5. APLICACIONES DE LAS FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
Hallar la altura de un edificio si el Angulo de elevación es de
50° y la distancia del punto de observación al edificio es de
60 metros.
h
55°
8
Tan 55= h/60
h=60*tan55
85,68 m
h=60*1,42
h= 85,68metros
6. Una escalera de 5 metros esta apoyada contra una pared ¿Que
altura alcanza si forma con el suelo un Angulo de 72º?
h
72º
Sen 72= h/5
h=5*sen 72
h=5*0,95
h=4,75m
7. Un árbol de 15 metros de altura proyecta una sombra, con un Angulo de
55° ¿A que distancia se encuentra el árbol de la sombra proyectada?
15m
55°
Cot 55= x/15
X= Cot 55 *15
X= 10,5m
8. Hallar la altura de un edificio si el Angulo de elevación
crece de 32° a 49° cuando el observador recorre 85 metros
en dirección al edificio
1)Tan 49=h/x ------ h=x*tan49
h
2)Tan 32=h/x+85– h=(85+x)*tan32
h=85*tan 32+x*tan32
49 32
° 9 °
1=2 --- por lo tanto
Y finalmente remplazamos
X*tan 49=85*tan32+x*tan85 para hallar la altura:
X(tan49-tan85)=85*tan32
X=85*tan32/(tan*49-tan*32) h=x*tan49
X=101,07 m H=116,26m
9. Resolver el triangulo rectángulo ABC donde
A=50 b=33
A
c
b=33
C B
a=50
C=√332+502
C=53.9
Senx=50/53,9 c=53,9
Senx=0,92 A=68°
Sen-1 0,92 =68° B=22°
(68°+90°)-180°
=22°
10. TRIÁNGULOS
OBLICUÁNGULOS
Un triángulo oblicuángulo es aquel que no es recto
ninguno de sus ángulos, por lo que no se puede
resolver directamente por el teorema de Pitágoras, el
triángulo oblicuángulo se resuelve por leyes de senos y
de cosenos, así como el que la suma de todos los
ángulos internos de un triángulo suman 180 grados.
11. En general, se denomina triángulo oblicuángulo a cualquier
tipo de triángulo, siendo el triángulo rectángulo un caso
particular de esta denominación.
Para construir un triángulo es necesario conocer estas dos
importantes propiedades:
En todo triángulo, la suma de los tres ángulos vale 180º.
En todo triángulo, la suma de las longitudes de dos de sus
lados es mayor que la longitud del tercero.
12. Como se puede observar en la grafica anterior ninguno de los ángulos de los
triángulos son de 90°.
Para resolver estos triángulos se usan dos teoremas: seno y coseno
13. TEOREMA DEL SENO
En cualquier triángulo la relación
de cualquiera de sus lados al seno
del ángulo opuesto es constante.
a b c
sen A sen B sen C
Esta ley se puede utilizar de esta forma
sen A sen B sen C
y ofrece el mismo resultado final
a b c
14. Ejemplo:
De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula
los restantes elementos.
8,48m
15. TEOREMA DEL COSENO
El teorema del Coseno es aplicable para cuando se conocen los
tres lados del triángulo o dos lados junto con el ángulo que se
forma entre ellos. Al teorema del coseno también se le conoce
como el Teorema General de Pitágoras.
Para el triángulo se cumple entonces que:
a^2= b^2 + c^2 - 2bc Cos A
b^2= a^2 + c^2 - 2ac Cos B
c^2= a^2 + b^2 - 2ab Cos C
16. PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LOS
TEOREMAS DEL SENO Y COSENO
De un triángulo sabemos que: a = 10 m, b = 7 m y C = 30°. Calcula los
restantes elementos.
17. Hallar los ángulos del triangulo si:
a=20 b=16 c=17
=20 b^2= a^2 + c^2 – 2ac Cos B
c=17
Cos B=20^2+17^2-16^2/2*20*17
Cos B=433/680
Cos B=0,63
=16 Cos B=50°26’56’’
c^2= a^2 + b^2 – 2ab Cos c
Cos 20^2+16^2-17^2/2*20*16
a^2= b^2 + c^2 - 2bc Cos A Cos C=367/640
Cos A=16^2+17^2-20^2/2*16*17 Cos C=0,57
Cos A=145/544 Cos C=55°0’34’’
Cos A=0,26
Cos A=74°32’28’’
18. Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo
que forman es de 48° 15'. Calcular los lados.
19. La sombra que proyecta un árbol sobre el piso horizontal mide
4,3 m, y el Angulo de elevación es igual a 63° ¿Cuál es la
medida del árbol si se sabe que este tiene una inclinación de 15°
en dirección opuesta al sol?
B
a
c
10°
80° 63°
A b= 4,3 m C
180-(80+63)=37° Sen A/a = SenB/b = SenC/c
Sen A/a = SenB/b = SenC/c Sen 63°/c = Sen37/4,3
Sen 80°/a = Sen37/4,3 c=4,3* sen63/sen37
a=4,3* sen80/sen37 c=6,36m
a=7,03m
20. Resolver el triángulo de datos: a = 15 m, b
= 22 m y c = 17 m.
B
c = 17 a = 15
A C
b = 22
