o.sH
I
Figura 9.6ó
9.60 ObtengaZ"n en el circuitode la figura9.67
Sea
Hall.eZ en la red de ta figura 9.62, dado que
Y,,: 4f0',y.
50¡rF
-l--l
;ao^n i¡+oa
l r^ r l
Figura 9.ó3
9,57 En ¿¡ : I rad/s,obtengala admitanciade entradadel
circuitode la figura9.64.
9.55
¿-l
ML
t2l)
Figuta 9.62
5*ct-lr:;r Q. l i.*nt:¡ir.t*r;ir:r-tt:,t.::),:tt,:7:;.:.;':11",.,,;.,,,1,.
9.56 En a : 377 rad/s,hallela impedanciade enrradadel
circuitoqueapareceen la figura9.63.
1 2 o
Figura 9.64
9.58 Halle 1aimpedanciaequivalenteen la figura9.65en
¿,'¡: 10krad/s.
2sa ilsf2
o__1,rir.j,+,tri
+ ñJsOo :i
'-=*
I i} 2 0 o t
Figura 9.67
9,61 HalleZ"oen el circuitodela figura9.6g.
Figura 9.68
9,62 En relacióncon el circuirode la figura9.69,hallela im_
pedanciade entrada2",, en l0 krad/s.
3 0 o
710O
2 Q
i:
fI
Z"n
Figura9.ó9
Paraelproblema9.62
5 0 Q 2 m H
o . l . ¡ ' l . ¡ J , . . ¡ 1 1 .
* Un asteriscoindica un problemadifícil

409
9.63 En relacióncon el circuitode la figura9.70,halleel va_
** tor de 27.
Mt
8 O -il2 O -116Q
2 0 o . :, l0 e¿
.i' l0o i'
r_,¡¡.!r,,__-,
9.67 En r¿ : l0r rad/s,hallela admitanciade entradadec¡
dauno de los circuitosde la fieura9.74.
60Q 60c)
12.5¡fi
b)
Figwa9.74
9.68 DetermineY"u en el circuitode la figura9.75
ZT
5 t ¿
-ir o
3 O
,il o
Figura 9.75
9.69 Halle la admitanciaequivalentey"u enel circuito de la
figura9.76.
2 s 1 S - l 3 S i 2 S
Figura9.7ó
Parael problema9"69.
Halle la impedanciaequivalentedel circuitode la figura
9.77.
4 S
9.70
#
*¡
ML
60190'v
ZT
Figura9.73
Paraelproblema9.66.
-rl0 Q
) ó 8 f )
| .-^+ : - r ( ,
I
c---L
z"o
Figura9.77
*
' ' t n
'
- ' ' ó o l o o
Figura9.70
9.64 Halte 27 e I enel circuirode la figura9.7I .
r 4f) 6c¿
30190 v
Figura9.71
9.65 DetermineZT.eI enel circuitodelafigura9.l2
1A -16o
f{,1.r-------+
t20110"v
3c¿ j4O
t.t/...*11a'
Figura9.72
Paraelproblema9.65.
9.66 En referenciaal circuitode la figura9.73, calcúeZ, y
Y uu.

9.71
IJ
ML
410 Capítulo9 Senordesyfasores
Obtengala impedanciaequivalentedel circuitode la h-
gura9.78.
Figura 9.78
Parael problema9.7l.
9.72 Calculeel vaiorde2,,5en la redde la hgura9.79
ü
ML
j6 {¿ -tq c)
Figura 9.79
9.73 Determinela impedanciaequivalentede1circuitode la
ü figura9.80.
ML
-i4 a
I
I .n -i6a 4.'
.¿
T-'i'i'- ,f
*---l- 'rr,ri
i roo ;.-i,,sf2 .,.;,,4O :L¡tza
o o - I ___l
Figura9.80
Paraelproblema9.73.
5**r,i<:* Q.& &.p1'catt*nes
9.74 DiseñeuncircuitoRLqueproduzcaun adelantodefase
gftl de90..
9.75 Diseñeuncircuitoquetransformeunaentradadeten-
grs¡l siónsenoidalenunásatidadetensióncosenoidal.
9.76 Enrelaciónconlossiguientesparesdeseñales,determi-
nesiu¡ seadelantao seatrasadeu2y encuánto.
a)ut : 10cos(5r- 20"), u2: 8 sen5r
b) ut : 19cos(2r+ 90'), u2: 6 senzt
c)ut : *4 cos10r, ur : 15senl0¡
9.77 Remítaseal ci¡cuiroRC de la figura9.81.
a) Calculeel corrimientode fasea 2MHz.
ó) Halle la frecuenciadondeel desplazamientode fase
esde45""
5 O
o-^.,r,,t¡.,_
+
Y
+
Y,
Figura 9.81
Parael problerna9.77.
9.78 Unabobinacon impedancia8 + i6 () seconectaen se-
ne con unareactanciacapacitivaX. Estacombinaciónen
sefleseconectaa suvezen paralelocon un ¡esistorR.
Dado quela impedanciaequivalentedel circuitoresul-
tantees5/0" {1, haileel valorde R y X.
9.79 a) Calculeel desplazamientode fasedel circuito de la fi-
gura9.82.
b) Indiquesi el desplazamientode faseesde adelantoo
de retraso(salidalespectoa la entrada).
c) Determinela magnitucide la salidacuandola entrada
30()
/ítr',-**-l
l . +
1600ii V
Figura 9.82
9.80 Considereel circuirodesplazamientodefasede la figura
9.83.SeaV¡ : 120V al opeiara 60 Hz. Halle:
c) V,, cuandoR alcanzasuvalormáximo
ó) V,, cuandoR alcanzasu valormínimo
c) el valordeR queproduciráun desplazamientode fase
de,15"
;:;:'i-le?,----+ t
-
u¡ 200nrHj u,
;------*-- - --i
"
Figura 9.83
9.81 El puentedeca de la figura9.37estáequilibradocuando
Rr : 400 0, R: : 600 (}, R3 : 1.2kO y C2 : 0.3 p.F.
Halle R, y C,. SupongaqueR2y C2estánen serie.
9.82 Un puentecapacitivo seequilibracuandoRr : 100(),
Rz : 2 kO y C.,: 40 pF. ¿Cuálesel valo¡de C., la ca-
pacitanciadel capacitordesconocido?
9.83 Un puenteinductivoseequilibracuandoRr : 1.2kO,
Rz : 500 f) y L' : 250 mH. ¿Cuálesel valor det,, Ia
inductanciadel inductora prueba?
I
i
20 nF 'j
I
,-J
l f )
esde 120V
20() 4(
o_:'fr-1-:r'
- l
y jtoa ij

