Cours

Vocabulaire
Représentations graphiques
Résumé Numérique

Statistique Descriptive - 1ère partie

Statistique pour une variable

L1 MASS
Université Rennes 2
Année 2010-2011

Semestre 2

MASS 1 Stat. Univariée

Vocabulaire
Résumé Numérique

Références

Statistique descriptive, cours et exercices corrigés
Agnès Hamon et Nicolas Jégou
Résumé du cours de statistique descriptive
Yves Tillé


Vocabulaire
Résumé Numérique

Informations sur le cours

12H Cours
12H TD-TP sur logiciel R
Contrôle Continu : Un écrit de 2H et un mini-projet sous R
Examen Terminal : Un écrit de 2H


Vocabulaire
Résumé Numérique

Plan
1 Vocabulaire
2 Représentations graphiques
3 Résumé Numérique
Paramètres de position
Paramètres de dispersion
Moments
Paramètres de forme
Paramètres d’aplatissement
Diagramme en tiges et feuilles
Boîte à moustaches


Vocabulaire
Résumé Numérique

Population, individu, variable

Recueil des données sur les éléments constitutifs d’un
ensemble ;
Ex : Notes aux examens, marque des voitures formant le parc
automobile de Rennes en 2005, etc.
L’ensemble étudié = population ;
Attention : la population ne sera pas toujours un ensemble
d’êtres humains.
Éléments qui le constituent = individus ;
Caractère étudié = variable ;
Sa valeur relevée sur un individu sera appelée observation.


Vocabulaire
Résumé Numérique

Exemple - Questionnaire

Age Nombre de personnes Lecture
X dans le foyer : Y journal : Z
1 17 4 de temps en temps
2 12 2 très rarement
.
. .
. .
. .
.
. . . .
18 38 2 tous les jours
20 42 5 de temps en temps


Vocabulaire
Résumé Numérique

Exemple suite

Population = 20 personnes interrogées ;
Individus renseignés sur 3 variables :
L’âge, noté X ;
Nombre de personnes dans le foyer, noté Y ;
Fréquence de lecture, notée Z .
Chaque individu est identiﬁé par un numéro pour indexer les
observations ;
Exemple : x18 correspond à l’observation de la variable X faite
sur l’individu 18, et dans le tableau on lit x18 =38.


Vocabulaire
Résumé Numérique

Types de variables

2 familles de variables :
Si les observations sont des nombres, on parle de variable
quantitative ;
Si les observations se traduisent par un attribut, appartenance
à une catégorie ou à un genre, la variable est dite qualitative ;
On parle donc des valeurs possibles prises par une variable
quantitative ;
Et de modalités pour une variable qualitative.
Sur l’exemple précédent, Y va. quantitative et Z va. qualitative.


Vocabulaire
Résumé Numérique

Variables Quantitatives

2 types de variables :
Variables discrètes dont l’ensemble possible des valeurs est ﬁni ;
Ex : Variable Y .
Variables continues lorsque les réalisations possibles
s’organisent sur une échelle continue des valeurs ;
Ex : Variable X .
Même si les observations prennent des valeurs entières, on
comprend bien qu’un individu qui a 15 ans signiﬁe que son âge
appartient à l’intervalle [15; 16[.


Vocabulaire
Résumé Numérique

Variables Qualitatives

2 catégories :
Les modalités possèdent un ordre naturel, la variable est
qualiﬁée d’ordinale ;
Ex : Variable Z .
Pas d’ordonnancement on parle de variable nominale ;
Ex : Variable ”sexe” a deux modalités, "homme" et "femme",
et est dite nominale.


Vocabulaire
Résumé Numérique

Données Agrégées -1

Avec l’exemple précédent pour chacun des 20 individus, nous
disposons des observations pour chaque variable : on parle de
données brutes ou individuelles.
Il n’est pas toujours possible de toutes les représenter (trop
d’observations) et on présente les données dans un tableau
synthétique et on parle alors de données agrégées.


