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TANGENTES, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS. 3º ESO

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Introducción al mundo de las tangentes, enlaces, espirales y curvas técnicas (óvalo y ovoide) diseñado especialmente para 3º de la ESO.

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  • Por favor, podría introducir la espiral de Arquímedes, la voluta jónica, y el óvalo y ovoide con dos ejes y con cada uno de ellos ?, por favor. Excelentes presentaciones.
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TANGENTES, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS. 3º ESO

  1. 1. 3º ESO TANGENCIAS TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS T1 P Q 56 T3 T4 T2 T5 T6 T7 T8
  2. 2. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS POSICIONES RELATIVAS ENTRE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA r r O O O B A t T EXTERIORES SECANTES TANGENTES
  3. 3. O1 O1 O2 O2 O1 O EXTERIORES INTERIORES O1 O1 O2 O2 O1 O2 T T CONCENTRICAS TANGENTES EXTERIORES TANGENTES INTERIORES POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS SECANTES TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
  4. 4. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS PROPIEDADES DE LAS TANGENTES o r (recta TANGENTE) o1 o2 T T Si dos circunferencias son tangentes, el punto T de tangencia es un punto que comparten ambas y está en la recta que une sus centros Si una recta es tangente a una circun-ferencia, el punto de tangencia T es el pie de la perpendicular trazada por el centro O a la recta tangente
  5. 5. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS PROPIEDADES DE LAS TANGENTES O El radio perpendicular a una cuerda (r) la divide en dos partes iguales, así como el arco que ésta subtiende. De ahí deducimos que LA MEDIATRIZ DE UNA CUERDA PASA POR EL CENTRO r B A
  6. 6. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO T DE LA MISMA o Si una recta es tangente a una circun-ferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente T (Punto de tangencia)
  7. 7. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO T DE LA MISMA 1S.i Suin uan rae cretac teas e tsa ntagnegneten tae uan uan cair cciurcnufenrfeenrecniac,i ae,l eral draiod ieon e enl eplu pnuton tdoe d tea ntagnegnecniac ieas e pse prpeerpnednicduiclaurl aar laa ltaa ntagnegnetente o 1. Trazamos el radio OT de la circunferencia, es decir, del centro al punto de tangencia T (Punto de tangencia)
  8. 8. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO T DE LA MISMA 1S.i Suin uan rae cretac teas e tsa ntagnegneten tae uan uan cair cciurcnufenrfeenrecniac,i ae,l eral draiod ieon e enl eplu pnuton tdoe d tea ntagnegnecniac ieas e pse prpeerpnednicduiclaurl aar laa ltaa ntagnegnetente o 2. Trazamos la perpendicular al radio OT desde el punto T. Dicha recta es la tangente la circunferencia dada T (Punto de tangencia)
  9. 9. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO T DE LA MISMA 1. Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente o r (recta TANGENTE) T (Punto de tangencia)
  10. 10. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA PARALELAS A UNA DIRECCIÓN DADA d O
  11. 11. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA PARALELAS A UNA DIRECCIÓN DADA 1. Trazamos una perpendicular del centro O a la recta d, prolongándola hasta cortar a la circunferencia en dos puntos, T1 y T2. d O T1 T1
  12. 12. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA PARALELAS A UNA DIRECCIÓN DADA 2. T1 y T2 son los puntos de tangencia de las dos soluciones que buscamos, las rectas t1 y t2, paralelas a d en los puntos T1 y T2 d O T1 T1
  13. 13. TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO P EXTERIOR A ELLA O P TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
  14. 14. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO P EXTERIOR A ELLA O M P r1 1. Trazamos el segmento OP y su mediatriz
  15. 15. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO P EXTERIOR A ELLA O M P T1 T2 2. Trazamos la circunferencia de radio MO (=MP), que cortará a la circunferencia dada en los puntos T1 y T2, puntos de tangencia de las rectas que buscamos
  16. 16. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO P EXTERIOR A ELLA r1 O M P T1 T2 t1 t2 r2 3. Uniendo T1 y T2 con P, obtenemos las rectas tangentes buscadas. Para comprobar que están trazadas correctamente, trazamos los radios r1 y r2, que deben cortar a t1 y t2 perpendicularmente.
