Boletin 1º diciembre

“Innova Schools”
Del colegio a la Universidad Mes: Diciembre 2013
Lideres en Educación 1er Grado de Secundaria
1
Lideres en Educación Del colegio a laUniversidad
2013
Colegios “Innova Schools”
Inicial – Primaria - Secundaria
www.innovaschools.
edu.pe
Del Colegio a laUniversidad

2
TALLER DE APRENDIZAJE
En el siguiente diagrama se muestra las preferencias de
un grupo de personas por diferentes medios de
comunicación:
1. ¿Cuántas personas prefieren la TV?
2. ¿Cuántas personas prefieren la radio?
3. ¿Cuántas personas prefieren los periódicos?
4. ¿Cuántas personas prefieren los tres medios?
5. ¿Cuántas personas prefieren sólo la TV y la radio?
6. ¿Cuántas personas prefieren sólo los periódicos y la
TV?
7. ¿Cuántas personas prefieren sólo la TV?
8. ¿Cuántas personas prefieren sólo la radio?
9. ¿Cuántas personas prefieren sólo los periódicos?
10. ¿Cuántas personas en total dieron su opinión?
Enunciado
Dados los conjuntos:
A = {1; 2; 3; 5; 6}
B = {2; 4; 6; 8}
C = {1; 2; 4; 5; 7}
11. Hallar el cardinal de (A - B)  C.
Enunciado
Sean los conjuntos:
A = {1; 2; 3}
B = {1; 2}
C = {2; 3; 4}
12. Al completar el diagrama, ¿cuántos de sus espacios son
conjuntos unitarios?
13. ¿Cuántos de sus espacios son conjuntos vacíos?
A B
C
7
4
5
2
3
8
4
A: TV
B: Radio
C: Periódicos
ARITMÉTICA
NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 01 PRIMER GRADO
APLICACIONES DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS

3
1. Dados los conjuntos “A” y “B”, se sabe que:
Hallar: n(A) + n(B)
a) 24 b) 28 c) 31
d) 45 e) 46
2. Se sabe que:
Hallar: 5n(A) - 4n(B)
a) 42 b) 26 c) 56
d) 28 e) 34
3. Si: n (A - B) = 10; n(B - A) = 14; n (A B) = 6, ¿cuántos
elementos posee: B (A  B)?
a) 12 b) 24 c) 34
d) 45 e) 54
4. Siendo "A" y "B" dos conjuntos no disjuntos y además:
n(A) = 40 ; n(A - B) = 28 ; n(B - A) = 6
Hallar el valor de: n(A B) + n(B)
a) 6 b) 12 c) 18
d) 24 e) 30
5. Si: n(P) = 15; n(Q) = 22; n(P  Q) = 30
Hallar: n(P  Q)
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
6. Dados los conjuntos “A” y “B” subconjuntos del
universo “U”, tal que:
n(U) = 20 n(A  B) = 3
n(A’) = 12 n(B) = 11
Hallar: n(A  B)
a) 10 b) 17 c) 13
d) 15 e) 12
Enunciado
El siguiente diagrama, muestra el número de personas que
tocan determinado instrumento.
7. ¿Cuántos tocan violín y guitarra y cuántos tocan violín
y guitarra pero no cajón?
a) 7 y 5 b) 8 y 4 c) 9 y 3
d) 10 y 2 e) 11 y 1
8. ¿Cuántos tocan violín y guitarra pero no tocan cajón?
a) 1 b) 2 c) 0
d) 3 e) 5
9. En un grupo de niños, 70 comen melocotón, 80 comen
plátano y 50 comen melocotón y plátano. ¿Cuántos son
los niños del grupo?
a) 80 b) 90 c) 100
d) 110 e) 120
10. De un grupo de 50 personas, 28 conocen Cusco, 32
conocen Trujillo y 15 ambas ciudades. ¿Cuántos no
conocen ninguna de estas ciudades?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
11. En una peña criolla trabajan 32 artistas, de éstos 16
bailan, 25 cantan y 12 cantan y bailan. El número de
artistas que no cantan ni bailan es:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
12. En una encuesta realizada, 14 personas escuchan la
emisora “A”, 19 personas la emisora “B” y 7 personas
escuchan ambas emisoras. Si el total de personas
encuestadas es 30, ¿cuántos no escuchan alguna de
estas emisoras?
a) 6 b) 5 c) 2
d) 3 e) 1
13. Durante el mes de marzo Jean Pierre come pollo o
carne. Si 15 días come pollo, 22 días come carne y 6
días come ambas; ¿cuántos días come solo carne?
a) 8 b) 12 c) 16
d) 18 e) 20
14. Durante todas las mañanas del mes de diciembre
Carlos come huevo o tocino. Si come huevo 20 mañanas
y tocino 17 mañanas, ¿cuántas mañanas comió sólo
tocino?
a) 10 b) 12 c) 15
d) 14 e) 11
n(A B) 24 
n(A B) 5 
n(B A) 12 
n(A B) 24 
n(A B) 10 
n(B A) 6 
V G
V: violín
G: guitarra
C: cajón
C
3
7 89
2
10
PROBLEMAS PARA LA CLASE.

4
Enunciado
En una escuela de 600 alumnos, 100 no estudian ningún
idioma extranjero, 450 estudian francés y 50 estudian
francés e inglés.
1. ¿Cuántos estudian sólo francés y cuántos estudian
inglés?
a) 100 y 80 b) 200 y 25 c) 300 y 75
d) 400 y 100 e) 350 y 85
2. En una reunión de un total de 80 personas, 60 estudian
y 40 trabajan. Si 8 no realizan ninguna de las dos
actividades, ¿cuántos realizan ambas actividades?
a) 24 b) 26 c) 28
d) 30 e) 32
3. De los 300 integrantes de un club deportivo, 160 se
inscribieron en natación y 135 en gimnasia. Si 30 no se
inscribieron en ningún curso, ¿cuántos se inscribieron
en ambas?
a) 25 b) 20 c) 30
d) 15 e) 50
4. En un salón de 36 alumnos, se nota que 20 son mujeres,
de las cuales 3 no estudian matemática. Si del total de
los alumnos del salón, 24 estudian matemática,
¿cuántos hombres no estudian matemática?
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
5. En la UNMSM existen 45 000 alumnos, de los cuales
10.000 estudian Medicina. Si existen 15 000 mujeres
que no estudian Medicina, ¿cuántos hombres no
estudian Medicina?
a) 20 000 b) 15 000 c) 18 000
d) 10 000 e) 25 000
6. De 500 encuestados, se encontró que 124 postulan a
Católica, 187 a la Universidad del Pacífico y 200 a
ninguna de las dos universidades. ¿Cuántos postulan a
ambas universidades?
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
7. De 100 personas encuestadas sobre si practican fútbol
o básquet: 20 no practican estos dos deportes, 30 no
practican fútbol y 60 no practican básquet. ¿Cuántos
practican fútbol y básquet?
a) 18 b) 21 c) 30
d) 20 e) 24
8. De 140 personas, 60 no leen y 50 no escriben.
Sabiendo que sólo 30 leen, ¿cuántas personas leen y
escriben?
a) 45 b) 60 c) 50
d) 62 e) 52
9. De un total de 100 personas, se sabe que los que
practican fútbol y voley son la mitad de los que
practican fútbol y la tercera parte de los que
practican sólo voley. Si todos practican por lo menos
uno de los deportes mencionados, ¿cuántos practican
ambos deportes?
a) 15 b) 20 c) 25
d) 30 e) 50
10. En una academia de idiomas, se tiene la siguiente
relación:
• 30 alumnos hablan castellano
• 24 hablan francés
• 6 hablan alemán y francés
• 24 hablan alemán
• 10 hablan alemán y castellano
• 8 hablan castellano y francés
• 2 hablan los tres idiomas
¿Cuántos alumnos tiene la academia?
a) 50 b) 52 c) 54
d) 56 e) 58
11. De 80 integrantes de un club deportivo, se sabe que:
34 practican fútbol, 29 básket, 25 voley, 12 fútbol y
básket, 12 básket y voley, 11 fútbol y voley y 7
practican los tres deportes. ¿Cuántos no practican
ninguno de los deportes mencionados?
a) 6 b) 19 c) 20
d) 21 e) 25
12. En una reunión hay 45 personas, 12 varones son
extranjeros, 18 mujeres son peruanas, además las
mujeres extranjeras son 7 más que los varones
peruanos. ¿Cuántos varones son peruanos?
a) 13 b) 18 c) 15
d) 16 e) 4
TAREA DOMICILIARIA.

5
1. Hallar "A - B", si: A = 30% de 600
B = 20% de 800
a) 20 b) 40 c) 80
d) 100 e) 140
2. Hallar el 20% del 30% del 50% de $12 000.
a) $140 b) 260 c) 360
d) 480 e) 3 600
3. Calcular el 25% del 75% del 20% de 12 400.
a) 125 b) 264 c) 380
d) 465 e) 625
4. ¿De qué cantidad es 480 el 60%?
a) 80 b) 200 c) 400
d) 600 e) 800
5. ¿Qué porcentaje de 500 es 75?
a) 5% b) 10% c) 15%
d) 20% e) 25%
6. ¿Qué porcentaje de 600 es el 2% de 2 700?
a) 5% b) 6% c) 7%
d) 8% e) 9%
7. A una reunión asistieron 18 caballeros, los cuales
representan al 9% del total de asistentes. ¿Cuántas
personas asistieron a dicha reunión?
a) 100 b) 150 c) 200
d) 250 e) 300
8. Una familia tiene ingresos mensuales de S/.3 200 y la
distribución de sus gastos se muestra en el siguiente
gráfico.
a) ¿Cuánto gastan en alimentos?
b) Luego de un año, ¿cuánto podrán ahorrar?
c) ¿Cuánto gastan mensualmente en educación?
9. La gráfica señala la cantidad de pacientes atendidos
durante el primer semestre del año.
a) ¿En qué mes se atendieron más pacientes?
b) La menor cantidad de pacientes atendidos se
produjo durante el mes de:
c) ¿Cuántos pacientes se atendieron entre los meses
de enero y marzo inclusive?
10. El siguiente gráfico nos muestra la producción de papa
del departamento de Huancayo, en los últimos cuatro
años.
a) ¿Cuántas toneladas de papa se produjo en dicho
departamento en el periodo 2003 - 2006?
b) ¿Cuántas toneladas más se produjo en el periodo
2003 - 2004, respecto al periodo 2005 - 2006?
11. Si los cardinales de los conjuntos “A”, “B” y “C” son
números enteros consecutivos. Además:
n[P(A)] + n[P(B)] + n[P(C)] = 448
Hallar: n(A) + n(B) + n(C)
a) 21 b) 22 c) 23
d) 24 e) 25
20%
educación
45%
alimentos
10%
vivienda
10%
vestido
5%
ahorro
10%
salud
4500
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
Enero
Febrero
Marzo
Abril
Mayo
Junio
# de pacientes
Mes
Toneladas
de papa
años
2003
2004
2005
2006
50
80
40
90
REPASO