Vocabulaire
Résumé Numérique


Variable discrète :
On regroupe les observations suivant les valeurs de la variable

Valeurs 1 2 3 4 5 6
variable Y
Eﬀectifs n1 = 3 n2 = 9 n3 = 2 n4 = 4 n5 = 1 n6 = 1
observés


Vocabulaire
Résumé Numérique


Variable Qualitative :
On regroupe les observations suivant les modalités de la
variable

Modalités très de temps tous
variable Z rarement en temps les jours
Eﬀectifs n1 = 6 n2 = 6 n3 = 8
observés


Vocabulaire
Résumé Numérique


Variable continue :
Regroupement suivant des classes
Classes pour X [0 ;20[ [20 ;40[ [40 ;60[ [60 ;90[
Eﬀectifs n1 = 6 n2 = 5 n3 = 5 n4 = 4
Choix des classes subjectif, autre exemple :
Classes pour X [10 ;30[ [30 ;40[ [40 ;50[ [50 ;70[ [70 ;90[
Eﬀectifs n1 = 7 n2 = 4 n3 = 4 n4 = 3 n5 = 2


Vocabulaire
Résumé Numérique

A propos des fréquences . . .
Regrouper les données (slides précédents) : utile pour connaître les
modalités (valeurs) les plus souvent observées, mais :
Le nombre d’observations d’une valeur n’a de sens que si on le
compare au nombre total d’observations :
Dans une entreprise, 10 salariés gagnent plus de 60 ke/an
Si l’entreprise a 50 salariés cela représente 20%
Si l’entreprise a 5000 salariés cela représente 0,2%
C’est la notion de fréquences qui formalise cela ;
Avec n le nombre total d’observations et ni le nombre
d’observations de la i-ème modalité, la fréquence de cette
modalité est
ni
fi =
n

Vocabulaire
Résumé Numérique

Variables qualitatives : Un exemple
On s’intéresse à la variable "état-civil", notée X , pour 20 personnes.

M M D C C M C C C M
C M V M V D C C C M

Le domaine de la variable X est {M, D, C , V } ;
M : marié(e) ;
D : divorcé(e) :
C : célibataire ;
V : veuf(ve) ;
La valeur de X pour le 3ème individu est : x3 = D.

Vocabulaire
Résumé Numérique

Variables qualitatives : Présentation des données
La variable est qualitative nominale et nous regroupons les
observations suivant ses quatre modalités pour une présentation
agrégée :

xi ni fi
C 9 0.45
Avec
M 7 0.35 4
i=1 ni = 20
V 2 0.10 4
i=1 fi = 1
D 2 0.10
20 1


Vocabulaire
Résumé Numérique

Variables qualitatives : Les diagrammes

Figure: Diagramme en barres ; Diagramme en secteurs


Vocabulaire
Résumé Numérique

Variables quantitatives discrètes : Un exemple

On s’intéresse à la variable "nombre de personnes par ménage",
notée Z , pour un quartier composé de 50 ménages.

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
2 2 2 2 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 4
4 4 4 4 4 4 4 4 4 5
5 5 5 5 5 6 6 6 7 7


Vocabulaire
Résumé Numérique

Variables quantitatives discrètes : Présentation des données

xi ni fi
1 5 0.1
2 9 0.18
3 15 0.30
4 10 0.20
5 6 0.12
6 3 0.06
7 2 0.04
Figure: Diagramme en bâtons
50 1


Vocabulaire
Résumé Numérique

Variables quantitatives continues : Un exemple

On s’intéresse à la variable "taille" de 50 élèves d’une classe.

152 152 152 153 153 154 154 154 155 155
156 156 156 156 156 157 157 157 158 158
159 159 160 160 160 160 160 161 161 162
162 162 163 164 164 164 164 165 166 167
168 168 168 169 169 170 171 171 171 171


Vocabulaire
Résumé Numérique

Variables quantitatives continues : les classes
On peut déﬁnir les classes suivantes et obtenir le tableau des
données agrégées :

Classes ni fi
[151,5 ;155,5] [151,5 ;155,5] 10 0.20
[155,5 ;159,5] [155,5 ;159,5] 12 0.24
[159,5 ;163,5] [159,5 ;163,5] 11 0.22
[163,5 ;167,5] [163,5 ;167,5] 7 0.14
[167,5 ;171,5] [167,5 ;171,5] 10 0.2
50 1


