1. ESTÁTICA
CAPÍTULO II
RESULTANTES DE SISTEMAS DE
FUERZAS
MSc. Andrés Velástegui Montoya
Facultad de Ingeniería en Ciencias de la Tierra (FICT)
andvelastegui@gmail.com
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2. Objetivos
 Analizar el concepto de momento de una fuerza y mostrar




cómo calcularla.
Proporcionar un método para encontrar el momento de una
fuerza con respecto a un eje específico.
Definir el momento de un par
Presentar métodos para determinar las resultantes de sistemas
de fuerza no concurrentes.
Indicar cómo reducir una carga simple distribuida a una fuerza
resultante con una localización específica.
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3. Momento de una fuerza -formulación escalar
 El momento de una fuerza con respecto a un punto o eje
proporciona una medida de la tendencia de la fuerza a
ocasionar que un cuerpo gire alrededor del punto o eje.
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4. Momento de una fuerza -formulación escalar
 Magnitud. La magnitud MO es donde d es referido como brazo
de momento o distancia perpendicular del eje en el punto O a la
línea de acción de la fuerza. Las unidades de la magnitud del
momento son [N-m] o [lb-pies].
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5. Momento de una fuerza -formulación escalar
 Dirección. La dirección de MO será especificada usando la "regla de la
mano derecha". Enrollando los dedos de la mano derecha de r hacia F, "r
cruz F", el pulgar está dirigido hacia arriba o perpendicularmente al plano
que contiene r y F y esto en la misma dirección que MO.
“El momento siempre actúa con respecto a un eje que es perpendicular al plano que contiene
F y d, y que este eje interseca al plano en el punto (O)”
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6. Momento de una fuerza - formulación escalar
 Momento resultante de un sistema de fuerzas coplanares. Si un sistema de fuerzas se
encuentra en un plano x-y, entonces el momento producido por cada fuerza con respecto al
punto O estará dirigido a lo largo del eje z.
El momento resultante MRO del sistema puede ser determinado sumando simplemente los
momentos de todas las fuerzas algebraicamente ya que todos los vectores momento son
colineales.
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7. Ejercicio
 Para cada caso ilustrado, determine el momento de la fuerza
con respecto al punto O.
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8. Momento de una fuerza - formulación vectorial
 El momento de una fuerza F con respecto al punto O y perpendicular al plano que contiene a O
y a F puede expresar usando el producto cruz, es decir:
 r representa un vector posición trazado desde O hasta cualquier punto que se encuentre sobre
la línea de acción de F.
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9. Momento de una fuerza - formulación vectorial
 Magnitud. La magnitud del producto cruz se define con la ecuación MO =
r*F*senθ, donde el ángulo θ se mide entre “las colas” de r y F.
 Dirección. La dirección y el sentido de MO están determinados por la regla de la
mano derecha.
Como producto cruz no es conmutativo, es importante que se mantenga el orden
correcto de r y F.
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10. Momento de una fuerza - formulación vectorial
 Principio de transmisibilidad. Considere la fuerza F aplicada en el punto A. El momento
producido por F con respecto a O es MO = rA x F.
 "r" puede extenderse desde O hasta cualquier punto sobre la línea de acción de F.
 F puede ser aplicado en el punto B o C y se obtendrá el mismo momento MO=rBxF =rCxF.
 F tiene las propiedades de un vector deslizante y puede actuar entonces en cualquier
punto a lo largo de su línea de acción y producirá aún el mismo momento con respecto al
punto O.
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11. Momento de una fuerza - formulación vectorial
 Formulación vectorial cartesiana. Si establecemos ejes coordenados x, y, z, el vector
posición r y el vector F pueden expresarse como vectores cartesianos.
donde:
Si se desarrolla el determinante tenemos entonces:
“El cálculo del momento usando el producto cruz tiene
una ventaja clara sobre la formulación escalar al
resolver problemas en tres dimensiones”
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12. Momento de una fuerza - formulación vectorial
 Momento resultante de un sistema de fuerzas. Si un sistema de fuerzas actúa sobre un
cuerpo, el momento resultante de las fuerzas con respecto al punto O puede ser determinado
mediante la adición vectorial que resulta de aplicaciones sucesivas de las ecuación MO = r x F.