6
1. Un Instituto que enseña tres idiomas elaboró la
siguiente gráfica circular de sus estudiantes por
idioma:
a) Si 210 personas estudian francés, ¿cuántos
estudiantes hay en total?
b) ¿Cuántos estudian inglés?
Enunciado
Dado el gráfico:
Donde se observa la preferencia de un grupo de personas
por un equipo de fútbol:
U: Universitario SC: Sporting Cristal
AL: Alianza Lima CC: Cienciano
2. ¿Qué porcentaje de encuestados tiene preferencia
por Universitario?
a) 30% b) 36% c) 40%
d) 48% e) 50%
3. ¿Qué porcentaje de los encuestados no simpatizan con
Cienciano?
a) 80% b) 84% c) 86%
d) 88% e) 90%
4. ¿Qué ángulo central le corresponde a los
simpatizantes de Alianza Lima?
a) 100° b) 120° c) 150°
d) 40° e) 80°
5. ¿Qué ángulo central le corresponde a los
simpatizantes de Cristal?
a) 20° b) 40° c) 60°
d) 72° e) 80°
6. Hallar “n(A) + n(B)”, si se tiene:
A = {x / x Z; 2 < x < 9}
B = {x / x  Z; 3 < x < 8}
a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 18
7. Si: E = {4x / x  lN  1 < x < 7}, entonces no es cierto
que:
a) 4  E b) 7  E c) 9  E
d) 2 E e) 4 E
8. Si: C = {x - 8 / x  Z  -2 < x < 2}, indique lo
verdadero.
a) {-9} C b) -1 C c) -8 C
d) -7 C e) {-8} C
9. Hallar la suma de los elementos de:
A = {2x+1 / x  lN; x < 3}
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
10. Hallar la suma de elementos de “M”, si:
M = {x2 + 2 / x  Z , 1< x  6}
a) 98 b) 99 c) 100
d) 101 e) 102
11. Si: A = {a + b; 12} y
B = {4; a - b}
son unitarios, calcular: a3 + b3.
a) 874 b) 589 c) 566
d) 576 e) 520
12. Si: P = {r + s; 20} y
Q = {r - s; 6}
son unitarios, calcule “r × s”.
a) 78 b) 91 c) 24
d) 36 e) 54
13. Dado: D = {2; 3; 4}
¿Cuántos subconjuntos tiene?
a) 3 b) 4 c) 24
d) 9 e) 8
40%
Inglés 25%
Alemán
Francés
U
(48)
AL
(40)
SC
(20)
CC
(12)
TAREA DOMICILIARIA.

7
1. Si un conjunto tiene 6 elementos, ¿cuántos sub-
conjuntos tiene dicho conjunto?
a) 32 b) 36 c) 39
d) 64 e) 60
2. ¿Cuántos subconjuntos puede formarse con los
elementos del conjunto {a, b, c, d, e, f}?
a) 64 b) 63 c) 32
d) 31 e) 16
3. De 30 personas que viajan a Europa, 16 dijeron que
visitarían Francia, 16 Inglaterra y 11 Suiza, 5 de los
encuestados viajarán a Francia y Suiza y tres de ellos
visitarán también Inglaterra, 5 sólo van a Suiza y 8
sólo a Inglaterra. ¿Cuántas personas visitarán sólo
Francia?
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
4. En una encuesta realizada a 250 personas sobre la
preferencia de los productos “A”, “B” o “C”, se obtuvo
los siguientes resultados:
- 100 prefieren “A”
- 112 prefieren “B”
- 42 prefieren “C”
- 30 prefieren “A” y “B”
- 88 prefieren “B” pero no “C”
- 10 prefieren los tres productos
- 52 prefieren sólo “A”
¿Cuántos prefieren sólo dos de las marcas
mencionadas?
a) 32 b) 48 c) 52
d) 58 e) 62
5. Dados los conjuntos:
U = {x/x  lN; 0 < x < 10}
A = {1; 3; 5; 6}
B = {2x/x  lN; x > 2}
C = {x2/x  lN; 1 < x < 7}
Hallar:
i. C’  A’
ii. (B A) (B - C)
a) {2; 6; 7} y {6; 8}
b) {2; 7} y {6; 8}
c) {2; 7; 8} y {4; 6; 8}
d) {2; 7; 8} y {6; 8}
e) {2; 7} y {4; 6}
6. De 180 alumnos del colegio REGINA, el número de los
que estudian Matemática es el doble de los que
estudian Lenguaje. El número de alumnos que estudian
ambos cursos, es el doble de los que estudian sólo
Lenguaje e igual a los que no estudian alguno de estos
cursos. ¿Cuántos estudian sólo Matemática?
a) 20 b) 40 c) 80
d) 120 e) 140
TALLER DE APRENDIZAJE.

8
1. Desigualdes.
Simboliza las siguientes proposiciones:
Lenguaje verbal Simbolización
•Mayor que >
•es mas que
•menor que <
•es menos que
•mayor o igual que 
•por lo menos
•menor o igual que 
•a lo más
a) 3 es menor que 6: _______________________
b) 5 es mayor que 2: _______________________
c) 4 es un número positivo: ___________________
d) -2 es menor que -1: _______________________
e) -3 es un número negativo: __________________
2. Inecuaciones
Simboliza los siguientes enunciados:
a) "x" es un número entero positivo menor que 5:
________________________________________
b) La suma de un número natural y menor que 13:
________________________________________
c) El doble de un número natural es menor que 11:
________________________________________
d) La diferencia del doble de un número natural y 5 es
mayor que 3: ___________________________
e) La suma del triple de un número natural y 4 es
mayor o igual que 5:
________________________________
f) La suma de dos números naturales es menor o igual
que 7: _________________________________
Definición:
Una inecuación es una desigualdad con una o más
incógnitas que se satisface para un conjunto de valores
asignados a dicha o dichas variables.
Ejemplos:
• 2x < 4 • 3x + 1  -5
• x + 4  7 • 2x - 1 > 5
3. Conjunto solución
Está formado por los valores de la variable (Números)
que satisfacen la desigualdad.
a) x  ZZ + y x<5: C.S. = {1; 2; 3; 4}
b) x  IN y x + 4 < 13: C.S. = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
c) x  IN y 2x > 7: C.S. = {4; 5; 6; 7; ...}
4. Resolución de una Inecuación:
Resolver una inecuación es encontrar un conjunto
solución.
Hay que tener cuidado cuando un número negativo
multiplique o divida a los términos de una desigualdad
ya que cambia el sentido de la desigualdad.
Ejemplos:
Resolver:
a) 4 + 3x < 13 b) 7 - 2x < 19
3x < 13 – 4 -2x < 19 - 7
3x < 9 -2x < 12
2x > -12
x < 3
x > -6
5. Resolución de un problema de texto:
Enunciado: "El doble de la edad de Antonio más 5 es
menor que 8". ¿Qué edad tiene Antonio?
Solución:
1. Comprender el problema:
¿Cuál es la incógnita del problema?
La edad de Antonio: x
ÁLGEBRA.
INECUACIONES DE PRIMER GRADO.

9
1. Expresar de manera simbólica:
a) Un número "x" menor que 6.
b) El duplo de "x" mayor o igual que 24.
c) La sexta parte de "x" menor o igual que 5.
d) Los dos tercios de un número "y" es mayor que 16.
2. Expresar el conjunto solución de cada caso del
problema 1.
3. Resolver cada caso:
a) Si: x  IN; x + 4 < 6
b) Si: x  ZZ +;2x - 4  8
c) Si: x  IN; -2x > -8
d) Si: x  ZZ - ;10x > -30
4. Resolver cada caso:
a) 2(x + 3) + 5(x + 9) < 6x + 100
b) 3(x - 2) + 2(x - 3) < 2(2x + 8)
c) 5(x - 4) - 3(x + 1) < x + 5
d) 2(3x + 4) - 5(x + 6) < 20
5. Resolver:
6. Resolver: e indicar el mayor valor entero
que toma "x"
7. Resolver:
3x
15
4

5(x 3)
10
2
 

x 4 2x 5 x
3 4 12
 
 
TALLER DE APRENDIZAJE PREVIO.

10
1. Simboliza cada una de las siguientes proposiciones.
a) "n" es un número natural mayor que 7.
b) "x" es un número natural menor que 11.
c) Un número natural sumado con 3 es mayor o igual
que 12.
d) "x" es un entero negativo menor que o igual a 10.
2. Encuentra el conjunto solución de cada una de las
inecuaciones del ejercicio 1.
3. Si: x  Z , resuelve las siguientes inecuaciones:
a) 3x + 4 < 7
b) -2 - 5x  3
c) 3 - 4x  11
d) 3x + 4 > 13
4. Si: x  Z +, resuelve las siguientes inecuaciones:
a) 2x + 5 < 4x - 9
b)
c) -7 + 3x < -2x + 4
d) -13x + 9 > 5x - 18
5. Simboliza y encuentra el conjunto solución de los
siguientes enunciados:
a) La suma de un número natural y 15 es mayor o igual
a 23.
b) La diferencia entre un número natural y 13 es
menor que o igual a 48.
c) El doble de un número entero más 9 es menor que
33.
d) El triple de un número natural disminuido en 15 es
mayor 47.
6. Hallar el mayor valor Z de "x" en:
7. Dar la suma de valores enteros y positivos de "x" que
verifican la inecuación:
8. Indique el menor valor entero al resolver la siguiente
inecuación.
9. Resolver:
; x  Z
10. Resolver:
; x  Z
11. Resolver:
; x  Z
12. Resolver:
; x  Z
13. Se desea saber el menor número de alumnos que hay
en un aula, si al triple de dicho número se le disminuye
en 7, el resultado es mayor que 21.
14. Determinar el mínimo número entero, cuyo triple
disminuido en 6 sea mayor que su mitad aumentada en
4.
15. ¿Cuántos números naturales pares cumplen con la
condición de que la tercera parte del número
aumentado en 15 sea mayor que su mitad más 1?
16. Una fábrica de lapiceros quiere rematar un saldo de
lapiceros que le sobró de la producción anterior; el
costo de fabricar un lapicero es S/. 500 y él desea
venderlo en S/. 800 c/u. ¿Cuántos lapiceros se deben
vender para garantizar una ganancia mínima de S/.
1500?
17. Un libro de matemática tiene el cuádruple de hojas que
uno de Biología y entre los dos tienen menos de 180
hojas. Si el libro de Biología tiene el mayor número de
hojas posible, ¿cuántas hojas tiene el libro de
matemática?
7-x58x 
2
x
4
7
4
3
x 
x
2
1
-15x
3
1
9 
3-x
3
2
9x
2
3

1
3
x-2
-
5
1x2


3
1x5
10
13-3x
-
4
1-x5 

7
x
-1
2
1x
-
5
1-x3


12
2x
10
3-1
3
x 


11
1. Simboliza cada una de las siguientes proposiciones:
a) "p" es un número natural menor que 7.
b) "x" es un número natural menor que o igual a 18.
c) El doble de un número entero disminuido en 11 es
mayor que 27.
d) La cuarta parte de un número aumentado en 3 es
mayor que o igual a 7.
2. Encuentra el conjunto solución de cada una de las
inecuaciones del ejercicio 1.
3. Si: x  IN, resuelve las siguientes inecuaciones:
a) 2x + 8 < 21
b)
c) 5x + 8 > 85
d)
4. Si: x  Z, resuelve las siguientes inecuaciones.
a) 3(x - 1) - 4(x - 2) > 6(x - 3) - (x - 4)x - 1) - 4(x - 2)
b)
c) 2(3x - 5) - 3(4x + 8) < 17 - 3x
d) 4(2x + 1) - 3(3x + 1) < 6(x + 5) + 2(2x - 3)
5. Simboliza y encuentra el conjunto solución de los
siguientes enunciados:
a) La suma de un número natural y 13 es menor que
45.
b) La diferencia entre un número natural y 15 es
menor que o igual a 12.
c) El triple de un número entero más 15 es mayor que
37.
d) La diferencia de cinco veces un número entero es
mayor que o igual a 4.
6. Hallar el mayor valor entero de "x" luego de reducir:
7. Hallar la suma de valores enteros y positivos, luego de
resolver la siguiente inecuación.
8. Hallar el menor valor entero de "x" luego de resolver:
9. Resolver:
; x  Z
10. Resolver:
; x  Z
11. Resolver:
; x  Z
12. Resolver:
; x Z
13. Se desea saber el mayor número de alumnos que hay
en un aula, si al quíntuple de dicho número se le
aumenta 13, el resultado es menor que 97.
14. ¿Cuántos números naturales impares cumplen con la
condición de que la cuarta parte del número disminuido
en 3 sea mayor que su mitad disminuida en 13?
15. Calcular el menor número que cumpla lo siguiente:
"Cinco veces este número aumentado en 20 no es
menor que el triple del mismo aumentado en 78".
16. Katia tiene una cierta cantidad de dinero. Si al triple
de esta cantidad se le disminuye S/. 75, le quedan
menos de los tres cuartos de su dinero aumentado en
S/. 13. ¿Podrá Katia comprar una blusa que cuesta S/.
42? (Justifique su respuesta).
17. Un libro de Literatura cuesta cuatro veces lo que
cuesta un libro de Historia y entre los dos cuestan
menos de 240 soles. Si el libro de Historia cuesta lo
máximo posible, ¿cuánto cuesta el libro de Literatura?
18. Para aprobar un examen de elección múltiple que
consta de 20 preguntas, debe obtenerse por lo menos
60 puntos. Cada pregunta respondida correctamente
vale 4 puntos y por cada respuesta incorrecta se resta
1 punto. Pablo respondió todas las preguntas. ¿Cuántas
respuestas correctas debe tener como mínimo para
aprobar?
137x4 
283-x5 
3)-(x2-1-2x2)-x(5)3x(2 
4
x7
3
11
3
1
-x2 
  2)1x2(
3
2
2
1-x3
x 
)x25(
3
1
2
x
3
x
4
5