  17. 17. TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS O1 O2 TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
  18. 18. TANGENCIAS, T8. TANGENCIAS ENLACES, ESPIRALES Y Rectificaciones Y CURVAS TÉCNICAS TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS O1 r2 O2 r1 r1-r2 r2 1.Se traza desde O1 una circunferencia de radio igual a la diferencia entre O1 - O2
  19. 19. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS O1 M 2. Se unen O1 y O2 mediante una recta y se le calcula la mediatriz. A continuación se traza una circunferencia con centro en M y radio M-O1, que corta a la trazada anteriormente en A y B. O2 B r1 r1-r2 r2 r2 A
  20. 20. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS M A B O1 r2 O2 r1 r1-r2 r2 De esta manera estamos simplificando el problema al caso de tangente entre punto y circunferencia (el punto sería O2, y la circunferencia la de radio O1 menos O2)
  21. 21. TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS M A B O1 De esta manera estamos simplificando el problema al caso de tangente entre punto y circunferencia (el punto sería O2, y la circunferencia la de radio O1 menos O2) O2 TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
  22. 22. TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS M A B T1 O1 T2 r2 O2 r1 r1-r2 r2 3. Una vez realizadas estas dos tangentes provisionales, se prolongan los radios O1A y O1B, hasta que corten a la circunferencia dada de centro O1. Estos dos puntos serán T1 y T2, los puntos de tangencia de ésta circunferencia. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
  23. 23. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS M A B T1 T2 T3 t1 t2 O1 r2 O2 r1 r1-r2 r2 4. Se traza el radio paralelo a O1-T1 desde O2, así obtenemos T3 y por lo tanto la primera solución, la recta tangente t1
  24. 24. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS M A B T1 T2 T3 t1 r2 t2 T4 O1 O2 r1 r1-r2 r2 5. Se traza el radio paralelo a O1-T2 desde O2, así obtenemos T4 y por lo tanto la segunda solución, la recta tangente t2
  25. 25. TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS O1 O2 TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
  26. 26. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS O1 1. Este caso es similar al anterior. también se resuelve simplificando el problema al de tangencia entre un punto y una circunferencia, pero en este caso en lugar de restar los radios de las circunferencias, los sumamos. De esta manera, trazamos con centro O1 una circunferencia auxiliar O3 de radio O1-O2 O2 r1+r2 r1 r2 =O3
  27. 27. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS 2. Trazamos la mediatriz de O1(O3)-O2, y trazamos la circunferencia MO2, que corta a la circunferencia O3 en los puntos A y B A M O1 O2 B r1+r2 r1 r2 =O3
  28. 28. T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS M O1 O2 A B r1+r2 r1 r2 =O3 De esta manera estamos simplificando el problema al caso de tangente entre punto y circunferencia (el punto sería O2, y la circunferencia la de radio O1 más O2) TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
  29. 29. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS M O1 A B O2 r1+r2 r1 r2 T1 T2 3. Unimos el centro O1 con A y con B, y dichas rectas cortan a la circunferencia O1 en los puntos de tangencia T1 y T2. =O3
  30. 30. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS M O1 A B O2 r1+r2 r1 r2 T1 T2 T3 t1 4. Si trazamos una paralela a O1T1 desde O2, pero en este caso por el lado contrario del centro O2, obtendremos el punto de tangencia T3 =O3
  31. 31. TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS M O1 =O3 A B O2 r1+r2 r1 r2 T1 T2 T3 t T4 1 t2 5. Si trazamos una paralela a O1T2 desde O2, También por el lado contrario del centro O2, obtendremos el punto de tangencia T4, y uniendo T2 y T4 obtendremos la recta tangente t2 TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
  32. 32. TRAZADO DE LAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA s EN UN PUNTO DE ELLA T, CONOCIDO EL RADIO DE LAS SOLUCIONES r T R TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
  33. 33. TRAZADO DE LAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA s EN UN PUNTO DE ELLA T, CONOCIDO EL RADIO DE LAS SOLUCIONES r T R TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
  34. 34. TRAZADO DE LAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA s EN UN PUNTO DE ELLA T, CONOCIDO EL RADIO DE LAS SOLUCIONES r T O1 R O2 R TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
