Geometría Analítica

1. INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “ DANIEL ÁLVAREZ BURNEO” GEOMETRÍA DEL ESPACIO DR. VICENTE MATAMOROS

3. Sitúa sobre los círculos de la serpiente los números del 1 al 9, de manera que cada línea de tres números, sume 13.

5. PIRAMIDES

10. ELEMENTOS

11. CLASIFICACIÓN

12. Calculo de la apotema

13. Calculo de la arista

14. Cálculo de la apotema lateral b=15m a= 1,8m c=?

15. TEOREMAS

16. Área de una pirámide

17. Área lateral “ El área lateral de una pirámide regular es la mitad del producto del perímetro de la case y la apotema de la pirámide” Hipótesis: S-ABCDE pirámide regular Demostración: A ﺎ = área ∆ ASB . N área ∆ ASB = ½ AB . a A ﺎ = ½ AB . a n AB . n = p A ﺎ = ½ p a Tesis: A ﺎ = ½ p a S A B C D E S a

18. Área total El área total de una pirámide regular es la suma del área lateral y el área de la base A t = A ﺎ + A b A ﺎ = ½ p a A b = ½ p a’ A t = ½ p a + ½ p a’ A t = ½ p (a + a’)

19. Volumen de una pirámide

20. “ Si dos pirámides tienen bases equivalentes a la misma altura, entonces tienen el mismo volumen” Hipótesis: h altura de las pirámides V-ACD y O-PQRS B misma área de las bases Tesis: Pirámides V-ACD y O-PQRS tienen el mismo volumen Demostración: A’C’D’ y P’Q’R’S’ secciones transversales a las dos pirámides Sección A’C’D’ es equivalente a P’Q’R’S’ Pirámides V-ACD y O-PQRS tienen el mismo volumen V A C D A’ D’ C’ h B P Q R S O P’ Q’ R’ S’ B h

21. Volumen de una pirámide triangular “ El volumen de una pirámide triangular es un tercio del producto del área de su base y su altura” Hipótesis: S-DEF pirámide triangular B área de la base h altura V volumen Tesis: V = ⅓ B . h A C S D E F N P M

22. Demostración: ASCDEF prisma triangular de base DEF y de altura H Prisma ASCDEF = S-DEF + S-ADF + S-AFC ∆ ADF = ∆AFC y ∆DSE = ∆DSA Pirámides S-ADF y S-AFC tienen el mismo volumen Pirámides F-DSE y F-DSA tienen el mismo volumen Pirámides S-DEF , S-ADF y S-AFC tienen el mismo volumen V V p = 3V V p = B . h 3V = B . h V = ⅓ B . h

23. “ El volumen de una pirámide cualquiera es igual a un tercio del producto del área de la base por la medida de la altura” HIPOTESIS: ABCDEF es una pirámide cualquiera. B es la base de la pirámide. h es la altura y V es el volumen TESIS:

26. Demostración: Llamamos V 1, V 2 y V 3 a los volúmenes de los prismas inscritos en el tetaedro ABCD y V´ 1, V´ 2 y V´ 3 a los volúmenes de los prismas inscritos en el tetaedro A´B´C´D´ V 1 =V´ 1 V 2 =V´ 2 V 3 =V´ 3 Sumando miembro a miembro: V 1 +V 2 + V 3 = V´ 1 +V´ 2 +V´ 3 V 1 +V 2 + V 3 +V 4 + … = V´ 1 +V´ 2 +V´ 3 +V´ 4 +….

27. (V 1 +V 2 + V 3 +V 4 + …)= V (volumen del tetaedro ABCD) (V´ 1 +V´ 2 +V´ 3 +V´ 4 +….) = V´ (volumen del tetraedro A´B´C´D´) V = V´ por lo tanto: Los tetraedros ABCD y A´B´C´D´

30. Datos: P= 6.12m Ap. lat.= (2/3m* 6.12m)= 4.08 m Altura de la Pira= 4m Ap. Base= ? Área Total= ? Volumen= ? Ap. lat.= c h= b ap.=a

32. V=1/3 B.h

36. “ Un tronco de pirámide de bases paralelas es equivalente a un tronco de pirámide triangular de la misma altura y bases equivalentes a las del tronco dado” HIPOTESIS: ABCDEA´B´C´D´E´ es un tronco de pirámide cualquiera de bases paralelas TESIS: El volumen de ABCDEA´B´C´D´E´ = al volumen de MNPQRT MNPQRT es un tronco de pirámide triangular de la misma altura que el tronco dado y bases equivalentes a las del tronco dado y situadas en los planos α y β paralelos.