Models of Infectious Disease - Bachelor Thesis

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Models of Infectious Disease - Bachelor Thesis

  1. 1. Introduzione Il modello La Risposta Immunitaria Ritardo Temporale Conclusioni Università degli Studi di Trento Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Modelli Matematici di Infezione Virale 28 Marzo 2007Laureando: Mattia ManicaRelatore: prof. Mimmo Iannelli Modelli Matematici di Infezione Virale
  2. 2. Introduzione Il modello La Risposta Immunitaria Ritardo Temporale Conclusioni1 Introduzione2 Il modello Concetti Preliminari Analisi del Modello3 La Risposta Immunitaria Introduzione Risposta Costante Modello Ridotto Risposta Periodica4 Ritardo Temporale Introduzione Punti Critici e Analisi Stabilità5 Conclusioni Modelli Matematici di Infezione Virale
  3. 3. Introduzione Il modello La Risposta Immunitaria Ritardo Temporale Conclusioni1 Introduzione2 Il modello Concetti Preliminari Analisi del Modello3 La Risposta Immunitaria Introduzione Risposta Costante Modello Ridotto Risposta Periodica4 Ritardo Temporale Introduzione Punti Critici e Analisi Stabilità5 Conclusioni Modelli Matematici di Infezione Virale
  4. 4. Introduzione Il modello La Risposta Immunitaria Ritardo Temporale ConclusioniI modelli matematici Nuovo impulso alla ricerca; Semplificazione del problema reale, ne presenta le caratteristiche fondamentali ed essenziali Introduzione calcolo differenziale e calcolatori; Studio vasta gamma di problemi (economici, biologici, fisici, . . . ); Modelli Matematici di Infezione Virale
  5. 5. Introduzione Il modello La Risposta Immunitaria Ritardo Temporale ConclusioniI modelli matematici Nuovo impulso alla ricerca; Semplificazione del problema reale, ne presenta le caratteristiche fondamentali ed essenziali Introduzione calcolo differenziale e calcolatori; Studio vasta gamma di problemi (economici, biologici, fisici, . . . ); Modelli Matematici di Infezione Virale
  6. 6. Introduzione Il modello La Risposta Immunitaria Ritardo Temporale ConclusioniI modelli matematici Nuovo impulso alla ricerca; Semplificazione del problema reale, ne presenta le caratteristiche fondamentali ed essenziali Introduzione calcolo differenziale e calcolatori; Studio vasta gamma di problemi (economici, biologici, fisici, . . . ); Modelli Matematici di Infezione Virale
  7. 7. Introduzione Il modello La Risposta Immunitaria Ritardo Temporale ConclusioniI modelli matematici Nuovo impulso alla ricerca; Semplificazione del problema reale, ne presenta le caratteristiche fondamentali ed essenziali Introduzione calcolo differenziale e calcolatori; Studio vasta gamma di problemi (economici, biologici, fisici, . . . ); Modelli Matematici di Infezione Virale
  8. 8. Introduzione Il modello La Risposta Immunitaria Ritardo Temporale ConclusioniObiettivi Studiare Infezione Virale in una Popolazione di Cellule Suscettibili. Studiare Effetto Risposta Immunitaria. Studiare possibili diverse modellizzazioni della Risposta Immunitaria. Modelli Matematici di Infezione Virale
  9. 9. Introduzione Il modello La Risposta Immunitaria Ritardo Temporale ConclusioniObiettivi Studiare Infezione Virale in una Popolazione di Cellule Suscettibili. Studiare Effetto Risposta Immunitaria. Studiare possibili diverse modellizzazioni della Risposta Immunitaria. Modelli Matematici di Infezione Virale
  10. 10. Introduzione Il modello La Risposta Immunitaria Ritardo Temporale ConclusioniObiettivi Studiare Infezione Virale in una Popolazione di Cellule Suscettibili. Studiare Effetto Risposta Immunitaria. Studiare possibili diverse modellizzazioni della Risposta Immunitaria. Modelli Matematici di Infezione Virale
  11. 11. Introduzione Il modello Concetti Preliminari La Risposta Immunitaria Analisi del Modello Ritardo Temporale Conclusioni1 Introduzione2 Il modello Concetti Preliminari Analisi del Modello3 La Risposta Immunitaria Introduzione Risposta Costante Modello Ridotto Risposta Periodica4 Ritardo Temporale Introduzione Punti Critici e Analisi Stabilità5 Conclusioni Modelli Matematici di Infezione Virale
  12. 12. Introduzione Il modello Concetti Preliminari La Risposta Immunitaria Analisi del Modello Ritardo Temporale Conclusionix(t) numero cellule suscettibili, y (t) numero cellule infette, ν(t)numero particelle virali libereIL MODELLO   x (t) = λ − dx(t) − χx(t)ν(t) y (t) = χx(t)ν(t) − ay (t) ν (t) = ky (t) − uν(t) λ tasso di riproduzione cellulared tasso di mortalità cellule non infetteχ tasso di contagioa tasso di mortalità cellule infette Modelli Matematici di Infezione Virale
  13. 13. Introduzione Il modello Concetti Preliminari La Risposta Immunitaria Analisi del Modello Ritardo Temporale ConclusioniParticelle Virali e TurnoverLe particelle virali sono caratterizzate da un elevato turnoverrispetto alle cellule infette k χk ν(t) = y (t) β= u u   x (t) = λ − dx(t) − χx(t)ν(t) y (t) = χx(t)ν(t) − ay (t) ν (t) = ky (t) − uν(t)  Modelli Matematici di Infezione Virale
  14. 14. Introduzione Il modello Concetti Preliminari La Risposta Immunitaria Analisi del Modello Ritardo Temporale ConclusioniParticelle Virali e TurnoverLe particelle virali sono caratterizzate da un elevato turnoverrispetto alle cellule infette k χk ν(t) = y (t) β= u u   x (t) = λ − dx(t) − χx(t)ν(t) y (t) = χx(t)ν(t) − ay (t) ν (t) = ky (t) − uν(t)  Modelli Matematici di Infezione Virale
  15. 15. Introduzione Il modello Concetti Preliminari La Risposta Immunitaria Analisi del Modello Ritardo Temporale ConclusioniParticelle Virali e TurnoverLe particelle virali sono caratterizzate da un elevato turnoverrispetto alle cellule infette k χk ν(t) = y (t) β= u u   x (t) = λ − dx(t) − χx(t)ν(t) y (t) = χx(t)ν(t) − ay (t) ν (t) = ky (t) − uν(t)  Modelli Matematici di Infezione Virale
