Teoría acerca de las Rentas Variables en Progresión Geométrica. Matemáticas Financieras.
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PP_Comunicacion en Salud: Objetivación de signos y síntomas
MATEMATICAS FINANCEIRAS. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA. TEORÍA
1. TEORÍA DE RENTAS DISCRETAS
Rentas Variables en Progresión
Geométrica (teoría)
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Departamento Métodos Cuantitativos
Universidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
2. www.jagonzalez.blogsgo.com RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “q” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
a1 a2 a3 …... an-1 an
0 1 2 3 n-1 n
Siendo,
n
n
n
n iaiaiaiaiaA
)1()1()1()1()1( )1(
1
3
3
2
2
1
1
nnnn
iqaiqaiqaiqaiaA
)1()1()1()1()1( 1)1(23221
aa 1
qaa 2
2
3 qaa
1
k
k qaa
1
n
n qaa
nnnn
vqavqavqavqavaA 112322
Por simplificar, sustituyo (muy importante) por v
1
)1(
i 1
)1(
iv
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Sacando factor común…
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
112222
1
nnnn
vqvqvqvqvaA
Se trata de una progresión geométrica, para cuya suma necesitamos conocer los siguientes valores:
Primer Término (PT)
Último Término (UT)
Razón (R)
Ya que la suma de la progresión geométrica es:
1R
PTRUT
PG
1PT
11
nn
vqUT
vqR
1
111
vq
vqvq
PG
nn
1
1
vq
vq
PG
nn
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Por lo tanto,
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
1
1
vq
vq
vaA
nn
Siempre que 1vq
)1(1
)1(
1)1(1 1
iq
i
q
iqvq
)1( iq
Si ocurre lo contrario, es decir, si volvemos a la fórmula anterior:1vq
112222
1
nnnn
vqvqvqvqvaA
nvavaA nn
122
11111
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Tenemos, por tanto, dos fórmulas distintas para el valor actual de una renta variable en progresión
geométrica
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
1
1
vq
vq
va
nn
Siempre que 1vq )1( iq
nva Siempre que 1vq )1( iq
A
Esta fórmula traslada el valor de n términos anuales variables en progresión geométrica de razón q a un período antes de
efectuar el primer pago, en este caso, el año 0
Teniendo en cuenta esta interpretación, podemos aplicar esta fórmula a las rentas inmediatas prepagables y
a las diferidas postpagables y prepagables
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Respecto al valor final, no vamos a estudiar una segunda fórmula, sino que capitalizaremos el valor actual
hasta el momento n para calcular el valor final de esta renta.
Por tanto…
1
)1(
)1(
1
1
)1(
vq
iq
vai
vq
vq
vaiAS
nn
n
nn
n
Esta fórmula traslada el valor de n términos anuales variables en progresión aritmética de razón p al momento en el que
vence el último término, en este caso, al momento n
Teniendo en cuenta esta interpretación, podemos aplicar esta fórmula a las rentas inmediatas prepagables y
a las diferidas postpagables y prepagables
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
Siempre que )1( iq
nn
invaiAS )1()1( Siempre que )1( iq
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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, DIFERIDA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1
........
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
2n
aq 1n
aqaqa
d
nn
i
vq
vq
va
)1(
1
1 Siempre que 1vq )1( iq
d
inva
)1(
Siempre que 1vq )1( iq
A
n
iAS )1(
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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, PREPAGABLE Y TEMPORAL
.......
0 1 2 nn-1
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
2n
aq 1n
aqaqa
)1(
1
1
i
vq
vq
va
nn
Siempre que 1vq )1( iq
)1( inva
Siempre que 1vq )1( iq
A
n
iAS )1(
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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, DIFERIDA, PREPAGABLEY TEMPORAL
d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1
........
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
2n
aq 1n
aqaqa
)1(
)1(
1
1
d
nn
i
vq
vq
va Siempre que 1vq )1( iq
)1(
)1(
d
inva
Siempre que 1vq )1( iq
A
n
iAS )1(
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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y PERPETUA
0 1 2 3
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
aqa 2
aq
1
1
vq
vq
vaLim
nn
n
Siempre que 1vq )1( iq
nvaLimn
Siempre que 1vq )1( iq
ALimA n
nvaLimn
1
1
)1(
1
1
1
1
vq
i
q
Lim
va
vq
vqLim
va
vq
vq
vaLim
n
n
nnn
n
nn
n
n
n
n
i
q
Lim
)1(
Si
n
n
n
i
q
Limiq
)1(
)1(
Si 0
)1(
)1(
n
n
n
i
q
Limiq
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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y PERPETUA
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
Siempre que )1( iq
Siempre que )1( iq
ALimA n
Por tanto,
qi
a
iq
a
i
iq
i
a
i
q
i
a
vq
av
vq
va
vq
i
q
Lim
vaLim
n
n
n
n
1)1(
)1(
)1(
)1(
1
)1(
)1(
11
10
1
1
)1(
qi
a
1
Siempre que )1( iq
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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y PERPETUA
Si la renta perpetua es además prepagable…..
Por tanto…
)1(
1
i
qi
a
A
Si la renta perpetua es además diferida…..
d
i
qi
a
A
)1(
1
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
qi
a
A
1
Si )1( iq