Venia legendi 2016 Andi Kivinukk

1. Matemaatilisest analüüsist ja funktsioonide
lähendamisest TLÜ matemaatika osakonnas:
möödunust ja võimalikust tulevikust
Andi Kivinukk
Matemaatika osakond, Tallinna Ülikool
TLÜ, 28. aprill 2016
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) 1 / 17

2. Kolleegid
Kolleegid
Professor Anne Tali (TLÜ-s alates 1973, emeriteerus 2015)
Vanemteadur/dotsent Maria Zeltser (TLÜ-s alates 2004)
Lektor Anna Šeletski (TLÜ-s alates 2015, varem siin doktoriüliõpilane,
juhendaja Anne Tali )
Matemaatilised kompetentsid: funktsionaalanalüüsi rakendused
(summeeruvusteooria), funktsiooniteooria, diferentsiaalvõrrandite
numbrilised meetodid
Professor/juhtteadur AK (TLÜ-s alates 1993, varem 20 aastat TTÜ-s)
Matemaatiline kompetents: funktsioonide lähendamine ja rakendused
(signaalianalüüs), Fourier´ analüüs, finantsmatemaatika (optsioonide
teooria), võrratused
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) 2 / 17

3. Kolleegid
Doktoriüliõpilased
TTÜ vanemteadur Gert Tamberg (kaitsnud PhD 2004, Shannoni tüüpi
valimridadest)
PhD Tarmo Metsmägi (kaitsnud PhD 2015, positiivsete operaatorite
variatsiooni järgi tõkestatusest ja koonduvusest)
Doktoriüliõpilane Anna Saksa (teema on sümmeetria omadustega
trigonomeetrilised süsteemid )
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) 3 / 17

4. Funktsioonide lähendamine, Fourier´ read, Shannoni valimoperaatorid
Funktsioonide lähendamine, Fourier´ read, Shannoni
valimoperaatorid
Populaarne sissejuhatus
Matemaatikas on oluline arv
π = 3.1415926535897932384626433832795028...,
siin 3.5 × 101 kümnendkohta.
Matemaatikud ja arvutiteadlased on leiutanud uusi algoritme, mida
rakendatakse võimsatel arvutitel ja mille tulemusena on 2015. a.
seisuga teada π rohkem kui 13.3 trillion (1013) kümnendkohta.
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) 4 / 17

5. Funktsioonide lähendamine, Fourier´ read, Shannoni valimoperaatorid
Tavaliselt kasutatakse lähendit π = 3.14
Lähendiga kaasnes viga π − π < 0.0016.
Mõned armastavad täpsemat lähendit π = 3.1416, sel juhul on viga
π − π < 0.000075 või π − π > −0.000075
või kasutades absoluutväärtust |π − π| < 0.000075.
Siin on kolm tähtsat asjaolu:
0) Lähend on lihtsam (universaalsem) kui lähendatav objekt !
1) Ei ole tähtis, kas lähendamisel hinnatakse olukorda üle või alla -
viga on viga. Seepärast kasutatakse absoluutväärtust.
2) Üldiselt iga järgmine lähend peaks olema täpsem eelmisest (muidu
pole tegevus mõttekas), samal ajal aga üldiselt järgmised lähendid on
keerukamad. Meie näite korral viga vähenes (0.000075 < 0.0016), kui
kümnendkohti tuli juurde. Leida kompromiss !
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) 5 / 17

6. Funktsioonide lähendamine, Fourier´ read, Shannoni valimoperaatorid
Meie teema - funktsioonide lähendamine Siin on keerulised objektid
võrdlemisi suvalised funktsioonid, nt pidevad funktsioonid, või nende
üldistused operaatorid.
Võrdlemisi üldiseid funktsioone f saab lähendada nende Fourier’ rea
osasummadega Snf.
Viga, analoogiliselt absoluutväärtusega, saab kirjeldada normiga
||f − Snf||.
Suvaline pole kunagi perfektne! Leidub halbu pidevaid funktsioone,
mida ei saa lähendada nende Fourier’ rea osasummadega. Olukorra
parandamiseks leiutati [L. Fejér, 1904] täiendus:
Un(f, x) :=
n
k=−n
λ(
k
n + 1
)f∧
(k)eikx
.
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) 6 / 17