Vocabulaire
Résumé Numérique

Variables quantitatives : L’histogramme - 1
Construction de l’histogramme à partir du tableau précédent.
Les observations sur les n individus sont réparties dans k
intervalles de la forme

([ei ; ei+1 ])i=1,...,k

Nous graduons l’axe horizontal à l’échelle des valeurs
(ei )i=1,...,k ;
Pour la hauteur on traduit le fait que l’air de chaque rectangle
correspond à la fréquence de la classe :

fi = (ei+1 − ei ) × di


Vocabulaire
Résumé Numérique

En ordonnée on a donc la "densité" di :

Figure: Histogramme des eﬀectifs

Vocabulaire
Résumé Numérique

Et en agrégeant les deux dernières classes on obtient :

Figure: Histogramme des eﬀectifs avec les 2 dernières classes agrégées

Vocabulaire
Résumé Numérique

Fréquences cumulées
La fréquence cumulée de la ième valeur, notée Fi , donnée par
i
Fi = f1 + . . . + fi = fj
j=1

C’est la proportion des observations inférieures ou égales à la
ième valeur de la variable :

xi ni fi Fi
1 5 0.1 0.1
2 9 0.18 0.28
3 15 0.30 0.58
··· ··· ··· ···

Vocabulaire
Résumé Numérique

Fonction de répartition

Figure: Fonction de répartition pour variable discrète et continue.


Vocabulaire Moments
Représentations graphiques Paramètres de forme
Résumé Numérique Paramètres d’aplatissement

Le mode

Mode = valeur distincte correspondant à l’eﬀectif le plus élevé.
Exemple avec variable "Etat-civil"
xi ni fi
C 9 0.45
M 7 0.35
Ici mode est C : célibataire.
V 2 0.10
D 2 0.10
20 1


Vocabulaire Moments

Le mode - Qqs Remarques

Le mode peut être calculé pour tous les types de variable ;
Le mode n’est pas forcément unique ;
Pour une variable continue découpée en classes, on peut
déﬁnir une classe modale - cf après.


Vocabulaire Moments

La moyenne

La moyenne est définie que sur une variable quantitative ;
Elle est notée x et est définie par :
¯
n
1 x1 + x2 + . . . + xn
x=
¯ xi =
n n
i=1

Elle peut aussi être calculée à partir des effectifs :
J
1
x=
¯ nj xj
n
j=1


Vocabulaire Moments

La moyenne - Exemple
Variable : "Nombre d’enfants par famille"

0+0+1+1+1+2+3+4
0 0 1 1 1 2 3 4 x=
¯ 8 = 1.5
Tableau synthétique
xj nj
0 2
2×0+3×1+1×2+1×3+1×4
1 3 x
¯ = 8
2 1 = 1.5
3 1
4 1

Vocabulaire Moments

La médiane - 1

Médiane = valeur centrale de la série statistique, notée x1/2 .
Obtenue de la manière suivante :
On trie la série statistique par ordre croissant des valeurs
observés.
Ex : {3, 2, 1, 0, 0, 1, 2} devient {0, 0, 1, 1, 2, 2, 3}.
La médiane est la valeur qui se trouve au milieu de la série
ordonée ;
Ici x1/2 = 1.


Vocabulaire Moments

La médiane - 2 - Cas où n est impair

La médiane peut être
déﬁnie comme l’inverse de
la fonction de répartition
pour la valeur 1/2.
x1/2 = F −1 (0.5).

Figure: Médiane quand n impair


Vocabulaire Moments

La médiane - 3 - Cas où n est pair :

2 valeurs se trouvent au
milieu de la série ;
Médiane = moyenne de ces
2 valeurs ;
x1/2 = F −1 (0.5) ;
La fonction de répartition
correspond à un "palier".

Figure: Médiane quand n pair


Vocabulaire Moments

Éléments de comparaison des paramètres de position

Exercice :
On regarde la variable "nombre d’aces réussis" dans les 10
derniers matchs d’un joueur de l’équipe de France ;
Aces 0 1 2 3 ... 11 12 13
Eﬀectifs 4 2 3 0 ... 0 0 1
Mode ? Médiane ? Moyenne ?
Interprétation ? Est-ce un mauvais serveur ?