2
3-x2
6
5x
3
1-3x
-
4
1x2




6
3-2x
-
5
1-x
3
x4
2
x3

3
6
x
4
2x
-
3
x2


15
3-x2
6
1x
3
x2
-
5
3-x4



TAREA DOMICILIARIA.

12
1. Definición.
Un sistema de inecuaciones con una variedad está
conformado por dos o más inecuaciones lineales.
Ejemplos:
2. Resolución de un sistema.
Para encontrar el conjunto solución de un sistema, se
resuelve cada una de las inecuaciones que lo conforman
y luego se interceptan los conjuntos solución
encontrados.
Ejemplos: Si x  Z , resolver:
En () el m.c.m. de los denominadores es 6, luego:
3(x - 1) + 2(2x - 3) < 6 3x - 3 + 4x - 6 < 6
7x < 15
C.S(a) = {... -1; 0; 1; 2}
En ( el m.c.m. de los denominadores es 4, luego:
2(7x) + 3x > 5(4)
14x + 3x > 20
7x > 20
C.S () = {2; 3; 4; ...}
Intersectando se tiene que el conjunto solución del
sistema es: C. S. = {2}
3. Un problema de texto.
Antonio tenía "x" kg de tocino y medita "Si vendiera
de tocino a S/. 100 el kg; recaudaría entre
S/. 900 y S/. 960; si oferta a S/. 50 el kg de tocino y
al mismo precio el kg de jamón, obtendría entre S/.
900 y S/. 1000". ¿Cuántos kilogramos de tocino y
cuántos kilogramos de jamón se tienen sabiendo que
son números enteros?
Comprender la solución del problema:
1° La incógnita del problema son:
- número de kilogramos de tocino: x
- número de kilogramos de jamón: y
2° Desarrollar el plan. En la venta de tocino se
recauda: S/. 100.
Entonces: 900 < 100 < 960... ()
Al ofertar el tocino, en la venta de tocino y de
jamón se recauda 50 (x + y); entonces:
900 < 50 (x + y) < 1000... ().
Debemos resolver ( y ()
3° Llevar a cabo el plan.
4° Verificar.
Venta de tocino:
100 = 950; 900 < 950 < 960
Venta de tocino y jamón:
Respuesta:
Se tiene 7kg de tocino y 12kg de jamón.
 


2x 3 3x - 5
2x - 5 x - 7

 

  

2x x
5
3 2
3x - 5 x
1
2 3











)...(5
4
x3
2
x7
)...(1
3
3x2
2
1x
7
1
2x 
17
3
1x 
kg
2
1
2x 













2
1
2x







2
1
2x
9625x1090
10
96
2
5
x9
960
2
5
x100900:)(









 
  
 

   
  
 

65 10x 71
5 65 71
6 x 7
10 10 10
1 1
6 x 7
2 10
x 7
( ) : 900 50(7 y) 1000
18 7 y 20
7 y 19
y 12







2
5
7
SISTEMAS DE INECUACIONES DE
PRIMER GRADO

13
1. Calcular los valores enteros que cumplen:
2. Resolver:
3. Resolver:
4. Resolver:
5. Resolver:
6. Resolver:
7. Sabiendo que x  ZZ , resolver:
8. Resolver el sistema:
2x 3 5
3x 9 21
 

 
4x 16
2x
0
3
  



3(x 4) 2(x 10)
3x 45
  

  
4x 6 x 33
2x 24
13 13
  








12x2
16)1x(3)1x(5
2x 3 x 1
6 2
x 2
 


  
x 1
3(2x 1)
2 3
2(x 1) 20

  

   
2(5x 1) 4(2x 3)
x
1
3
  




14
1. Hallar que valores de "x" satisfacen las inecuaciones:
2. Resuelve el siguiente sistema, si: x  Z
- 3 < 2x - 5 < 7
3. Hallar la suma de valores enteros que satisfacen las
inecuaciones:
4. Resolver el sistema; si: x  Z
5. Resolver el sistema; x Z
6. Resolver el sistema: (x Z )
7. Resolver el sistema: (x  Z )
8. Resolver el sistema: (x Z )
9. Las lecturas de temperatura en las escalas Fahrenheit
y Celsius se relacionan mediante la fórmula.
¿Qué valores impares de "F" corresponde
a los valores de "C" tales que
10. Según la Ley de Hooke, la fuerza F, en kilogramos,
necesaria para entrar "x" centímetros en determinado
resorte respecto a su longitud natural, es
(Véase figura). Si , ¿cuáles son los valores
enteros que corresponde a "x"?
11. Se desea saber el mayor número de alumnos que hay
en una aula, si al doble del número de éstos se le
disminuye en 9, el resultado es mayor que 31 y si al
triple se le disminuye en 7, el resultado es menor que
el doble del número aumentado en 16.
12. Un padre dispone de 320 soles para ir a un concierto
con sus hijos, si toma entradas de 50 soles le falta
dinero y si las toma de 40 soles le sobra dinero. ¿Cuál
es el número de hijos?
13. Antonio vende 100 libros y le quedan más de la mitad
de los que tenía. Si luego vende 48 libros le quedan
menos de 54. ¿Cuántos libros tenía?
14. Hallar el número natural que sumado con 11 sea menor
que la diferencia entre su triple y 7, y que sumando
con 8,5; resulte mayor que la diferencia entre su doble
y 2.
15. Para elaborar un determinado número de problemas, se
duplicó este número, eliminando 40 de ellos por ser
muy fáciles, quedaron menos de 60. Si se hubiera
triplicado el número original de problemas y aumentado
20, habrían más de 164. ¿Cuántos problemas habían
inicialmente?
16. Para aprobar una prueba de elección múltiple que
consta de 50 preguntas, deben obtenerse por lo menos
100 puntos. Cada pregunta respondida correctamente
vale 4 puntos. Por cada respuesta incorrecta se resta
2 puntos.
a) Marco respondió todas las preguntas, ¿cuántas
respuestas correctas debe tener como mínimo,
para aprobar?
b) Pablo respondió 35 preguntas. ¿Podrá aprobar con
menos respuestas correctas que Marco?
17. Dos hermanos gemelos discuten sobre su edad, el
primero dice: "Si a la edad que tengo le resto la cuarta
parte de la diferencia de mi edad y 3, a lo más se
obtienen 15 años"; respondiendo el segundo "Si a mi
edad le resto la quinta parte de la diferencia de mi
edad y 4, se obtiene no menos de 16 años". ¿Qué edad
tienen?





Z)(x;7-4x53x
64-x2
x 1
3(2x 1)
2 3
2(x 1) 20

  

   
7
5
3-x2
3 


 
2x - 3 0
3x 2 0


  
3x - 7 5
4x 5 2x 17







63-x917x5
5
6
-
3
x2
3
7
x
5
2










2
10
1x
4
2x
-
5
1-x4
5
6
x
4
1-x
3
x2
32)-F(
9
5
C 
?40C30 
x2F 
8F
2
1
4 
x
Longitud natural
Alargamiento de
"x" centímetros
PROBLEMAS PARTA LA CLASE.

15
1. Hallar que valores enteros de "x" satisfacen las
inecuaciones:
2. Resolver el sistema. (x  Z )
2x - 5 < x + 3 < 3 x - 7
3. Hallar la suma de valores enteros que satisfacen el
sistema de inecuaciones:
9. Se compra un número par de naranjas, si se vende la
cuarta parte, quedan menos de 118 por vender, y si se
vendiera la sexta parte, quedaría más de 129 por
vender. ¿Cuántas naranjas se compraron?
10. Se tiene un cierto número de monedas, si se forman
montones de a 7, no se pueden completar 8 de
aquellos, y si se forman montones de a 6, se completa
9 y queda una sobrante. ¿Cuál es el número de
monedas?
11. Tres supervisores cuentan el número de piezas que por
minuto fábrica una máquina. El primero contó la mitad
menos 3, el segundo contó la sexta parte y 7 piezas, y
el tercero contó la cuarta parte y 5 piezas. Si el
primero contó más piezas que el segundo, pero menos
que el tercero, ¿qué número de piezas arroja la
máquina por minuto?
12. Hallar un número entero y positivo, sabiendo que la
tercera parte del que le precede disminuida en una
decena, es mayor que 14, y que la cuarta parte del que
le sigue, aumentado en una decena es menor que 29.
13. En una granja había cierto número de gallinas, si al
triplicar dicho número se vendieron 95 gallinas,
quedaron menos de 87, pero si se hubiera duplicado
dicho número, al vender 40, quedarían más de 79
gallinas. ¿Cuántas gallinas habría en la granja?
14. Miguel tiene "x" monedas dentro de una bolsa, el
cuádruplo de dicho número disminuido en 8 es menor
que o igual a 30, y que el quíntuplo de dicho número,
aumentado en 7, es mayor que o igual a 50. Hallar el
total de monedas.
15. Se compró un número impar y múltiplo de 3 de
manzanas. Si se vende la cuarta parte, quedaría por
vender menos de 120; pero si se vendiera la sexta
parte, quedarían por vender más de 129 manzanas.
¿Cuántas manzanas se compraron?
16. "Luis tiene por lo menos 8 primos", dice -Antonio.
"No, tienen menos de 8"- corrige Francisco "Tal vez
tengas razón, pero lo que yo sé, es que tienen más de 2
primos"- Agrega Manuel. Si sólo uno de los chicos dice
la verdad, ¿cuál es el mayor número de primos que
tiene Luis?
17. Un carpintero hizo un cierto número de mesas. Vende
49 y le quedan por vender más de la mitad. Hace
después 9 mesas y vende 20, quedándole menos de 41
mesas que vender. ¿Cuántas mesas ha hecho sabiendo
que inicialmente fabrica un número par de mesas?
18. Un comerciante adquirió cierto número de artículos de
los que vendió 70 y le quedaron más de la mitad; al día
siguiente le devolvieron 6; pero logró vender 36,
después de los cual le quedaron menos de 42. ¿Cuántos
artículos formaban el lote?