  35. 35. TRAZADO DE LAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA s EN UN PUNTO DE ELLA T, CONOCIDO EL RADIO DE LAS SOLUCIONES r T O1 R O2 R R R TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
  36. 36. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS TRAZADO DE LA CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA r EN UN PUNTO T DE ELLA Y QUE PASA POR UN PUNTO P DADO r T P
  37. 37. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS TRAZADO DE LA CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA r EN UN PUNTO T DE ELLA Y QUE PASA POR UN PUNTO P DADO r T P
  38. 38. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS TRAZADO DE LA CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA r EN UN PUNTO T DE ELLA Y QUE PASA POR UN PUNTO P DADO r T P o
  39. 39. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS TRAZADO DE LA CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA r EN UN PUNTO T DE ELLA Y QUE PASA POR UN PUNTO P DADO r T P o
  40. 40. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA r, QUE PASAN POR UN PUNTO P Y QUE TIENEN UN RADIO DADO r P R TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
  41. 41. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA r, QUE PASAN POR UN PUNTO P Y QUE TIENEN UN RADIO DADO r P R R TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
  42. 42. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA r, QUE PASAN POR UN PUNTO P Y QUE TIENEN UN RADIO DADO r R R P R O1 O2
  43. 43. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA r, QUE PASAN POR UN PUNTO P Y QUE TIENEN UN RADIO DADO r R R P O1 O2 R T1 T2
  44. 44. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA r, QUE PASAN POR UN PUNTO P Y QUE TIENEN UN RADIO DADO r P O1 O2 T1 T2 R R R
  45. 45. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s QUE SE CORTAN, CONOCIDO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES s r R TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
  46. 46. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s QUE SE CORTAN, CONOCIDO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES s r R R R TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
  47. 47. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s QUE SE CORTAN, CONOCIDO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES s O1 O2 O3 O4 r R R R R R R R
  48. 48. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s QUE SE CORTAN, CONOCIDO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES s O1 T1 T8 T7 T6 T5 T4 T3 T2 O2 O3 O4 r R R R R R R R
  49. 49. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s QUE SE CORTAN, CONOCIDO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES s O1 T1 T8 T7 T6 T5 T4 T3 T2 O2 O3 O4 r R R R R R R R
  50. 50. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA R DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES R O r TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
  51. 51. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA R DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES R R O r TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
  52. 52. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA R DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES R R r R+r O r O1 O2
  53. 53. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA R DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES R R r R+r r O1 O2 R-r O O3 O4
  54. 54. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA R DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES R R r R+r r T4 T3 T1 T2 O1 O2 R-r O O3 O4
  55. 55. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA R DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES R R r R+r r T4 T3 O1 T1 T2 O2 R-r O O3 O4
  56. 56. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA R DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES R R r R+r r T4 T3 O1 T1 T2 O2 R-r O O3 O4
  57. 57. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA R DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES R R r R+r r T4 T3 O1 T1 T2 O2 R-r O O3 O4
  58. 58. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA R DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES R R r R+r r T4 T3 O1 T1 T2 O2 R-r O O3 O4
  59. 59. ENLACES Se llama enlace o empalme, en los trazados geométricos, a la unión de rectas con curvas o de curvas entre sí, efectuadas por medio de su punto de tangencia. Este punto común es el que permite la transición suave de unas a otras sin brusquedades de ningún tipo. r T T1 O s O O1 T1 T2 s R R+R1 R1 T O1 P O TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
