1. ANGULOS
TEORIA
PROLEMAS RESUELTOS Y
PROPUESTOS
ABRAHAM GARCIA ROCA
agarciar@correo.ulima.edu.pe

2. ANGULO.-Es la abertura formado por dos rayos
divergentes que tienen un extremo común que se
denomina vértice.
ELEMENTOS DE UN ANGULO: A
β O α
B

3. CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA
a) ÁNGULO CONVEXO
0º < α < 180º
α
a.1) ÁNGULO AGUDO
β 0º < β < 90º

4. a.2) ÁNGULO RECTO
θ = 90º
θ
a.3) ÁNGULO OBTUSO
90º < α < 180º
α

5. CLASIFICACIÓN SEGÚN SU SUMA
a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
α + β = 90º
α
β
b) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
θ + δ = 180º
θ δ

6. CLASIFICACIÓN SEGÚN SU POSICIÓN
a) ÁNGULOS ADYACENTES b) ÁNGULOS CONSECUTIVOS
α δ ε
β φ
Un lado común Puede formar más ángulos
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE
α α Son congruentes

7. ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS
Y UNA RECTA SECANTE
1 2
4 3
5 6
8 7
01. Ángulos alternos internos: 04. Ángulos conjugados externos:
m ∠3 = m ∠5; m ∠4 = m ∠6 m ∠1+m ∠8=m ∠2+m ∠7=180°
02. Ángulos alternos externos: 05. Ángulos correspondientes:
m ∠1 = m ∠7; m ∠2 = m m ∠1 = m ∠5; m ∠4 = m ∠8
∠8 m ∠2 = m ∠6; m ∠3 = m ∠7
03. Ángulos conjugados internos:
m ∠3+m ∠6=m ∠4+m ∠5=180°

8. PROPIEDADES DE LOS ANGULOS
01.-Ángulos que se forman por una línea poligonal entre
dos rectas paralelas.
α
x
β
y
θ
α + β + θ = x + y

9. 02.- ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS
ε
δ
θ
β
α
α + β + θ + δ + ε = 180°

10. 03.- ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES
α β
α + β = 180°

12. Problema Nº 01
El complemento de la diferencia entre el suplemento
y el complemento de un ángulo “X” es igual al
duplo del complemento del ángulo “X”. Calcule la
medida del ángulo “X”.
RESOLUCIÓN
La estructura según el enunciado:
90 - { ( 180° - X ) - ( 90° - X )}= 2 ( 90° - X )
Desarrollando se obtiene:
90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X
90° - 90° = 180° - 2X
Luego se reduce a:
2X = 180° X = 90°

13. Problema Nº 02
La suma de las medidas de dos ángulos es 80° y el
complemento del primer ángulo es el doble de la
medida del segundo ángulo. Calcule la diferencia
de las medidas de dichos ángulos.
RESOLUCIÓN
Sean los ángulos: α y β
Dato: α + β = 80° β = 80° - α (1)
Dato: ( 90° - α ) = 2β (2)
α = 70°
Resolviendo
Reemplazando (1) en (2): β = 10°
Diferencia de las medidas
( 90° - α ) = 2 ( 80° - α ) α - β = 70°-10°
90° - α = 160° -2α = 60°

14. Problema Nº 03
La suma de sus complementos de dos ángulos es
130° y la diferencia de sus suplementos de los
mismos ángulos es 10°.Calcule la medida dichos
ángulos.
RESOLUCIÓN
Sean los ángulos: α y β
Del enunciado:
( 90° - α ) + ( 90° - β ) = 130° β + α = 50° (+)
β - α = 10°
β + α = 50° (1) 2β = 60°
Del enunciado:
( 180° - α ) - ( 180° - β ) = 10° β = 30°
β - α = 10° (2)
α = 20°
Resolviendo: (1) y (2)

15. Problema Nº 04
Se tienen ángulos adyacentes AOB y BOC
(AOB<BOC), se traza la bisectriz OM del ángulo
AOC; si los ángulos BOC y BOM miden 60° y 20°
respectivamente. Calcule la medida del ángulo
AOB.
RESOLUCIÓN
De la figura:
A B α = 60° - 20°
M
α = 40°
X 20°
Luego:
α X = 40° - 20°
60°
α
X = 20°
O
C

