Presentación sobre probabilidad para la asignatura Matemáticas de las Ciencias Sociales del Bachillerato

1. Probabilidad
Matemáticas de las CC. SS.

2. Teoría de conjuntos

3. Teoría de conjuntos. Definición.
Un conjunto es cualquier colección de objetos:
V={a,e,i,u,o}
D={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A={Cádiz, Huelva, Sevilla, Córdoba, Málaga, Granada, Jaén, Almería}
Los conjuntos se nombran mediante un letra
maýuscula (V,D,A) y a los elementos entre
llaves ({}) y separados por comas. Es la
definición del conjunto por extensión.

4. Teoría de conjuntos. Definición.
Un conjunto es cualquier colección de objetos:
V={Las letras vocales}
D={Los dígitos}
A={Las provincias andaluzas}
También se pueden definir mediante un
atributo que represente a todos los elementos
y sólo a éllos. Es la definición del conjunto por
comprensión.

5. Teoría de conjuntos. Representación
Los conjuntos se representan mediante los
diagramas de Venn.
V
u
a
e
i
o
D
6
0
2
4
8
1
5
3
9
7
CádizSevilla
Córdoba
Huelva
Málaga
JaénAlmería
Granada
A

6. Pertenencia
Cuando un elemento está contenido en un
conjunto diremos que pertenece a ese conjunto
y usaremos el signo: ∈
Si no pertenece usaremos el signo: ∉
V={a, e, i, o, u} o ∈ V
y ∉ V

7. Subconjuntos
Un conjunto A es subconjunto de un conjunto
B, si todos los elementos de A pertenecen a B.
V={a,e,i,o,u}
F={a,e,o}
R={i,u,y}
Cualquier conjunto será subconjunto de sí
mismo, también puede representarse por F⊆V.
V
u
a
e
i
o
FF⊂V
F⊄V

8. Conjunto vacío y Cardinalidad
Conjunto vacío es aquel que no contiene
ningún elemento y se representa por: ∅.
La cardinalidad de un conjunto es el número
de elementos que contiene un conjunto.
A={a,b,c,d,e,f} Card(A)=6;
Card(∅)=0;

9. Unión de conjuntos (A⋃B)
El conjunto unión de dos conjuntos es aquel que
contiene todos los elementos de los dos
conjuntos (comunes y no comunes).
A={a,b,c,d,e,f}
B={e,f,g,h,i}
A={a,b,c,d,e,f}
C={k,l}
A⋃B={a,b,c,d,e,f,g,h,i}
A⋃C={a,b,c,d,e,f,k,l}

10. Unión de conjuntos (A⋃B)
El conjunto unión de dos conjuntos es aquel que contiene
todos los elementos de los dos conjuntos.
A B
e
f
a
b
c
d
g
h
d
A⋃B
e
f
a
b
c
d
g
h
d
A B
e
f
a
b
c
d
k
j
A⋃B
e
f
a
b
c
d
k
j
A⋃B e
f
a
b
c
d
g
h
d
A⋃B
e
f
a
b
c
d
k
j

11. Intersección de conjuntos (A⋂B)
El conjunto intersección de dos conjuntos es
aquel que contiene sólo los elementos comunes
de los dos conjuntos.
A={a,b,c,d,e,f}
B={e,f,g,h,i}
A={a,b,c,d,e,f}
C={k,l}
A⋂B={e,f}
A⋂C=∅

12. Intersección de conjuntos (A⋂B)
El conjunto intersección de dos conjuntos es aquel que
contiene sólo los elementos comunes de los dos conjuntos.
A⋂B
A⋂B e
f
A B
e
f
a
b
c
d
g
h
d
A B
e
f
a
b
c
d
k
j
A⋂B e
f
A⋂B

