1. Este documento presenta una serie de ejercicios de cálculo diferencial que incluyen demostraciones de propiedades algebraicas y trascendentales de números reales y racionales. 2. Se pide probar propiedades como que si a > 0 entonces 1/a > 0; que entre cualquier par de números reales x e y con x < y existe al menos un número real z tal que x < z < y; y que si x es racional y y irracional, entonces cualquier operación entre x y y da como resultado un número irracional. 3. También se incluy

1. 1
EJERCICIOS
C´alculo diferencial en una variable
1. Demostrar lo siguiente:
a. Si a > 0, tambi´en 1/a > 0; si a < 0 entonces 1/a < 0.
b. Si 0 < a < b entonces 0 < b−1
< a−1
.
c. Si 0 < x < 1 y 0 < y < 1 entonces 0 < xy < 1.
d. Si 0 ≤ a < b entonces a2
< b2
.
e. Si a, b ≥ 0 y a2
< b2
entonces a < b.
f. Si 0 ≤ x < y entonces xn
< yn
, n = 1, 2, 3, . . . .
g. Si x < y y n es impar entonces xn
< yn
.
h. Si a = 0 entonces a2
+ 1
a2 ≥ 2.
i. Si a − b = b − a entonces a = b.
j. − a
b = −a
b = a
−b si b = 0.
k. 2 = 0.
l. Si 0 ≤ a < b y 0 ≤ c < d entonces ac < bd.
2. Si x e y son n´umeros reales cualesquiera, x < y, demostrar que existe por lo menos un n´umero real z tal
que x < z < y.
3. Si x > 0, demostrar que existe un entero positivo n tal que 1/n < x.
4. Si x es racional, x = 0 e y es irracional, demostrar que x + y, x − y, xy, y/x son todos irracionales.
5. Pruebe que si x, y ∈ Q con x < y entonces existe un n´umero irracional α tal que x < α < y. (Sugerencia:
α = x + y−x√
2
)
6. Si x e y son n´umeros reales cualesquiera, x < y, demostrar que existe por lo menos un n´umero irracional
z tal que x < z < y y deducir que existen infinitos.
7. Si a, b y c son positivos y si a + b + c = 1, demostrar que (1 − a)(1 − b)(1 − c) ≥ 8abc.
8. Hallar el n´umero racional cuyo desarrollo decimal es 0, 334444 . . . .
9. Demuestre que si x e y no son ambos 0 entonces x2
+ xy + y2
> 0
10. Halle el menor valor posible de x2
− 3x + 2y2
+ 4y + 2.
11. Explique c´omo se localiza el punto de la recta real que corresponde a
√
3.
12. Sean A y B dos conjuntos de n´umeros reales acotados superiormente, a = sup A y b = sup B. Si C es
el conjunto de los n´umeros reales formados considerando todos los productos de la forma xy, donde x ∈ A
y y ∈ B, demostrar que en general, ab = sup C.
13. Hallar el sup y el inf (si existen) de cada uno de los siguientes conjuntos de n´umeros reales. Decida
tambi´en cuales de ellos poseen un elemento m´aximo y un elemento m´ınimo.

2. 2
(a) Todos los n´umeros de la forma 2−p
+ 3−q
+ 5−r
, donde p, q y r toman todos los valores enteros
positivos.
(b) {x : x2
+ x + 1 ≥ 0}.
(c) {1/n : n ∈ Z, n = 0}.
(c) {1/n + (−1)n
: n ∈ Z+
}.