Vocabulaire Moments


Mode donne la valeur la plus fréquente mais ne tient pas
compte des autres observations ;
Médiane dépend de l’ordre des données mais peu sensible aux
valeurs extrêmes ;
Moyenne manque de robustesse ;
Ex : une fois 13 aces permet d’augmenter facilement la
moyenne alors qu’en réalité il ne sert jamais plus de 2 aces par
match.


Vocabulaire Moments


Suivant la distribution étudiée, les 3 mesures présentent leur propre
intérêt.
Il faut surtout éviter de faire des interprétations abusives et il est
souvent utile de les comparer.


Vocabulaire Moments

Le mode - Variable continue

La classe modale n’est pas la classe de plus grande fréquence
mais la classe de plus grande densité ;
Classe modale = pic sur l’histogramme.


Vocabulaire Moments

La moyenne - Variable continue

Les observations sont réparties dans J intervalles et
J
1
x=
¯ nj cj ,
n
j=1

ej +ej+1
où cj = 2 est le centre de classe.


Vocabulaire Moments

La médiane - Variable continue

Regrouper en "classes" donc on se prive des valeurs mesurées
pour ne garder que des intervalles ;
Hyp : les données sont uniformément réparties dans les
intervalles ;


Vocabulaire Moments

Exemple

Temps en min. [0 ;2 [ [2 ;6 [ ...
Fréquences (%) 40 40 ...

Temps médian ∈ [2; 6[ ;
L’hyp. nous donne :
10 % entre 2 et 3 min ;
10 % entre 3 et 4 min ;
...
Donc le temps médian est de 3 min ;
Sinon interpolation linéaire pour utiliser x1/2 = F −1 (0.5).


Vocabulaire Moments

Interpolation linéaire

Cela consiste à déterminer une équation de droite pour en
déduire la valeur de x1/2 ;
On sait que F (x1/2 ) = 0.5 et que x1/2 ∈ [ek ; ek+1 ] ;

F (ek+1 ) − F (ek )
F (x1/2 ) ≈ F (ek ) + (x1/2 − ek )
ek+1 − ek


Vocabulaire Moments

Quantiles - 1

La notion de quantile d’ordre p (où 0 < p < 1) généralise la
médiane ;

xp = F −1 (p).
La fonction de répartition est discontinue ;
On va présenter une manière de déﬁnir les quantiles.


Vocabulaire Moments

Quantiles - 2

Si np est un nombre entier, alors
1
xp = {xnp + xnp+1 }.
2
Si np n’est pas un nombre entier, alors
1
xp = x[np] ,
2
où [np] représente le plus petit entier supérieur ou égal à np.
Notations : x1/4 = 1er quartile ; x1/2 = médiane ; x3/4 = 3ème
quartile ; . . .


Vocabulaire Moments

Quantiles - 3 - Exemple

Avec la série suivante :
{12, 13, 15, 16, 18, 19, 22, 24, 25, 27, 28, 34} ;
Le 1er quartile nous donne np = 0.25 × 12 = 3 donc entier ;
Et donc
x3 + x4 15 + 16
x1/4 = = = 15.5;
2 2
Avec la série suivante : {12, 13, 15, 16, 18, 19, 22, 24, 25, 27} ;
Le 1er quartile nous donne np = 0.25 × 10 = 2.5 donc pas
entier ;
Et donc
x1/4 = x[2.5] = x3 = 15.


Vocabulaire Moments

L’étendue

L’étendue est simplement la diﬀérence entre la plus grande et
la plus petite valeur ;

E = xn − x1 .


Vocabulaire Moments

La distance interquartile

La distance interquartile est la diﬀérence entre le 3ème et le
1er quartile ;

IQ = x3/4 − x1/4 .


Vocabulaire Moments

Application

X : "Journées d’absence au travail"

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
ni 1 4 4 8 14 7 4 4 2 1 0 1

Donner un résumé numérique de la variable X .


Vocabulaire Moments

La variance
La variance est la somme des carrés des écarts à la moyenne
divisée par le nombre d’observations :
n
1
σ2 = (xi − x )2
¯
n
i=1

Réécriture de la variance
n
1
σ2 = xi2 − x 2 .
¯
n
i=1

Démonstration : exercice.
Mesure pas très parlante.