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13. Tarea
 (5) Determine el momento con respecto al punto A de cada una
de las fuerzas que actúan sobre la viga.
 (6) Determine el momento con respecto al punto B de cada una
de las fuerzas que actúan sobre la viga.
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14. Tarea
 (7) Determine el momento de cada una de las tres fuerzas con
respecto al punto A. Resuelva el problema usando primero cada
fuerza como un todo, y luego aplique el principio de
momentos.
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15. Momento de un par
 Un par se define como dos fuerzas paralelas que tienen la
misma magnitud, con direcciones opuestas, y están separadas
por una distancia perpendicular d.
Como la fuerza resultante es cero, el único efecto de un par es
producir una rotación o tendencia a rotar en una dirección
específica.
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16. Momento de un par
 El momento producido por un par se denomina momento de
par. Podemos determinar su valor encontrando la suma de los
momentos de ambas fuerzas del par con respecto a cualquier
punto arbitrario.
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17. Momento de un par
 Es más fácil tomar momentos con respecto a un punto que se
encuentre sobre la línea de acción de una de las fuerzas.
Si se elige el punto A, entonces el momento de -F con respecto a A es
cero, y tenemos.
Un momento de par es un vector libre, es decir, puede actuar en
cualquier punto ya que M depende sólo del vector posición r
dirigido entre las fuerzas y no de los vectores de posición rA y
rB, dirigidos desde el punto arbitrario O hasta las fuerzas.
Este concepto es, por tanto, diferente al momento de una fuerza, la
cual requiere un punto definido (o eje) con respecto al cual los
momentos son determinados.
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18. Momento de un par
 Formulación escalar. El momento de un par M,
Donde F es la magnitud de una de las fuerzas y d la distancia perpendicular
o brazo de momento entre las fuerzas. La dirección y el sentido del
momento de par son determinados mediante la regla de la mano derecha.
M actúa perpendicularmente al plano que contiene esas fuerzas.
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19. Momento de un par
 Pares equivalentes. Se dice que dos pares son equivalentes si producen el
mismo momento. Es necesario que las fuerzas de pares iguales se
encuentren en el mismo plano o en planos que sean paralelos entre sí.
La dirección de cada momento de par será la misma, esto es, perpendicular
a los planos paralelos.
 Momento del par resultante.
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20. Ejercicio
 Un par actúa sobre los dientes del engrane, Reemplácelo por un
par equivalente de un par de fuerzas que actúe a través de los
puntos A y B.
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21. Ejercicio
 Determine el momento del par que actúa sobre el miembro
mostrado.
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22. Tarea



(8) Dos pares actúan sobre la estructura. Si el momento del par resultante debe ser cero, determine la
distancia d entre las fuerzas del par de 80 lb.
(9) Dos pares actúan sobre la estructura. Si d = 4 pies, determine el momento de par resultante. Calcule el
resultado resolviendo cada fuerza en componentes x y y, (a) encontrando el momento de cada par y (b)
sumando los momentos de todas las componentes de fuerza con respecto al punto A.
(10) Dos pares actúan sobre la estructura. Si d = 4 pies, determine el momento de par resultante. Calcule el
resultado resolviendo cada fuerza en componentes x y y, (a) encontrando el momento de cada par y (b)
sumando los momentos de todas las componentes de fuerza con respecto al punto B.
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23. Sistema equivalente
 Método usado para simplificar un sistema de fuerzas y momentos de par que actúan sobre un
cuerpo a una sola fuerza resultante y un momento de par actuando en un punto específico O.
 El punto O está sobre la línea de acción de la fuerza. La fuerza puede ser considerada como
un vector deslizante ya que puede actuar en cualquier punto O a lo largo de su línea de acción.
Es importante ver que sólo los efectos externos como el movimiento del cuerpo o las fuerzas
necesarias para soportar el cuerpo si es estacionario, permanecen sin cambio después que F se
ha desplazado. Naturalmente que los efectos internos dependen de donde se localice F.
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24. Sistema equivalente
 El punto O no está sobre la línea de acción de la fuerza. Cuando el punto no esté sobre la
línea de acción de la fuerza traslade la fuerza al punto y sume un momento de par en cualquier
lugar del cuerpo. Este momento de par se encuentra tomando el momento de la fuerza con
respecto al punto.