9.84 El puentede ca queapareceen la figura9.g4 seconoce
comopuente de Maxwell y seusapara la medición de
precisiónde la inductanciay resistenciade unabobina
en términosde unacapacitanciaestándarC".Demuestre
quecuandoel puenteestáequilibrado,
R2
R " : - R .
- R r
Halle L. y R..paraR1 : 40 k0, R, : I .6 kO,
R ¡ : 4 k Í ^ ) y C . : 0 . 4 5 ¡ . ¿ F .
Figura9.84
PuentedeMaxwell;paraelproblema9.84.
Problemasde mayorextensión
9.86 El circuitoquesemuestraen la figura9.86 seusaen un
receptorde televisión.¿Cuálesla impedanciatotalde
estecircuito?
-j84 c¿
Figura 9.86
9.87 La redde la figura9.87formaparledel esquemaque
describea un dispositivoindustrialde transcripciónelec_
trónica.¿Cuálesla impedanciatotal del circuito a 2
kHz?
Figura9.87
9.88 Un circuitode audioen seriesepresentaen la figura
9.88.
a) ¿Cuál.esla impedanciadel circuito?
b) Si la frecuenciaseredujeraa la mitad,¿cuálseríasu
impedancia?
Problemasde mayorextensión 4 1 f
9.85 El circuitopuentedeca de la figura9.g5 sellamap:rc,r:
de Wien.Sirveparamedir la frecuenciade una fuenre.
Demuestrequecuandoel puenteestáequilibrado.
2n {R Rocrco
Figura9.85
PuentedeWien:paraelproblema9.85
250H2 -j20 a
Figura9.88
Parae1problema9.88.
9.89 Unacargaindustrialsemodelacomo unacombinación
en seriede unacapacitanciay unaresistenciacomo se
muestraen la figura9.89.Calculeel valo¡ de unainduc_
fanciaL a lo largo de la combinación en seriede manera
quela impedancianetasearesistivaa unafrecuenciade
50 kHz.
*--l--*-}
l. J 2ooc¿f .4 ,:,
L .. 'l
i {,un.
Figura 9.89
9.90 Una bobinaindustrialsemodelacomounacombinación
en seriede unainductanciaL y unaresistenciaR, como
seobservaen la figura9.90.Puestoqueun voltímetrode
ca sólomide la magnitudde una senoide,las siguientes
L,, : R2R3C. y
-j20f)
130c¿ 120Q

medidassetomana 60 Hz cuandoel circuito ooeraen el
estadoestable:
= 145V, : 5 0 v .
Useestasmedidasparadeterminarlos valoresdeI y R.
Figura 9.90
9.91 En la ligura 9.91semuestraunacombinaciónenparale-
lo de una inductanciay unaresistencia.Si sedesea
conectarun capacitoren seriecon la combinaciónen pa-
ralelode maneraquela impedancianetasearesistivaa
l0 MHz, ¿cuálesel valor requeridode C?
C
9.92 Una líneade transmisióntieneuna impedanciaen serie
de Z : 100/75" O y unaadmitanciaenparalelode
Y : 450/48'pS. Halle: a) la impedanciacaracterística
2,, : flQ, á) la constantedepropagacióny :
,m.
9.93 Un sistemade transmisiónde energíaeléctricasemode-
la como seindicaen la fisura 9.92.Dado lo sisuiente:
Tensiónde fuente
lmpedanciade fuente
Impedanciade línea
Impedanciadecarga
hallela corrientede carga
ü
il5l0.v,
r +jO.so,
0.,1+ j0.3o,
) 1 ) - r i l t ¿ o l )
lt.
Z,
Z , :
z t :
z t :
lL.
z(
ZL
Fuente
Figura9.92
Líneade transmisión Carga
l
z(
300O :::;20pH
Figura9.91
Paraelproblema9.91.

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