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Ejercicios de cadenas de markov discretos

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Ejercicios de cadenas de markov discretos

  1. 1. EJERCICIOS RESUELTOSFORMULACION DE MODELOS DE MARKOV DE TIEMPO DISCRETOPregunta Nº 1. Se quiere construir un modelo markoviano para estimar la dinámica de vida de uncultivo de ovas de salmón en la etapa de Maduración de la ova. En un estanque con agua dulce,se ponen N ovas fecundadas. Después de 8 días, las ovas que han sobrevivido se convierten enpequeños salmones, los cuales se traspasan a otros estanques para seguir su evolución. Eneste proceso de Maduración, algunas ovas se mueren. Se sabe que la distribución deprobabilidades de una ova en esta etapa de desarrollo, es exponencial con media  . Sea X nel número de ovas vivas al inicio del día n.Se pide:a) Diga cual es el rango de la variable (2 puntos)b) Obtenga la regla de transición (2 puntos)c) Obtenga la matriz P (2 puntos)DesarrolloSea X n : número de ovas vivas al inicio del día n. Parten N ovas vivas, pero van muriendo día adía.a) X n  0,1,2,..., N b) Sea p: probabilidad de que una ova que está viva al inicio del día n lo esté al inicio de día n+1.Sea Ti : duración o vida de la ova i-ésima. T  n 1 p  P i    PT  1  1  e  luego si hay j ovas vivas al día siguiente  Ti  n   ipueden haber j o menos.Luego X n1  Binomial  X n , p c) Matriz P: 0 1 2 . N-1 N0 11 1  p  p 0 0 0 02  2 2  2 0 0 0  1  p 2 p 0   p1  p1 1     .N-1  N  1  N 1   N 1  2 . p N 1 0  N  11  p   N  2  p1  p   p 1  p N 3 N 1 N 2       N  3      N 1  p N N  N  2 1  p  p  N  1 p1  p   N  2  p 1  p  N 1 N 2         1
  2. 2. Pregunta Nº 2. Juan y Pedro tienen 2 monedas cada uno. Se disponen a enfrentar un juego enque, en cada oportunidad, cada jugador lanza una moneda de sus monedas. Si ambascoinciden, gana Juan y se queda con la moneda de Pedro. En caso contrario, gana Pedro. Eljuego termina cuando uno de los jugadores gana las 4 monedas. a) Obtenga la distribución de probabilidades del número de jugadas necesarias hasta que Juan logre tener 3 monedas por primera vez. b) Explique como obtendría la distribución de probabilidades del número de jugadas hasta que el juego termina.Desarrollo:1.- Sea X n : nº de monedas de Juan.a.- Se debe encontrar Fk 2,3 que corresponde a la probabilidad de que se vaya por primeravez del estado 2 a estado 3 en un número k de etapas. Por lo tanto : Fk 2,3  ??Para obtener esta probabilidad se debe construir el modelo detalladamente, es decir encontrarel rango de X n , la matriz P y opcionalmente el gráfico de red.Rango de la variable de estado X n :  X n  0,1,2,3,4 ,Matriz P 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 2 2P= 0 1 0 1 0 2 2 0 0 1 0 1 2 2 0 0 0 0 1Gráfico de red de la matriz P 1 0,5 0,5 0,5 1 0 0,5 1 0,5 2 0,5 3 4Entonces volvamos de nuevo con Fk 2,3F1 2,3  ; F2 2,3  0 ; F3 2,3  p 21 p12 p 23  F4 2,3  0 1 111 1  ; 2 222 8 2
  3. 3. 2 1 1 1F5 2,3  ( p 21 p12 ) p 23 2   2 2 2Término general: k 1Fk 2,3  ( p21 p12 ) 2 ; k  2,4,6,...(par )-----------------------------------------------------------b.- El juego termina cuando se llega a que Juan tiene 0 ó 4 monedas. Lo que se preguntaentonces, es la probabilidad de que ocurra alguno de estos dos eventos, que son excluyentes.Además Juan tiene al inicio del juego 2 monedas. Luego lo que se pregunta es:   Fk 2,0  Fk 2,4 k 2Del estado 2 al estado 0 y al estado 4 se puede llegar en etapas múltiplos de 2 solamente. Luego: k k 1 1 1Fk 2,0      ; k  2,4,6,...  2 2 4 k k 1 1 1Fk 2,4      ; k  2,4,6,... 2 2 4 2j 2j j 2j  1  1  1  1 Fk 2,0  Fk 2,4                k 2 j 1  4  j 1  4  j 1  16  j 1  16 par j 0 j 0  1 1   1  1 1 1 16 16  16    16     16    4   1  1  1  1  15  1  15  1 j 0     j 0     1  1 16 16 1 1 2   15 15 15Pregunta Nº 3. Considere un cultivo que contiene inicialmente un solo glóbulo rojo. Después deuna cantidad de tiempo el glóbulo rojo muere y es reemplazado por dos nuevos glóbulos rojos obien por dos glóbulos blancos. Las probabilidades de estos eventos son 1 y 3 4 4respectivamente. Subsecuentemente, cada glóbulo rojo se reproduce de la misma forma. Porotra parte, cada glóbulo blanco muere después de una unidad de tiempo sin reproducirse. Sedesea calcular la probabilidad de que el cultivo se extinga en algún momento. 3