752x
53-x





5x-147x-8
18-x74x5
  

 
3x 4 2x 10
3x 6 5x - 10
 

 
2x 5 5x - 9
5x 14 3x - 2








3
x
-109-x7
3
2x-1
2
1-x3



 

x - 3 2 - x
2 4
x - 2
3x - 1
3

 
x 1 1 - 2x x + 1
2 -
5 3 4
TAREA DOMICILIARIA.

16
I. Recuerda:
Propiedad fundamental de un triángulo
II. Ángulo exterior de un triángulo
Se obtiene al prolongar cada lado del triángulo.
• Ejemplo 1:
Hallar "x°"
Resolución:
• Ejemplo 2:
Hallar "x°"
Resolución:
• Ejemplo 3:
Hallar "w°"
Resolución:
A
B
C
°
° °
° + ° + ° = 180° 
° + x° = 180°
A
B
C
x°
°
° °
“x° es la medida del ángulo exterior en C”
° + x° = 180°
B
C
x°
°
“x° es la medida del ángulo exterior en C”
° + y° = 180°
“y° es la medida del ángulo exterior en B”
A
B
C
y°
°
°
°
° + y° = 180°
“y° es la medida del ángulo exterior en B”
C
y°
°
w° + ° = 180°
“w° es la medida del ángulo exterior en A”
A
B
C
w°
°
° °
w° + ° = 180°
“w° es la medida del ángulo exterior en A”
B
C
°
°
106° 106°
x° + 4° x° + 4°x°
106° 106°
x° + 4° x° + 4°x° x°
x° + x° + 4° + 106° = 180°
2x° + 110° = 180°
2x° = 180° - 110°
x° =
x° = 35°
70°
2
4x°
x°
4x°
4x° + x° + 90° = 180°
5x° = 180° - 90°
5x° = 90°
x° =
x° = 18°
90°
5
4x°
x°
4x°
x°
80°
60°
w° w°
B
CA A
40°
* Hallar el ángulo interno en “A”
180° - (80° + 60°)
180° - 140°
40°
* Luego: w° + 40° = 180°
80° 80°
60° 60°
w° w°
B B
C CA A
40°
w° = 140°
GEOMETRÍA.
OPERACIONES EN EL TRIÁNGULO.

17
1. Hallar “x°”
2. Hallar “°”
3. Hallar “°”
4. Hallar “y°”
5. Hallar “°”
6. Calcular “xº”
7. Calcular “xº”, si: AB = AM = MC
8. En la figura, calcular “xº”, si: AM es bisectriz del
BAC
3x°
x° 60°
2 °
°
150°
43°
36°
°
39°
64°
y°
°
53° 49°
A
B
CM
N
xº 20º
A
B
C
P
M xº
40º
A
B
C
M
xº
20º

18
1. Hallar “x°”
3. Hallar “x°”
4. Hallar “°”
5. Hallar “x°”
6. En la figura, calcular “xº”, si y son bisectrices
de los ángulos MAB y NBA respectivamente.
7. Si ABC es equilátero y BC = BP, calcular “xº”.
8. Hallar “°”
10. Hallar “x°”
3x°
2x°
4x°
3 °
4 °
5 °
x° 2x°
69°
58°
°
2 ° °
x°
AP BP
N
B
60º40º
P
M A C
xº
A
B
C
P
10º 40º
xº
2 °
° 60°
2
°
6 ° °2x°
7x°
°
43° 112°
28°
x°
3x° + 32°

19
6. Hallar “x°”
9. Hallar “°”
11. Calcular “x”:
a) 30º
b) 40
c) 50
d) 60
e) 70
a) 100º
b) 140
c) 80
d) 180
e) 120
a) 50º
b) 100
c) 180
d) 90
e) 120
14. Calcular el perímetro del  ABC.
Si: AB = 2, BC = 1, AC = 1,5
a) 2º
b) 3
c) 4
d) 3,5
e) 4,5
a) 50º
b) 40
c) 30
d) 20
e) 10
a) 60º
b) 135
c) 45
d) 30
e) 10
17. Calcular “x”, si:  +  = 60º
a) 150º
b) 120
c) 100
d) 20
e) 10
x°
30°
5 ° + 26°
°
45°
2 °°
°
119°
24°
x°
20º
xº
30º
xº80ºº
120ºº
xº
40º
150º
C
BA
xº 2xº
3xº
xº
xº
xº
xº
 -
+3
xº
TAREA DOMICILIARIA.

20
OBJETIVO.
Hallar medidas en triángulos trazando líneas notables
como bisectriz; altura; mediatriz y mediana.
Recordemos:
• Ejemplo 1:
1. Si: es bisectriz, hallar "x°".
Resolución:
• Ejemplo 2:
Hallar "x°", si: es altura.
Resolución:
• Ejemplo 3:
Hallar "°", si es mediatriz de
Resolución:
• Ejemplo 4:
Si: es mediana, hallar "x".
Resolución:
A
B
C
E
°
°
AE es bisectriz en el ABC.
P H R
Q QH es altura en el PQR.
en el ABC.
P H R
Q QH es altura en el PQR.
D
E
F
L
M E Q
N NE es mediana en el MNQ.L es mediatriz de DF en el DEF.
a a
M E Q
N NE es mediana en el MNQ.z de DF en el DEF.
a a
BE
B B
A AC CE E
x° x°30° 30°70° 70°
40° 40°
* Hallamos la m B
180° - (70° + 30°)
180° - 100°
80°

* En el ABE:
x° = 70° + 40°
x° = 110°

Como: BE es bisectriz
la m B se divide en
dos medidas iguales.

B
A CE
x° 30°70°
40° 40°
* Hallamos la m B
180° - (70° + 30°)
180° - 100°
80°

* En el ABE:
x° = 70° + 40°
x° = 110°

Como: BE es bisectriz
la m B se divide en
dos medidas iguales.

BH
A A
B B
CH H
x° x°
40° 40°
80° 80°
60
A A
B B
C CH H
x° x°
40° 40°
80° 80°
* Hallando la m C.
180° - (40° + 80°)
180° - 120°
60°
* Luego: BHC: x° + 60° = 90°
x° = 30°

60°
L BC.
B B
A AC
75° 75°
65° 65°
° °
L L
40
M
N N
* Hallando la m C:
180° - (75° + 65°)
180° - 140°
40°
* En el NMC:
° + 40° = 90°
° = 50°



B B
A AC C
75° 75°
65° 65°
° °
L L
40°
M
N N
AM
B B
A AC
16 16
M M
2x 2x
B B
A AC C
16 16
M M
2x 2x
Por ser mediana:
2x = 16
x = 8
OPERACIONES EN EL TRIÁNGULO CON
LÍNEAS NOTABLES

21
1. Hallar “x”, si: es mediana.
2. Si: es bisectriz, hallar “°”.
3. Hallar “x°”, si: es mediatriz de
4. Si: es altura, hallar "x°".
5. Si: es mediatriz de hallar "x°".
6. Si: BH es altura y AM es bisectriz, calcular “xº”
RE
P
Q
R
E
x +
5
9 - x
QE
P
Q
R
°
42°
68°
E
L AC.
A
B
C
L
72°
64°
x°
BH
A
H
CB
x°
59°
L AC,
A
B C
L68°
x°
A
B
CH
M
xº

22
1. Si: es mediana, hallar “x”.
2. Si: es altura, hallar “°”.
3. Si: es bisectriz, hallar “x°”.
4. Si: es mediatriz de hallar "°".
5. Hallar "x°", si: es altura.
6. Si: BH es altura y BM es bisectriz del ángulo “B”,
calcular “xº”
7. Si: BH es altura y BM es bisectriz, además: m<A – m<C = 40º,
calcular “xº”
8. En la figura, calcular “xº”, si es mediatriz de MC y BM
es bisectriz del ABC.
9. En la figura, calcular “x + y”, si: AM y CN son medianas.
10. Hallar “x°”, si: es mediatriz de
11. Hallar “x°”, si: es bisectriz.
12. Hallar “x°”, si el  ABC es equilátero.
BM
A
B
M D2x + 16 31 - x
QH
Q
R
H81°
79°
°
P
EF
A
E
LF
x°38° 116°
L AC,
A C
B
L
80°
°
65°
EL
D
L
F
E
x°
63°
104°
A
40º
B
CH M
x
10º
A
B
CH M
xº
A
B
C
L
M
80º30º
xº
A
B
C
N M
3 G
y2 -1 15
x2 -1
L AN.
A
M
N
x°
L
2x°
BF
A F C
B
x° 80°40°

23
1. Hallar "x", si: es mediana.
2. Hallar "y", si: es mediana.
3. Hallar "x°", si: es bisectriz.
4. Hallar "x°", si: es mediatriz de
5. Si: es mediatriz de hallar "°".
6. Hallar "x° - y°", si: es altura.
7. Hallar "°", si: es altura.
8. Hallar "°", si: es bisectriz.
9. Hallar "°", si: es mediatriz de
10. Hallar "° - °", si: es altura.
11. Hallar "x°"
A
B
C
3x°
AM
A
B
C
M
18 - x
6 +
x
CN
A
B
C
N
2y-3
15-y
AE
B
A C
E
x°
69°
42°
L AC.
A
B
C
L
x°
39°
L AC,
B
A C
L
67°
°
QH
Q
P H R
x° y°
62°41°
CN
A
C
NB
33°
28°
°
BE
A
B
E C
37°63° °
L PQ.
P
Q
R
L
84°
72°°
PT
Q
P
T
R
71°
36°
°
°
TAREA DOMICIL

24
12. Si: es bisectriz, hallar "x°".
MOTIVACIÓN
INTRODUCCIÓN HISTÓRICA
El político y militar francés Francois Viete (1540 - 1603)
puede considerarse como el fundador del Álgebra
moderna. Introdujo la notación algebraica, con lo cual se
consiguió que el Álgebra se liberase definitivamente de
las limitaciones impuestas por la Aritmética y se
convirtiese en una ciencia puramente simbólica. Además
de trabajos escritos sobre Aritmética y Trigonometría,
fue autor del primer tratado de Álgebra propiamente
dicho: Isagoge in artem analyticum. Dio también las
fórmulas para resolver las ecuaciones de sexto grado.
RAZÓN TRIGONOMÉTRICA SENO
Ejemplo:
En la C.T. verificar que sen 30º < sen 60º
Luego: sen 30º < sen60º (Verdadero)
1. Indicar en la C.T cual de las alternativas es mayor.
A) sen50º B) sen 80º
C) sen120º D) sen160º
2. Indicar en la C.T. cuál de las alternativas es menor
A) sen20º B) sen 60°
C) sen 200º E) sen 190º
3. Indicar en la C.T. cuál de las alternativas es mayor.
A) sen45º B) sen135º
C) sen200º D) sen300º
4. Indicar en la C.T. cuál de las alternativas son
correctas:
A) sen50º > sen30º
B) sen100º < sen10º
C) sen30º > sen200º
5. Indicar en la C.T. cuál de las alternativas son
correctas:
A) sen120°>sen50°
B) sen100°<sen200°
C) sen150°>sen20°
6. Si: indicar el intervalo de: 3+sen
A
B
C
106°
x°
aa
CE
A
B
C
E
x°
81°
39°
X
Y C.T.

sen
sen

(+ )
(–)
sen sen   1 sen 1  
X
Y
C.T.
sen60º
sen30º
1 sen 1 ;   
TRIGONOMETRÍA.
RAZÓN TRIGONOMÉTRICA SENO.
TAREA DOMICILIARIA.