13. Diferencia de conjuntos (A-B)
El conjunto diferencia de dos conjuntos es aquel
que contiene los elementos del primer conjunto
que no están en el segundo.
A={a,b,c,d,e,f}
B={e,f,g,h,i}
A-B={a,b,c,d}
A Be
f
a
b
c
d
g
h
i
A-B a
b
c
d
A-B a
b c
d

14. Diferencia simétrica de conjuntos (A∆B)
El conjunto diferencia simétrica de dos
conjuntos es aquel que contiene los elementos no
comunes de los dos conjuntos.
A={a,b,c,d,e,f}
B={e,f,g,h,i}
A∆B={a,b,c,d,g,h,i}
A Be
f
a
b
c
d
g
h
i
A∆B a
b
c
d
A∆B a
b c
d
g
h
i
g
h
i

15. Conjunto complementario
Si seleccionamos un subconjunto A un conjunto
E, el complementario de A es otro subconjunto
de E que contiene todos los elementos que no
pertenecen a A. Se denomina A o Ac.
E={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A={0,1,2,3}
A=Ac={4,5,6,7,8,9}
E 1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
A A=Ac

16. Conjunto complementario. Propiedades.
E={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A={0,1,2,3}
A=Ac={4,5,6,7,8,9}
● Unión:
A⋃Ac=A⋃A=E
● Intersección
A⋂Ac=A⋂A=∅
● Diferencia
E-A=Ac=A
E-Ac=E-A=A
E 1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
A A=Ac

17. Probabilidad
Generalidades

18. Generalidades de Probabilidad
● Probabilidad. Es la técnica de cálculo de la frecuencia de
un suceso determinado en un experimento aleatorio,
conocidos todos todos los resultados posibles y en
condiciones estables.
● Experimento aleatorio. Es aquel que tiene
diferentes resultados posibles pero que no se
pueden predecir y debe ser posible repetirlo en
condiciones idénticas tantas veces como sea
necesario.

19. Espacio muestral y sucesos
● Espacio muestral (Ω o E) es el conjunto de
todos los resultados individuales posibles de
un experimento aleatorio.
● Suceso (A, B, C…) es cualquier subconjunto
del espacio muestral.

20. Sucesos
● Suceso elemental es formado por un único
elemento del espacio muestral. A={k}
● Suceso seguro es el que contiene todos los
elementos del espacio muestral. Ω=E
● Suceso imposible es el que no contiene
ningún elemento. ∅
Los sucesos seguro e imposible son complementarios

21. Regla de Laplace
La probabilidad de un suceso A en
experimentos aleatorios equiprobables es el
cociente entre la cardinalidad del suceso A y la
del espacio muestral.
Card(A)
P(A)=
Card(Ω)
Cardinalidad es el número
de elementos que tiene un
conjunto o suceso.

22. Un espacio muestral es equiprobable si la
probabilidad de todos sus elementos (sucesos
elementales) es la misma.
Podemos aplicar la regla de Laplace:
Sacar verde: V={ } P(V)=½
Sacar azul: A={ } P(A)= ½
Espacio muestral equiprobable
Ω={ , }

23. La probabilidad de todos los elementos
(sucesos elementales) no es
la misma.
No podemos aplicar la regla de Laplace:
Sacar verde: V={ } P(V)≠½
Sacar azul: A={ } P(A)≠ ½
Espacio muestral no equiprobable
Ω={ , }

24. Otra perspectiva

25. Ω={ , , , , , }
Espacio muestral equiprobable
Podemos aplicar la regla de Laplace:
Sacar verde: V={ , , } P(V)=3/6=½
Sacar azul: A={ , , } P(A)=3/6= ½
Ω={ , }

26. Ω={ , , , , , , }
Espacio muestral no equiprobable
Ahora podemos aplicar la regla de Laplace:
Sacar verde: V={ , , , , } P(V)=5/7
Sacar azul: A={ , } P(A)=2/7
Ω={ , }

