Los números complejos surgieron de la necesidad de encontrar soluciones a ecuaciones cúbicas en el siglo XVI. Aunque los matemáticos al principio eran reacios a aceptarlos, su utilidad quedó demostrada. En el siglo XVIII, Euler les dio el nombre "i" a la raíz cuadrada de -1 y los números complejos pasaron a ser aceptados. Se pueden representar en un plano cartesiano con la parte real en el eje x y la parte imaginaria en el eje y, o en forma polar mediante módulo y argumento
2. ¿Cómo y dónde surgen los números
complejos?
Al principio los matemáticos eran muy reacios a aceptar tal
cosa como un número imaginario. Pero ya en 1572
Bombelli mostró que, para encontrar las soluciones de una
ecuación cúbica, era necesario (y muy conveniente) usar
números complejos (no les dió ese nombre en ese
momento, claro, pero mostró que realmente eran útiles, no
solo un invento extravagante). En 1732 Euler le dio el
nombre i a √-1, y a partir de ahí, poco a poco, los
matemáticos se fueron convenciendo de que los números
complejos eran números "de verdad".
El gráfico de los números complejos en un plano (con la
parte real en el eje de las abscisas, y la parte imaginaria
en el eje de ordenadas) se lo debemos a Gauss (1831).
3. ¿Qué es la unidad imaginaria?
La unidad imaginaria es un concepto matemático
que se extiende el sistema de número real R
para el sistema de número complejo C, que a su
vez proporciona al menos una raíz para cada
polinomio P. La propiedad de la unidad
imaginaria central es que i2 = -1. El término
"imaginario" se utiliza porque no hay ningún
número real que tiene un cuadrado negativo.
De hecho, hay dos raíces cuadradas complejas
de 1, es decir, i y-i, así como hay dos raíces
complejas cuadrados de cada número real,
excepto el cero, que tiene una raíz cuadrada
doble.
4. ¿Se puede operar con ellos? Cita
ejemplos.
Operaciones de complejos en forma binómica
Suma de números complejos
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Operaciones de complejos en forma polar
Multiplicación de complejos en forma polar
645° · 315° = 1860°
5. Estos números ¿cómo se expresan en
forma polar?¿y trigonométrica?
Un número complejo en forma polar
consta de dos
componentes: módulo yargumento.
Módulo de un número complejo
El módulo de un número complejo es el
módulo del vector determinado por el
origen de coordenadas y su afijo. Se
designa por |z|.
Z=a+bi
6. Estos números ¿cómo se expresan en
forma polar?¿y trigonométrica?
Al representar un número complejo como un vector en la forma ya
descrita, éste viene definido de manera única por dos valores: su
módulo y el ángulo a formado por el eje positivo de abscisas con el
vector. Este ángulo recibe el nombre de argumento del número
complejo.
Dado un complejo z = a + bi en su forma binómica y llamando
a su módulo y a a su argumento, se tienen las siguientes
relaciones:
Despejando a y b en estas igualdades, a = cos a y b = sen a
De ahí se tiene que:
a + bi = cos a + sen ai = ( cos a + i sen a)
7. ¿Cómo se representan en un
sistema de ejes cartesianos?
Los números complejos se representan en
unos ejes cartesianos.
El eje X se llama eje real.
El eje Y se llama eje imaginario.
El número complejo a + bi se representa:
1 Por el punto (a, b), que se llama
su afijo.
8. ¿Cómo se representan en un
sistema de ejes cartesianos?
Por el punto (a, b), que se llama su afijo
9. ¿Cómo se representan en un
sistema de ejes cartesianos?
Mediante un vector de origen (0, 0) y
extremo (a, b).
10. ¿Cómo se representan en un
sistema de ejes cartesianos?
Los afijos de los números reales se sitúan
sobre el eje real, X.
Los afijos de los números imaginarios se
sitúan sobre el eje imaginario, Y.
11. Plantea, como ejemplo, ecuaciones
cuya solución sean
números complejos
2( ½ + ½i)^2 - 2(½ + ½i) +1 = 0
2( ½ - ½i)^2 - 2(½ - ½i) +1 = 0
2(1/2i) - 2(1/2 +1/2i) +1
i -1-i-+1 = 0
