Principales distribuciones de probabilidad aplicadas a ingenieria de Mantenimiento

1. Distribuciones de Probabilidad
Aplicaciones a la Ingeniería de
Mantenimiento
Henry Villarroel
(villarroelhenry.J@gmail.com)

2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD


Es la distribución que
mejor modela la tasa de
falla constante o vida
útil de los equipos
Muchos componentes
electrónicos tales como
circuitos, transistores
muestran un
comportamiento de falla
exponencial
Frecuencia relativa (%)
UNIDAD III
DISTRIBUCION EXPONENCIAL
Intervalos de Clase (tiempo)

3. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Modelo matemático
e
f (t ) = λ − λt
R (t ) =
e − λt
Frecuencia relativa (%)
UNIDAD III
DISTRIBUCION EXPONENCIAL
F (t ) = 1 − R(t )
∞
e
1
MTBF = ∫ R (t )dt = ∫ λ − λt dt =
λ
0
0
e
e
f (t ) λ − λt
h(t ) =
=
=λ
− λt
R(t )
Tasa de Falla (%)
∞
Intervalos de Clase (tiempo)
Intervalos de Clase (tiempo)

4. DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
UNIDAD III
DISTRIBUCION EXPONENCIAL
Modelo matemático
e − λt
haciendo
R (t ) =
e
t = MTBF =
1
− λ 
λ =
1
λ
e − 1 = 0.368
Confiabilidad R(t)
R (t ) =
0.368
MTBF
Intervalos de tiempo

5. DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
UNIDAD III
DISTRIBUCION EXPONENCIAL
R (t ) =
e − λt
Ln R(t)
Linealizando la ecuación R(t)
ln R (t ) = −λt
y = bx
Aplicando regresión lineal
b = −λ =
MTBF
n.∑ t i . ln R (t ) − ∑ t .∑ ln R (t )
(
n. ∑ t i
i
2
0.368
) − (∑ t )
i
2
Intervalos de tiempo

6. DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
UNIDAD III
DISTRIBUCION EXPONENCIAL



Procedimiento para la predicción del MTBF y tasa de falla en la
distribución exponencial:
Agrupar los datos y graficar f(t) vs. Tiempo
Ordenar la información de los tiempos de operación en orden
ascendente (de menor a mayor)
Calcular la probabilidad de falla estadística por:
F (t ) =



i
N +1
20 ≤ N ≤ 50
F (t ) =
i − 0.3
N + 0.4
N ≤ 20
F (t ) =
i
N
N ≥ 50
i= numero de orden de observación
N=numero total de observaciones
Calcular la probabilidad de supervivencia R(t)=1-F(t)
Construir la recta de confiabilidad versus tiempos de operación en
papel exponencial
Determinar el MTBF con R(t)=37% aprox. en la grafica

7. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
UNIDAD III
DISTRIBUCION EXPONENCIAL
EJEMPLO DE PATRON DE FALLA
En la tabla siguiente se muestran las horas de operación antes de fallar de un montacargas de la
empresa Otinsa. Se desea estimar el MTBF
Horas antes de fallar
Causa de la falla
11
caucho
19
Carburación
28
Sistema hidráulico
15
Sistema de elevación
5
Sistema de dirección
49
Sistema de dirección
2
Caucho
7
Sistema hidráulico

8. DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
UNIDAD III
DISTRIBUCION EXPONENCIAL
EJEMPLO DE APLICACIÓN DISTRIBUCION EXPONENCIAL (Cont.)
X min = 2
Rango = X max − X min = 49 − 2 = 47
X max = 49
K = 8. = 2.82 ≅ 3
Intervalos (horas)
I=
Se toman 4 intervalos
47
= 11.75 ≅ 12
4
Fr
f (t)
No. De
sobrevivientes
h (t)
- 14
4
0.50
8
0.50
15 - 27
2
0.25
4
0.50
28 - 40
1
0.125
2
0.50
41 - 53
1
0.125
1
1.00
2

9. DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
UNIDAD III
DISTRIBUCION EXPONENCIAL
Grafica de f(t) montacargas
0.6
0.5
0.6
0.5
0.4
0.3
0.25
0.2
0.125
0.1
0.125
0
Tasa de falla (%)
Frecuencia relativa (%)
Grafica de h(t) del Montacargas
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
O2 - 14
15 - 27
28 - 40
Intervalos de Clase
41 - 53
2.0 - 14.0
15.0 - 27.0
Intervalos de Clase
28.0 - 40.0

10. DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
UNIDAD III
DISTRIBUCION EXPONENCIAL
1.
Ordenar en forma ascendente
2.
Calculo de F (t ) =
3.
Calculo de R(t)=1-F(t)
i − 0 .3
N + 0 .4
Ordinal (i)
Tiempo
(horas)
F(t)
R(t)
1
2
0.0833
0.9167
2
5
0.2023
0.7977
3
7
0.3214
0.6786
4
11
0.4404
0.5596
5
15
0.5595
0.4405
6
19
0.6785
0.3215
7
28
0.7976
0.2024
8
49
0.9166
0.0834

11. R(t)=36.8%
MTBF=18 horas

12. DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
UNIDAD III
DISTRIBUCION EXPONENCIAL
Resultados
Método Grafico
MTBF = 18
R (t ) =
e
horas
 t 
− 
 18 
F (t ) = 1 − R (t )

13. DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
Unidad III
DISTRIBUCION NORMAL


En mantenimiento
esta distribución
describe el periodo
de desgaste de los
equipos
También puede ser
utilizada para
modelar los tiempos
de reparación de los
equipos

14. DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
Unidad III
DISTRIBUCION NORMAL


La tasa de falla
aumenta aumenta
sostenidamente porque
los elemento del equipo
sufren un proceso de
deterioro físico
Se define como una
variable aleatoria
continua x que es
normalmente distribuida
con media µx y
varianza σ 2
e
1
f (t ) =
.
σ 2π
∞
R (t ) = 1 − ∫ f (t )dt
0
h(t ) =
−
1  t − µx 
2


σ
2


MTBF = µx
f (t ) φ ( Z )
=
R (t ) σ .R (t )

15. DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
Unidad III
DISTRIBUCION NORMAL
Distribucion normal
estándar


Dado que µx y σ determinan
completamente la
distribución normal,
entonces en la distribución
normal existen familias de
distribuciones normales, una
de mas cuales la mas
importante es la distribución
normal estándar( µx = 0 σ = 1
,
)
La distribución normal se
puede estandarizar con:
 t − µx 
Z =

 σ 
1
1
f(xi)
f( x )
0.5
0
0
8
9
8
xi
10
11
x
Variable Aleatoria
f (t ,0,1) =
F ( z) =
z
∫
−∞
1
σ . 2π
1
σ . 2π
 z2
−
 2

.
e
12
12




 z2 
− 
 2 
  dt
.
e
R( z ) = 1 − F ( z )

16. DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
Unidad III
DISTRIBUCION NORMAL
Ejemplo de aplicación de la distribucion normal

En tabla adjunta que se muestra a continuación se muestran los tiempos de
reparación (datos agrupados) de las tareas de mantenimiento de la planta
eléctrica P-01. La Gerencia de mantenimiento desea estimar para planificación de
la próxima tarea de mantenimiento la probabilidad de reparar la planta eléctrica
entre 4 a 10 horas
Intervalos de Clase
(horas)
Acciones de
mantenimiento
1.1 - 2
5
0.06
2.1 - 4
10
0.18
4.1 - 6
16
0.37
6.1 - 8
22
0.64
8.1 - 10
14
0.81
10.1 . 12
10
0.93
12.1 - 14
5
0.06
14.1 - 16
1
0.01
µ = 6.6 = MTTR
horas
f (t )
σ = 3.14
horas

17. DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
Unidad III
DISTRIBUCION NORMAL
Histograma de Frecuencia Tiempos de Reparacion Planta Electrica
Frecuencia de Clase
25
20
15
10
5
0
1.1 - 2
2.1 - 4
4.1 - 6
6.1 - 8
8.1 - 10
10.1 - 12
Intervalos de Clase (horas)
12.1 - 14
14.1 - 16

18. DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
Unidad III
DISTRIBUCION NORMAL
Resolución del Problema
M (4 ≤ T ≤ 10)
Z1 = (
Estandarizando los tiempos:
M (Z 1 ≤ T ≤ Z 2 ) = ?
Z2 = (
M (−0.83 ≤ T ≤ 1.08) = ?
Z 2 = 1.08
−∞
−∞
Z 2 = 1.08
M (−0.83 ≤ T ≤ 1.08) =
φ (1.08)
M (−0.83 ≤ T ≤ 1.08) =
0.8599
M (4 ≤ T ≤ 10) =
t − µx
10 − 6.61
)=(
) = 1.08
σ
3.14
-
=
Z 1 = −0.83
t − µx)
4 − 6.61
)=(
) = −0.83
σ
3.14
0.6560 (65.66%)
-
Z 1 = −0.83
φ (−0.83)
0.2033

21. DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
UNIDAD III
DISTRIBUCION WEIBULL


Es la distribución de vida
mas ampliamente utilizada
en los análisis para describir
la tasa de falla de los
equipos, por su versatilidad.
Matemáticamente se define:
β −1
e
f (t ) = β  t  .
 