16. Problema Nº 05
La diferencia de las medidas de dos ángulos
adyacentes AOB y BOC es 30°. Calcule la medida del
ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOC con
el lado OB.
RESOLUCIÓN Del enunciado:
Construcción de la gráfica según
el enunciado AOB - OBC = 30°
A Luego se reemplaza por lo que
M Seθ + X) - en la gráfica
( observa (θ - X) = 30º
B 2X=30º
θ X
θ (θ- X) X = 15°
O C

17. Problema Nº 06
Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y
COD tal que la m∠AOC = m∠BOD = 90°. Calcule
la medida del ángulo formado por las bisectrices
de los ángulos AOB y COD.
RESOLUCIÓN
Construcción de la gráfica según el enunciado
De la figura:
A M
B 2α + θ = 90°
(+)
θ + 2β = 90°
C 2α + 2θ + 2β = 180°
α α X
θ α + θ + β = 90°
β X=α +θ+β
β N
X = 90°
D

18. Problema Nº 07
Si m // n . Calcule la medida del ángulo “X”
α m
α
80°
X
θ
θ
30° n

19. RESOLUCIÓN
α m
α
80°
X
θ
θ
30° n
Por la propiedad 80° = α + θ + X (2)
2α + 2θ = 80° + 30° Reemplazando (1) en (2)
α + θ = 55° (1)
80° = 55° + X
Propiedad del cuadrilátero
cóncavo X = 25°

20. Problema Nº 08
Si m // n . Calcular la medida del ángulo “X”
m 4α 65°
X
n
5α

21. RESOLUCIÓN
m 4α 65°
40° 65°
X
n
5α
Por la propiedad: Ángulo exterior del triángulo
4α + 5α = 90° X = 40° + 65°
α = 10° X = 105°

22. Problema Nº 01
Si m // n . Calcule la medida del ángulo ”X”
x
m
θ
2α
2θ
n α

23. RESOLUCIÓN
x
m
θ
2α
2θ
n α
Ángulos conjugados Ángulos entre líneas poligonales
internos
3α + 3θ = 180°
α + θ = 60° X=α+θ X = 60°

25. PROBLEMA 01.- Si L1 // L2 . Calcule la m ∠ x
L1
3x
α
α
x β
β
4x
L2
A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50°

26. PROBLEMA 02.- Si m // n . Calcule la m ∠ x
X
n
m
30°
A) 18° B) 20° C) 30° D) 36° E) 48°

27. PROBLEMA 03.- Si m // n . Calcule la m ∠ α
m
3α α
3α
3α
n
A) 15° B) 22° C) 27° D) 38° E) 45°

28. PROBLEMA 04.- Si m // n . Calcule el valor de “x”
m
α
α
95°
n 40°
2x
A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°

29. PROBLEMA 05.- Calcule la m ∠ x
x
3α
6α
A) 99° B) 100° C) 105° D) 110° E) 120°

30. PROBLEMA 06.- Si m // n . Calcule la m ∠ x
X
m
θ
4α
4θ
α n
A) 22° B) 28° C) 30° D) 36° E) 60°

31. PROBLEMA 07.- Si. Calcule la m ∠ x
m
α
α
88°
x
θ
θ
24° n
A) 24° B) 25° C) 32° D) 35° E) 45°

32. PROBLEMA 08.- Si m // n . Calcule la m ∠ x
X
m
30°
n
20°
A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) 30°

33. PROBLEMA 09.-Si m//n y θ- α = 80°. Calcule la m∠x
m
θ
θ
x
α
α
n
A) 60° B) 65° C) 70° D) 75° E) 80°

34. PROBLEMA 10.- Si m // n . Calcule la m ∠ x
m
x
x
n
x
A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 60°

35. PROBLEMA 11.- Si m // n . Calcule la m ∠ α
m
2α
α
180°-2α
n
A) 46° B) 48° C) 50° D) 55° E) 60°

36. PROBLEMA 12.- Si m // n . Calcule la m ∠ x
80°
θ
θ m
x
α
α n
A) 30° B) 36° C) 40° D) 45° E) 50°

37. PROBLEMA 13.- Si m // n . Calcule la m ∠ x
x
α
α m
80°
β
β n
A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70°

38. REPUESTAS DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS
1. 20º 8. 50º
2. 30º 9. 80º
3. 45º 10. 30º
4. 10º 11. 60º
5. 120º 12. 40º
6. 36º 13. 50º
7. 32º