Ejemplo de Factor Integrante

1. Ecuaciones Lineales
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑝( 𝑥) 𝑦 = 𝑔(𝑥) - //formula
(Factor integrante)
Ejemplo
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑦 + 3 /x //se divide por x para eliminar la variable
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+
2
𝑥
𝑦 =
3
𝑥
//ecuación 1
F.I = 𝑒∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
//formula factor integrante
= 𝑒∫
2
𝑥
𝑑𝑥
= 𝑒2 ∫
1
𝑥
𝑑𝑥
//se integra la función
= 𝑒2𝑙𝑛𝑥
= 𝑒 𝑙𝑛𝑥2
//por propiedades de los logaritmos queda como 𝑙𝑛𝑥2
F.I = 𝑥2
// y a su vez por propiedades se cancela el e con ln
𝑥2 𝑑𝑦
𝑑𝑥
+
2
𝑥
𝑥2
𝑦 =
3
𝑥
𝑥2
//ecuación 1 multiplicando con el factor integrante
𝑥2 𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑥𝑦 = 3𝑥 //se simplifica la ecuación
𝑑(𝑥2 𝑦)
𝑑𝑥
= 3𝑥 //se tiene la derivada multiplicado por el F.I multiplicado por la variable y
Todo con respecto a dx
𝑑( 𝑥2
𝑦) = 3𝑥𝑑𝑥 //se despeja dx
∫ 𝑑( 𝑥2
𝑦) = 3 ∫ 𝑥𝑑𝑥 //se integra ambos lados
𝑥2
𝑦 = 3
𝑥2
2
+ 𝑐 //integral con su respectiva constante
𝑦 =
3𝑥2
2𝑥2
+
𝑐
𝑥2
//se despeja y
𝑦 =
3
2
+ 𝑐𝑥−2
//se simplica y se sube el 𝑥2
como -2