α α 
β
h(t ) = β
α
R(t ) = e
(
− t /α
)β
tβ −1
(
− t /α
)β
β=Pendiente o parámetro de forma
α = Parámetro de escala (edad característica de falla)
h(t)

22. DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
UNIDAD III
DISTRIBUCION WEIBULL
Características:



β<1 tasa de falla decreciente
(Mortalidad infantil)
β =1 tasa de falla constante
(vida útil)
β > 1 tasa de falla creciente
(desgaste)
Casos particulares:
1
MTBF = α .Γ(1 + )
β
β =1
MTBF = α
1
Γ(1 + )
β
β = 0.5
MTBF = 2.α
= Función Gamma

23. DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
UNIDAD III
DISTRIBUCION WEIBULL
METODO GRAFICO PARA DETERMINAR LA DISTRIBUCION DE WEIBULL
R(t ) = e
(
− t /α
)β
F(t)
PAPEL WEIBULL
Haciendo:
β =1
t =α
R (t =α) =
0.6322
e−1 =0.3678
F (t = α ) = 1 − R (t = α ) = 0.6322
t =α
Intervalos de tiempo

24. DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
UNIDAD III
DISTRIBUCION WEIBULL
METODO ANALITICO PARA DETERMINAR LA DISTRIBUCION DE WEIBULL
R(t ) = e− ( t / α )
t
− LnR (t ) =  
α 
β
 1 

1 
n.∑ Lnti .Ln( Ln
 R(t ) ) − ∑ Lnti .∑ Ln Ln R(t ) )






 =b
β=
2
2
n.∑ Lnt − ( ∑ Lnti )
β
  1 
Ln Ln

  R (t )   = β .Lnt − β .Lnα

 
 1 
 1 
∑ Lnt .∑ Ln( Ln R(t ) ) − ∑ Lnt .Ln( Ln R(t ) )







 =a
− β .Lnα =
n.∑ Lnt − ( ∑ Lnt )
2
i
2
2
y = b.x + a
i
Lnα =
Aplicando Regresión Lineal a la ecuación
α=
e
a
−β
 a 

−β 




25. DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
UNIDAD III
DISTRIBUCION WEIBULL



Procedimiento para la predicción edad característica de falla y modo de
falla en la distribución Weibull:
Agrupar los datos y graficar f(t) vs. Tiempo
Ordenar la información de los tiempos de operación en orden
ascendente (de menor a mayor)
Calcular la probabilidad de falla estadística por:
F (t ) =





i
N +1
20 ≤ N ≤ 50
F (t ) =
i − 0. 3
N ≤ 20
N + 0.4
F (t ) =
i
N
N ≥ 50
i = numero de orden de observación
N=numero total de observaciones
Construir la recta de confiabilidad versus tiempos de operación
Determinar la edad característica de falla( α ) con F(t)=62.22% aprox. en
la grafica
Determinar β

26. DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
UNIDAD III
DISTRIBUCION WEIBULL
EJEMPLO DE APLICACIÓN DE LA DISTRIBUCION DE WEIBULL

El gerente de mantenimiento de una planta eléctrica desea conocer el modo de falla y la
edad característica de falla de un motor diesel. Para este propósito disponen de los tiempos
de operación en horas del equipo hasta fallar: 6,23,163,282,215,46,503,92,12,46,20
0 – 100
9
100 – 200
1
200 – 300
2
300 – 400
2
400 – 500
0
500 - 600
1
Histograma de Frecuencia Motor Diesel
Frecuencia de
clase
10
Frecuencia de Clase
Intervalos de
clase (horas)
8
6
4
2
0
0 - 100
100 - 200
200 - 300
300 - 400
Intervalos de Clase (horas)
400 - 500

27. DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
UNIDAD III
DISTRIBUCION WEIBULL
RESOLUCION UTILIZANDO EL METODO GRAFICO
F (t ) =
i − 0.3
N + 0.4
Ordinal
Tiempo
F(t)
1
2
0.0523
2
6
0.1269
3
12
0.2015
4
16
0.2761
5
20
0.3507
6
23
0.4254
7
46
0.500
8
46
0.5746
9
92
0.6492
10
163
0.7239
11
215
0.7985
12
282
0.8731
13
503
0.9478
Graficar la recta de confiabilidad F(t) vs. Tiempo en papel Weibull

28. 62.22 %
α = 85 horas

29. DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
UNIDAD III
DISTRIBUCION WEIBULL
Resultados
Método Grafico
β = 0.6 Mortalidad Infantil
α = 85 horas Edad Característica de Falla
R (t ) =
e
0.6
 t 
− 
 85 
F (t ) = 1 − R (t )
MTBF = α .Γ(1 +
1
) = (85).(1.505) = 127.92 ≅ 128
β
horas

30. DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
UNIDAD III
DISTRIBUCION WEIBULL
Taller de aplicación