  4. 4. Formule para tal efecto un modelo detallado e indique con precisión como lo utilizaría paraobtener la probabilidad pedida.DesarrolloSea X n : numero de glóbulos rojos presentes en la etapa n. 8 4 1 2 6 0 i k ; k  log  j  k X  jP n1    i  1  1  1      X n  i   k  4   4        log 2Esta Cadena de Markov es tal que existen dos clases:C1  0 y C 2  2,3,4,... la clase C 2 es infinita.La clase recurrente C1 es recurrente y la clase C 2 es transiente. La clase C1 está compuestapor un estado aperiodico. Por lo tanto, por la Proposición 2 vista en clases, se puede asegurarque existe distribución estacionaria. Además por la misma proposición se puede asegurar que j  0 j  1,2,... es decir  j  0 j  C 2 y  j  0 j  C1 . Como la clase C1 tieneun solo elemento  0  1 .Entonces la probabilidad de que el cultivo se extinga alguna vez es uno.Modelación de problemas en Cadenas de Markov de tiempo discreto 4
  5. 5. Pregunta Nº 4. En la ciudad de Santiago diariamente se liberan contaminantes a la atmósfera,provenientes principalmente del uso de vehículos y de plantas industriales. La autoridadcorrespondiente monitorea diariamente la calidad del aire en la ciudad y según la concentraciónde contaminantes distingue 3 estados de alerta ambiental: Normal (N), Preemergencia (P), yEmergencia (E). Se ha podido determinar que la evolución del estado de alerta obedece a unacadena de markov. Por simplicidad asumiremos que las probabilidades de transición dependen sólo delnúmero de vehículos que circulan por las calles de Stgo. cada día (las plantas industrialespueden ser modeladas como un conjunto de vehículos). Si en un día Normal circulan por Santiago y vehículos, entonces la probabilidad de queel día siguiente sea también Normal vale 1  F ( y) , y la probabilidad de que el día siguiente seade Preemergencia es F ( y) . Si en un día de Preemergencia circulan y vehículos, entonces eldía siguiente será Normal con probabilidad 1  F ( y) o Emergencia con probabilidad F ( y) . Sien un día de Emergencia circulan y vehículos entonces el día siguiente puede repetirse el estadode Emergencia, lo que ocurre con probabilidad F ( y) , o bien pasar al estado de Preemergenciacon probabilidad 1  F ( y) . La función F es continua, estrictamente creciente,F (0)  0, F ()  1. La autoridad ha tomado las siguientes medidas para combatir la contaminación: En losdías de Preemergencia se prohíbe circular a una fracción 1-  de los vehículos de Santiago. Enlos días de Emergencia la medida se hace más drástica, prohibiéndose la circulación de unafracción 1-  de los vehículos de la ciudad (  <  ). En lo que sigue asuma que en Santiago hay un parque automotriz de X vehículos, yque cada día salen a circular aquellos que la autoridad no se los prohíbe.Resolver: a) Modele el sistema como una cadena de markov, indicando clases, espacio de estados, gráfico nodal y matriz P. b) Suponga que Ud. Posee un automóvil. ¿En promedio, qué fracción de los días del año puede usar su automóvil para desplazarse por Santiago?. Asuma que cuando la autoridad prohíbe el uso de una parte de los vehículos, lo hace de manera que todos los vehículos tienen la misma probabilidad de ser afectados por la medida. c) Suponga que por cada automóvil que deja de circular, el ingreso percápita para los habitantes de Santiago se reduce en A($) (asociado a una caída en la producción y también a mayores incomodidades y costos de transporte por menor disponibilidad de vehículos tanto para transporte público como privado). Además, por cada día que respira el aire de Santiago en estado de Preemergencia o Emergencia una persona percibe un empeoramiento de su salud que se puede cuantificar en B($) y C($) respectivamente. Formule el problema que debe resolver el gobierno para escoger  y  . 5
