Mecánica de Suelos II Capitulo II Transmisión de Esfuerzos

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
Facultad de Ingeniería Civil
ESFUERZO EN UNA MASA
DE SUELO
Dr. ZENON AGUILAR BARDALES
CENTRO PERUANO JAPONÉS DE INVESTIGACIONES
SÍSMICAS Y MITIGACIÓN DE DESASTRES - CISMID

2. Problemas de Deformaciones Planas Típicos.
Terraplén
Muro de
Contención
z
z Y
Y
X
z
X Y
X
Cimentación Corrida

3. F
Esfuerzo Esfuerzo
Deformación Deformación
(a) (b)
F F
Esfuerzo Esfuerzo R
Deformación Deformación
(c) (d)
Esfuerzo
F = Significa en la Falla
R = Significa Valor Residual
Deformación
(e)
Relaciones esfuerzo-deformación de materiales ideales a) elástico, b)
plástico rígido, c) elastoplástico, d) elastoplástico con ablandamiento,
e) relación esfuerzo-deformación típica con un material real.

4. Superficie del terreno
Tu
Th Nh
Nu
(b)
Elemento A
(a) ( c)
Diagramas para ilustrar la definición de esfuerzo. a) Perfil del
terreno. b) y c) Fuerzas sobre el elemento A.

5. Nivel del terreno
Nivel freático
Z
X X
Area A
Nivel del terreno
Nivel freático
Z
ZW
W
X X
Area A

6. Z Z
y
ZX
Z XZ
y Xy
yX X
y
Z
1
X
y
a)
2
3
X
b)
a) Estado general de esfuerzos en un elemento de suelo, b)
esfuerzos principales

7. a
Selecciones de
a
las partículas
N
Ty
Huecos (poros) Tx
y
X
Punto de contacto entre
partículas situadas por
encima y debajo del
plano de la seccion.
Definición de los esfuerzos en un sistema de partículas

8. Concepto de Esfuerzos Efectivos
H
HA
Agua de Poro
a Partícula Sólida
a
Area de Corte
Transversal = Ā
Consideración del esfuerzo efectivo para una columna
de suelo saturado sin infiltración

9. Concepto de Esfuerzos Efectivos
a4
a1 a2 a3
P4
P1 P
P2
Area de Corte
3
Transversal = Ā
Fuerzas que actúan en los puntos de contacto de las
partículas de suelo en el nivel del punto A.

10. Distribución de Esfuerzos en una Masa de Suelo
h h*z
H2
H1
A
Z
H2 C
B
Válvula
(abierta)
Entrada
Estrato de suelo en un tanque con infiltración hacia arriba

11. Distribución de Esfuerzos en una Masa de Suelo
Esfuerzo Total, σ Presión de Poros µ Esfuerzo Efectivo σ’
o o
H1 γW H1 γW o
H1
H1 γW + z γsat (H1 +z + iz)γw z(γ’ – iz γw)
H1 + z
H1 + H2
H1 γW + H2 γ sat (H1 + H2 + h) γw H2 γ’ - h γw
Profundidad Profundidad Profundidad
(a) (b) (c)
Variación del (a) esfuerzo total; (b) presión de poro y (c) esfuerzo
efectivo con la profundidad en un estrato de suelo con infiltración hacia
arriba.

12. Distribución de Esfuerzos en una Masa de Suelo
Entrada Q
H1 h h*z
A H2
Z
C
H2
B
Válvula
(abierta)
Salida
Estrato de suelo en un tanque con infiltración hacia abajo

13. Distribución de Esfuerzos en una masa de suelo
Esfuerzo Total, σ Presión de Poro µ Esfuerzo Efectivo σ’
o o
H1 γW H1 γW o
H1
H1 γW + z γsat (H1 +z - zi)γw z(γ’ + i γw)
H1 + z
H1 + H2
H1 γW + H2 γ sat (H1 + H2 - h) γw H2 γ’ + h γw
Profundidad Profundidad Profundidad
(a) (b) (c)
Estrato de suelo en un tanque con infiltración hacia abajo; variación del
(a) esfuerzo total; (b) presión de poros y (d) esfuerzo efectivo con la
profundidad en un estrato de suelo con infiltración hacia abajo.