  16. 16. Introduzione Il modello Concetti Preliminari La Risposta Immunitaria Analisi del Modello Ritardo Temporale ConclusioniParticelle Virali e TurnoverLe particelle virali sono caratterizzate da un elevato turnoverrispetto alle cellule infette k χk ν(t) = y (t) β= u u x (t) = λ − dx(t) − βx(t)y (t) y (t) = βx(t)y (t) − ay (t) Modelli Matematici di Infezione Virale
  17. 17. Introduzione Il modello Concetti Preliminari La Risposta Immunitaria Analisi del Modello Ritardo Temporale ConclusioniNumero Riproduttivo di Base λ Tasso Riproduzione Sucettibili λβ R0 := β Tasso Contagio ad a Tasso Mortalità Infette d Tasso Mortalità SuscettibiliIntuitivamente il numero riproduttivo di base indica quanti nuoviinfetti verranno generati da un infetto. Modelli Matematici di Infezione Virale
  18. 18. Introduzione Il modello Concetti Preliminari La Risposta Immunitaria Analisi del Modello Ritardo Temporale ConclusioniNumero Riproduttivo di Base λ Tasso Riproduzione Sucettibili λβ R0 := β Tasso Contagio ad a Tasso Mortalità Infette d Tasso Mortalità SuscettibiliIntuitivamente il numero riproduttivo di base indica quanti nuoviinfetti verranno generati da un infetto. Modelli Matematici di Infezione Virale
  19. 19. Introduzione Il modello Concetti Preliminari La Risposta Immunitaria Analisi del Modello Ritardo Temporale Conclusioni x (t) = λ − dx(t) − βx(t)y (t)Analisi del modello: y (t) = βx(t)y (t) − ay (t) Individuazione dei punti critici: λ a λβ − da E0 := ,0 E1 := , per R0 > 1 d β aβ Chiamo E0 l’equilibrio libero da infezione, ed E1 l’equilibrio endemico. Analisi Stabilità dei Punti Critici: Studio del segno della parte reale degli autovalori Ψ della matrice Jacobiana. Modelli Matematici di Infezione Virale
  20. 20. Introduzione Il modello Concetti Preliminari La Risposta Immunitaria Analisi del Modello Ritardo Temporale ConclusioniCondizioni per la StabilitàNel nostro modello la Matrice Jacobiana è −(d + βy ) −βx Jac[(x, y )] = βy βx − aGli autovalori Ψ della matrice Jacobiana si ottengono attraversola seguente equazione. Ψ2 − TrJac[(x , y )]Ψ + det Jac[(x , y )] = 0 ¯ ¯ ¯ ¯la stabilità sarà data dalle seguenti condizioni sul segno delDeterminante e della Traccia della matrice Jacobiana, ¯ ¯ ¯ ¯ TrJac[(x , y )] < 0 e det Jac[(x , y )] > 0 Modelli Matematici di Infezione Virale
  21. 21. Introduzione Il modello Concetti Preliminari La Risposta Immunitaria Analisi del Modello Ritardo Temporale Conclusioni Condizione di Stabilità ¯ ¯ ¯ ¯ TrJac[(x , y )] < 0 e det Jac[(x , y )] > 0 soddisfatte per E0 solo se R0 < 1Stessi Parametri Diversi ParametriBiologici BiologiciDiverse Condizioni Stesse CondizioniIniziali R0 > 1 Iniziali Modelli Matematici di Infezione Virale
  22. 22. Introduzione Il modello Concetti Preliminari La Risposta Immunitaria Analisi del Modello Ritardo Temporale Conclusioni Condizione di Stabilità ¯ ¯ ¯ ¯ TrJac[(x , y )] < 0 e det Jac[(x , y )] > 0 soddisfatte per E0 solo se R0 < 1Stessi ParametriBiologiciDiverse Condizioni Diversi ParametriIniziali Biologici Stesse Condizioni R0 > 1 Iniziali Modelli Matematici di Infezione Virale
  23. 23. Introduzione Il modello Concetti Preliminari La Risposta Immunitaria Analisi del Modello Ritardo Temporale Conclusioni Condizione di Stabilità ¯ ¯ ¯ ¯ TrJac[(x , y )] < 0 e det Jac[(x , y )] > 0 soddisfatte per E0 solo se R0 < 1Stessi ParametriBiologiciDiverse Condizioni Diversi Parametri R0 > 1Iniziali Biologici Stesse Condizioni Iniziali Modelli Matematici di Infezione Virale
  24. 24. Introduzione Il modello Concetti Preliminari La Risposta Immunitaria Analisi del Modello Ritardo Temporale Conclusioni Condizione di Stabilità ¯ ¯ ¯ ¯ TrJac[(x , y )] < 0 e det Jac[(x , y )] > 0 soddisfatte per E0 solo se R0 < 1Stessi Parametri Diversi ParametriBiologici BiologiciDiverse Condizioni Stesse Condizioni R0 > 1Iniziali Iniziali Modelli Matematici di Infezione Virale
  25. 25. Introduzione Il modello Concetti Preliminari La Risposta Immunitaria Analisi del Modello Ritardo Temporale Conclusioni Similmente si dimostra con semplici calcoli la stabilità di a λβ − da E1 := , quando R0 > 1 β aβStessi Parametri Biologici Diversi Parametri BiologiciDiverse Condizioni Iniziali Stesse Condizioni Iniziali Modelli Matematici di Infezione Virale
  26. 26. Introduzione Il modello Concetti Preliminari La Risposta Immunitaria Analisi del Modello Ritardo Temporale Conclusioni Similmente si dimostra con semplici calcoli la stabilità di a λβ − da E1 := , quando R0 > 1 β aβStessi Parametri BiologiciDiverse Condizioni Iniziali Diversi Parametri Biologici Stesse Condizioni Iniziali Modelli Matematici di Infezione Virale
  27. 27. Introduzione Il modello Concetti Preliminari La Risposta Immunitaria Analisi del Modello Ritardo Temporale Conclusioni Similmente si dimostra con semplici calcoli la stabilità di a λβ − da E1 := , quando R0 > 1 β aβStessi Parametri Biologici Diversi Parametri BiologiciDiverse Condizioni Iniziali Stesse Condizioni Iniziali Modelli Matematici di Infezione Virale
  28. 28. Introduzione Il modello Concetti Preliminari La Risposta Immunitaria Analisi del Modello Ritardo Temporale ConclusioniCriterio di Bendixon-Dulac Y1 = F1 (Y1 , Y2 )Sia dato il sistema Y2 = F2 (Y1 , Y2 )Se esiste una funzione D(x, y ) tale per cui risulta div (DF1 , DF2 ) ≤ 0con l’uguaglianza non ovunque ⇒ non esistono orbiteperiodiche. 1Nel nostro caso questa funzione è D(x, y ) = . xy Modelli Matematici di Infezione Virale
  29. 29. Introduzione Il modello Concetti Preliminari La Risposta Immunitaria Analisi del Modello Ritardo Temporale ConclusioniCriterio di Bendixon-Dulac Y1 = F1 (Y1 , Y2 )Sia dato il sistema Y2 = F2 (Y1 , Y2 )Se esiste una funzione D(x, y ) tale per cui risulta div (DF1 , DF2 ) ≤ 0con l’uguaglianza non ovunque ⇒ non esistono orbiteperiodiche. 1Nel nostro caso questa funzione è D(x, y ) = . xy Modelli Matematici di Infezione Virale
