1. О топологии веревок,
неевклидовой геометрии и
фрактальной укладке ДНК в
хромосомах
Сергей Нечаев
Физический Институт РАН, Москва, Россия
LPTMS, CNRS, UMR 8626, Université Paris-Sud,
Orsay, France

3. ~длины путиR ~длины путиR

6. Число оборотов вокруг пальмы =
0
и траектория незацеплена

7. Число оборотов вокруг каждой
из пальм = 0
... а траектория зацеплена!!!

8. Контур Похгаммера
Траектория зацеплена за обе точки
вместе, но не зацеплена за каждую

9. "Генераторы" поворотов
a+
a-
b+
b-

10. Зацепления и "слова"
== a+
a+
a-
= a+
Каждый раз, при пересечении оси, зацепление = 0
Число таких "нулевых" зацеплений ~число шагов

11. = a+
b-
a-
b+
= a+
a-
b-
b+
? a b

b a
Буквы (зацепления) некоммутируют
= 1
Некоммутативные группы

12. Граф (скелет) коммутативной
группы
a
b
a
b
a b = a b
Граф некоммутативной
("свободной") группы
a
b
a
b
a b a b




Периметр растет как ~ Rα
Периметр растет как ~ 3
R

13. a-
Удаление от корня дерева
= "сложность" зацепления
a+
b-
a-
b+
b-
a-
=
a+
b-
a-
b+
b-
a-
b+ Возвращение в корень
= распутывание!!!
Метрика в группе слов
= a+
b-
a-
a-

14. В какое пространство изометрически
(с сохранением расстояний и углов)
можно вложить однородное дерево?
Плоскость (пространство)
Лобачевского

15. Покрытие плоскости Лобачевского и
"предел на круге" Мориса Эшера
Попытка "втиснуть" дерево в
обычное пространство

16. Гиперболическая геометрия в живой природе
коралл
рельеф на основе
функции Дедекинда

17. Зацепления: цепь в решетке препятствий
Вероятность случайного распутывания,
т.е. возвращения в корень ~ e-const N
,
но (!!!)...

18. Как далеко по дереву мы ушли за
половину шагов при условии, что на
последнем шаге вернулись в корень?
~длины путиR
Как на обычной плоскости без кривизны!

19. Узлы: плетенки
Модель: квази-двумерная система,
соответствующуя плотной упаковке нити в щели

20. Модель глобулы – плотный узел, полностью
покрывающий прямоугольную решетку
h wL L×
1kb = +
1kb = −
Сохранен только
"топологический беспорядок"

21. Каково типичное топологическое состояние
"дочернего" (квази)узла при условии, что
"родительский" узел тривиален?
Квазиузел – участок траектории, дополненный
граничными условиями
tL hL
wL

22. Типичная безусловная
сложность n случайного
узла
Типичная условная
сложность n* дочернего
(квази)узла
t wn N L L= ×: * h wn N L L= ×:
tL
wL
hL

23. Как плотно уложить нить в пространстве
так, чтобы
любой ее кусок был бы (почти)
незацеплен?
Складчатая глобула

24. Длина ДНК ~2 м, содержит ~3 миллиарда пар
оснований и упакована в клеточном ядре ~20 мкм
При транскрипции фрагменту ДНК необходимо
"выпутаться" из упакованного состояния, а затем
снова "сложиться"
Как это сделать быстро и
обратимо???

25. Участки остаются почти
неперепутанными на
своем масштабе.
Именно эта укладка
ДНК предполагается в
складчатой глобуле
Различные участки
кольца проникают друг
в друга и
перепутываются

26. Что определялось в Hi-C эксперименте?
(genome-wide chromosome conformation capture method)
Какова вероятность того, что концы
участка ДНК длины s в хромосоме
окажутся рядом?
s s
3/
1
( ) ~ fD
P s
s
Df - фрактальная
размерность
1/ 1/2
~ ~fD
sR s 1/3
~R s
Df = 3
для складчатой
глобулы

27. Пример карты Hi-C
Яркость - вероятность
контакта i-ого и j-ого
фрагмента
Наилучшее разрешение
2 килобазы
Яркость (в среднем)
спадает как 1/s

28. Участники: E. Lieberman-Aiden
N.L. van Berkum
L.Williams
Максим Имакаев
T. Ragoczy
A. Telling
I. Amit
B. R. Lajoie
P. J. Sabo
M. O. Dorschner
R. Sandstrom
B. Bernstein
M.A. Bender
M. Groudine
A. Gnirke
J. Stamatoyannopoulos
E.S. Lander
__________________
S. Havlin
Y. Rabin
A. Neer
Олег Васильев
Job Dekker Леонид
Мирный
HiC team
Александр
Гросберг
Евгений
Шахнович
С.Н.

29. to be continued ???