  6. 6. Solucióna)0° Variable de estado: Estado de la calidad del aire en Santiago en un día cualquiera ( X N )1° Espacio de estados: {Normal(N), Preemergencia(P), Emergencia(E)}2° Modelamiento PNN  P{X 1  N / X 0  N}  1  F ( y) PNP  PX 1  P / X 0  N   F ( y) PPN  PX 1  N / X 0  P  1  F ( y) PPE  PX 1  E / X 0  P  F ( y) PEE  PX 1  E / X 0  E  F ( y) PEP  PX 1  P / X 0  E  1  F ( y) Medida de preemergencia : Se prohibe circular % 1-  de vehículos Medida de emergencia : Se prohíbe circular % 1-  (  <  ) Número total de vehículos : X3° Matriz P N P E 1  F ( x) F ( x) 0 P = 1  F (x) 0 F (x) 0 1  F ( x) F ( x)4° Gráfico nodal Del gráfico podemos concluir que existe una única clase Recurrente N P Positiva Aperiódica 6 E
  7. 7. b) Fracción de días del año de uso de automóvil =  N   P     E  c) Costo percápita por cada vehículos que deja de circular = A($) Costo percápita por empeoramiento de la salud (en preemergencia) = B($) Costo percápita por empeoramiento de la salud ( en emergencia) = C($) ¿Cómo escoger  y  , de tal manera de minimizar el costo total? Si C n  Costo total día n 0, si X n = N (con p =  N )  p  B  x  1     A , si X n  P (con p   P )  E  (C  x(1   )  A)) , si X n  E (con p   E )Min Costo esperado =  P  ( B  x  (1   )  A)   E  (C  x  (1   )  A) 7
  8. 8. Pregunta Nº 5. Mediante un estudio realizado a la población de un país X durante los últimos 36 meses, se obtuvieron los siguientes resultados concernientes al consumo promedio mensual por grupo familiar, distribuido por grupo económico:Grupo A MES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 CONSUMO(M$) 2,5 2,8 3,0 2,7 2,4 3,1 3,3 3,8 3,9 4,2 3,6 4,0 4,1 4,4 3,8 4,4 4,6 3,8 3,6 2,6 MES 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 CONSUMO(M$) 3,0 3,5 2,4 3,1 3,2 2,9 3,5 4,3 5,0 4,9 4,6 4,1 4,8 3,9 5,0 4,0Grupo B MES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 CONSUMO(M$) 0,83 0,92 0,85 0,8 1,2 1,5 1,7 2,0 1,3 0,86 0,8 0,95 1,15 1,55 1,8 2,0 1,1 MES 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 CONSUMO(M$) 0,9 1,0 0,8 0,95 1,25 1,35 1,05 1,3 1,45 1,5 1,2 1,0 1,4 1,1 1,0 0,8 1,3 1,5 1,5Grupo C MES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 CONSUMO(M$) 0,3 0,45 0,25 0,18 0,16 0,19 0,35 0,47 0,52 0,61 0,48 0,55 0,45 0,38 0,4 0,51 MES 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 CONSUMO(M$) 0,56 0,7 0,62 0,67 0,74 0,78 0,59 0,71 0,73 0,76 0,68 0,62 0,61 0,68 0,52 0,45 MES 33 34 35 36 CONSUMO(M$) 0,5 0,61 0,68 0,63 Asumiendo los siguientes rangos de datos: Para la clase A: 2  2,5 2,5  3,0 3,0  3,5 3.5  4.0 4.0  4.5 4,5  5,0 Para la clase B: 0,8  1,1 1,1  1,4 1,4  1,7 1,7  2,0 Para la clase C: 0  0,2 0,2  0,4 0,4  0,6 0,6  0,8 Determine: a) El consumo percápita esperado para el siguiente periódo en cada grupo económico de interés estudiado, si el número de hijos distribuye uniformemente, U 0,4 , para la clase 8
  9. 9. A y, para las clases B y C sigue la siguiente distribución: 0 hijos (p=0.2), 1 hijo (p=0.3), 2 hijos (p=0.5). Además se conoce el vector inicial de probabilidades para cada caso: Clase A: Cada estado tiene la misma probabilidad de ocurrencia. Clase B: La probabilidad de encontrarme en un estado cualquiera es el doble de la de pertenecer a un nivel inmediatamente inferior. Clase C: El sistema se encuentra en el estado 4 con absoluta certeza.SoluciónClase ASea X n : Consumo promedio familiar de consumidores clase A en el mes nE X n = {1,2,3,4,5,6}  2  2.5   2.5  3   3  3.5   3.5  4 EX 1   PX 1  1    PX 1  2    PX 1  3    PX 1  4    2   2   2   2   4  4.5   4.5  5 PX 1  5    PX 1  6    2   2   PX 1  1  f1(0)  1 / 6   PX  2  (0)   1   f 2  1 / 6    f (1)     = P   (1) T                  (0)   PX 1  6    f 6  1 / 6  1° Cálculo de P:Agrupando la información según los rangos definidos se tiene lo siguiente: Estados 1 2 3 4 5 6 Total 2  2,5 2,5  3,0 3,0  3,5 3.5  4.0 4.0  4.5 4,5  5,0Estados Rangos 1 2  2,5 0 1 2 0 0 0 3 2 2,5  3,0 1 3 2 0 0 0 6 3 3,0  3,5 1 1 2 1 1 0 6 4 3.5  4.0 0 1 0 3 3 1 8 5 4.0  4.5 0 0 0 2 1 3 6 6 4,5  5,0 0 0 0 3 1 2 6Por lo tanto para la clase A se tiene que la matriz P es: 9
