Topological Sorting (Portuguese)
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O documento discute ordenação topológica em grafos dirigidos acíclicos (DAGs). Explica conceitos como grafos dirigidos e DAGs, define ordenação topológica como uma sequência de vértices onde cada vértice vem antes dos vértices que dependem dele, e descreve um algoritmo de ordenação topológica baseado em busca em profundidade que imprime os vértices em ordem inversa.
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- 1. Ordenação Topológica Hudson C. Miranda Julho de 2013
- 3. Conceitos Necessários Para entender a ideia da ordenação topológica, alguns conceitos devem ser explicados antes.
- 4. Grafo Dirigido (ou Digrafo) Um grafo é dirigido se toda aresta do grafo tiver uma direção definida, ou seja, suas arestas não são simétricas. Para cada aresta existirão dois vértices específicos: o de origem e o de destino.
- 5. Grafo Dirigido (ou Digrafo) Um grafo é dirigido se toda aresta do grafo tiver uma direção definida, ou seja, suas arestas não são simétricas. Para cada aresta existirão dois vértices específicos: o de origemorigem e o de destino.destino.
- 6. Grafo Dirigido Acíclico Um grafo é aciclico se não existe um caminho que saia de um vertice e chegue nele mesmo. Em grafos dirigidos, isso significa que não existe um caminho de arestas em que um dado vértice seja a origem e o destino desse caminho.
- 7. Grafo Dirigido Acíclico Um grafo é aciclico se não existe um caminho que saia de um vertice e chegue nele mesmo. Em grafos dirigidos, isso significa que não existe um caminho de arestas em que um dado vértice seja a origem e o destino desse caminho. DAG
- 8. Grafo Dirigido Acíclico Grafos Dirigidos acíclicos (conhecidos como DAG, de Direct Acyclic Graph) são estruturas muito importantes em teoria dos grafos. Muito utilizada para determinar graficamente tarefas que exigem precedência de execução(linhas de produção, disciplinas de um curso, sprints de trabalhos, etc...). Mas, dado um DAG, como podemos determinar a ordem de precedência de todos os vértices do grafo?
- 9. Grafo Dirigido Acíclico Grafos Dirigidos acíclicos (conhecidos como DAG, de Direct Acyclic Graph) são estruturas muito importantes em teoria dos grafos. Muito utilizada para determinar graficamente tarefas que exigem precedência de execução(linhas de produção, disciplinas de um curso, sprints de trabalhos, etc...). Mas, dado um DAG, como podemos determinar a ordem de precedência de todos os vértices do grafo? R:com a ordenação topológica.ordenação topológica.
- 11. Ordenação Topológica - Definição Dado um grafo G=(V, E) dirigido e acíclico, e sabendo que existe uma ordem de precedência entre seus vértices, podemos dizer que existirá um conjunto parcialmente ordenado (V, <) tal que para qualquer v e w de V, v < w se e somente se existir um caminho de v até w. Porém, o operador “<” não significa que v seja menor que w, mas sim que v vem antes de w.
- 12. Ordenação Topológica - Definição Com a informação anterior, é facil ver que haverá uma sequência de vértices v1, v2, …,vn de G tal que v1<v2<...<vn. Essa sequência de vértices será uma ordenação topológicaordenação topológica de G.
- 13. Ordenação Topológica - Definição Existem várias ordenações topológicas dado um DAG:
- 14. Ordenação Topológica - Definição Existem várias ordenações topológicas dado um DAG: {7, 5, 3, 11, 8, 2, 9, 10} – Esquerda para direita, cima para baixo. {3, 5, 7, 8, 11, 2, 9, 10} – Vértice de menor número disponível primeiro. {7, 5, 11, 3, 10, 8, 9, 2} – Vertíce de maior número disponível primeiro. Entre outras...
- 16. Aplicações Organizar ordem de tarefas: Cada vértice representa uma tarefa a ser executada e as arestas as dependências de cada tarefa.
- 17. Aplicações Organizar ordem de tarefas: Cada vértice representa uma tarefa a ser executada e as arestas as dependências de cada tarefa. Depêndencia entre disciplinas: Os vértices representam as disciplinas e as arestas suas dependências
- 19. O algoritmo Existem diversas variações do algoritmo para encontrar uma ordenação topológica em um DAG. O mais conhecido é uma variação do DFS (busca em profundidade) que imprime os vértices em ordem topológica invertida.
- 20. O algoritmo procedimento Orden-Topo(G: Grafo) Para Cada vértice v de G: Marque v como não visitado Para Cada vértice v de G: Se v não foi visitado: Busca-Prof-Orden-Topo(v) fim procedimento Busca-Prof-Orden-Topo(v: vértice) Marque v como visitado Para Cada vértice w adjacente a v: Se w não foi visitado: Busca-Prof-Orden-Topo(w) Imprimir(v) fim
- 21. O Algoritmo - Complexidade Tendo em vista que o algoritmo anterior se utiliza da busca em proundidade de um grafo, sua complexidade será igual a do DFS(O(n)), já que a impressão da lista de vértices é O(1)