  60. 60. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS ENLACES ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s, PERPENDICULARES ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL PUNTO DE TANGENCIA T EN LA RECTA r r T s
  61. 61. ENLACES ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s, PERPENDICULARES ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL PUNTO DE TANGENCIA T EN LA RECTA r r T s Sabemos que el arco que buscamos será tangente a r en T, por tanto su centro estará en la perpendicular a r trazada desde T TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
  62. 62. ENLACES ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s, PERPENDICULARES ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL PUNTO DE TANGENCIA T EN LA RECTA r r T O s También sabemos que el centro de un arco tangente a dos rectas que se cortan se encuentra en la bisectriz del ángulo que dichas rectas forman TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
  63. 63. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS ENLACES ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s, PERPENDICULARES ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL PUNTO DE TANGENCIA T EN LA RECTA r r T T1 O s Para hallar el punto de tangencia en s, trazamos la perpendicular a s desde O
  64. 64. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS ENLACES ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s, PERPENDICULARES ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL PUNTO DE TANGENCIA T EN LA RECTA r r T T1 O s Teniendo O, T y T1, podemos trazar el arco que enlaza r y s
  65. 65. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS ENLACES ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s, PERPENDICULARES ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL PUNTO DE TANGENCIA T EN LA RECTA r r T T1 O s Teniendo O, T y T1, podemos trazar el arco que enlaza r y s
  66. 66. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS ENLACES ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL RADIO R DEL ARCO QUE LAS ENLAZA POR LA PARTE EN LA QUE SE APROXIMAN UNA A LA OTRA R r s
  67. 67. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS ENLACES R r s El centro de un arco tangente a dos rectas que se cortan se encuentra en la bisectriz del ángulo que dichas rectas forman ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL RADIO R DEL ARCO QUE LAS ENLAZA POR LA PARTE EN LA QUE SE APROXIMAN UNA A LA OTRA
  68. 68. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS ENLACES R O r r r s El arco de radio R será tangente a las rectas r y s en aquellos puntos donde dos de sus radios sean perpendiculares a r y s respectivamente, por tanto el centro O estará a distancia R de las dos rectas, es decir, en la unión de las paralelas a r y s a la distancia R ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL RADIO R DEL ARCO QUE LAS ENLAZA POR LA PARTE EN LA QUE SE APROXIMAN UNA A LA OTRA
  69. 69. ENLACES ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL RADIO R DEL ARCO QUE LAS ENLAZA POR LA PARTE EN LA QUE SE APROXIMAN UNA A LA OTRA R T1 T2 O r s Para calcular los puntos de tangencia, trazamos perpendiculares desde O a r y s r r TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
  70. 70. ENLACES ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL RADIO R DEL ARCO QUE LAS ENLAZA POR LA PARTE EN LA QUE SE APROXIMAN UNA A LA OTRA R T1 T2 O r s Una vez calculados los puntos de tangencia, podemos trazar el arco de enlace entre r y s r r TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
  71. 71. ENLACES ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL RADIO R DEL ARCO QUE LAS ENLAZA POR LA PARTE EN LA QUE SE APROXIMAN UNA A LA OTRA R T1 T2 O r s Una vez calculados los puntos de tangencia, podemos trazar el arco de enlace entre r y s r r TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
  72. 72. ENLACES ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL RADIO R DEL ARCO QUE LAS ENLAZA POR LA PARTE EN LA QUE SE APROXIMAN UNA A LA OTRA r r T1 T1 O O T2 T2 s s En el problema anterior, si no conocemos el vértice del ángulo entre r y s, trazando las paralelas obtenemos el punto O Si conocemos el vértice, basta con hallar la bisectriz del ángulo y trazar una paralela a r o s a la distancia R y obtendremos el centro O r r r TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
  73. 73. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS ENLACES ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r r s T