25
7. Si, ; indicar el intervalo de: 4 – 2sen
8. Si indicar el intervalo de:
9. Si indicar el intervalo de .
10. Si indicar el menor valor de
1. Si:
Determinar el intervalo de cosa si es posible
Rpta.: ...........................................................
2. Si
Determinar el intervalo de senb si es posible.
Rpta.: ...........................................................
3. Si: y
Calcular el intervalo de: 2sena+3senq
Rpta.: ...........................................................
4. Si
Determinar el intervalo de:
Rpta.: ...........................................................
5. Si
Determinar el intervalo de:
Rpta.: ...........................................................
6. Si: indicar el intervalo de:
Rpta.: ...........................................................
7. Si determinar el intervalo de
1+sena
Rpta.: ...........................................................
8. Si: determinar el mínimo valor de:
Rpta.: ...........................................................
9. Si  y  son independientes calcular el máximo valor
de 2sen+3sen–1
Rpta.: ...........................................................
10. Si x y z son independientes calcular el mínimo valor
de:
Rpta.: ...........................................................
A) sen110º B) sen220º
C) sen150° D) sen300°
12. Indicar en la C.T. cuál de las alternativas es correcta.
A) sen140º < sen50º
B) sen120º < sen30º
C) sen300º > sen200º
D) sen200º > sen100º
13. Si: indicar el intervalo de: 1– 2sena
A) B)
C) D)
14. Si indicar el intervalo de:
0 sen 1  
0 sen 1;   1
sen
3
 
1 sen 0;    1 3
sen
2 2
 
2
sen 0;
2
   
1 2 sen 
1 2
1 2sen
3 3
   
1 1 sen 3
4 2 5
 
  
1 1
sen ;
5 3
  
1 1
sen
3 2
  
1
sen 1
2
  
21
sen
2
 
sen 1/ 2 
1
2sen
2
 
1
sen 1 1
3
   
2sen 1 
1
2sen 1 1;
5
   
1 sen 0;   
1 2sen 
1 4senx 3cosz 
1
sen 0
2
   
 1; 0  1; 3
 1; 2  1; 2
1
sen 1;
2
  
2
1 sen 

26
A) B)
C) D)
15. Si
Indicar el intervalo de:
A) B)
C) D)
OBJETIVOS:
• Reconocer las desigualdades trigonométricas.
• Aplicar los teoremas y propiedades de las
desigualdades algebraicas a la R.T. Coseno.
MOTIVACIÓN
INTRODUCCIÓN HISTÓRICA:
El matemático alemán Riemann (1826 - 1866) extendió al
espacio la idea de la curvatura y construyó una geometría
no euclidiana. En su tesis doctoral estudió la geometría de
superficies curvas y la geometría de espacios, cuya
curvatura puede afectar al carácter de dicho Geometría.
Los trabajos de Riemann fueron muy útiles a Einstein para
establecer la teoría de la relatividad.
RAZÓN TRIGONOMÉTRICA COSENO:
EJEMPLO:
En la C.T. verificar que cos300° > cos150°
Luego: cos 300° > cos 150° (verdadero)
1. Indicar en la C.T. cuál de las alternativas es mayor:
A) cos 50° B) cos 80°
C) cos 120° D) cos 160°
2. Indicar en la C.T. cuál de las alternativas es menor:
A) cos 20° B) cos 60°
C) cos 190° D) cos 200°
3. Indicar en la C.T. cuál de las alternativas es mayor:
A) cos 45° B) cos 135°
C) cos 200° D) cos 300°
4. Indicar en la C.T. cuáles de las alternativas son
correctas:
A) cos 50° > cos 30°
B) cos 100° < cos 10°
C) cos 30° > cos 200°
5. Indicar en la C.T. cuáles de las alternativas son
correctas:
5 / 4; 2 2; 4
 1/5; 2  1; 2
1
sen 1 2
2
   
3
sen 1
2
 
7 1
;
4 2
 
7 1
;
4 2
 
7 1
;
4 2

  

7 1
;
4 5

 

cos 


cos 
X
Y
(+ )( )
cos 150°
X
Y
cos 300°
300°
150°
RAZÓN TRIGONOMÉTRICA COSENO
TAREA DOMICILIARIA.

27
A) cos 120° > cos 50°
B) cos 100° < cos 200°
C) cos 150° > cos 20°
6. Si: ; indicar el intervalo de:
8. Si: ; indicar el intervalo de
10. Si: ; indicar el menor valor de:
.
1. Si: ; indicar el intervalo de
Rpta.: ........................................................
Rpta.: ........................................................
3. Si: ; y . Indicar el intervalo
de:
Rpta.: ........................................................
Rpta.: ........................................................
Rpta.: ........................................................
Rpta.: ........................................................
Rpta.: ........................................................
8. Si: ; indicar el mínimo valor de:
Rpta.: ........................................................
9. Si: “” y “” son independientes, calcular el máximo
valor de:
Rpta.: ........................................................
10. Si: “x” y “z” son independientes. Calcular el mínimo
valor de:
Rpta.: ........................................................
A) cos 110° B) cos 220°
C) cos 150° D) cos 300°
12. Indicar en la C.T. cuál de las alternativas es
incorrecta:
A) cos 140° < cos 50°
B) cos 120° < cos 30°
C) cos 300° > cos 200°
D) cos 200° > cos 100°
A) [–1; 0] B) [1; 3]
1 cos 1   
0 cos 1  
4 2cos 
0 cos 1  
1
cos
3
 
1 cos 0   
1 3
cos
2 2
 
2
cos 0
2
   
1 2 cos 
1 2
1 2cos
3 3
    cos
1 1 cos 3
4 2 5
 
   cos
1 1
cos
5 3
  
1 1
cos
3 2
  
2cos 3cos  
1
cos 1
2
   21
cos
2
 
1
cos
2
  1
2cos
2
 
1
cos 1 1
3
    3cos 1 
1
2cos 1 1
5
   
1 sen 
1 cos 0   
| 1 2sen | 
2 sen 3 sen 1  
| 1 4cos 3cos |x z 
1
cos 0
2
   
1 2sen 

28
C) [– 1; 2] D) [1; 2]
A) B)
C) D)
A) B)
C) D)
1
cos 1
2
   2
1 cos 
5 / 4 ; 2 2; 4
 1/5; 2  1; 2
1
cos 1 2
2
   
3
cos 1
2
 
  
 
7 1
;
4 2
 
7 1
;
4 2
  


7 1
;
4 2

 

7 1
;
4 2
 
 
 
El producto de tres números enteros
consecutivos es 48 veces el intermedio.
¿Cuáles son los números?
¿Qué significa eso?
Significa que vas a traducir oraciones o enunciados utilizando
expresiones matemáticas, como las variables y las constantes
¿Qué es plantear una ecuación?
Plantear una ecuación es transformar una forma verbal
a una forma simbólica
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO.
SOLUCIÓN DE ECUACIONES I.

29
La adivinadora
Un ejemplo de plantear una ecuación es el conocido problema de la adivinanza, a continuación lo propondremos:
Datos referenciales dictados por el adivinador Representación simbólica del adivinador
Piensa un número x
Multiplícalo por 5 5x
Súmale 8 5x + 8
Dime el resultado. Respuesta: 58 5x + 8 = 58
El número que pensaste es 10 x = 10
Un ejemplo de plantear una ecuación es el conocido problema
de la adivinadora, a continuación lo proponemos.
Piensa un número, multiplícalo por 5, súmale 8 y dime el resultado
58
¡Ah!... entonces pensaste en el número 10
¡Si!... adivinaste

30
1. El doble de un número aumentado en 3 es 7. Hallar
dicho número. 2. El doble de la suma de un número con 5 resulta 12.
Hallar dicho número.
TALLER DE APRENDIZAJE PREVIO

31
3. El triple de un número disminuido en 8 es 25. Hallar el
número mencionado.
4. El triple de la diferencia de un número con 6 resulta
39. Hallar el número mencionado.
5. El exceso de un número sobre 10 es 20. Hallar dicho
número.
6. En una fiesta se observa que el número de hombres es
el cuádruple del número de mujeres. Si hay un total de
100 personas, ¿cuántas son las mujeres?
7. La quinta parte de un número aumentada en 4 resulta
18. Hallar dicho número.
8. La mitad de un número sumada con su tercera parte
resulta 30. Hallar dicho número.
A continuación se presentarán enunciados y tu labor
estimado alumno de primer año será resolver las
ecuaciones para llegar a la respuesta del problema.
1. ¿A qué número debemos sumar 8 para obtener 15?
a) 7 b) 8 c) 23
d) 10 e) 24
2. ¿De qué número debemos restar 4 para obtener 9?
a) 9 b) 13 c) 5
d) 18 e) 4
3. Si a un número entero le agregamos 80 unidades
resulta su quíntuple. ¿Cuál es el número?
a) 20 b) 60 c) 80
d) 40 e) 100
4. Si a 240 le restamos el triple de un número resulta el
séxtuple de 25. ¿Cuál es el número?
a) 30 b) 40 c) 50

32
d) 70 e) 60
5. Dos números consecutivos suman 71. ¿Cuáles son los
números?
a) 35; 36 b) 36; 37 c) 34; 35
d) 40; 41 e) 38; 39
6. Cuatro números naturales consecutivos suman 110.
¿Cuál es el mayor número?
a) 26 b) 28 c) 30
d) 27 e) 29
7. Tres números pares consecutivos suman 102. ¿Cuál es
el menor de ellos?
a) 32 b) 34 c) 36
d) 30 e) 38
8. Tres números impares consecutivos suman 159. ¿Cuál
es el mayor de dichos números?
a) 51 b) 53 c) 55
d) 57 e) 56
9. Un número par más cuatro veces su par consecutivo
suma 58. ¿Cuál es el número?
a) 10 b) 12 c) 14
d) 8 e) 16
10. El cociente entre dos números naturales consecutivos
es 4/5. ¿Cuál es el producto entre ellos?
a) 20 b) 80 c) 10
d) 12 e) 14
11. Un número natural se aumenta en 124 unidades,
resultando cinco veces el número. ¿Cuál es el número?
a) 30 b) 31 c) 32
d) 33 e) 34
12. El producto entre un número entero y el mismo número
aumentado en 5 es equivalente a su cuadrado
aumentado en 50. ¿Cuál es el número?
a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 18
13. El doble de un número, aumentado en 23 es 75. Halla
dicho número.
a) 32 b) 26 c) 28
d) 25 e) 30
14. El cuádruple de un número, disminuido en 36 es 88.
a) 29 b) 28 c) 34
d) 30 e) 31
15. El triple de la suma de un número con 10 es 45. Hallar
dicho número.
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
16. El quíntuple de la diferencia de un número con 8 es 70.
a) 22 b) 23 c) 24
d) 25 e) 26
17. La cuarta parte de un número, disminuido en 6 es 17.
¿Cuál es el número?
a) 90 b) 91 c) 92
d) 93 e) 94
18. La cuarta parte de la diferencia entre un número con 6
es 24. ¿Cuál es el número?
a) 100 b) 102 c) 110
d) 112 e) 108
1. La suma de tres números consecutivos es 144. ¿Cuál es
el número menor?
a) 46 b) 48 c) 50
d) 49 e) 47
2. La suma de cuatro números pares consecutivos es 132.
¿Cuál es el número mayor?
a) 36 b) 32 c) 30
d) 38 e) 34
3. La suma de cinco números impares consecutivos es
275. ¿Cuál es el número intermedio?
a) 51 b) 53 c) 55
d) 57 e) 59
4. ¿Cuál es el número que excede a 49 tanto como es
excedido por 87?
a) 66 b) 67 c) 68
d) 69 e) 70
TAREA DOMICILIARIA.