  30. 30. Introduzione Il modello Concetti Preliminari La Risposta Immunitaria Analisi del Modello Ritardo Temporale ConclusioniCriterio di Bendixon-Dulac Y1 = F1 (Y1 , Y2 )Sia dato il sistema Y2 = F2 (Y1 , Y2 )Se esiste una funzione D(x, y ) tale per cui risulta div (DF1 , DF2 ) ≤ 0con l’uguaglianza non ovunque ⇒ non esistono orbiteperiodiche. 1Nel nostro caso questa funzione è D(x, y ) = . xy Modelli Matematici di Infezione Virale
  31. 31. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica Conclusioni1 Introduzione2 Il modello Concetti Preliminari Analisi del Modello3 La Risposta Immunitaria Introduzione Risposta Costante Modello Ridotto Risposta Periodica4 Ritardo Temporale Introduzione Punti Critici e Analisi Stabilità5 Conclusioni Modelli Matematici di Infezione Virale
  32. 32. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica ConclusioniLa Risposta Immunitaria Condizione grazie alla quale l’organismo è in grado di combattere i cosiddetti antigeni (virus, batteri, . . . ); L’Immunità Cellulare; Le cellule reagiscono uccidendo le cellule infettate da virus; L’Immunità Umorale Le cellule inibiscono, inattivano o distruggono le sostanze estranee. Modelli Matematici di Infezione Virale
  33. 33. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica ConclusioniLa Risposta Immunitaria Condizione grazie alla quale l’organismo è in grado di combattere i cosiddetti antigeni (virus, batteri, . . . ); L’Immunità Cellulare; Le cellule reagiscono uccidendo le cellule infettate da virus; L’Immunità Umorale Le cellule inibiscono, inattivano o distruggono le sostanze estranee. Modelli Matematici di Infezione Virale
  34. 34. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica ConclusioniLa Risposta Immunitaria Condizione grazie alla quale l’organismo è in grado di combattere i cosiddetti antigeni (virus, batteri, . . . ); L’Immunità Cellulare; Le cellule reagiscono uccidendo le cellule infettate da virus; L’Immunità Umorale Le cellule inibiscono, inattivano o distruggono le sostanze estranee. Modelli Matematici di Infezione Virale
  35. 35. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica ConclusioniLa Risposta Immunitaria Condizione grazie alla quale l’organismo è in grado di combattere i cosiddetti antigeni (virus, batteri, . . . ); L’Immunità Cellulare; Le cellule reagiscono uccidendo le cellule infettate da virus; L’Immunità Umorale Le cellule inibiscono, inattivano o distruggono le sostanze estranee. Modelli Matematici di Infezione Virale
  36. 36. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica ConclusioniLa Risposta Immunitaria Condizione grazie alla quale l’organismo è in grado di combattere i cosiddetti antigeni (virus, batteri, . . . ); L’Immunità Cellulare; Le cellule reagiscono uccidendo le cellule infettate da virus; L’Immunità Umorale Le cellule inibiscono, inattivano o distruggono le sostanze estranee. Modelli Matematici di Infezione Virale
  37. 37. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica ConclusioniLa Risposta Immunitaria Condizione grazie alla quale l’organismo è in grado di combattere i cosiddetti antigeni (virus, batteri, . . . ); L’Immunità Cellulare; Le cellule reagiscono uccidendo le cellule infettate da virus; L’Immunità Umorale Le cellule inibiscono, inattivano o distruggono le sostanze estranee. Modelli Matematici di Infezione Virale
  38. 38. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica Conclusionix(t) cellule suscettibili, y (t) cellule infette, z(t) rispostaimmunitaria.Modello con Risposta Immunitaria   x (t) = λ − dx(t) − βx(t)y (t)  qz(t) + 1    βx(t)y (t  y (t) = − ay (t) − py (t)z(t)    qz(t) + 1 z (t) = cy (t) − bz(t)  Modelli Matematici di Infezione Virale
  39. 39. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica ConclusioniPonendo q = 0 ignoro la risposta immunitaria inibitoria,considero solamente l’azione dei componenti litici.Modello con solo Risposta Immunitaria Litica   x (t) = λ − dx(t) − βx(t)y (t) y (t) = βx(t)y (t) − ay (t) − py (t)z(t) z (t) = cy (t) − bz(t)  Modelli Matematici di Infezione Virale
  40. 40. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica ConclusioniPunti CriticiUno o due punti critici a seconda della condizione su R0 . λE0 := , 0, 0 sempre, dsolo per R0 > 1 E1 := (x, y , z) con cλ x = cd + bβz bz y = c 2 z = −(pcd + abβ) + (pcd + abβ) − 4bcpβ(ad − λβ) 2bpβ Modelli Matematici di Infezione Virale
  41. 41. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica ConclusioniStabilità Punti CriticiDobbiamo valutare il segno della parte reale degli autovaloridella Matrice Jacobiana,Semplici calcoli per l’equilibrio libero: la stabilità dipende dallacondizione sul numero riproduttivo di base. Modelli Matematici di Infezione Virale
  42. 42. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica ConclusioniPer l’equilibrio endemico lo studio della stabiltà risulta piùcomplesso.La stabiltà si evince comunque dalle simulazioni al calcolatore. Modelli Matematici di Infezione Virale
  43. 43. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica ConclusioniPer R0 > 1, risultati di Analisi ci assicurano l’esistenza diun’orbita periodica. Modelli Matematici di Infezione Virale
  44. 44. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica ConclusioniEsplorando con l’ausilio del calcolatore i vari comportamenti alvariare dei parametri emerge: 1 Il tasso di riproduzione delle cellule suscettibili λ e l’ampiezza dell’oscillazione dei componenti litici β1 giocano un ruolo fondamentale nel determinare il periodo della soluzione; 2 Si ottengono soluzioni di periodo uno per bassi valori di λ; Per valori intermedi otteniamo soluzioni di periodo uno, seguite da soluzioni di periodo tre e da una successione di soluzioni di periodo doppio fino al caos, a seconda del variare del parametro β1 . 3 Se invece c’è un elevato tasso riproduttivo si ottengono soluzioni di periodo uno, poi due ed infine una successione di soluzioni di periodo doppio fino al caos. Modelli Matematici di Infezione Virale