14. Esfuerzos en un Medio Elástico Causados por una
Carga Puntual.
P
r X
y
X
y
L Z
∆σ z
A ∆σ x
Z
∆σ y

15. Esfuerzos causados por un Carga Puntual
Boussinesq (1883) resolvió el problema de los
esfuerzos “producidos en cualquier punto de un
medio homogéneo, elástico e isótropo como
resultado de una carga puntual aplicada sobre la
superficie de un semiespacio infinitamente grande. La
solución de Boussinesq para los esfuerzos normales
en un punto A causado por la carga puntual P es
P ⎧3x2 z ⎡ x2 − y2 y z ⎤⎫
2
∆σ x = ⎨ 5 − (1− 2µ)⎢ 2 + 3 2 ⎥⎬
2π ⎩ L ⎣ Lr (L + z) L r ⎦⎭

16. Esfuerzos Normales en A causados por
una Carga Puntual
P ⎧3y2 z ⎡ y −x
2 2
x z ⎤⎫
2
∆σ y = ⎨ 5 − (1− 2µ)⎢ 2 + 3 2 ⎥⎬
2π ⎩ L ⎣ Lr (L + z) L r ⎦⎭
y 3Pz 3 3Pz 3
∆σ z = =
2πL 2π (r + z )
5 2 2 5/ 2
donde:
r = x2 + y2
L = x2 + y2 + z2 = r2 + z2
µ = relación de poisson

17. Esfuerzos en un Medio Elástico Causados por una Carga
Lineal Vertical de Longitud Infinita
Q por metro
z
∆σz
∆σx
N
X

18. Esfuerzos Causados por una Carga
Lineal Vertical de Longitud Infinita
Los incrementos de esfuerzo en N debidos a la aplicación de una
carga lineal Q por metro, son
3
2Qz
∆σ z =
π (x + z )
2 2 2
2
2Qx z
∆σ x =
π (x + z )
2 2 2
2
2Q xz
∆τ xz =
π (x + z )
2 2 2

19. Esfuerzos en un Medio Elástico Causados por una
Carga de Franja (ancho finito y longitud infinita)
B
q = carga por área
unitaria x
r dr
X-r
∆σz
β δ
X A
z

20. Carga Uniformemente Distribuida Sobre
una Franja Infinita
Loa incrementos de esfuerzos en el punto A producidos por una
presión uniforme q que actúa sobre un franja flexible infinitamente
larga de ancho B, son los siguientes:
∆σ z =
q
[β + senβ cos(β + 2δ )]
π
∆σ x =
q
[β − senβ cos(β + 2δ )]
π
q
∆τ xz = senβsen( β + 2δ )
π

21. Isóbaras o Bulbo de Presiones Verticales
Bajo una Carga Flexible de Franja
q
B 2B 2.5B
∆σ
q = 0.9
0.7
B
0.5 0.06
2B
0.3
0.08
∆σ
Carga de q = 0.2 3B
Franja flexible
a a 4B
0.1
Planta 5B
0 B 2B

22. Isóbaras o Bulbo de Presiones Verticales
Bajo una Carga Flexible de Franja
0.9q
0.8q
0.6q
0.5q B
0.4q
0.3q 2B
Bajo el centro
V
0.2q
3B
4B
5B
=0.1q
V
6B
0 0.2q 0.4q 0.6q 0.8q q
a) b)
Franja infinita con carga uniformemente distribuida: a) líneas de igual incremento de
esfuerzo vertical total, b) incremento del esfuerzo vertical total bajo el centro