7. Funktsioonide lähendamine, Fourier´ read, Shannoni valimoperaatorid
Fourier’ read on ekstra head perioodiliste nähtuste kirjeldamiseks.
Mitte-perioodilisel juhul kasutatakse Fourier’ teisendust (praktikas
diskreetset kiiret Fourier’ teisendust) või Shannoni valimoperaatoreid
(SW f)(t) :=
k∈Z
f(
k
W
)s(Wt − k).
Meie [AK, Gert Tamberg] panus on kasutada siin üldisel kujul
tuumafunktsioone
s(t) :=
1
0
λ(u) cos(πtu)du.
Peaprobleem on jälle kirjeldada viga
f − SW f C.
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) 7 / 17

8. Funktsioonide lähendamine, Fourier´ read, Shannoni valimoperaatorid
Valimoperaatorid ületavad Fourier’ ridu selles mõttes, et need
kasutavad lähendatava funktsiooni (signaali) n-ö originaalinfot.
Täpsemalt:
Fourier´ ridade kasutamiseks on vaja arvutada kordajad f∧(k), mis on
teatud integraalid ja see nõuab isegi arvutitelt aega.
Valimoperaatorid on interpoleerimise "sugulased" - need kasutavad
lähendatava funktsiooni (signaali) väärtusi f( k
W ) mingil diskreetsel
hulgal (k = ... − 1, 0, 1, 2, ...).
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) 8 / 17

9. Funktsioonide lähendamine, Fourier´ read, Shannoni valimoperaatorid
Mingis mõttes valimoperaatorite eelkäijateks on Bernšteini tüüpi
operaatorid.
Kui vaatleme lõigul [0, 1] määratud funktsioone f, siis Bernšteini
operaatorid on defineeritud võrdusega
(Bnf)(x) =
n
k=0
f(
k
n
)
n
k
xk
(1 − x)n−k
(x ∈ [0, 1]).
Need, muide, on teatud modifikatsioonidena kasutusel arvutigraafikas
(CAD, Bezier´ jooned).
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) 9 / 17

10. Funktsioonide lähendamine, Fourier´ read, Shannoni valimoperaatorid
Meie panuseks [AK, Tarmo Metsmägi] on uurida seda tüüpi
operaatoreid üldisel kujul
(Un,p,af)(x) :=
n+p
k=0
pk,n+p,a(x)Fk,n,p(f), x ∈ [0, a],
kus Fk,n,p(f) on funktsiooni f ∈ C[0, 1 + p], p = 0, 1, 2, ... lineaarsed
funktsionaalid ja
pk,m,a(x) :=
1
am
m
k
xk
(a − x)m−k
, k = 0, ..., m, x ∈ [0, a].
Peamine panus on nn tõkestatud variatsiooniga funktsioonide jaoks.
Tõkestatud variatsiooniga funktsioonid ei tohi liiga palju ostsilleeruda,
nt aktsiahindade graafikud võnguvad liiga palju !
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) 10 / 17

11. Valik publikatsioone
Valik publikatsioone
A. Kivinukk, G. Tamberg, On window methods in generalized
Shannon sampling operators. In: New Perspectives on
Approximation and Sampling Theory. A. I. Zayed and G.
Schmeisser (Eds.) Applied and Numerical Harmonic Analysis,
Springer, 2014, 65–88.
Kivinukk, A. and Metsmägi, T. The variation detracting property of
some Shannon sampling series and their derivatives. Sampl.
Theory Signal Image Process., 13 (2014), no 2, 189–206.
A. Kivinukk, On some Shannon sampling series with the variation
detracting property. In Proc. of the 9th Intern. Conf. on Sampling
Theory and Applications , Singapore, May 2-6, 2011, A. Khong, F.
Oggier (Eds.), Nanyang Techn. Univ., 2011, 1–4
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) 11 / 17