33
5. Hallar un número, tal que su doble excede a 60 tanto
como su triple excede a 96?
a) 42 b) 38 c) 40
d) 36 e) 34
6. ¿Cuál es el número cuyo cuádruple excede a 46 tanto
como su doble excede a 18?
a) 17 b) 14 c) 15
d) 12 e) 11
7. El exceso del triple de un número sobre 52 equivale al
exceso de 240 sobre el número. ¿Cuál es el número?
a) 75 b) 71 c) 69
d) 70 e) 73
8. El triple del exceso de un número sobre 20 equivale al
cuádruple del exceso del mismo número sobre 30.
Hallar el mencionado número.
a) 60 b) 57 c) 50
d) 64 e) 59
9. Tres cestos contienen 575 manzanas. El primer cesto
tiene 10 manzanas más que el segundo y 15 más que el
tercero. ¿Cuántas manzanas hay en el segundo cesto?
a) 190 b) 188 c) 176
d) 197 e) 181
10. A cierto encuentro futbolístico, asistió cierto número
de espectadores, pagando cada uno S/.5 por entrada.
En el encuentro de revancha asistió el triple de
espectadores que la primera vez y cada uno pagó ahora
S/.8 por entrada. Si en la segunda recaudación se
recibió S/.380 000 más que en la primera, ¿cuántos
espectadores asistieron al segundo encuentro?
a) 6 000 b) 2 000 c) 60 000
d) 4 000 e) 4 500
11. Hallar el número de pelotas que tiene Jorge, tal que si
se multiplican por 7 y luego se le agrega 20 resulta el
quíntuple de ellas, aumentada en 60.
a) 10 b) 18 c) 20
d) 25 e) 35
12. A la cantidad de soles que tiene Eva le agregamos S/.8
para luego el resultado duplicarlo, y sumarle 9, a este
último resultado se le divide por 7 y se obtiene cinco
unidades menos que la cantidad inicial. ¿Cuál es dicha
cantidad?
a) S/.10 b) 12 c) 13
d) 18 e) 20
13. María reparte su fortuna entre sus tres novios: al
primero le da el doble de lo que le dio al segundo y al
tercero $ 2 000 más que al segundo. Si su fortuna fue
de $22 000, ¿cuánto le tocó al tercero?
a) $ 8 000 b) 6 000 c) 5 000
d) 7 000 e) 9 000
14. El sapito de Vanesa da cuatro saltos recorriendo en
cada salto 3 cm más que el anterior. Si el sapito
recorrió un total de 74 cm, ¿cuánto recorrió en el
segundo salto?
a) 6 cm b) 8 c) 11
d) 14 e) 17
15. Si ganase $ 700 tendría el quíntuple de lo que me
quedaría si hubiera perdido $ 100. ¿Cuánto tengo?
a) $ 80 b) 200 c) 300
d) 450 e) 600
16. Blas reparte su fortuna del modo siguiente: a
Fernando le da la mitad, a Alfredo la séptima parte y a
Letty los 2000 dólares restantes. ¿Cuál era la fortuna
de Blas?
a) S/. 5 600 b) 6 000 c) 4 200
d) 2 800 e) 5 800
TALLER DE APRENDIZAJE.
1. La suma de tres números consecutivos es 168. Hallar el
menor de ellos.
2. La suma de cuatro números consecutivos es 286.
Hallar el mayor de ellos.
PLANTEO DE ACUACIONES II

34
3. La suma de cinco números consecutivos es 475. Hallar
el número intermedio.
4. Se tiene dos números consecutivos tal que si al
séxtuple del mayor le aumentamos el quíntuple del
menor obtendríamos 193. Hallar el número menor.
5. Se tiene tres números consecutivos. Si al cuádruple
del intermedio le restamos el triple del mayor y a
dicho resultado le agregamos el doble del menor
resultaría 100. Hallar el mayor de ellos.
6. ¿Cuál es el número que excede a 70 en la misma
medida en que 170 excede a 40?
7. ¿Cuál es el número que excede a 29 en la misma
medida en que 83 excede a dicho número?
8. Hallar un número que excede a 58 tanto como es
excedido por 96.
1. Hallar un número, tal que si a su doble le disminuimos
39 obtendríamos 25.
a) 30 b) 31 c) 32
d) 33 e) 34
2. ¿Cuál es la edad de José, si sabemos que al
sextuplicarla, y luego restarle 32 obtenemos tres
veces su edad aumentada en 4?
a) 15 años b) 13 c) 11
d) 12 e) 14
3. ¿Cuántos hermanos tiene Andrea, sabiendo que si al
doble de ellos le agregamos 14, nos da el quíntuple de
ellos, disminuido en 10?
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
PROBLEMAS PARA

35
4. ¿Cuántos buzos tiene Diego, si sabemos que al
octuplicarlos y restarle 8 obtenemos 7 veces dicha
cantidad, aumentada en 3?
a) 15 b) 11 c) 13
d) 14 e) 16
5. Hallar un número tal que al triplicarlo y restarle 18,
nos da el doble del número aumentado en 2.
a) 18 b) 21 c) 24
d) 20 e) 28
6. ¿Cuál es el número cuyo óctuplo aumentado en 24 es
tanto como su quíntuplo más 60?
a) 13 b) 12 c) 14
d) 16 e) 17
7. ¿Cuál es el lado de un cuadrado tal que el doble de su
perímetro, disminuido en 20 es igual al triple de su
lado, aumentado en 30?
a) 10 b) 12 c) 15
d) 25 e) 30
8. Tres veces el número de alumnos del primer año;
aumentado en 50 nos da el doble del número de
alumnos; aumentado en 80. ¿Cuántos alumnos son?
a) 30 b) 38 c) 40
d) 50 e) 32
9. Si tres números consecutivos suman 39, hallar el
mayor.
a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) 16
10. Calcular el menor de dos números consecutivos, si al
quíntuplo del mayor le restamos 22 obtenemos el doble
del menor, aumentado en cuatro.
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
11. Dado tres números consecutivos: el doble del mayor
más el triple del menor es igual al intermedio
aumentado en 67. Hallar el mayor.
a) 16 b) 17 c) 18
d) 19 e) 20
12. Calcular el menor de tres números consecutivos tal que
si sumamos los tres nos da el cuádruple del mayor,
disminuido en 11.
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
13. Se tienen dos números impares consecutivos tal que el
séxtuplo del menor más el doble del mayor nos da 76.
Hallar el par siguiente al mayor.
a) 10 b) 8 c) 12
d) 14 e) 6
14. Dado cuatro números consecutivos tal que la suma de
los dos menores, aumentado en nueve es igual al doble
de la suma de los dos mayores, disminuido en 10.
Calcular el menor.
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
15. Tres serpientes "A", "B" y "C" tienen las
características siguientes: la longitud de "A" excede a
la de "B" en 8 cm y a la de "C" en 4 cm. Si la suma de
las longitudes de las tres es 102 cm, ¿cuánto mide
"A"?
a) 100 cm b) 40 c) 30
d) 38 e) 42
1. Si se sabe que Leonardo mide tres centímetros más
que Mike y tres centímetros menos que Jhon y la suma
de la talla de los tres es 549 cm, ¿cuánto mide Jhon?
a) 180 cm b) 186 c) 184
d) 183 e) 146
2. La suma de cuatro números impares consecutivos es
80. ¿Cuál es el número mayor?
a) 25 b) 23 c) 21
d) 27 e) 19
3. ¿Cuál es el número que excede a 36 tanto como es
excedido por 64?
a) 40 b) 50 c) 55
d) 45 e) 32
TAREA DOMICILIARIA.

36
4. Betty tiene el triple que Ana y Carmen S/.8 más que
Betty. Si entre las tres tienen S/.71, ¿cuánto tiene
Carmen?
a) S/.30 b) 9 c) 27
d) 36 e) 35
5. El doble de la suma de un número con 7 es el triple del
exceso del número sobre 8. Hallar dicho número.
a) 32 b) 34 c) 36
d) 38 e) 35
6. Un niño tenía S/.65. Si gastó el cuádruple de lo que no
gasto, ¿cuánto gastó el niño?
a) S/.13 b) 12 c) 52
d) 18 e) 14
7. En una caja registradora hay S/.700, en billetes de
S/.10 y S/.50. Si hay doble número de billetes de los
primeros que de los segundos, ¿cuántos billetes de
S/.10 hay?
a) 20 b) 60 c) 30
d) 10 e) 40
8. En un teatro hay cierta cantidad de espectadores. Si
hubieran entrado 800 espectadores más, habría el
triple de espectadores que hay en este momento,
disminuido en 60. Diga usted cuántos espectadores
hay en la sala.
a) 240 b) 430 c) 210
d) 480 e) 640
9. Si ganara S/.60 tendría el cuádruple de lo que me
quedaría si perdiera S/.75. ¿Cuánto tengo?
a) S/.100 b) 80 c) 140
d) 120 e) 130
10. Si comprara 40 libros tendría entonces el quíntuple de
lo que me quedaría si hubiera vendido 3, más 15 libros.
¿Cuántos libros tengo?
a) 8 b) 10 c) 12
d) 16 e) 21
11. Dentro de 16 años tendré el cuádruple de la edad que
tuve hace 14 años. ¿Qué edad tengo?
a) 10 años b) 22 c) 24
d) 28 e) 32
12. En cada día de lunes a jueves gané S/.2 más que el día
anterior. Si luego de los cuatro días he recibido en
total S/.60, ¿cuánto gané el martes?
a) 12 b) 14 c) 16
d) 22 e) 18
13. El martes gané el doble de lo que gané el lunes, el
miércoles el doble de lo que gané el martes, el jueves
el doble de lo que gané el miércoles, el viernes S/.30
menos que el jueves y el sábado S/.10 más que el
viernes. Si en los seis días he ganado S/.911, ¿cuánto
gané el miércoles?
a) S/.124 b) 131 c) 133
d) 126 e) 132
14. En un corral el número de gallos es el cuádruple del
número de gallinas. Si se venden cuatro gallos y cuatro
gallinas, entonces el número de gallos es seis veces el
número de gallinas. ¿Cuántas aves había inicialmente?
a) 40 b) 50 c) 30
d) 60 e) 20
15. Caperucita Roja va por el bosque llevando una cesta
con manzanas para su abuelita; si en el camino la
detiene el lobo y le pregunta: "¿Cuántas manzanas
llevas en tu cesta?". Caperucita le responde: "Llevo
tantas decenas como el número de docenas más uno".
¿Cuántas manzanas llevaba Caperucita en su cesta?
a) 30 b) 6 c) 120
d) 60 e) 180
INTRODUCCIÓN
Isaac Newton, matemático y físico británico, nació el 25 de diciembre de 1642
(según el calendario juliano vigente de aquel entonces), el mismo año en que murió Galileo,
otro de los grandes personajes de la historia de la ciencia.
FÍSICA.
LEYES DE LA MECÁNICA.