  45. 45. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica ConclusioniModello RidottoPossiamo introdurre un nuovo modello ipotizzando che lecellule litiche siano caratterizzate da un elevato turnoverrispetto alle cellule infette. c 0 = cy (t) − bz(t) =⇒ z(t) = y (t) b Il sistema ora è planare. Modelli Matematici di Infezione Virale
  46. 46. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica ConclusioniPunti CriticiL’equilibrio libero dall’infezione non cambia; ˆ ˆPer R0 > 1 ho un diverso equilibrio endemico Erid := (x , y ) ove λ ˆ x = d + by ˆ pcd 2 4βpc(−λβ + ad) −abβ − pcd + b aβ + − b b ˆ y = 2βpc Modelli Matematici di Infezione Virale
  47. 47. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica ConclusioniStabilità Erid per R0 > 1Utilizzo Criterio Bendixon Dulac per escludere presenza orbiteperiodiche. 1 x = λ − dx(t) − βx(t)y (t) D(x, y ) = c xy y = βx(t)y (t) − ay (t) − p y (t)2 b λ d a pcy λ pc Div − − β, β − − =− − ≤0 xy y x bx x 2y bxAbbiamo appena dimostrato la non esistenza di orbiteperiodiche, quindi l’insieme w − limite contiene un punto, Erid ,stabile. Modelli Matematici di Infezione Virale
  48. 48. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica ConclusioniStabilità Erid per R0 > 1Utilizzo Criterio Bendixon Dulac per escludere presenza orbiteperiodiche. 1 x = λ − dx(t) − βx(t)y (t) D(x, y ) = c xy y = βx(t)y (t) − ay (t) − p y (t)2 b λ d a pcy λ pc Div − − β, β − − =− − ≤0 xy y x bx x 2y bxAbbiamo appena dimostrato la non esistenza di orbiteperiodiche, quindi l’insieme w − limite contiene un punto, Erid ,stabile. Modelli Matematici di Infezione Virale
  49. 49. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica ConclusioniStabilità Erid per R0 > 1Utilizzo Criterio Bendixon Dulac per escludere presenza orbiteperiodiche. 1 x = λ − dx(t) − βx(t)y (t) D(x, y ) = c xy y = βx(t)y (t) − ay (t) − p y (t)2 b λ d a pcy λ pc Div − − β, β − − =− − ≤0 xy y x bx x 2y bxAbbiamo appena dimostrato la non esistenza di orbiteperiodiche, quindi l’insieme w − limite contiene un punto, Erid ,stabile. Modelli Matematici di Infezione Virale
  50. 50. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica ConclusioniStabilità Erid per R0 > 1Utilizzo Criterio Bendixon Dulac per escludere presenza orbiteperiodiche. 1 x = λ − dx(t) − βx(t)y (t) D(x, y ) = c xy y = βx(t)y (t) − ay (t) − p y (t)2 b λ d a pcy λ pc Div − − β, β − − =− − ≤0 xy y x bx x 2y bxAbbiamo appena dimostrato la non esistenza di orbiteperiodiche, quindi l’insieme w − limite contiene un punto, Erid ,stabile. Modelli Matematici di Infezione Virale
  51. 51. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica ConclusioniStabilità Erid per R0 > 1Utilizzo Criterio Bendixon Dulac per escludere presenza orbiteperiodiche. 1 x = λ − dx(t) − βx(t)y (t) D(x, y ) = c xy y = βx(t)y (t) − ay (t) − p y (t)2 b λ d a pcy λ pc Div − − β, β − − =− − ≤0 xy y x bx x 2y bxAbbiamo appena dimostrato la non esistenza di orbiteperiodiche, quindi l’insieme w − limite contiene un punto, Erid ,stabile. Modelli Matematici di Infezione Virale
  52. 52. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica ConclusioniRisposta Immunitaria Periodica Purtroppo non si è ancora arrivati ad un’esatta modellizzazione della risposta immunitaria; Il sistema immunitario risente del ritmo biologico, come gli altri apparati fisiologici. Consideriamo il ritmo circadiano, periodo un giorno; Segue in prima approssimazione una curva sinusoidale che cresce fino ad un massimo (acrofase) e poi scende fino a un minimo, variando intorno ad un valore mediano che si chiama mesor. Modelli Matematici di Infezione Virale
  53. 53. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica ConclusioniRisposta Immunitaria Periodica Purtroppo non si è ancora arrivati ad un’esatta modellizzazione della risposta immunitaria; Il sistema immunitario risente del ritmo biologico, come gli altri apparati fisiologici. Consideriamo il ritmo circadiano, periodo un giorno; Segue in prima approssimazione una curva sinusoidale che cresce fino ad un massimo (acrofase) e poi scende fino a un minimo, variando intorno ad un valore mediano che si chiama mesor. Modelli Matematici di Infezione Virale
  54. 54. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica ConclusioniRisposta Immunitaria Periodica Purtroppo non si è ancora arrivati ad un’esatta modellizzazione della risposta immunitaria; Il sistema immunitario risente del ritmo biologico, come gli altri apparati fisiologici. Consideriamo il ritmo circadiano, periodo un giorno; Segue in prima approssimazione una curva sinusoidale che cresce fino ad un massimo (acrofase) e poi scende fino a un minimo, variando intorno ad un valore mediano che si chiama mesor. Modelli Matematici di Infezione Virale
  55. 55. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica ConclusioniRisposta Immunitaria Periodica Purtroppo non si è ancora arrivati ad un’esatta modellizzazione della risposta immunitaria; Il sistema immunitario risente del ritmo biologico, come gli altri apparati fisiologici. Consideriamo il ritmo circadiano, periodo un giorno; Segue in prima approssimazione una curva sinusoidale che cresce fino ad un massimo (acrofase) e poi scende fino a un minimo, variando intorno ad un valore mediano che si chiama mesor. Modelli Matematici di Infezione Virale