  74. 74. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS ENLACES ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r r d T V d s Como ya sabemos, el centro de un arco tangente a dos rectas oblicuas entre sí se encuentra en la bisectriz del ángulo que dichas rectas forman. En el caso que no veamos el vértice de dicho ángulo, trazamos dos paralelas a r y s respectivamente a una distancia d arbitraria. Así conseguiremos un ángulo de vértice V cuya bisectriz coincide con la de r y s
  75. 75. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS ENLACES ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r r d T V d s Como ya sabemos, el centro de un arco tangente a dos rectas oblicuas entre sí se encuentra en la bisectriz del ángulo que dichas rectas forman. En el caso que no veamos el vértice de dicho ángulo, trazamos dos paralelas a r y s respectivamente a una distancia d arbitraria. Así conseguiremos un ángulo de vértice V cuya bisectriz coincide con la de r y s
  76. 76. ENLACES ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r r d T V O d s Para calcular el centro del arco que buscamos trazamos por T una perpendicular a la bisectriz hallada anteriormente. Donde dicha perpendicular corta a la bisectriz está el centro O del arco que buscamos TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
  77. 77. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS ENLACES ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r r d T V O d s T1 Trazando una perpendicular a s desde O conseguimos el otro punto de tangencia T1
  78. 78. ENLACES ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r r d T V O d s T1 Trazamos el arco OT TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
  79. 79. ENLACES ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r r d T V O d s T1 El enlace es la unión de r-arco-s TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
  80. 80. ENLACES ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ, CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r r d T V O d s T1 El enlace es la unión de r-arco-s TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
  81. 81. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS Inscribe en un cuadrado cuatro circunferencias tangentes entre sí. 1. Trazamos el CUADRADO correspondiente D A C B
  82. 82. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS Inscribe en un cuadrado cuatro circunferencias tangentes entre sí. 2. Trazamos las DIAGONALES del cuadrado D A C B
  83. 83. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS Inscribe en un cuadrado cuatro circunferencias tangentes entre sí. 3. Trazamos dos perpendiculares por el centro del cuadrado desde la mitad de cada uno de los lados D A C B
  84. 84. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS Inscribe en un cuadrado cuatro circunferencias tangentes entre sí. 4. Trazamos la BISECTRIZ del ángulo que forma el lado AB del cuadrado con la diagonal AC, que cortará en O1 a la mediatriz de AB D A C B O1
  85. 85. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS Inscribe en un cuadrado cuatro circunferencias tangentes entre sí. 5. Dibujamos la circunferencia de centro O1 A T1 T2 O1 T3 D C B
  86. 86. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS Inscribe en un cuadrado cuatro circunferencias tangentes entre sí. 6. Una vez tenemos O1, ya podemos calcular el resto de centros de circunferencias. Haciendo centro en el centro del cuadrado trazamos una circunferencia que corte a la mediatriz de BC y DC en O2, O3 y O4 A O1 O2 O3 O4 T1 T2 T3 D C B
  87. 87. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS Inscribe en un cuadrado cuatro circunferencias tangentes entre sí. 7. Trazamos el resto de circunferencias A O1 O2 O3 O4 T1 T2 T3 D C B
  88. 88. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS Traza circunferencias de radio 15 cm. tangentes a las circunferencias del dibujo O1 O2
  89. 89. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS Traza circunferencias de radio 15 cm. tangentes a las circunferencias del dibujo 1. Trazamos las circunferencias concéntricas a las dadas aumentando sus radios 15 mm. O1 O2 r2 + 15 r1 + 15 r2 r1
  90. 90. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS Traza circunferencias de radio 15 cm. tangentes a las circunferencias del dibujo 2. Los puntos donde se cortan dichas circunferencias son los centros de las circunferencias tangentes buscadas O1 O4 O3 O2