37
Newton es considerado uno de los más grandes científicos de la historia. Sus descubrimientos y teorías sirvieron de base
a la mayor parte de los avances científicos desarrollados desde su época. Newton fue, junto al matemático alemán Gottfried
Wilhelm Leibniz, uno de los inventores de la rama de las matemáticas denominada Cálculo. También resolvió cuestiones
relativas a la luz y la óptica. Pero, probablemente, su contribución más importante a la Física fue la formulación de las leyes
del movimiento y, a partir de ellas, la ley de la gravitación universal.
Estas leyes tomaron el lugar de las ideas aristotélicas que dominaron el pensamiento de los hombres durante casi 2 000
años.
En este capítulo estudiaremos dos de las tres leyes del movimiento de Newton.
PRIMERA LEY DE NEWTON
Llamada también "Principio de Inercia". Fue enunciada por Isaac Newton el año 1687, y establece que:
"Si sobre un cuerpo no actúan fuerzas o si actúan varias fuerzas y su resultante es nula, entonces
dicho cuerpo permanecerá en reposo o moviéndose en línea recta con velocidad constante".
Esto significa que un cuerpo por sus propios medios no puede cambiar el estado de su movimiento, es decir, deberá existir
siempre un agente externo (una fuerza) que provoque los cambios. De acuerdo con esta apreciación, deducimos que todos los
cuerpos tienen una propiedad inherente llamada inercia, que les permite conservar su velocidad o su estado de reposo.
El patinador de la figura, luego de darse un impulso inicial, continúa en movimiento debido a la ausencia de fuerzas que se
opongan a él. ¿Qué lo mantiene en movimiento?... ¡Su inercia!
Si el bus en que viajamos se detiene bruscamente, nuestro cuerpo, que está
en movimiento con relación a la Tierra, está desligado del sistema de frenos
del bus, y por ello la resultante de las fuerzas sobre nosotros es nula. Luego,
gracias a nuestra inercia es que nos vamos hacia adelante con relación al bus.
En la figura, la esfera se encuentra atada a una cuerda, y en movimiento
circunferencial en una mesa lisa horizontal (la vemos desde arriba). Cuando la
esfera pasa por el punto "A", la cuerda se rompe y se observa que aquella continúa
hielo
Bus frenando
O
A
V V

38
en movimiento, aunque ahora es rectilíneo y con una velocidad igual a la que tuvo un instante antes de llegar al punto "A".
El viejo truco de jalar un mantel y dejar estáticos los objetos
ubicados sobre él, se explica porque dichos objetos no experimentan
fuerza neta en sus bases debido a la rapidez del movimiento del
mantel. Así, la resultante sobre ellos es siempre nula. ¿Qué los
mantiene en reposo?... ¡Su inercia!
TERCERA LEY DE NEWTON
Llamada también "Principio de Acción y Reacción". Fue descubierta por Newton y publicada el mismo año que la ley
anterior. Establece que:
"Si un cuerpo actúa contra un segundo cuerpo con una fuerza llamada Acción, el segundo actuará contra el primero con
una fuerza de igual intensidad, en la misma recta de acción pero de dirección opuesta, llamada Reacción".
Por actuar sobre cuerpos diferentes, las fuerzas de acción y reacción nunca se pueden
equilibrar. Asimismo, aparecen y desaparecen simultáneamente. En las distintas figuras que se
muestran, puede observarse que:
Las fuerzas F1 y F2 constituyen una pareja de acción y reacción, siendo F1 la atracción de la
Tierra sobre el bloque (peso del bloque) y F2 la atracción del bloque sobre la Tierra.
Podemos decir, entonces, que cuando la Tierra atrae al bloque, éste también atrae a la
Tierra.
Las fuerzas F3 y F4 son una pareja de acción y reacción
producidas en la zona de contacto entre el bloque y el piso. F3 es la acción del bloque sobre el
piso y F4 la reacción del piso sobre el bloque.
Podemos decir, entonces, que cuando el bloque presiona al piso, el piso también presiona
al bloque.
En la figura siguiente, las fuerzas F1 y F2 forman una pareja de acción y reacción, siendo F1 la fuerza que la mano aplica a la
cuerda y F2 la reacción de la cuerda sobre la mano.
Podemos decir, entonces, que cuando jalamos la cuerda con la mano, la cuerda también jala de nuestra mano.
Mantel
F
F
1
F
2
O
Centro de
la Tierra{ }
F
4
F
3
O

39
En la figura anterior, las fuerzas F3 y F4 constituyen una pareja de acción y reacción, donde F3 es la fuerza de acción de la
cuerda sobre el bloque y F4 la reacción del bloque sobre la cuerda.
Podemos decir, entonces, que cuando la cuerda jala el bloque, el bloque también jala a la cuerda.
En la figura, la nave expulsa gases hacia atrás aplicándoles una fuerza Fa y los gases aplican a la nave una fuerza de
reacción Fr hacia delante, lo que le permite a la nave el poder impulsarse. De este modo, Fa y Fr forman una pareja de
acción y reacción.
En la figura, la nave expulsa gases hacia atrás aplicándoles una fuerza Fa y los gases aplican a la nave una fuerza de
reacción Fr hacia delante, lo que le permite a la nave el poder impulsarse. De este modo, Fa y Fr forman una pareja de
acción y reacción.
Podemos decir, entonces, que cuando la nave impulsa los gases, los gases también impulsan a la nave.
ACTIVIDADES
TEST
Indicar la veracidad ( V ) o falsedad ( F ) de las siguientes proposiciones. Ten en cuenta que si la proposición es falsa,
deberás sustentar tu respuesta.

40
Para completar…
Completa correctamente los espacios en blanco.
1. Los principales aportes de Isaac Newton a la ciencia son: ………………………………………………………………………..............................................
.....…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………................................................................
2. Las leyes del movimiento de Newton tomaron el lugar de las ………………. aristotélicas que habían gobernado el pensamiento
de los hombres durante casi …………… años.
3. La primera ley de Newton también se conoce como …………………………………………...........................…......................................................... .
4. La primera ley de Newton establece que………..……………………………..………………………………………………………...................................................
............……………………………….………………………………………………………………………………………………………………….................................................................
5. La................ es una propiedad de la materia debido a la cual un cuerpo se opone a cambiar su estado de reposo o
movimiento.
6. La……….................................………..de un cuerpo es una medida de su inercia.
7. La tercera ley de Newton también se conoce como…………………………………………….......................................................................................
8. La tercera ley de Newton establece que………..……………………………..………………..............………………………………................................................

41
………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………..................................................................
9. Las fuerzas de acción y reacción tienen igual ………………….……., la misma ……………………………………….. y ……………………..……. opuestas.
10. Las fuerzas de acción y reacción actúan sobre……………………. distintos, por ello….…................. se anulan.
Para responder
1. ¿Por qué se dice que la masa de un cuerpo es una medida de su inercia?
…………………………………………………………………………...…………………………………………………………………………….....................................................................
2. Si vamos en un autobús en movimiento, ¿por qué al frenar nuestro cuerpo sale impulsado hacia adelante?
…………………………………………………………………………...…………………………………………………………………………….....................................................................
3. Cuando esperamos dentro de un autobús detenido en el paradero, ¿por qué cuando arranca nuestro cuerpo sale despedido
hacia atrás?
...………………………………………………………………………...…………………………………………………………………………….....................................................................
4. Si vamos en un auto en movimiento, ¿por qué durante una curva nuestro cuerpo se inclina hacia afuera?
....………………………………………………………………………...……………………………………………………………………………....................................................................
5. ¿Por qué cuando el piso de una habitación está recién encerado, podemos impulsarnos y resbalar recorriendo grandes
distancias?
…………………………………………………………………………...…………………………………………………………………………….....................................................................
6. Si no existiera la fuerza de reacción, ¿qué ocurriría si golpeáramos la pared con el puño?
.....……………………………………………………………………...……………………………………………………………………………......................................................................
7. Cuando una persona dispara una bala con una pistola, ¿cómo reacciona la bala sobre la pistola?
.....……………………………………………………………………...……………………………………………………………………………......................................................................
8. ¿Cómo se impulsa un cohete espacial mientras despega?
...………………………………………………………………………...…………………………………………………………………………….....................................................................
9. Cuando inflamos con aire un globo y no lo atamos, ¿por qué al soltarlo éste puede impulsarse y ponerse en movimiento?
.…………………………………………………………………………...……………………………………………………………………………....................................................................
10. Si cuando soltamos un cuerpo desde cierta altura, la Tierra actúa ejerciendo una fuerza de atracción sobre éste, ¿cuál es
la reacción que el cuerpo ejerce sobre la Tierra?
....………………………………………………………………………...……………………………………………………………………………....................................................................
PARA ANALIZAR
Empleando la Primera ley de Newton, explique lo que sucede en cada caso:
1.

42
2.
3.
4.
-----------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------
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43
5.
Empleando la Tercera ley de Newton, explique lo
que sucede en cada caso:
6.
7.
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---
ESTÁTICA

44
Concepto
La estática es la parte de la mecánica que estudia el equilibrio mecánico de los cuerpos.
Equilibrio mecánico
Se denomina así al estado de un cuerpo en el cual no posee aceleración. Algunos ejemplos de cuerpos en equilibrio son: un
cuerpo en reposo, un cuerpo con MRU.
Estabilidad
Algunas cosas se derriban con mayor facilidad que otras, decimos que esto depende de qué tan estables son. Por ejemplo,
las figuras muestran lo que ocurre cuando una caja alta y estrecha es empujada hasta que comienza a volcarse.
Con una pequeña inclinación, las fuerzas
producen efecto de rotación en la caja,
haciendo que ésta regrese a su posición
original.
Si no hay inclinación, las fuerzas no
producirán efecto de rotación en la caja.
Con una inclinación grande, las fuerzas producen
efecto de rotación en la caja, que la inclinan
todavía más hasta volcarla.

45
Supongamos una caja que tenga una base más ancha y un centro de gravedad en un punto más bajo, esta caja podría
inclinarse un ángulo mayor antes de que comience a volcarse. Diremos, entonces, que esta caja sería más estable.
Podemos decir, entonces, que un cuerpo estable es aquel que se mantiene en un estado de equilibrio sin peligro de
cambiar y que, frente a alguna perturbación externa, puede recuperar dicho estado.
Equilibrio estable, inestable y neutro
Lo mismo que una caja antes de volcarse, los objetos que se muestran, se encuentran todos en estado de equilibrio.
El cono «A» está en equilibrio estable. Si se perturba un poco el cono, su centro de
gravedad permanece por encima de la superficie de su base.
El cono «B» está en equilibrio inestable. Está en equilibrio, pero es claro que no va a
estar así por mucho tiempo. La «base» del cono es ahora tan pequeña que el centro de
gravedad la sobrepasará inmediatamente.
La esfera «C» está en equilibrio neutro o indiferente. Si no se toca la esfera,
permanecerá en su lugar; si se mueve, permanecerá en su nueva posición. Dondequiera
que esté la esfera, su centro de gravedad permanece sobre el punto de contacto con la
mesa.
Para obtener mayor estabilidad, un automóvil de
carreras posee un centro de gravedad bajo y una
base de ruedas anchas.
Base
A
Equilibrio estable
Base
B
Equilibrio inestable
C
Equilibrio neutro
Diseño para lograr la estabilidad
Los vehículos que han sido diseñados para llevar
grandes cargas, a menudo son muy altos, lo cual tiene un
efecto desfavorable sobre su estabilidad, ya que su
centro de gravedad se encuentra en un punto muy alto.
Los vehículos diseñados para lograr rapidez, como el
automóvil de carreras, tienen un centro de gravedad en un
punto muy bajo, lo que lo hace más estable.

46
Primera condición del equilibrio
Como se puede apreciar, en la naturaleza, todos los cuerpos están afectados por fuerzas y, en muchos casos, se puede decir
que un cuerpo se encuentra en equilibrio. Para ello, dicho cuerpo debe cumplir ciertas condiciones.
La primera condición del equilibrio establece que:
La condición para que un cuerpo se encuentre en equilibrio de traslación
es que todas las fuerzas que actúan sobre dicho cuerpo se cancelen.
Esta condición asegura el equilibrio de traslación de un cuerpo, por ahora, no consideraremos los efectos de rotación que
podrían producir las fuerzas sobre el cuerpo en análisis.
Casos de cuerpos en equilibrio de traslación
Recordemos que el concepto de equilibrio establece que el cuerpo en equilibrio no posee aceleración. Los casos de un
cuerpo que cumple con la primera condición del equilibrio son:
 Equilibrio estático: Cuando el cuerpo se encuentra en reposo, en este caso dicho cuerpo no posee movimiento: ni velocidad
ni aceleración.
 Equilibrio cinético: Cuando el cuerpo se mueve con velocidad constante, en este caso dicho cuerpo posee movimiento
rectilíneo uniforme (MRU) y, como ya sabemos, no tendrá aceleración.
Actividades
Test
Indicar la veracidad ( V ) o falsedad ( F ) de las siguientes proposiciones. Ten en cuenta que si la proposición es falsa,
deberás sustentar tu respuesta.