  56. 56. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica ConclusioniRisposta Immunitaria Periodica Purtroppo non si è ancora arrivati ad un’esatta modellizzazione della risposta immunitaria; Il sistema immunitario risente del ritmo biologico, come gli altri apparati fisiologici. Consideriamo il ritmo circadiano, periodo un giorno; Segue in prima approssimazione una curva sinusoidale che cresce fino ad un massimo (acrofase) e poi scende fino a un minimo, variando intorno ad un valore mediano che si chiama mesor. Modelli Matematici di Infezione Virale
  57. 57. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica ConclusioniModellizziamo l’effetto del ritmo circadiano con il seguenteparametro p(t) p(t) = β0 + β1 cos(2πt − ϕ)ove i parametri β0 e β1 descrivono rispettivamente la rispostalitica base e l’oscillazione attorno ad essa e ϕ è l’acrofase, ilmassimo. Modelli Matematici di Infezione Virale
  58. 58. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica ConclusioniStabilità Punti Critici λ Equilibrio Libero dall’Infezione E0 := , 0, 0 d Ci aspettiamo che la sua stabilità dipenda dal valore di R0 Per dimostrare formalmente ciò abbiamo bisogno di alcuni risultati preliminari Modelli Matematici di Infezione Virale
  59. 59. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica ConclusioniStabilità Punti Critici λ Equilibrio Libero dall’Infezione E0 := , 0, 0 d Ci aspettiamo che la sua stabilità dipenda dal valore di R0 Per dimostrare formalmente ciò abbiamo bisogno di alcuni risultati preliminari Modelli Matematici di Infezione Virale
  60. 60. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica ConclusioniStabilità Punti Critici λ Equilibrio Libero dall’Infezione E0 := , 0, 0 d Ci aspettiamo che la sua stabilità dipenda dal valore di R0 Per dimostrare formalmente ciò abbiamo bisogno di alcuni risultati preliminari Modelli Matematici di Infezione Virale
  61. 61. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica ConclusioniStabilità Punti Critici λ Equilibrio Libero dall’Infezione E0 := , 0, 0 d Ci aspettiamo che la sua stabilità dipenda dal valore di R0 Per dimostrare formalmente ciò abbiamo bisogno di alcuni risultati preliminari Modelli Matematici di Infezione Virale
  62. 62. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica ConclusioniE’possibile mostrare che: Tutte le soluzioni del sistema sono positive per t > 0 ed esiste M > 0 tale che x(t), y (t), z(t) < M. Attraverso il calcolo esplicito delle equazioni Sia x ∞ = lim supx(t), allora x ∞ ≤ x ∗ , ove x ∗ , y ∗ , z ∗ i t→∞ rispettivi equilibri del sistema Maggiorando la prima equazione ed integrando in un opportuno intervallo di tempoUtilizzando questi risultati si dimostra che E0 è stabile perR0 < 1 Modelli Matematici di Infezione Virale
  63. 63. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica ConclusioniE’possibile mostrare che: Tutte le soluzioni del sistema sono positive per t > 0 ed esiste M > 0 tale che x(t), y (t), z(t) < M. Attraverso il calcolo esplicito delle equazioni Sia x ∞ = lim supx(t), allora x ∞ ≤ x ∗ , ove x ∗ , y ∗ , z ∗ i t→∞ rispettivi equilibri del sistema Maggiorando la prima equazione ed integrando in un opportuno intervallo di tempoUtilizzando questi risultati si dimostra che E0 è stabile perR0 < 1 Modelli Matematici di Infezione Virale
  64. 64. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica ConclusioniE’possibile mostrare che: Tutte le soluzioni del sistema sono positive per t > 0 ed esiste M > 0 tale che x(t), y (t), z(t) < M. Attraverso il calcolo esplicito delle equazioni Sia x ∞ = lim supx(t), allora x ∞ ≤ x ∗ , ove x ∗ , y ∗ , z ∗ i t→∞ rispettivi equilibri del sistema Maggiorando la prima equazione ed integrando in un opportuno intervallo di tempoUtilizzando questi risultati si dimostra che E0 è stabile perR0 < 1 Modelli Matematici di Infezione Virale
  65. 65. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica ConclusioniE’possibile mostrare che: Tutte le soluzioni del sistema sono positive per t > 0 ed esiste M > 0 tale che x(t), y (t), z(t) < M. Attraverso il calcolo esplicito delle equazioni Sia x ∞ = lim supx(t), allora x ∞ ≤ x ∗ , ove x ∗ , y ∗ , z ∗ i t→∞ rispettivi equilibri del sistema Maggiorando la prima equazione ed integrando in un opportuno intervallo di tempoUtilizzando questi risultati si dimostra che E0 è stabile perR0 < 1 Modelli Matematici di Infezione Virale
  66. 66. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica ConclusioniE’possibile mostrare che: Tutte le soluzioni del sistema sono positive per t > 0 ed esiste M > 0 tale che x(t), y (t), z(t) < M. Attraverso il calcolo esplicito delle equazioni Sia x ∞ = lim supx(t), allora x ∞ ≤ x ∗ , ove x ∗ , y ∗ , z ∗ i t→∞ rispettivi equilibri del sistema Maggiorando la prima equazione ed integrando in un opportuno intervallo di tempoUtilizzando questi risultati si dimostra che E0 è stabile perR0 < 1 Modelli Matematici di Infezione Virale
  67. 67. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica ConclusioniE’possibile mostrare che: Tutte le soluzioni del sistema sono positive per t > 0 ed esiste M > 0 tale che x(t), y (t), z(t) < M. Attraverso il calcolo esplicito delle equazioni Sia x ∞ = lim supx(t), allora x ∞ ≤ x ∗ , ove x ∗ , y ∗ , z ∗ i t→∞ rispettivi equilibri del sistema Maggiorando la prima equazione ed integrando in un opportuno intervallo di tempoUtilizzando questi risultati si dimostra che E0 è stabile perR0 < 1 Modelli Matematici di Infezione Virale
  68. 68. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica ConclusioniE’ possibile mostrare che la stabilità si mantiene anche perR0 = 1, quindi E0 asintoticamente stabile se R0 ≤ 1Come mostrato dai grafici Modelli Matematici di Infezione Virale
  69. 69. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica ConclusioniE’ possibile mostrare che la stabilità si mantiene anche perR0 = 1, quindi E0 asintoticamente stabile se R0 ≤ 1Come mostrato dai grafici Modelli Matematici di Infezione Virale