  10. 10.  0 1/ 3 2 / 3 0 0 0  1 / 6 1/ 2 1/ 3 0 0 0    1 / 6 1/ 6 1/ 3 1/ 6 1/ 6 0 P   0 1 / 8 0 3 / 8 3 / 8 1 / 8  0 0 0 1 / 3 1 / 6 1 / 2    0  0 0 1 / 2 1 / 6 1 / 3 PX 1  1   f i 6  Pi1  f1  P11  f 2  P21  f 3  P31  f 4  P41  f 5  P51  f 6  P61  (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) i 11 1 1 1 1    6 6 6 6 18 6PX 1  2   fi ( 0)  Pi 2  27 i 1 144 6PX 1  3   fi ( 0)  Pi 3  2 i 1 9 6PX 1  4   fi (0)  Pi 4  33 i 1 144 6PX 1  5   fi (0)  Pi5  7 i 1 48 6PX 1  6   fi ( 0)  Pi 6  23 i 1 144EConsumo _ Pr omedio _ Familiar   1 27 2 33 7 23  2.25   2.75   3.25   3.75   4.25   4.75 18 144 9 144 48 144 = 3,6 (m$)EN hijos _ x _ hogar   1 1 1 1 1  0   1   2   3   4  2  2 _ hijos 5 5 5 5 5 EConsumo _ promedio _ familiar  3,6EConsumo _ percápita     0,9 (m$) EN dehijosxfa milia  22Clase BSea X n : Consumo promedio familiar de consumidores clase B en el mes n 10
  11. 11. E X n = {1,2,3,4}  0.8  1.1   1.1  1.4   1.4  1.7   1.7  2.0 EX 1   PX 1  1    PX 1  2    PX 1  3    PX 1  4    2   2   2   2   PX 1  1  f1  1 / 15  (0)  PX  2  (0)   1   f 2  2 / 15  p     2 p f  (1)    = P (1) T      f   (0) 4 p               8 p     (0)   PX 1  4    f 4  8 / 15    p  1/ 5 3 2 i 0 i  p 11° Cálculo de P: Agrupando la información según los rangos definidos se tiene lo siguiente: Estados 1 2 3 4 Total 0,8  1,1 1,1  1,4 1,4  1,7 1,7  2,0Estados Rangos 1 0,8  1,1 11 6 0 0 17 2 1,1  1,4 4 1 4 0 9 3 1,4  1,7 0 1 3 2 6 4 1,7  2,0 1 1 0 1 3Por lo tanto para la clase B se tiene que la matriz P es: 11 / 7 6/7 0 0   4/9 1/ 9 4 / 9 0 P   0 1 / 6 1 / 2 1 / 3    1/ 3 1/ 3 0 1 / 3 4PX 1  1   f i (0)  Pi1  f1(0)  P  f 2 (0)  P21  f 3(0)  P31  f 4 (0)  P41  0,34 11 i 1 4PX 1  2   fi (0)  Pi 2  0,29 i 1 4PX 1  3   fi (0)  Pi3  0,19 i 1 4PX 1  4   fi ( 0)  Pi 5  0,27 i 1 11
  12. 12. EConsumo _ Pr omedio _ Familiar   0,34  0,95  0,29  1,25  0,19  1,55  0,27  1,85 = 1,47 (m$)EN hijos _ x _ hogar   0,3  1  0,5  2  1 _ hijo EConsumo _ promedio _ familiar  1,47EConsumo _ percápita     0,49 (m$) EN dehijosxfa milia  1 2Clase CSea X n : Consumo promedio familiar de consumidores clase C en el mes nE X n = {1,2,3,4}  0  0,2   0,2  0,4   0,4  0,6   0,6  0,8 EX 1   PX 1  1    PX 1  2    PX 1  3    PX 1  4    2   2   2   2   PX 1  1  f1( 0)  0   PX  2  (0)   1   f 2  0    f (1)     = P   (1) T                  (0)   PX 1  4    f 4  1  1° Cálculo de P: Agrupando la información según los rangos definidos se tiene lo siguiente: Estados 1 2 3 4 Total 0  0,2 0,2  0,4 0,4  0,6 0,6  0,8Estados Rangos 1 0  0,2 2 1 0 0 3 2 0,2  0,4 1 1 3 0 5 3 0,4  0,6 0 2 6 4 12 4 0,6  0,8 0 0 3 12 15Por lo tanto para la clase C se tiene que la matriz P es: 2 / 3 1 / 3 0 0  1 / 5 1 / 5 3 / 5 0 P   0 1/ 6 1/ 2 1/ 3     0 0 1 / 5 4 / 5 12
  13. 13. 4PX 1  1   f i  Pi1  f1  P11  f 2  P21  f 3  P31  f 4  P41  f 4  P41  0 (0) (0) ( 0) (0) ( 0) ( 0) i 1 4PX 1  2   fi ( 0)  Pi 2  P42  0 i 1 4PX 1  3   fi ( 0)  Pi 3  P43  1 / 5 i 1 4PX 1  4   fi ( 0)  Pi 5  P44  4 / 5 i 1EConsumo _ Pr omedio _ Familiar   0,5  (1 / 5)  0,7  (4 / 5) = 0,66 (m$)EN hijos _ x _ hogar   0,3  1  0,5  2  1 _ hijo EConsumo _ promedio _ familiar  0,66EConsumo _ percápita     0,22 _(m$) EN dehijosxfa milia  1 2 13
  14. 14. Pregunta Nº 6. Ud. Ha sido contratado por una importante empresa del sector minero como consultor, para realizar una evaluación de la rentabilidad y viabilidad para los siguientes dos periódos de operación. Para ésto, el Gerente de Finanzas, Sr. Pedro Ramírez, le ha entregado una extracto de los balances de los últimos 3 años, en el cual figura la siguiente información: MES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20INGRESO(MU$) 2,6 2,8 3,5 3,9 4,2 2,9 4,1 5,0 4,3 4,6 3,5 3,1 3,6 2,8 4,1 4,3 4,5 3,6 2,6 3,0 MES 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36INGRESO(MU$) 3,1 4,2 4,4 3,2 3,4 3,6 3,8 3,1 2,7 3,5 3,8 4,0 4,1 4,6 4,9 4,9 MES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20COSTO(MU$) 