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25. Resultantes de un sistema de una fuerza y un par
 Cuando un cuerpo rígido está sometido a un sistema de fuerzas y momentos de par,
a menudo es más sencillo estudiar los efectos externos sobre el cuerpo
reemplazando el sistema por una sola fuerza resultante equivalente actuando en un
punto específico O y un momento de par resultante.
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26. Ejercicio
 Reemplace las fuerzas que actúan sobre la pieza mostrada, por
una fuerza resultante y un momento de par equivalentes
actuando en el punto A.
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27. Reducción adicional de un sistema de una fuerza y un par
 Simplificación a una sola fuerza resultante. Considere ahora un caso especial en
el cual el sistema de fuerzas y momentos de par que actúan sobre un cuerpo rígido.
 Se reduce en el punto O a una fuerza resultante FR = ∑F y a un momento de par
resultante MRO = ∑MO, los cuales son perpendiculares entre sí.
 Podemos simplificar adicionalmente el sistema de fuerza y momento de par
desplazando FR a otro punto P, localizado sobre o fuera del cuerpo de manera que
ningún momento de par resultante tenga que ser aplicado al cuerpo.
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28. Ejercicio
 La grúa mostrada, está sometida a tres fuerzas coplanares. Reemplace esta carga por
una fuerza resultante equivalente y especifique en qué punto la línea de acción de la
resultante interseca la columna AB y el pescante BC.
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29. Tarea
 (11) Reemplace el sistema de fuerzas actuando sobre la viga
por una fuerza y momento de un par equivalente en el punto A.
 (12) Reemplace el sistema de fuerzas actuando sobre la viga
por una fuerza y momento de un par equivalente en el punto B.
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30. Tarea
 (13) Reemplace la carga sobre el marco por una sola fuerza
resultante. Especifique dónde interseca
acción, medida desde A, al miembro AB.
su
línea
de
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31. Tarea



(14) Reemplace el sistema de fuerzas que actúa sobre la estructura por una fuerza resultante equivalente y
especifique dónde interseca la línea de acción de la resultante al miembro AB, medida esta intersección
desde el punto A.
(15) Reemplace el sistema de fuerzas que actúa sobre la estructura por una fuerza resultante equivalente y
especifique dónde interseca la línea de acción de la resultante al miembro BC, medida esta intersección
desde el punto B.
(16) Reemplace el sistema de fuerzas que actúa sobre la estructura por una fuerza y un momento de par
resultante equivalentes que actúen en el punto A.
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32. Reducción de una carga simple distribuida
 En muchas situaciones un área superficial muy grande de un cuerpo puede estar
sometida a cargas distribuidas como las causadas por viento, fluidos, o simplemente
el peso de material soportado sobre la superficie del cuerpo.
 La intensidad de esas cargas en cada punto de la superficie se define como la presión
p (fuerza por área unitaria), la cual puede ser medida en unidades de lb/pie2 o
pascales (Pa), donde 1 Pa = 1 N/m2.
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33. Reducción de una carga simple distribuida
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34. Ejercicio
 Una carga distribuida p = 800x Pa actúa sobre la superficie
superior de la viga mostrada. Determine la magnitud y la
ubicación de la fuerza resultante equivalente.
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35. Ejercicio
 El material granular ejerce una carga distribuida sobre la viga
como se muestra en la figura. Determine la magnitud y la
ubicación de la resultante equivalente de esta carga.
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36. Tarea
 (17) La columna se usa para dar soporte al piso que ejerce una fuerza de 3000lb sobre la parte
superior de la columna. El efecto de la presión del suelo a lo largo de su lado es distribuido
como se muestra. Reemplace esta carga por una fuerza resultante equivalente y especifique
dónde actúa ésta a lo largo de la columna, medida desde su base A.
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37. Tarea
 (18) Reemplace la carga por una fuerza y un momento de par equivalentes
actuando en el punto O.
 (19) Reemplace la carga por una sola fuerza resultante, y especifique la
ubicación de la fuerza sobre la viga medida desde el punto O.
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38. Tarea
 (20) Reemplace la carga distribuida por una fuerza resultante equivalente y
especifique dónde interseca su línea de acción al miembro AB, medida
desde A.
 (21) Reemplace la carga distribuida por una fuerza resultante equivalente y
especifique dónde interseca su línea de acción al miembro BC, medida
desde C.
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