  70. 70. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica ConclusioniE’ possibile mostrare che la stabilità si mantiene anche perR0 = 1, quindi E0 asintoticamente stabile se R0 ≤ 1Come mostrato dai grafici Modelli Matematici di Infezione Virale
  71. 71. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica ConclusioniTeoremaSe R0 > 1, il sistema è uniformemente persistente, ovveroesiste δ > 0, indipendente dalle condizioni iniziali, tale chelim infx(t) ≥ δ, lim infy (t) ≥ δ e lim inf z(t) ≥ δ.t→∞ t→∞ t→∞ConseguenzaL’equilibrio libero da infezione E0 è instabile se il numeroriproduttivo di base è maggiore di uno. Modelli Matematici di Infezione Virale
  72. 72. Introduzione Introduzione Il modello Risposta Costante La Risposta Immunitaria Modello Ridotto Ritardo Temporale Risposta Periodica ConclusioniTeoremaSe R0 > 1, il sistema è uniformemente persistente, ovveroesiste δ > 0, indipendente dalle condizioni iniziali, tale chelim infx(t) ≥ δ, lim infy (t) ≥ δ e lim inf z(t) ≥ δ.t→∞ t→∞ t→∞ConseguenzaL’equilibrio libero da infezione E0 è instabile se il numeroriproduttivo di base è maggiore di uno. Modelli Matematici di Infezione Virale
  73. 73. Introduzione Il modello Introduzione La Risposta Immunitaria Punti Critici e Analisi Stabilità Ritardo Temporale Conclusioni1 Introduzione2 Il modello Concetti Preliminari Analisi del Modello3 La Risposta Immunitaria Introduzione Risposta Costante Modello Ridotto Risposta Periodica4 Ritardo Temporale Introduzione Punti Critici e Analisi Stabilità5 Conclusioni Modelli Matematici di Infezione Virale
  74. 74. Introduzione Il modello Introduzione La Risposta Immunitaria Punti Critici e Analisi Stabilità Ritardo Temporale ConclusioniIntroduciamo il Ritardo Temporale Risponderà in base al numero di cellule infette presenti al tempo t − τ con τ ≥ 0 dunque invece di considerare z (t) = cy (t) − bz(t) nel modello utilizzeremo z (t) = cy (t − τ ) − bz(t) Modelli Matematici di Infezione Virale
  75. 75. Introduzione Il modello Introduzione La Risposta Immunitaria Punti Critici e Analisi Stabilità Ritardo Temporale ConclusioniIntroduciamo il Ritardo Temporale Risponderà in base al numero di cellule infette presenti al tempo t − τ con τ ≥ 0 dunque invece di considerare z (t) = cy (t) − bz(t) nel modello utilizzeremo z (t) = cy (t − τ ) − bz(t) Modelli Matematici di Infezione Virale
  76. 76. Introduzione Il modello Introduzione La Risposta Immunitaria Punti Critici e Analisi Stabilità Ritardo Temporale ConclusioniIntroduciamo il Ritardo Temporale Risponderà in base al numero di cellule infette presenti al tempo t − τ con τ ≥ 0 dunque invece di considerare z (t) = cy (t) − bz(t) nel modello utilizzeremo z (t) = cy (t − τ ) − bz(t) Modelli Matematici di Infezione Virale
  77. 77. Introduzione Il modello Introduzione La Risposta Immunitaria Punti Critici e Analisi Stabilità Ritardo Temporale ConclusioniIntroduciamo il Ritardo Temporale Risponderà in base al numero di cellule infette presenti al tempo t − τ con τ ≥ 0 dunque invece di considerare z (t) = cy (t) − bz(t) nel modello utilizzeremo z (t) = cy (t − τ ) − bz(t) Modelli Matematici di Infezione Virale
  78. 78. Introduzione Il modello Introduzione La Risposta Immunitaria Punti Critici e Analisi Stabilità Ritardo Temporale ConclusioniIl Modello con Ritardo Temporale   x (t) = λ − dx(t) − βx(t)y (t) y (t) = βx(t)y (t) − ay (t) − py (t)z(t) z (t) = cy (t − τ ) − bz(t) Ponendo τ = 0, ovvero in assenza di ritardo, ci riconduciamo almodello precedente. Modelli Matematici di Infezione Virale
  79. 79. Introduzione Il modello Introduzione La Risposta Immunitaria Punti Critici e Analisi Stabilità Ritardo Temporale ConclusioniIl Modello con Ritardo Temporale   x (t) = λ − dx(t) − βx(t)y (t) y (t) = βx(t)y (t) − ay (t) − py (t)z(t) z (t) = cy (t − τ ) − bz(t) Ponendo τ = 0, ovvero in assenza di ritardo, ci riconduciamo almodello precedente. Modelli Matematici di Infezione Virale
  80. 80. Introduzione Il modello Introduzione La Risposta Immunitaria Punti Critici e Analisi Stabilità Ritardo Temporale ConclusioniPunti CriticiHa come punti critici: λ per R0 ≤ 1 −→ E0 := , 0, 0 d per R0 > 1 −→ E0 ed E1 := (x, y , z) ove cλ x = cd + bβz bz y = c −(pcd + abβ) + (pcd + abβ)2 − 4bcpβ(ad − λβ) z = 2bpβ Modelli Matematici di Infezione Virale
  81. 81. Introduzione Il modello Introduzione La Risposta Immunitaria Punti Critici e Analisi Stabilità Ritardo Temporale ConclusioniPunti CriticiHa come punti critici: λ per R0 ≤ 1 −→ E0 := , 0, 0 d per R0 > 1 −→ E0 ed E1 := (x, y , z) ove cλ x = cd + bβz bz y = c −(pcd + abβ) + (pcd + abβ)2 − 4bcpβ(ad − λβ) z = 2bpβ Modelli Matematici di Infezione Virale
  82. 82. Introduzione Il modello Introduzione La Risposta Immunitaria Punti Critici e Analisi Stabilità Ritardo Temporale ConclusioniPunti CriticiHa come punti critici: λ per R0 ≤ 1 −→ E0 := , 0, 0 d per R0 > 1 −→ E0 ed E1 := (x, y , z) ove cλ x = cd + bβz bz y = c −(pcd + abβ) + (pcd + abβ)2 − 4bcpβ(ad − λβ) z = 2bpβ Modelli Matematici di Infezione Virale
  83. 83. Introduzione Il modello Introduzione La Risposta Immunitaria Punti Critici e Analisi Stabilità Ritardo Temporale ConclusioniPunti CriticiHa come punti critici: λ per R0 ≤ 1 −→ E0 := , 0, 0 d per R0 > 1 −→ E0 ed E1 := (x, y , z) ove cλ x = cd + bβz bz y = c −(pcd + abβ) + (pcd + abβ)2 − 4bcpβ(ad − λβ) z = 2bpβ Modelli Matematici di Infezione Virale
  84. 84. Introduzione Il modello Introduzione La Risposta Immunitaria Punti Critici e Analisi Stabilità Ritardo Temporale ConclusioniPunti CriticiHa come punti critici: λ per R0 ≤ 1 −→ E0 := , 0, 0 d per R0 > 1 −→ E0 ed E1 := (x, y , z) ove cλ x = cd + bβz bz y = c −(pcd + abβ) + (pcd + abβ)2 − 4bcpβ(ad − λβ) z = 2bpβ Modelli Matematici di Infezione Virale