12. Valik publikatsioone
Kivinukk, A. and Metsmägi, T. Approximation in variation by the
Meyer-König and Zeller operators. Proc. Estonian Acad. Sci.,
2011, 60, 2, 88-97.
Kivinukk, A. and Metsmägi, T. Approximation in variation by the
Kantorovich operators. Proc. Estonian Acad. Sci., 2011, 60, 4,
201-209.
A. Kivinukk, G. Tamberg, Interpolating generalized Shannon
sampling operators, their norms and approximation properties.
Sampl. Theory Signal Image Process. 8 (2009) 77–95.
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) 12 / 17

13. Konverentsid, loengud etc.
Konverentsid, loengud etc.
11th Intern. Conf. on Sampling Theory and Applications, May 25 -
29, 2015, American Univ., Washington DC
Modern Time-Frequency Analysis, Strobl, Austria, June 1-7, 2014.
10th Intern. Conf. on Sampling Theory and Applications, July 1st -
July 5th, 2013, Jacobs Univ. Bremen
ERASMUS lecturer at Babes - Bolyai University of Cluj - Napoca,
Romania, March, 2013.
3rd Dolomites Workshop on Constructive Approximation and
Applications, Alba di Canazei, September 9-14, 2012.
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) 13 / 17

14. Viimased projektid
Viimased projektid
Function and sequence spaces in approximations and their
applications, ETF 8627, 2011 - 2014/2015 (M. Zeltser, AK, Tatjana
Tamberg, Anna Saksa, Tarmo Metsmägi )
ETF granti 8627 seminar - "Approximations, Summations and
Applications", Laulasmaa Spa, reedel, 11. dets. 2015.
Osalejad: AK, Maria Zeltser (granti hoidjad), Tarmo Metsmägi,
Anna Saksa (granti täitjad, kõik TLÜ), Ants Aasma, Svetlana
Ridala (granti täitjad, TTÜ), külalisteadurid: Anne Tali (TLÜ), Anna
Šeletski (TLÜ), Olga Meronen (TTÜ), Olga Orlova (TTÜ), Gert
Tamberg (TTÜ).
Stochastic processes in nano- and meso-systems : Theory and
applications in material sciences and bio-chemistry, 2012 - 2014
(M. Zeltser)
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) 14 / 17

15. Tulevik mõned aastad hiljem
Tulevik mõned aastad hiljem
Üliõpilaste arv
Nn puhta matemaatika olemasolu , MA-kava on juba kinni
Kui teadusprojekte ei ole, ei saa ka mingeid olulisi asju
(konverentsid jms) teha
Üliõpilaste arv teatud erialadel (mitte-pehmetel) tegelikult
probleem kogu vabariigis ja isegi Rootsis
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) 15 / 17

16. Tänapäeva teaduse butafooriast
Tänapäeva teaduse butafooriast
PUT (ETAGi peronaalne uurimistoetus) nõuab nn bibliomeetriat, st
Scopus: h-index, citations; ISI WoS jms
Ametnikele, kes on valmis kogu maailma asju Exceli-tabelitega
välja arvutama
Podlubny, I., Kassayova, K.: Towards a better list of citation
superstars: compiling a multidisciplinary list of highly cited
researchers. Research Evaluation, vol. 15, no. 3, December
2006, pp. 154162.
Average ratio of the total citation number to the total number of
citations in Math:
Math 1, Biology 8, Biomedical research 78, Chemistry 15,
Engineering 5, Physics 19, Social/behavioral sciences 13
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) 16 / 17

17. Tänapäeva teaduse butafooriast
Tänan ja soovin edu !
A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) 17 / 17