2,5 2,5 2,8 3,3 4,3 3,1 3,6 4,5 4,5 4,8 3,6 3,0 3,2 3,0 3,8 4,3 4,2 3,5 2,7 2,9 MES 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36COSTO(MU$) 2,9 4,1 4,3 3,5 3,6 3,0 4,0 3,0 2,6 3,0 3,3 3,8 4,2 4,5 4,7 4,7 a) Determine el ingreso esperado para los siguientes 2 periódos, si actualmente la empresa recibe un ingreso de 3,6 (MU$) b) Determine el costo esperado para los siguientes 2 periódos, si actualmente la empresa desembolsa 3,2 (MU$) en costos de operación. c) Determine si es rentable para el inversionista continuar en este negocio en los siguientes 2 periódos. Nota : Asuma los siguientes intervalos en ambos casos 2,5  3,0 3,0  3,5 3.5  4.0 4.0  4.5 4,5  5,0 Solución a) Definiremos la variable I n : Ingreso percibido por la empresa en el periódo n. Agrupando la información según los rangos definidos tenemos lo siguiente: Estados 1 2 3 4 5 Total Rangos 2,5  3,0 3,0  3,5 3.5  4.0 4.0  4.5 4,5  5,0 Estados 1 2,5  3,0 2 3 0 2 0 7 2 3,0  3,5 1 2 4 1 0 8 3 3.5  4.0 2 1 2 2 0 7 4 4.0  4.5 1 1 1 3 3 9 14
  15. 15. 5 4,5  5,0 0 0 1 1 2 4Por lo tanto para el ingreso se tiene la siguiente matriz P y P ( 2) : 2 / 7 3/ 7 0 2/7 0   0.17 0.26 0.25 0.23 0.095 1 / 8 1/ 4 1/ 2 1/ 8 0   0.22 0.20 0.28 0.25 0.042    PI  2 / 7 1/ 7 2 / 7 2 / 7 0  P ( 2)   0.21 0.23 0.18 0.28 0.095     1 / 9 1/ 9 1/ 9 1/ 3 1 / 3  0.11 0.13 0.21 0.27 0.28   0  0 1/ 4 1/ 4 1 / 2  0.099  0.06 0.22 0.28 0.33   .75  2   .25  3   2 / 7       1 / 7     2.5  3.0   3.0  3.5 EIngreso _ Periódo _ 1 / X 0  3     PX 1  1 / X 0  3     PX 1  2 / X 0  3   2   2  3.5  4.0   4.0  4.5   4.5  5.0  PX 1  3 / X    0    3       PX 1  4 / X 0  3   PX 1  / X 0  5 3 2      2     2       2/7      2/7  0 3.75 4.25 4.75 3,54 _(MU $)EIngreso _ periódo _ 2 / X 0  3  2.75  P31(2)  3.25  P32 (2)  3.75  P33(2)  4.25  P34 (2)  4.75  P35 (2) 2.75(0.21)  3.25(0.23)  3.75(0.18)  4.25(0.28)  4.75(0.095)  3,64 _( MU $)b) Definiremos la variable C n : Costo incurrido en gastos de operación durante el periódo n. Agrupando la información según los rangos definidos se tiene lo siguiente: Estados 1 2 3 4 5 Total Rangos 2,5  3,0 3,0  3,5 3.5  4.0 4.0  4.5 4,5  5,0 Estados 1 2,5  3,0 6 3 2 1 0 12 2 3,0  3,5 2 0 3 1 0 6 3 3.5  4.0 3 0 0 3 0 6 4 4.0  4.5 0 3 0 4 2 9 5 4,5  5,0 0 0 1 0 1 2 15
  16. 16. Por lo tanto para el costo se tiene la siguiente matriz P y P ( 2) : 1 / 2 1 / 4 1 / 6 1 / 12 0  0.42 0.15 0.210.20 0.019 1 / 3 0 1 / 2 1 / 6 0  0.42 0.14 0.056 0.35 0.037     PI  1 / 2 0 0 1/ 2 0  P ( 2)  0.25 0.29 0.083 0.26 0.11       0 1/ 3 0 4 / 9 2 / 9  0.11 0.15 0.28 0.25 0.21   0  0 1/ 2 0 1/ 2   0.25  0 0.25 0.25 0.25  .75  2   .25  3    1 / 3    0     2.5  3.0   3.0  3.5 ECosto _ Periódo _ 1 / X 0  2     PX 1  1 / X 0  2     PX 1  2 / X 0  2   2   2  3.5  4.0   4.0  4.5   4.5  5.0  PX 1  X 2    3 / 0    PX 1  X 2    4 / 0      PX 1  5 / X 0  2 2      2     2        1/ 2       1/ 6 0 3.75 4.25 4.75 3,5 _(MU $)EIngreso _ periódo _ 2 / X 0  2  2.75  P21(2)  3.25  P22 (2)  3.75  P23(2)  4.25  P24 (2)  4.75  P25 (2) 2.75(0.42)  3.25(0.14)  3.75(0.056)  4.25(0.35)  4.75(0.037)  3,48 _( MU $)c) Como I1  C1 y I 2  C2 , el negocio es rentable para el inversionista por lo menos durantelos siguientes 2 periódos de ejercicio. 16
  17. 17. Pregunta Nº 6Una tienda vende un único producto, del cual mantiene inventarios en una bodega, I.Al comenzar cada semana, el gerente observa el inventario disponible en bodega. Si I s, entonces, el gerente pide T-I unidades al proveedor (0<s<I), de manera de quedarcon T unidades en bodega. El pedido es recibido de inmediato.Si I > s, el gerente no hace el pedido esa semana. Las demandas en cada semanason v.a.i.i.d. En una semana cualquiera, la demanda es de k unidades conprobabilidad  k (k  0). La demanda insatisfecha se pierde. a.1) Muestre que el nivel de inventario al comienzo de cada semana (antes de hacer el pedido) se puede modelar como una cadena de markov. Indique claramente cuáles son los estados que ha definido y calcule las probabilidades de