  85. 85. Introduzione Il modello Introduzione La Risposta Immunitaria Punti Critici e Analisi Stabilità Ritardo Temporale ConclusioniPunti CriticiHa come punti critici: λ per R0 ≤ 1 −→ E0 := , 0, 0 d per R0 > 1 −→ E0 ed E1 := (x, y , z) ove cλ x = cd + bβz bz y = c −(pcd + abβ) + (pcd + abβ)2 − 4bcpβ(ad − λβ) z = 2bpβ Modelli Matematici di Infezione Virale
  86. 86. Introduzione Il modello Introduzione La Risposta Immunitaria Punti Critici e Analisi Stabilità Ritardo Temporale ConclusioniAnalisi Stabilità Se l’epidemia non si innesca il sistema non risente del ritardo temporale; Otteniamo gli stessi risultati del modello con risposta immunitaria costante; Nel caso in cui il numero riproduttivo di base sia maggiore di uno l’epidemia si innesca; Ci aspettiamo: E0 instabile, E1 stabile Modelli Matematici di Infezione Virale
  87. 87. Introduzione Il modello Introduzione La Risposta Immunitaria Punti Critici e Analisi Stabilità Ritardo Temporale ConclusioniAnalisi Stabilità Se l’epidemia non si innesca il sistema non risente del ritardo temporale; Otteniamo gli stessi risultati del modello con risposta immunitaria costante; Nel caso in cui il numero riproduttivo di base sia maggiore di uno l’epidemia si innesca; Ci aspettiamo: E0 instabile, E1 stabile Modelli Matematici di Infezione Virale
  88. 88. Introduzione Il modello Introduzione La Risposta Immunitaria Punti Critici e Analisi Stabilità Ritardo Temporale ConclusioniAnalisi Stabilità Se l’epidemia non si innesca il sistema non risente del ritardo temporale; Otteniamo gli stessi risultati del modello con risposta immunitaria costante; Nel caso in cui il numero riproduttivo di base sia maggiore di uno l’epidemia si innesca; Ci aspettiamo: E0 instabile, E1 stabile Modelli Matematici di Infezione Virale
  89. 89. Introduzione Il modello Introduzione La Risposta Immunitaria Punti Critici e Analisi Stabilità Ritardo Temporale ConclusioniAnalisi Stabilità Se l’epidemia non si innesca il sistema non risente del ritardo temporale; Otteniamo gli stessi risultati del modello con risposta immunitaria costante; Nel caso in cui il numero riproduttivo di base sia maggiore di uno l’epidemia si innesca; Ci aspettiamo: E0 instabile, E1 stabile Modelli Matematici di Infezione Virale
  90. 90. Introduzione Il modello Introduzione La Risposta Immunitaria Punti Critici e Analisi Stabilità Ritardo Temporale ConclusioniAnalisi Stabilità Se l’epidemia non si innesca il sistema non risente del ritardo temporale; Otteniamo gli stessi risultati del modello con risposta immunitaria costante; Nel caso in cui il numero riproduttivo di base sia maggiore di uno l’epidemia si innesca; Ci aspettiamo: E0 instabile, E1 stabile Modelli Matematici di Infezione Virale
  91. 91. Introduzione Il modello Introduzione La Risposta Immunitaria Punti Critici e Analisi Stabilità Ritardo Temporale ConclusioniStabilità Equilibrio LiberoProcediamo per passi 1 Si dimostra che sotto l’ipotesi che le condizioni iniziali siano positive, tutte le soluzioni del sistema sono positive e limitate. 2 R0 < 1, dimostriamo la stabilità dell’equilibrio libero da infezione utilizzando come strumenti le funzioni di Lyapunov e il Teorema di Lyapunov LaSalle Modelli Matematici di Infezione Virale
  92. 92. Introduzione Il modello Introduzione La Risposta Immunitaria Punti Critici e Analisi Stabilità Ritardo Temporale ConclusioniStabilità Equilibrio LiberoProcediamo per passi 1 Si dimostra che sotto l’ipotesi che le condizioni iniziali siano positive, tutte le soluzioni del sistema sono positive e limitate. 2 R0 < 1, dimostriamo la stabilità dell’equilibrio libero da infezione utilizzando come strumenti le funzioni di Lyapunov e il Teorema di Lyapunov LaSalle Modelli Matematici di Infezione Virale
  93. 93. Introduzione Il modello Introduzione La Risposta Immunitaria Punti Critici e Analisi Stabilità Ritardo Temporale ConclusioniStabilità Equilibrio LiberoProcediamo per passi 1 Si dimostra che sotto l’ipotesi che le condizioni iniziali siano positive, tutte le soluzioni del sistema sono positive e limitate. 2 R0 < 1, dimostriamo la stabilità dell’equilibrio libero da infezione utilizzando come strumenti le funzioni di Lyapunov e il Teorema di Lyapunov LaSalle Modelli Matematici di Infezione Virale
  94. 94. Introduzione Il modello Introduzione La Risposta Immunitaria Punti Critici e Analisi Stabilità Ritardo Temporale ConclusioniConsideriamo la seguente funzione di Lyapunov 2 0 1 λ λ L= x(t) − + y (t) + z(t) + y (t + s) ds 2 d d c −τ 2 λ λp bL = −(d + βy (t)) x(t) − − my (t) − y (t)z(t) − z(t). d d cSe R0 < 1 allora deve esistere una costante > 0 tale che aλ βλ2m= − 2 − > 0. d d da cui L ≤ 0La stabilità globale di E0 segue dal Teorema diLyapunov-LaSalle Modelli Matematici di Infezione Virale
  95. 95. Introduzione Il modello Introduzione La Risposta Immunitaria Punti Critici e Analisi Stabilità Ritardo Temporale ConclusioniConsideriamo la seguente funzione di Lyapunov 2 0 1 λ λ L= x(t) − + y (t) + z(t) + y (t + s) ds 2 d d c −τ 2 λ λp bL = −(d + βy (t)) x(t) − − my (t) − y (t)z(t) − z(t). d d cSe R0 < 1 allora deve esistere una costante > 0 tale che aλ βλ2m= − 2 − > 0. d d da cui L ≤ 0La stabilità globale di E0 segue dal Teorema diLyapunov-LaSalle Modelli Matematici di Infezione Virale
  96. 96. Introduzione Il modello Introduzione La Risposta Immunitaria Punti Critici e Analisi Stabilità Ritardo Temporale ConclusioniConsideriamo la seguente funzione di Lyapunov 2 0 1 λ λ L= x(t) − + y (t) + z(t) + y (t + s) ds 2 d d c −τ 2 λ λp bL = −(d + βy (t)) x(t) − − my (t) − y (t)z(t) − z(t). d d cSe R0 < 1 allora deve esistere una costante > 0 tale che aλ βλ2m= − 2 − > 0. d d da cui L ≤ 0La stabilità globale di E0 segue dal Teorema diLyapunov-LaSalle Modelli Matematici di Infezione Virale