47
Completar
En cada caso, considerar que el cuerpo que se muestra se
encuentra en equilibrio y que las fuerzas representadas
por vectores (flechas) son las únicas que le afectan. Se
pide encontrar el valor de la fuerza indicada.
1. F =........................
2. T =........................
3. F =........................
4. T =........................
5. W =........................
6. F =........................
7. T =........................
8. F =........................
9. F =........................
10. F =........................
Alternativas Múltiples
En cada caso, considerar que cada uno de los cuerpos que
se muestran se encuentra en equilibrio. Además el peso de
cada cuerpo es el que se indica y todas las superficies son
lisas.
11. Hallar el valor de la tensión en la cuerda.
a) 8 N b) 10 c) 5
d) 15 e) 12
12. Si cada cuerda soporta la misma tensión, determine su
valor.
a) 20 N b) 10 c) 25
d) 15 e) 5
13. Determine el valor de la tensión en la cuerda. (1)
a) 8 N b) 6 c) 12
d) 14 e) 16
14. Determine el valor de la tensión en la cuerda. (1)
a) 20 N b) 15 c) 5
d) 10 e) 30
15. Determine el valor de la tensión en la cuerda.
a) 15 N b) 5 c) 20
d) 30 e) 10
F 12 N
T 15 N
2F 10 N
3T 30 N
W
50 N
F
32 N
48 N
2T
4 N
F12 N
5 N
F 8 N
16 N
3 F F
5 N
30 N
8 N
6 N
(1)
5 N
15 N
(1)
F=10 N

48
16. Determine el valor de la tensión en la cuerda.
a) 18 N b) 24 c) 6
d) 12 e) 36
17. Determine el valor de la reacción en la pared vertical.
a) 10 N b) 15 c) 20
d) 25 e) 30
18. Determine el valor de la reacción en la pared vertical.
a) 12 N b) 26 c) 28
d) 38 e) 36
19. Determine el valor de la reacción en el piso.
a) 18 N b) 19 c) 10
d) 9 e) 8
20. Determine el valor de la reacción en el piso.
a) 15 N b) 45 c) 35
d) 5 e) 25
En cada caso, considerar que el cuerpo que se muestra
se encuentra en equilibrio y que las fuerzas
representadas por vectores son las únicas que le
afectan:
21. Hallar el valor de "F":
a) 16 N b) 14 c) 18
d) 22 e) 30
22. Hallar el valor de "F":
a) 26 N b) 36 c) 16
d) 42 e) 58
23. Hallar el valor de "T":
a) 16 N b) 12 c) 18
d) 28 e) 40
24. Hallar el valor de "W":
a) 24 N b) 40 c) 16
d) 8 e) 12
25. Hallar el valor de "F"
a) 10 N b) 5 c) 15
d) 25 e) 20
encuentra en equilibrio. Además, el peso de cada cuerpo
es el que se indica y todas las superficies son lisas.
a) 16 N b) 18 c) 12
d) 6 e) 24
6 N
18 N
F=20 N
26 N
12 N
9 N
25 N
10 N
F24 N
6 N
F
42 N 16 N
12 N
28 N
T
24 N
W
16 N
100 N
3 F F
12 N

49
encuentra en equilibrio. Además, el peso de cada cuerpo
es el que se indica y todas las superficies son lisas.
a) 10 N b) 20 c) 30
d) 40 e) 50
2. Del problema anterior, determine el valor de la
reacción en el piso.
a) 10 N b) 20 c) 30
d) 40 e) 50
3. Hallar el valor de la reacción en la pared.
a) 10 N b) 20 c) 30
d) 40 e) 50
4. Del problema anterior, determine el valor de la
reacción en el piso.
a) 10 N b) 20 c) 30
d) 40 e) 50
II. Para completar
Completa correctamente los espacios en blanco.
1. La …………………………. estudia las condiciones para que un
cuerpo se encuentre en equilibrio mecánico.
2. El ……………………….. es el estado de un cuerpo en el cual
éste no posee aceleración.
3. Un cuerpo estable es aquel que se mantiene en un
estado de ……………………… sin peligro de cambiar y que,
frente a alguna ………..…………………………., puede recuperar
dicho estado.
4. Para obtener mayor ………………………., un automóvil de
carreras posee un ……………………………. bajo y una base de
ruedas anchas.
5. Un cuerpo se encuentra en equilibrio ……………………….…,
si frente a alguna perturbación externa, recupera su
estado de ………………………… .
si frente a alguna perturbación externa, pierde su
estado de …………………………..................................................... .
si frente a alguna perturbación externa, continúa en su
estado de …………………………......................................................
8. La primera condición del equilibrio establece que
………………………………………………....……………………………………….........
9. Si un cuerpo se encuentra en equilibrio………………………,
entonces éste no posee movimiento.
10. Si un cuerpo se encuentra en equilibrio
…………………………….., entonces éste posee movimiento con
velocidad constante.
Relaciona cada alternativa de la columna de la izquierda con su respectivo significado de la columna de la derecha.
20 N
F=40 N
30 N
F=20 N
TAREA DOMICILIARIA

50
Es común encontrar en los supermercados productos que contienen una serie
de compuestos químicos, muchos de ellos en mezcla.
Una mezcla es la unión de dos o más sustancias en cualquier proporción de
masa o de volumen sin alterar químicamente a los componentes. Una mezcla
puede ser homogénea, si presenta una fase y sus componentes no se
diferencian.
En una solución, una sustancia llamada soluto se disuelve en otra llamada
solvente y en un coloide. La fase dispersa utiliza como medio a la fase
dispersante.
El estado de una solución depende del solvente. Las aleaciones son soluciones
sólidas.
Principales mezclas:
• Vinagre: Una solución de ácido acético (CH3COOH) y agua
• Formol: Una solución de metanal (HCHO) y agua
• Acero: Aleación de hierro y carbono
• Amalgama de plata: Mezcla de plata con mercurio
• Petróleo: Mezcla de hidrocarburos líquidos, sólidos y gaseosos
• Aire: Mezcla gaseosa de N2 (70%), oxígeno (20%) y otros gases
• Gasolina: Mezcla líquida de isooctano (poder antidetonante) y heptano (poder detonante)
Una mezcla también puede ser heterogénea, presenta varias fases y se hacen visibles los componentes.
La mayoría de minerales y rocas se muestran en mezclas heterogéneas.
1. Completar: “A la unión de dos o más sustancias, sin alteración química, se les llama ________________________”.
2. ¿Cuántas fases presenta una mezcla homogénea?
____________________________________________________________________________________
3. ¿Cuáles son los componentes principales del vinagre?
__________________________________________________________________________________________
QUÍMICA.
MEZCLAS.
Los componentes
de una mezcla no
se alteran químicamente
Las mezclas homogéneas
presentan una sola fase

51
4. ¿Cómo se denomina a la mezcla de metanal y agua?
__________________________________________________________________________________________
5. Con respecto a las mezclas:
I. Las sustancias se alteran químicamente
II. Son monofásicas
III. Se forman con proporciones variables
¿Cuáles son correctas?
__________________________________________________________________________________________
6. Relacionar:
I. Aire A. Mezcla heterogénea
II. Roca B. Mezcla homogénea
__________________________________________________________________________________________
7. ¿Cómo se denomina a la sustancia que se disuelve en una solución?
__________________________________________________________________________________________
8. ¿Qué sustancia se usa como solvente universal?
__________________________________________________________________________________________
9. De las alternativas mencionadas, ¿cuáles son soluciones?
I. Petróleo II. Vinagre III. Acero
__________________________________________________________________________________________
10. ¿Cuáles son los componentes principales del bronce?
__________________________________________________________________________________________
11. ¿A qué se denomina efecto Tyndall?
__________________________________________________________________________________________
12. ¿Qué tipo de movimiento realizan las moléculas de la fase dispersa en un coloide?
__________________________________________________________________________________________
13. ¿Cuál es el componente principal del amalgama?
__________________________________________________________________________________________
14. ¿Qué componente de la gasolina permite su detonación?
_________________________________________________________________________________________
15. De los mencionados, ¿cuál es un coloide?
I. Espuma II. Gelatina III. Formol
_______________________________________________________________________________________

52
1. Completar: “A la unión de dos o más _______________________________________________ se le llama mezcla”.
2. ¿Cuántas fases presenta una mezcla heterogénea?
_________________________________________________________________________________________
3. ¿Cuáles son los componentes principales del formol?
_______________________________________________________________________________________
4. ¿A qué mezcla se le llama oro negro?
________________________________________________________________________________________
5. Con respecto a las mezclas:
I. Las sustancias no se alteran químicamente
II. Se forman en proporciones definidas.
III. Tienen fórmula química.
¿Cuáles son correctas?
_________________________________________________________________________________________
6. Relacionar:
I. Gasolina A. Mezcla heterogénea
II. Mineral B. Mezcla homogénea
________________________________________________________________________________________
7. ¿Cómo se denomina a la sustancia que se disuelve en una solución?
________________________________________________________________________________________
8. ¿Cuál es el soluto en el vinagre?
________________________________________________________________________________________
9. De las alternativas mencionadas, ¿cuáles son soluciones?
I. Amalgama de plata II. Vinagre III. Gasolina
_________________________________________________________________________________________
10. ¿Cuáles son los componentes principales del acero?
_________________________________________________________________________________________
11. ¿Cómo se denomina al efecto, que produce una dispersión de la luz por presencia de partículas coloidales?
__________________________________________________________________________________________
12. ¿Qué tipo de compuestos se presentan en el petróleo?
_________________________________________________________________________________________
13. ¿Cuáles son los componentes principales del aire?
__________________________________________________________________________________________
14. De las alternativas mencionadas, ¿cuál es un coloide?
I. Esponja II. Gel III. Petróleo
_________________________________________________________________________________________
15. ¿Cómo se denomina a la mezcla líquida de isooctano y heptano?
__________________________________________________________________________________________
Tarea Domiciliaria

53
La materia se puede clasificar como sustancia química o como mezcla de sustancias. El
agrupamiento de átomos por enlace covalente forma una molécula.
La reunión de moléculas por fuerzas intermoleculares forman una sustancia química y la unión de
sustancias sin alteración química se denomina mezcla.
1. Indicar con (V) verdadero y (F) falso según corresponda:
2. Completar: “Las sustancias ______________________________________ poseen un solo elemento químico”.
3. Relacionar:
I. Fósforo blanco A. Compuesto químico
II. Amoníaco B. Sustancia simple
__________________________________________________________________________________________
4. Clasifique (mezcla o sustancia pura):
I. Petróleo : ____________________________________________
II. Ozono : ____________________________________________
5. ¿Cuántos átomos posee una molécula de fósforo rojo?
__________________________________________________________________________________________
6. Clasifique al ácido nítrico: HNO3 (simple o compuesta)
__________________________________________________________________________________________
7. En la molécula: CnH2n+2 - COOH, se presenta 20 átomos, ¿cuántos átomos de hidrógeno hay?
__________________________________________________________________________________________
8. De las alternativas mencionadas, ¿cuáles son compuestos químicos?
I. Gasolina II. Amoníaco III. Sal común
__________________________________________________________________________________________
I. Los metales son sustancias simples
II. Los óxidos son compuestos ternarios
V/F ¿Por qué?Proposición
SUSTANCIAS Y MEZCLAS.

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