transición. (Todo lo anterior para el caso s=2, T=4). a.2 Obtenga una relación de recurrencia entre el inventario al comienzo del día n, y el inventario al inicio del día n+1.En lo siguiente considere 0<s<T arbitrarios. b) Suponga que la llegada de clientes a la tienda queda bien descrita por un proceso de Poisson de tasa  (clientes/semana) y que cada cliente compra 1 unidad. Indique cuánto valen los valores  k , k  0 para este caso, y defina la  matriz P. c) Suponga ahora que la demanda es determinística e igual a 1 en cada semana. (Note que la bodega puede comenzar con menos de s unidades. Modele esta situación.Solucióna.1 X (n) : Inventario disponible al comienzo de la semana n, antes de hacer elpedido.a: antes de pedird: después que ha llegado el pedido X n(a ) Qn X n(d ) Demanda X n 1(a) 0 4-0=0 4 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0 1 4-1=3 4 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0 2 4-2 4 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0 17
  18. 18. 3 0 3 0 3 1 2 2 1 3 0 4 0 4 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0 E X n  0,1,2,3,4  3  1   i  3  2 1  0   i 0   3   PDn  4 P Dn  3 PDn  2 PDn  1 PDn  0 1    i  3  2 1 0       PDn  4 PDn  3 PDn  2 PDn  1 PDn  0  i  03 P   PDn  4 PDn  3 PDn  2 PDn  1 PDn  0  1    i  3  2 1 0     i 0   PDn  3 PDn  2 PDn  1 PDn  0 0   2   PD    n  4 PDn  3 PD n  2 PDn  1 PDn  0 1    i   2 1  0 0  i 0   2  1   i  3  2 1 0   i 0    Máximo ( 4  Dn ,0 ) , Si X n  2a.2) X n 1  Máximo ( X n  Dn ,0) , Si X n  2b) Sea X n : cantidad de inventario disponible al comienzo de la semana n, antes de hacer el pedido. X n(a ) Qn X n(d ) Demanda X n 1(a) 0 T-0=0 T 0 4 1 3 2 2  1 T-1 1 T 0 1 T-1=3 T 0 T 1 T-1 2 T-2  T-1 1 T 0       18
  19. 19.    s-1 T-s+1 T 0 T 1 T-1 2 T-2   T-1 1 T 0 s T-s T 0 T 1 T-1 2 T-2   T-1 1 T 0s+1 0 s+1 0 s+1 1 s 2 s-1  s 1  s+1 0          T-1 0 T-1 0 T-1 1 T-2   T 1 0T 0 T 0 T 1 T-1   T 0 0 1 S-1 S S+1 T-1 T 19
  20. 20.  T 1  1    i 0  T 1   T  s 1 T  s  T  s 1  1  0   i 0   T 1  1 1    i  T 1   T  s 1  T  s  T  s 1  1  0   i 0                 idem i i i i i i i i  P= S  i i i i i i i i i    s  1   0   i s  2 1 0  0 S+1   i 0              T 2 T-1 1     i T  2   T  s  T  s 1   0 0   i 0  T 1 T 1     i  T 1       0   i 0    e  t  (t ) j De acuerdo a Poisson: PN (t )  j  j 0 1 s -1 s s + 1 ....... T-1 T  T 1 e  ( ) i e   ( ) T 1 e   ( ) T  s 1 e   ( )T s e   ( ) T  s 1 e   ( ) 1 e   ( ) 0  0  1      i 0 i! (T  1)! (T  s  1)! (T  s )! (T  s  1)! 1! 0!   T 1 e  ( ) i e  ( ) T 1 e   ( ) T  s 1 e    ( ) T  s e   ( ) T  s 1 e    (  )1  e  ( )  0 1  1     i 0 i! (T  1)! (T  s  1)! (T  s )! (T  s  1)! 1! 0!    i i i i i i i i i    s 1  i i i i i i i i i  s  P  i i i i i i i i i  s 1  s      e  ( ) i e  ( ) s e  ( ) 2 e  ( ) e  ( ) 0  1    0 0   i! s! 2! 1! 0!  i 0               T  2 e    ( ) i T 1 1  e    ( ) T  2 e    ( ) T  s e   ( ) T  s 1 e    ( ) 0       0   i 0 i! (T  2)! (T  s )! (T  s  1)! 0!  T 1   e  ( ) i e   ( ) T 1 e    ( ) 0  T 1   i!  i 0 (T  1)!       0!     c) Dn  1 (con prob=1) X n : Número de unidades de producto disponibles al comienzo de la semana n. X n(a ) Qn X n(d ) Dn X n 1(a) 0 T T 1 T-1 1 T-1 T 1 T-1 20
  21. 21. 2 T-2 T 1 T-1      s-1 T-s+1 T 1 T-1 s T-s T 1 T-1 s+1 0 s+1 1 s      T-1 0 T-1 1 T-2 T 0 T 1 T-1 0 1 2 s-1 s s+1 T T-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1   2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0               s 1  0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0  Ps 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 s 1  0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0    0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0               T 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0   T 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 21