  91. 91. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS Traza circunferencias de radio 15 cm. tangentes a las circunferencias del dibujo 3. Unimos los centros de las circunferencias dadas con los de las circunferencias tangentes, así obtenemos los puntos de tangencia T1, T2, T3 y T4, fundamentales para trazar las circunferencias resultado O1 O4 O3 T1 T2 T4 T3 O2
  92. 92. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS Traza circunferencias de radio 15 cm. tangentes a las circunferencias del dibujo 4. Trazamos las circunferencias O1 y O2, tangentes a las circunferencias dadas. O1 O4 O3 O2 T1 T2 T4 T3
  93. 93. Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm. 12 28 46 56 12 TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
  94. 94. Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm. 1. Trazamos dos ejes perpendiculares y haciendo centro en la intersección de ambos trazamos las dos circunferencias centrales concéntricas (14 y 23 mm. de radios, ya que sus diámetros miden 28 y 46 respectivamente) 14 23 12 28 46 56 12 TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
  95. 95. Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm. 2. Hallamos la situación de los centros de las circunferencias de los extremos, a 56 mm de distancia en el eje mayor 14 23 56 12 28 46 56 12 TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
  96. 96. Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm. 2. Trazamos las circunferencias pequeñas ( 6mm. de radio) y los arcos de circunferencia de los extremos (12 mm. de radio). 12 6 56 12 28 46 56 12 TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
  97. 97. Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm. 3. El resto del dibujo se resuelve con el procedimiento de rectas tangentes exteriores a dos circunferencias 56 T1 T2 12 28 46 56 12 TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
  98. 98. Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm. 3. El resto del dibujo se resuelve con el procedimiento de rectas tangentes exteriores a dos circunferencias 56 T1 T3 T4 T2 12 28 46 56 12 TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
  99. 99. Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm. 3. El resto del dibujo se resuelve con el procedimiento de rectas tangentes exteriores a dos circunferencias 56 T1 T3 T4 T2 12 28 46 56 12 TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
  100. 100. Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm. 3. El resto del dibujo se resuelve con el procedimiento de rectas tangentes exteriores a dos circunferencias T1 P Q 56 T3 T4 T2 T5 T6 T7 T8 12 28 46 56 12 TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
  101. 101. Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm. 3. El resto del dibujo se resuelve con el procedimiento de rectas tangentes exteriores a dos circunferencias T1 P Q 56 T3 T4 T2 T5 T6 T7 T8 12 28 46 56 12 TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
  102. 102. Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm. 3. El resto del dibujo se resuelve con el procedimiento de rectas tangentes exteriores a dos circunferencias T1 P Q 56 T3 T4 T2 T5 T6 T7 T8 12 28 46 56 12 TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
  103. 103. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS ESPIRAL DE BASE UN SEGMENTO (DE DOS CENTROS) B A
  104. 104. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS ESPIRAL DE BASE UN SEGMENTO (DE DOS CENTROS) B A 1
  105. 105. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS ESPIRAL DE BASE UN SEGMENTO (DE DOS CENTROS) B A 1 paso 2
  106. 106. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS ESPIRAL DE BASE UN SEGMENTO (DE DOS CENTROS) 2 1 3 B A
  107. 107. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS ESPIRAL DE BASE UN SEGMENTO (DE DOS CENTROS) 4 2 1 3 B A
  108. 108. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS ESPIRAL DE BASE UN SEGMENTO (DE DOS CENTROS) 4 2 1 3 5 B A
  109. 109. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS ESPIRAL DE BASE UN SEGMENTO (DE DOS CENTROS) 6 4 2 1 3 5 B A
  110. 110. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS ESPIRAL DE BASE UN SEGMENTO (DE DOS CENTROS) 6 4 2 1 3 5 7 B A
  111. 111. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS ESPIRAL DE BASE UN SEGMENTO (DE DOS CENTROS) 6 4 2 1 3 5 7 B A
  112. 112. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS VOLUTA DE BASE TRIANGULAR (ESPIRAL DE TRES CENTROS) A C B
  113. 113. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS VOLUTA DE BASE TRIANGULAR (ESPIRAL DE TRES CENTROS) A C B