Vocabulaire Moments

L’écart type

Dispersion autour de la moyenne ;
√
σ= Variance
Cf. Exercices de TD pour interprétation simple d’un point de
vue descriptif.


Vocabulaire Moments

Moments - 1

On appelle moment d’ordre r, r ∈ N, le paramètre
n
1
mr = xir .
n
i=1

On appelle moment centré d’ordre r le paramètre
n
1
mr = (xi − x )r .
¯
n
i=1


Vocabulaire Moments

Moments - 2

Les moments généralisent la plupart des paramètres.
m1 = x,
¯
m1 = 0,
m2 = σ2 + x 2 ,
¯
m2 = σ2 .
Les moments d’ordre 3,4 sont utilisés pour mesurer la symétrie
et l’aplatissement.


Vocabulaire Moments

Skewness

Le skewness peut prendre des valeurs positives, négatives, ou
nulles.
L’asymétrie se mesure avec le coeﬃcient d’asymétrie de Fisher
m3
sk = .
σ3


Vocabulaire Moments

Exemple

Figure: Asymétrie d’une distribution.

Le skewness est positif quand la distribution est allongée à droite,
comme par exemple lorsqu’on regarde les variables "revenus",
"tailles des entreprises", etc.


Vocabulaire Moments

Kurtosis

L’aplatissement est mesuré par le coef. d’aplatissement de
Pearson :
m4
β2 = 4 ,
σ
ou le coef. d’aplatissement de Fisher :

g2 = β2 − 3.


Vocabulaire Moments

Exemple

Figure: Distribution mésokurtique et leptokurtique.

Une courbe leptokurtique (g2 > 0) est plus pointue et possède des
queues de distributions plus longues.


Vocabulaire Moments


Le Stem and leaf diagram est un moyen rapide de présenter
une variable quantitative ;
Par exemple avec la série suivante :
15, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22, 23, 23, 23, 24, 25, 25, 26,
26, 27, 28, 28, 29, 30, 30, 32, 34, 35, 36, 39, 40, 43, 44.
La tige du diagramme sera les dizaines et les feuilles seront les
unités.


Vocabulaire Moments

Stem and leaf diagram

Figure: Diagramme en tiges et feuilles.


Vocabulaire Moments

Box-Plot - Composition

Un rectangle qui s’étend du 1er au 3ème quartile.
Divisé par une ligne correspondant à la médiane.
Rectangle complété par 2 segments de droites.
Calcul des bornes : b − = x0.25 − 1.5IQ et b + = x0.75 + 1.5IQ ;
On identiﬁe ensuite la plus petite et la plus grande observation
comprise entre ces bornes, qu’on appelle "valeurs adjacentes" ;
Les valeurs qui ne sont pas comprises entre les valeurs
adjacentes, sont représentées par des points et sont appelées
"valeurs extrêmes".


Vocabulaire Moments

Box-Plot - Exemple

Figure: Diagramme en boîte, ou box-plot.


Vocabulaire Moments

Box-Plot - Exemple 2

Figure: Diagramme en boîte, ou box-plot.


Vocabulaire Moments

Exercices de ﬁn de partie
On pèse 50 élèves d’une classe et nous obtenons :

43 43 43 47 48 48 48 48 49 49
49 50 50 51 51 52 53 53 53 54
54 56 56 56 57 59 59 59 62 62
63 63 65 65 67 67 68 70 70 70
72 72 73 77 77 81 83 86 92 93

Construisez l’histogramme, la fonction de répartition en adoptant
les classes suivantes :
[40; 45], ]45; 50], ]50; 55], ]55; 60], ]60; 65], ]65; 70], ]70; 80], ]80; 100]

Vocabulaire Moments

Exercices de ﬁn de partie

152 152 152 153 153 154 154 154 155 155
156 156 156 156 156 157 157 157 158 158
159 159 160 160 160 160 160 161 161 162
162 162 163 164 164 164 164 165 166 167
168 168 168 169 169 170 171 171 171 171

Calculez tous les paramètres (position, dispersion, etc.) sans
prendre en compte les classes.


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