  22. 22. Pregynta Nº7 : Considerar la siguiente política (k,Q) de gestión de inventarios. SeanD1 , D2,........, demandas en los periódos 1, 2,......, respectivamente. Si la demanda lasdurante un periódo excede el número de ítemes disponibles, la venta del producto serealiza como si existiera stock suficiente, pero se despacha solo el disponible. El restoes anotado como pendiente, de manera que se satisface cuando llega el siguientepedido de reposición del inventario. Denotemos por Z n (n=0,1,2,...) la cantidad deinventario disponible menos el n° de unidades pendientes antes de efectuar un pedidode reposición de inventario al final del periódo n. El sistema parte vacío ( Z 0  0) . SiZ n es cero o positivo, no se dejan pedidos pendientes. Si Z n es negativo, entonces -Z n representa el número de unidades de demanda retrasada y no queda inventariodisponible.El pedido de reposición en general es Q. Pero, si al principio del periódo n, Z n < 1, seefectúa un pedido de reposición de 2m, donde m es el menor entero tal queZ n  2m  1 . a) Obtenga P. b) Suponga que el costo de efectuar un pedido de reposición es (3+3m). El costo de mantenimiento del stock es Cn si Z n  0 , cero en caso contrario. El costo de ruptura del stock es - Cn , si Z n <0. Encontrar el costo medio esperado por unidad de tiempo.Solución:Z n  Inventario _ disponible _ al _ tér min o _ del _ periódo _ n Zn m 2m Z n + 2m Dn 1 Z n 1 0 1 2 0+2=2 0 2 1 1 2 0 3 -1 4 -2 1 0 0 1 0 1 1 0 2 -1 3 -2 4 -3 2 0 0 2 0 2 1 1 2 0 3 -1 4 -2 -1 1 2 -1+2=1 0 1 1 0 2 -1 3 -2 4 -3 -3 -2 -1 0 1 2 22
  23. 23.   3 PD  4 PD  3 PD  2 PD  1 PD  0 0    2 0 PD  4 PD  3 PD  2 PD  1 PD  0  P  1  PD  4 PD  3 PD  2 PD  1 PD  0 0  0  0 PD  4 PD  3 PD  2 PD  1 PD  0   1  PD  4 PD  3 PD  2 PD  1 PD  0 0  2  0 PD  4 PD  3 PD  2 PD  1 PD  0  1 / 5 1/ 5 1/ 5 1/ 5 0  1/ 5  0 1/ 5 1/ 5 1 / 5 1 / 5 1/ 5   1 / 5 1/ 5 1/ 5 1/ 5 0  1/ 5 P   0 1/ 5 1/ 5 1/ 5 1 / 5 1 / 5 1 / 5 1/ 5 1/ 5 1/ 5 1/ 5 0     0  1/ 5 1/ 5 1/ 5 1/ 5 0   0 1c) Costo medio esperado = (  i )  (3  3m)   1  z1   2  z 2   ( i )  (4 zi ) i  3 i  3EJERCICIOS PROPUESTOS1.- El Departamento de Marketing Cuantitativo de un prestigioso banco nacional estádesarrollando un modelo basado en Cadenas de Markov discretas, para estimar el número declientes en el estrato ABC1. El planteamiento es el siguiente:Sea X n el número de clientes pertenecientes al segmento ABC1 el primer día hábil del mes n.En el banco existen solamente dos segmentos para clasificar a los clientes ABC1 y C2.En total hay N clientes en el banco y que la probabilidad de que un cliente pase de ABC1 a C2es p1 y de C2 a ABC1 es p 2 . Suponga que los clientes no se retiran del banco, ni tampocoingresan nuevos clientes. Si se sabe que el primer día hábil de un mes hay n1 personas en elsegmento ABC1 :¿ Cuál es la probabilidad de que en el primer día hábil del mes siguiente hayan n 2 clientes en elmismo segmento ? N  n2  n1 (2 puntos)2.- Sea X n el número de personas hospedadas en un cierto hotel al inicio del día n. Se sabeque pueden llegar 0,1,2 ó 3 clientes en un día, con igual probabilidad. Además se sabe que eltiempo de permanencia de un cliente en el hotel es exponencial con media  . El hotel tienecapacidad solo para 4 personas y las que llegan cuando el hotel está lleno se van sin dejarreserva.Obtenga la matriz P. (2 puntos)Indicación: Puede usar la siguiente aproximación e  d  1  d 23
  24. 24. 3.- El ascensor de un edificio con tres pisos realiza viajes entre los pisos regularmente. Sea X nel piso en que para el ascensor en la etapa n. Se sabe que la mitad de los viajes que parten delpiso 1 se dirigen a uno de los otros pisos con igual probabilidad. Si el ascensor parte en el piso 2el 25% de las veces termina en el piso 2. Por ultimo si su trayecto empieza en el tercer pisosiempre termina en el primer piso. a) Obtenga la matriz P y el rango de la variable. X  2; X 2  1; X 0  3 b) Obtenga P 4    X1  2  c) Diga si existe distribución límite y si es así, calcúlela. d) Diga si existe distribución estacionaria y si es así calcúlela.4.