23. Carga con Distribución Triangular
sobre una Franja Infinita
B
q
R2
R1
Z
X α β
∆σV
∆σX
N

24. Carga con Distribución Triangular
sobre una Franja Infinita
Cuando el esfuerzo aplicado se incrementa linealmente a través del
ancho de la franja, lo cual conduce a una distribución triangular,
los incrementos de esfuerzo en el punto N están dados por:
q ⎡x 1 ⎤
∆σ v = α − sen 2 β ⎥
π ⎢B
⎣ 2 ⎦
q ⎡x z R12
1 ⎤
∆σ = ⎢ B α − B 1n R 2 + 2 sen 2 β ⎥
x
π ⎣ 2 ⎦
q ⎡ 2z ⎤
∆ τ xz = ⎢1 + cos 2 β − B x ⎥
2π ⎣ ⎦

25. Carga uniformemente distribuida sobre una
área circular
El incremento del esfuerzo vertical total a una profundidad z bajo el
centro de una área circular flexible de radio R cargada con una
presión uniforme q esta dado por
⎧ ⎡
⎪ 1 ⎤
3/ 2
⎫
⎪
∆ σ v = q ⎨1 − ⎢ 2 ⎥ ⎬
⎪ ⎣1 + ( R / z ) ⎦
⎩ ⎪
⎭
Sin embargo, para puntos diferentes de los situados bajo el
centro de carga, las soluciones tienen una forma extremadamente
complicada (Harr, 1996) y por lo general se presentan en forma
gráfica (Foster y Ahlvin, 1954 ) o en tablas (Ahlvin y Ulery, 1962).
En el punto N , puede escribirse el incremento en el esfuerzo
vertical total como
∆ σ v = qI σ

26. Factor influencia l σ
0.001 0.002 0.004 0.006 0.01 0.02 0.04 0.06 0.1 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
r
=1
R
1.25
1
2 1.5
2.5 0
2
3 0.5
3 r
=0.75
4 R
z 4
5
R 6
5
7
Carga uniforme q
8 R
6
9
r
=10
R
7
8
V
9 r
V = q/
10
Valores del factor de influencia /σ para calcular el incremento de esfuerzo vertical
total ∆σv bajo un área circular uniformemente cargada. (Según Foster y Alhvin,
1954. Reimpresa con la autorización del transportation Research board).

27. b/z=
0.50
3.0
2.0
1.9
1.6
1.4
1.2
b/z =1.0
0.9
0.40
0.8
0.7
0.6
0.30 b/z =0.5
Influence Value ‘ I ’
0.4
0.3
0.20
0.2
a b
P
0.1
Z
0.10
Z =I.P
b/z=0 Z
0
0.01 2 4 6 8 0 1 2 4 6 8 1 0 2 4 6 8 10 0
a/z
Factores de Influence para Esfuerzos Verticales Generados
por una Carga de Terraplén (Obsterberg, 1957).

28. Isóbaras o Bulbo de Presiones Verticales
Bajo un Área Cuadrada con Carga Uniforme
Carga uniforme q
B B
0.9q
0.8q
0.6q 0.5B
0.5B
0.4q
0.3q
B B
0.2q
0.1q
1.5B 1.5B
V Bajoel
centro
2B 2B
=0.5q
V
2.5B 2.5B
0 0.2q 0.4q 0.6q 0.8q 0
a) b)
a) líneas de igual incremento de esfuerzo vertical total, b) incremento
del esfuerzo vertical total bajo el centro de la zapata.

29. Incremento de Presiones Verticales Bajo
un Área Rectangular con Carga Uniforme
El incremento en el esfuerzo vertical debajo la esquina
de un área rectangular cargada uniformemente viene
dado por:
∆ σ v = qI σ
Donde Iσ es función de m y n, parámetros definidos
como:
como
B
m =
z
L
n =
z

30. Presion uniforme q
0.25 m=3.0 m=
m=2.4
B 0.24 m=2.
0.23 m=1.8 m=1.6
m=1.4
0.22 m=1.2
L
Z V
0.21 m=1.0
0.20 m=0.9
N
=ql
V 0.19 m=0.8
Nota: m y n son intercambiables
0.18 0.18
m=0.7
0.17
0.16 m=0.6
0.15
Factor de influencia I
0.14 m=0.5
0.13
0.12 m=0.4
0.11
0.10
m=0.3
0.09
0.08
0.07
m=0.2
0.06
0.05
0.04
m=0.1
0.03
0.02
0.01
m=0.0
0.00
0.01 0.02 0.04 0.06 0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 0.8 1 2 3 456 8 10
n
Valores del factor de influencia Iσ para calcular el incremento de esfuerzo
vertical total ∆σv bajo la esquina de una área rectangular uniformemente
cargada (Según Fadum, 1948)

