TEORÍA DE CONJUNTOS

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TEORÍA DE CONJUNTOS

  1. 1. TEORÍA DE CONJUNTOS
  2. 2. Conjuntos – Definiciones Básicas  Conjunto  Elementos de un conjunto  Conjunto vacío  Número cardinal de un conjunto  Conjunto finito e infinito  Conjunto bien definido  Conjuntos iguales  Conjunto Universal  Subconjuntos
  3. 3. Definición como proceso cognitivo La definición de un objeto es la descripción concreta de sus características esenciales”
  4. 4. Premisas  Debe estar claro:  ¿Qué es?  ¿Cuáles son sus características esenciales?
  5. 5. Conjuntos Definiciones Básicas Conjunto Es una colección de elementos que cumplen un criterio establecido Conjunto vacío Es un conjunto que no tiene elementos. Se denota por Φ o { } Número cardinal Número de elementos sin repetición que contiene un conjunto. Se denota como n(A)
  6. 6. Conjuntos Definiciones Básicas Conjunto finito Es aquel cuyo número cardinal se puede expresar con un número natural o el cero (se pueden contar todos los elementos del conjunto) Conjunto infinito Es aquel cuyo número cardinal no se puede expresar con un número natural ni el cero (no se pueden contar todos los elementos del conjunto) Conjunto bien definido Es aquel en el cual es posible decidir si cada elemento pertenece o no al conjunto
  7. 7. Conjuntos Representación  Llaves A = { } A  Diagramas de Venn-Euler
  8. 8. Conjuntos Formas de expresión  Descripción verbal El conjunto de los números impares comprendidos entre 8 y 14  Listado, enumeración o extensión {9,11,13}  Notación de construcción o comprensión {x/x esunnúmeroimpar entre 8 y14}
  9. 9. Conjuntos Formas de expresión  Otro ejemplo:  Descripción verbal El conjunto de los números pares comprendidos entre 5 y 11  Listado, enumeración o extensión {6,8,10}  Notación de construcción (o en forma algebraica) { x/x es un número par entre 5 y 11} { x ∈ N/ x = 2n, n ∈ N, 5 < x < 11}
  10. 10. Conjuntos Definiciones Básicas Conjuntos iguales Los conjuntos A y B son iguales si y sólo si se cumplen las siguientes dos condiciones: “ todo elemento de A es elemento de B y todo elemento de B es elemento de A ”
  11. 11. Conjuntos Definiciones Básicas Conjuntos iguales Ejemplo Dados los conjuntos A y B, determine si son iguales y por qué: A= {3,4,5,2,2,1,6,3,8 } B= {4,5,2,1,6,3,8}
  12. 12. Conjuntos Definiciones Básicas Conjunto Universal (o Conjunto Universo) Es el conjunto que incluye a todos los elementos a los que se hace referencia en un momento dado. Se denota con la letra U U
  13. 13. Conjuntos Definiciones Básicas Conjunto Universal Ejemplos En geometría plana el conjunto universal es el de todos los puntos del plano. En los estudios de población humana el conjunto universal estará formado por todos los seres humanos del mundo. Si A es el conjunto conformado por todas las mujeres del mundo y B por todos los hombres, el conjunto U será todos los seres humanos
  14. 14. Conjuntos Definiciones Básicas Subconjuntos. Se dice que A es un subconjunto de B si todo elemento del conjunto A es también elemento del conjunto B. Esta relación se denomina relación de inclusión y se denota como: A ⊂ B. Esta situación puede representarse mediante un diagrama así: Esta relación también se puede leer: "A está contenido en B", "A es una parte de B". Para expresar que A no está contenido en B, se escribe: A ⊄ B
  15. 15. Sobre los conjuntos y sus definiciones  Complemento de un conjunto: Para cualquier conjunto A dentro del conjunto universal U, el complemento de A, denotado por A´ es el conjunto de elementos en U que no son elementos de A
  16. 16. Diagramas de Venn y Subconjuntos  Universo o conjunto universal (asociado a un problema) U A A’  A’ es el complemento de A  Si unimos A con A’ tenemos el conjunto universal
  17. 17. Sobre los conjuntos y sus definiciones  Intersección de conjuntos: La intersección de los conjuntos A y B, es el conjunto de elementos comunes a A y a B.
  18. 18. Sobre los conjuntos y sus definiciones  Unión entre conjuntos: La unión de los conjuntos A y B, denotada por AUB, es el conjunto formado por todos los elementos de ambos conjuntos.
  19. 19. Sobre los conjuntos y sus definiciones  Diferencia entre conjuntos: La diferencia entre los conjuntos A y B, denotada por A – B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A y no pertenecen al conjunto B.
  20. 20. PROBLEMA  Sean los conjuntos: U= {1,2,3,4,5,6,7,8,9 } A= {1,3, 5, 7 } B= {1,3, 4,6,8 } C= {1,4, 5,6,7,9} Encuentra: 1. A∩B’ 2. C’ 3. A∪B 4. B ∩C 5. U – A 6. A’ 7. A’∪B’
  21. 21. Respuestas B’= {2,5,7,9 } entonces: A∩B’ = {5, 7} C’ = {2,3,8} A∪B = {1, 3,4,5,6,7,8 } B ∩C = {1, 4, 6} U – A = A’= {2, 4, 6, 8, 9 } A’∪B’ = {2, 4,5,6,7,8,9 }
  22. 22. Operaciones entre conjuntos Sean A y B dos conjuntos, con U como conjunto universal: El complemento de A: A' = { x/x ∈ U y x ∉ A} La intersección de A y B: ∩ B = A { x/x ∈ A y x ∈ B} A ∪ B = { x/x ∈ A o x ∈ B} La unión de A y B: A − B = { x/x ∈ A y x ∉ B} La diferencia de A y B: A × B = {(x, y)/x ∈ A y y ∈ B} El producto cartesiano de A y B:
  23. 23. TIPS NO olvidarás:  Intersección……… ”y”  Unión…………….. ”o”  Complemento…… ”no”
  24. 24. Ejercicios Dado el conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Defina por extensión los siguientes conjuntos:  Intersección de A con el conjunto de los “números naturales pares menores que 10”  Intersección de A con el conjunto de los “números naturales impares menores que 11”  Los complementos de los dos primeros

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