- Un agente comercial realiza su trabajo en tres ciudades A,B,C. Para evitar gastos trabajadurante un día en cada ciudad y alli se queda en la noche. Después de estar trabajando en laciudad C la probabilidad de tener que seguir trabajando en ella al día siguiente es 0,4; laprobabilidad de viajar a B es 0,4. Si el viajante duerme una noche en B con probabilidad 0,2deberá seguir trabajando en la misma ciudad al día siguiente y en el 60% de los casos viajará aC. Por último, si el agente trabaja en A un día permanecerá en esa ciudad con probabilidad 0,1 oirá a la ciudad B con probabilidad 0,3. a) Si hoy el viajante está en la ciudad C ¿Cual es la probabilidad de que tenga que estar en la misma ciudad en 4 días más? b) ¿Cuáles son los porcentajes de días que el viajante se encuentra en cada ciudad? c) ¿Cuál es la probabilidad de que un viajante vuelva a la ciudad A?5.- Los consumidores de café en la VIII Región usan tres marcas A, B, C. EnMarzo de 2008 se hizo una encuesta en lo que entrevistó a las 8450 personas quecompran café y los resultados fueron:Compra actual Marca A Marca B Marca C TotalMarca A = 1690 507 845 338 1690Marca B = 3380 676 2028 676 3380Marca C = 3380 845 845 1690 3380TOTALES 2028 3718 2704 8450a) Si las compras se hacen mensualmente, ¿cuál será la distribución del mercado decafé en la VIII Región en el mes de junio?b) A la larga, ¿cómo se distribuirán los clientes de café?c) En junio, cual es la proporción de clientes leales a sus marcas de café?6.- Una agencia de arriendo de vehículos ha definido la variable aleatoria Xt como el número deautomóviles disponibles en la agencia al empezar la semana t+1.Sea Dt una variable aleatoria que representa la demanda por automóviles la semana t. Laagencia utiliza una política de reorden (s,S) con s=1 y S=3. No se acepta demanda pendiente.Sea Xo = 3 y suponga que la variable aleatoria Dt tiene distribución de Poisson cona) Obtenga los valores de la variable Xtb) Exprese a través de una fórmula de recurrencia la relación entre xt y Xt+1 24
  25. 25. c) Encuentre la matriz P (valores númericos)d) Suponga ahora que el costo incurrido es un valor fijo de $ 110.000 por orden más un valor variable de $ 25.000 por automóvil. Encuentre el costo esperado de inventario.7.- Una empresa de transportes debe contratar un seguro para su flota de vehículos. Existen 4posibles seguros con valores P1, P2, P3, y P4. De modo que :P1 > P2 > P3 > P4. El valor del seguro se paga al principio del año y depende del tipo de seguro contratadoel año anterior y de los accidentes cobrados a la compañía de seguros durante el año. Si duranteel año, el seguro contratado costó Pi y no se cobraron seguros, el seguro del año siguientecostará Pi + 1; en caso contrario (esto es si se cobraron seguros) el seguro costará P 1. Si el añoanterior el seguro costo P4 y no hubo daños cobrados, el seguro costará este año también P4. La empresa de transportes debe decidir, al final del año, si cobrará o no los dañosacumulados por sus vehículos durante el año. Si la empresa decide cobrar los daños, lacompañía de seguros se hace cargo de éstos, con excepción de un deducible, que vale Ri parael seguro i. El daño total de la flota durante un año cualquiera es una variable aleatoria con funciónde distribución F y función de densidad f. Defina Xn como el tipo de seguro contratado en el año n.a) Obtenga la matriz de P de este proceso.b) Obtenga una expresión explícita para el vector distribución estacionaria  de este proceso.c) Obtenga una expresión para el costo esperado anual de usar esta política en el largo plazo. ¿Cómo podría encontrar la política óptima para este caso?8.- En la etapa inicial un jugador tiene MM$ 2. En las etapas 1,2..... participa en un juego en elque apuesta MM$ 1. Gana el juego con probabilidad p, y lo pierde con probabilidad (1-p). Sumeta es aumentar su capital a MM$ 4 y tan pronto como lo logre se retira. El juego también sesuspende si el capital del jugador se reduce a $0 .a) Formule la matriz de probabilidades de transición en una etapa.Si p=0.4b) Calcule la probabilidad de que el jugador obtenga su objetivo de juntar MM$ 4 de capital. 25

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