31. Cálculo aproximado del incremento de
esfuerzo vertical
Para áreas circulares o rectangulares uniformemente cargadas,
puede hacerse un cálculo aproximado del incremento de esfuerzo
vertical total suponiendo que la carga aplicada se distribuye dentro
de un cono truncado o una pirámide truncada formados por lados
con pendiente de 2 en la vertical y 1 en la Horizontal, por ejemplo,
si el área cargada es un rectángulo de longitud L y ancho B, el
incremento promedio en el esfuerzo vertical total a una
profundidad z estará dado aproximadamente por
qLB
∆σ =
( L + z )( B + z )
v

32. Cualquier área cargada puede considerarse como un número discreto
de subáreas, que distribuyen una carga puntual aplicada sobre la
superficie del terreno
q
LxB
1 1
2 2
Z
(L+z) x (B+z)
Método aproximado para calcular el incremento promedio de esfuerzo
vertical total bajo un área uniformemente cargada.

33. Ejercicio
Una cimentación superficial cuadrada de 2m de lado ,
perfectamente flexible, transmite a un depósito de suelo
homogéneo e isotrópico una carga uniforme ∆q = 200 KN/m2.
Comparar la distribución de los incrementos de esfuerzo vertical,
(∆σv) bajo el centro de la zapata considerando una carga
distribuida y una carga puntual equivalente. Estimar a partir de
que profundidad los errores entre estas distribuciones son
inferiores a 0.1∆q.
a) Carga uniformemente distribuida
B A B A
1m
C D
2m
C D
4 veces
q =200 kn/m2

34. Utilizando el Ábaco de Fadum
Esquina Centro
Z
(m,n)
(m) (KN/m )
2
(KN/m )
2
O - - 200 200
0.25 4 0,247 49,4 197,6
0.50 2 0,233 46,6 186,4
1.00 1 0,177 35,4 141,6
1.50 0.67 0.125
, 25,0 100,0
2.00 0.50 0,086 68,8
17,2
2.50 0.40 0,062 49,6
12,4
3.00 0.33 0,046 9,2 36,8
3.50 0.29 0,037 7,4 29,6
4.00 0.25 0,027 5,4 21,6

35. Carga puntual
Expresión de Boussinesq
3P
∆σ v =
2πz 3
P = 2 x 2 x 200 = 800kΝ
Z(m) 0,25 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00
V (KN/M2) 6.111,5 1.527,9 382,0 169,3 95,5 61,1 42,4 31,2 23,9

36. Comparación entre las dos distribuciones de ∆σv
A partir de Z>2,20m → error absoluto (∆`σv-∆σ) /Dq < 0.1
0 50 100 150 200 (kN/m )
2
V
1
2
2,2
V CARGA DISTRIBUIDA
3 V CARGA PUNTUAL
4
z(m)

37. ESTADO DE ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO
CÍRCULO DE MOHR
Z
A
Tzx
T 0 Resultantes de
Txz esfuerzos sobre ab
X X X
Txz Txz
c B
Tzx
Tzx
Z
Z
a) b)

38. A
T
3
REPRESENTACIÓN
Dirección de
DE ESFUERZOS 1
MEDIANTE EL C B
CÍRCULO DE MOHR
3
Dirección de 1
(a)
T
a) estado de esfuerzos en
A ( Coordenados ,T ) un punto.
1
- 3
2
b) Diagrama de Mohr para
2
el estado de esfuerzos
en un punto.
Circulo de Mohr
1 + 3
2
(b)

39. Representación de los esfuerzos mediante el
círculo de Mohr.
σ1 + σ 3 σ1 − σ 3
σ θ = σ 1 cos θ + σ 3 sen θ =
2 2
+ cos 2θ
2 2
σ1 − σ 3
τ θ = (σ 1 − σ 3 ) senθ cos θ = sen 2θ
2
El esfuerzo tangencial máximo en un punto, τmax es
siempre igual a (σ1-σ3)/2; es decir, el esfuerzo tangencial
máximo equivale al radio del círculo de Mohr. Este esfuerzo
tangencial máximo se produce en planos que forman ± 45°
con la dirección del esfuerzo principal mayor.