  114. 114. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS VOLUTA DE BASE TRIANGULAR (ESPIRAL DE TRES CENTROS) A C B 1
  115. 115. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS VOLUTA DE BASE TRIANGULAR (ESPIRAL DE TRES CENTROS) A C B 2 1
  116. 116. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS VOLUTA DE BASE TRIANGULAR (ESPIRAL DE TRES CENTROS) A C B 2 1 3 paso
  117. 117. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS VOLUTA DE BASE TRIANGULAR (ESPIRAL DE TRES CENTROS) A C B 2 1 3 4
  118. 118. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS VOLUTA DE BASE TRIANGULAR (ESPIRAL DE TRES CENTROS) A C B 2 1 5 3 4
  119. 119. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS VOLUTA DE BASE TRIANGULAR (ESPIRAL DE TRES CENTROS) A C B 2 1 5 6 3 4
  120. 120. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS VOLUTA DE BASE CUADRADA (ESPIRAL DE CUATRO CENTROS) D C A B
  121. 121. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS VOLUTA DE BASE CUADRADA (ESPIRAL DE CUATRO CENTROS) D C A B
  122. 122. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS VOLUTA DE BASE CUADRADA (ESPIRAL DE CUATRO CENTROS) D C A 1 B
  123. 123. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS VOLUTA DE BASE CUADRADA (ESPIRAL DE CUATRO CENTROS) D C A 1 2 B
  124. 124. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS VOLUTA DE BASE CUADRADA (ESPIRAL DE CUATRO CENTROS) D C A 1 3 2 B
  125. 125. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS VOLUTA DE BASE CUADRADA (ESPIRAL DE CUATRO CENTROS) D C A 1 4 3 2 paso B
  126. 126. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS VOLUTA DE BASE CUADRADA (ESPIRAL DE CUATRO CENTROS) D C A 1 5 4 3 2 B
  127. 127. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS VOLUTA DE BASE CUADRADA (ESPIRAL DE CUATRO CENTROS) D C A 1 5 4 3 2 6 B
  128. 128. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS VOLUTA DE BASE CUADRADA (ESPIRAL DE CUATRO CENTROS) 7 D C A 1 5 4 3 2 6 B
  129. 129. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS VOLUTA DE BASE CUADRADA (ESPIRAL DE CUATRO CENTROS) 7 D C A 1 5 8 4 3 2 6 B
  130. 130. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS VOLUTA DE BASE CUADRADA (ESPIRAL DE CUATRO CENTROS) 7 D C A 1 5 9 8 4 3 2 6 B
  131. 131. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS VOLUTA DE BASE CUADRADA (ESPIRAL DE CUATRO CENTROS) 7 D C A 1 5 9 8 4 3 2 6 10 B
  132. 132. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS VOLUTA DE BASE CUADRADA (ESPIRAL DE CUATRO CENTROS) 7 D C A 1 5 9 8 4 3 2 6 10 B
  133. 133. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS CONSTRUCCIÓN DEL ÓVALO CONOCIDO EL EJE MAYOR (de tres partes) A B
  134. 134. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS CONSTRUCCIÓN DEL ÓVALO CONOCIDO EL EJE MAYOR (de tres partes) 1 2 3 A O1 O2 B
  135. 135. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS CONSTRUCCIÓN DEL ÓVALO CONOCIDO EL EJE MAYOR (de tres partes) A O1 O3 O4 O2 B 1 2 3
  136. 136. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS CONSTRUCCIÓN DEL ÓVALO CONOCIDO EL EJE MAYOR (de tres partes) T1 1 A O1 T2 O3 2 O4 3 O2 B T3 T4
  137. 137. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS CONSTRUCCIÓN DEL ÓVALO CONOCIDO EL EJE MAYOR (de tres partes) A O1 O3 O4 T2 O2 B 1 2 3 T1 T3 T4
  138. 138. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS CONSTRUCCIÓN DEL ÓVALO CONOCIDO EL EJE MAYOR (de tres partes) A O1 O3 O4 T2 O2 B 1 2 3 T1 T3 T4
  139. 139. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS CONSTRUCCIÓN DEL ÓVALO CONOCIDO EL EJE MAYOR (de tres partes) A O1 O3 O4 T2 O2 B 1 2 3 T1 T3 T4
  140. 140. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS CONSTRUCCIÓN DEL OVOIDE CONOCIDO EL EJE MENOR C D
  141. 141. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS CONSTRUCCIÓN DEL OVOIDE CONOCIDO EL EJE MENOR C O2 O1 O3 D
  142. 142. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS CONSTRUCCIÓN DEL OVOIDE CONOCIDO EL EJE MENOR C O1 D O4 O2 O3
  143. 143. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS CONSTRUCCIÓN DEL OVOIDE CONOCIDO EL EJE MENOR C O1 D O4 O2 O3
  144. 144. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS CONSTRUCCIÓN DEL OVOIDE CONOCIDO EL EJE MENOR C O1 D O4 O2 O3
  145. 145. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS CONSTRUCCIÓN DEL OVOIDE CONOCIDO EL EJE MENOR C O1 D O4 O2 T2 T1 T2 T1 O3
  146. 146. TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS CONSTRUCCIÓN DEL OVOIDE CONOCIDO EL EJE MENOR C O1 D O4 O2 T2 T1 T2 T1 O3

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