  97. 97. Introduzione Il modello Introduzione La Risposta Immunitaria Punti Critici e Analisi Stabilità Ritardo Temporale ConclusioniConsideriamo la seguente funzione di Lyapunov 2 0 1 λ λ L= x(t) − + y (t) + z(t) + y (t + s) ds 2 d d c −τ 2 λ λp bL = −(d + βy (t)) x(t) − − my (t) − y (t)z(t) − z(t). d d cSe R0 < 1 allora deve esistere una costante > 0 tale che aλ βλ2m= − 2 − > 0. d d da cui L ≤ 0La stabilità globale di E0 segue dal Teorema diLyapunov-LaSalle Modelli Matematici di Infezione Virale
  98. 98. Introduzione Il modello Introduzione La Risposta Immunitaria Punti Critici e Analisi Stabilità Ritardo Temporale ConclusioniConsideriamo la seguente funzione di Lyapunov 2 0 1 λ λ L= x(t) − + y (t) + z(t) + y (t + s) ds 2 d d c −τ 2 λ λp bL = −(d + βy (t)) x(t) − − my (t) − y (t)z(t) − z(t). d d cSe R0 < 1 allora deve esistere una costante > 0 tale che aλ βλ2m= − 2 − > 0. d d da cui L ≤ 0La stabilità globale di E0 segue dal Teorema diLyapunov-LaSalle Modelli Matematici di Infezione Virale
  99. 99. Introduzione Il modello Introduzione La Risposta Immunitaria Punti Critici e Analisi Stabilità Ritardo Temporale ConclusioniConsideriamo la seguente funzione di Lyapunov 2 0 1 λ λ L= x(t) − + y (t) + z(t) + y (t + s) ds 2 d d c −τ 2 λ λp bL = −(d + βy (t)) x(t) − − my (t) − y (t)z(t) − z(t). d d cSe R0 < 1 allora deve esistere una costante > 0 tale che aλ βλ2m= − 2 − > 0. d d da cui L ≤ 0La stabilità globale di E0 segue dal Teorema diLyapunov-LaSalle Modelli Matematici di Infezione Virale
  100. 100. Introduzione Il modello Introduzione La Risposta Immunitaria Punti Critici e Analisi Stabilità Ritardo Temporale ConclusioniStabilità Equilibrio Endemico Procediamo traslando il punto critico E1 := (x, y , z) nell’origine, x1 (t) = x(t) − x, y1 (t) = y (t) − y , z1 (t) = z(t) − z Linearizzando nell’origine otteniamo   x (t) = λ − dx(t) − βx(t)y (t) y (t) = βx(t)y (t) − ay (t) − py (t)z(t) z (t) = cy (t − τ ) − bz(t)  Modelli Matematici di Infezione Virale
  101. 101. Introduzione Il modello Introduzione La Risposta Immunitaria Punti Critici e Analisi Stabilità Ritardo Temporale ConclusioniStabilità Equilibrio Endemico Procediamo traslando il punto critico E1 := (x, y , z) nell’origine, x1 (t) = x(t) − x, y1 (t) = y (t) − y , z1 (t) = z(t) − z Linearizzando nell’origine otteniamo   x (t) = λ − dx(t) − βx(t)y (t) y (t) = βx(t)y (t) − ay (t) − py (t)z(t) z (t) = cy (t − τ ) − bz(t)  Modelli Matematici di Infezione Virale
  102. 102. Introduzione Il modello Introduzione La Risposta Immunitaria Punti Critici e Analisi Stabilità Ritardo Temporale ConclusioniStabilità Equilibrio Endemico Procediamo traslando il punto critico E1 := (x, y , z) nell’origine, x1 (t) = x(t) − x, y1 (t) = y (t) − y , z1 (t) = z(t) − z Linearizzando nell’origine otteniamo   x1 (t) = −(d + βy )x1 (t) − βxy1 (t) − βx1 (t)y1 (t) y (t) = βy x1 (t) − py z1 (t) − βx1 (t)y1 (t) − py1 (t)z1 (t)  1 z1 (t) = cy1 (t − τ ) − bz1 (t) Modelli Matematici di Infezione Virale
  103. 103. Introduzione Il modello Introduzione La Risposta Immunitaria Punti Critici e Analisi Stabilità Ritardo Temporale ConclusioniStabilità Equilibrio Endemico Procediamo traslando il punto critico E1 := (x, y , z) nell’origine, x1 (t) = x(t) − x, y1 (t) = y (t) − y , z1 (t) = z(t) − z Linearizzando nell’origine otteniamo   x1 (t) = −(d + βy )x1 (t) − βxy1 (t) − βx1 (t)y1 (t) y (t) = βy x1 (t) − py z1 (t) − βx1 (t)y1 (t) − py1 (t)z1 (t)  1 z1 (t) = cy1 (t − τ ) − bz1 (t) Modelli Matematici di Infezione Virale
  104. 104. Introduzione Il modello Introduzione La Risposta Immunitaria Punti Critici e Analisi Stabilità Ritardo Temporale ConclusioniStabilità Equilibrio Endemico Procediamo traslando il punto critico E1 := (x, y , z) nell’origine, x1 (t) = x(t) − x, y1 (t) = y (t) − y , z1 (t) = z(t) − z Linearizzando nell’origine otteniamo   x1 (t) = −(d + βy )x1 (t) − βxy1 (t) y (t) = βy x1 (t) − py z1 (t)  1 z1 (t) = cy1 (t − τ ) − bz1 (t) Modelli Matematici di Infezione Virale
  105. 105. Introduzione Il modello Introduzione La Risposta Immunitaria Punti Critici e Analisi Stabilità Ritardo Temporale ConclusioniLa sua equazione caratteristica èdet(J − wI) = w 3 + A1 w 2 + A2 w + A3 + (B1 w + B2 )e−τ w = 0 A1 = b + d + βy A2 = bd + bβy + β 2 xyottenuta ponendo A3 = bβ 2 xy B1 = cpy B2 = cdpy + cpβy 2Per una equazione trascendente generalizzata il problemadella localizzazionie degli zeri è stato estensivamente studiato.Poniamo P(w) = w 3 + A1 w 2 + A2 w + A3 , Q(w) = B1 w + B2Otteniamo P(w) + Q(w)e−τ w . Modelli Matematici di Infezione Virale
  106. 106. Introduzione Il modello Introduzione La Risposta Immunitaria Punti Critici e Analisi Stabilità Ritardo Temporale ConclusioniLa sua equazione caratteristica èdet(J − wI) = w 3 + A1 w 2 + A2 w + A3 + (B1 w + B2 )e−τ w = 0 A1 = b + d + βy A2 = bd + bβy + β 2 xyottenuta ponendo A3 = bβ 2 xy B1 = cpy B2 = cdpy + cpβy 2Per una equazione trascendente generalizzata il problemadella localizzazionie degli zeri è stato estensivamente studiato.Poniamo P(w) = w 3 + A1 w 2 + A2 w + A3 , Q(w) = B1 w + B2Otteniamo P(w) + Q(w)e−τ w . Modelli Matematici di Infezione Virale
  107. 107. Introduzione Il modello Introduzione La Risposta Immunitaria Punti Critici e Analisi Stabilità Ritardo Temporale ConclusioniLa sua equazione caratteristica èdet(J − wI) = w 3 + A1 w 2 + A2 w + A3 + (B1 w + B2 )e−τ w = 0 A1 = b + d + βy A2 = bd + bβy + β 2 xyottenuta ponendo A3 = bβ 2 xy B1 = cpy B2 = cdpy + cpβy 2Per una equazione trascendente generalizzata il problemadella localizzazionie degli zeri è stato estensivamente studiato.Poniamo P(w) = w 3 + A1 w 2 + A2 w + A3 , Q(w) = B1 w + B2Otteniamo P(w) + Q(w)e−τ w . Modelli Matematici di Infezione Virale

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