40. Ejemplo
2
2kg/cm
B
300
2 2
4kg/cm 4kg/cm
B
2
2kg/cm
Se pide calcular los esfuerzos sobre el plano B-B.

41. 1. Se representa los puntos (4,0) y (2,0).
2. Se dibuja el círculo, utilizando estos puntos para definir el diámetro.
3. Se traza la línea AA’ por el punto (2,0), paralela al plano sobre el cual
actúa el esfuerzo (2,0).
4. La intersección de A’A’ con el círculo Mohr en el punto (4,0) es el polo.
5. Se traza la línea B’B’ por Op, paralela a BB.
6. Se leen las coordenadas del punto X donde B’B’ corta al círculo de
Mohr.
C´
1
Op
Op
B´
B’
0 A´ A´
A’
X
-1 C´
1 2
2 B´
B’ 3 4
4

42. σ = 2.5 kg/cm2
Sobre BB τ = -0.87 kg/cm2
2.5 kg/cm
2
Respuesta
4 kg/cm
2
0.87
2 kg/cm2

43. Otra solución. Los pasos 1 y 2 igual que antes.
3. Traza´por el punto (4.0) la línea C’C’ paralela al plano sobre
el que actúa el esfuerzo (4.0). C’C’ es vertical.
4. C’C’ corta al círculo de Mohr solamente en (4.0) de forma
que este punto es el polo Op. Los pasos 5 y 6 análogos al caso
anterior.
Solución por medio de las ecuaciones
σ 1 = 4kg / cm2σ 3 = 2kg / cm2θ = 120°
4+2 4−2
σθ = + cos 240° = 3 − cos 60° = 2.5kg / cm2
2 2
4−2
τθ = sen240° = −sen60° = −0.866kg / cm2
2
(preguntas para el alumno. ¿Por qué es θ =120°? ¿El resultado
habria sido diferente si θ = 300°?)

44. DIAGRAMAS p-q
En muchos problemas conviene representar, sobre un
diagrama único, muchos estados de esfuerzos para una
determinada muestra del suelo. En otros problemas se
representa en un diagrama de este tipo el estado de
esfuerzos de muchas muestras diferentes. En tales casos
resulta muy pesado trazar los círculos de Mohr, e
incluso mas difícil ver lo que se ha representado en el
diagrama después de dibujar todos los círculos .
Otro método para dibujar el estado de esfuerzos puede
ser adoptar un punto representativo de los esfuerzos
cuyas coordenadas son

45. σ1 + σ 3
p=
2 + si σ1 forma un ángulo igual o
menor de ± 45° con la vertical
σ1 − σ 3
q=± - si σ1 forma un ángulo menor de
2 ± 45° con la horizontal
En la mayoría de los casos en los que se utiliza la
representación puntual, los esfuerzos principales actúan
sobre planos verticales y horizontales. En este caso, la
ecuación se reduce a
συ + σ h συ − σ h
p= ,q =
2 2

46. Este método equivale a representar un punto único de
un circulo de Mohr: el punto mas alto si q es positivo o
el mas bajo si q es negativo. Numéricamente, q equivale
a la mitad del esfuerzo desviador.
Conociendo los valores de p y q para un cierto estado de
esfuerzos, se posee toda la información necesaria para
dibujar el círculo de Mohr correspondiente. Sin
embargo, el empleo de un diagrama p-q no exime de
utilizar el círculo de Mohr para determinar la magnitud
de los esfuerzos principales a partir de un determinado
estado de esfuerzos.