27. Probabilidad
Compatibilidad e Incompatibilidad

28. Son sucesos que se pueden dar de forma
simultánea en un mismo experimento
aleatorio.
Ejemplo: Lanzar un dado
Sacar par: P={2, 4, 6}
Sacar múltiplo de 3: T={3,6}
P⋂C={6} Compatibles
Sucesos compatibles
36
2
4
P T

29. Son sucesos que no se pueden dar de forma
simultánea en un mismo experimento aleatorio.
Ejemplo: Lanzar un dado
Sacar par: P={2, 4, 6}
Sacar múltiplo de 5: C={5}
P⋂C=∅ Incompatibles
Sucesos incompatibles
56
2
4
P C

30. Unión de sucesos compatibles
P(A⋃B)=P(A)+P(B)-P(A⋂B)
A⋂BBA⋃B A

31. Unión de sucesos incompatibles
P(A⋃B)=P(A)+P(B)-P(A⋂B)=P(A)+P(B)
A⋂B=∅
Card(∅)=0
P(A⋂B)=P(∅)=0
BA⋃B A

32. Probabilidad
Suceso complementario

33. Suceso complementario
El suceso complementario de un suceso A, que
denominaremos A o Ac es el que contiene
todos los elementos del espacio muestral que
no pertenecen a A.
Ω = E = {A, B, C, D, E, F, G, H}
A = {A, B, C}
A = Ac = Ω - A = {D, E, F, G, H}
_
_

34. Suceso complementario
El suceso complementario de un suceso A, que
denominaremos A o Ac es el que contiene
todos los elementos del espacio muestral que
no pertenecen a A.
_
Ω A Ω
A
_

35. Suceso complementario
Cumple: AUAc = Ω y A⋂Ac = ∅
Son incompatibles: P(AUAc) = P(A) + P(Ac)
El espacio muestral: P(Ω) = 1
Es decir: P(A) + P(Ac) = 1
Ω A
A
_

36. Probabilidad
Otras operaciones y propiedades

37. Diferencia de sucesos
El suceso diferencia A-B es el suceso que
contiene todos los elementos de A que no
están en B.
No es una operación conmutativa.
A B A-B

38. Propiedades de las operaciones
Unión Intersección
Conmutativa A⋃B = B⋃A A⋂B = B⋂A
Asociativa A⋃(B⋃C) = (A⋃)B⋃C A⋂(B⋂C) = (A⋂B)⋂C
Idempotente A⋃A = A A⋂A = A
Simplificación A⋃(B⋂A) = A A⋂(B⋃A) = A
Distributiva A⋃(B⋂C) = (A⋃B)⋂(A⋃C) A⋂(B⋃C) =( A⋂B)⋃(A⋂C)
Elemento Neutro ∅⋃A = A⋃∅ = A Ω⋂A = A⋂Ω = A
Absorción Ω⋃A = A⋃Ω = Ω ∅⋂A = A⋂∅ = ∅
Leyes de Morgan A⋃B = A⋂B A⋂B = A⋃B

39. Probabilidad
Sucesos compatibles
Diagramas de Venn y Tablas de contingencia

40. De los 190 alumnos de un centro escolar 100 juegan al fútbol, 50 al
baloncesto y 10 a los dos deportes. Representa los datos mediante
diagramas de Venn.
● Los 10 alumnos que juegan a los dos deportes ya están contados en
los 100 que juegan al fútbol y en los 50 que juegan al baloncesto.
● Abordaremos estos ejercicios siempre colocando los elementos
desde la intersección hacia el exterior. Esto facilitará el cálculo del
resto de los elementos.
Sucesos compatibles

41. De los 190 alumnos de un centro escolar 100 juegan al fútbol, 50 al
baloncesto y 10 a los dos deportes. Representa los datos mediante
diagramas de Venn.
F
B
Sucesos compatibles

42. De los 190 alumnos de un centro escolar 100 juegan al fútbol, 50 al
baloncesto y 10 a los dos deportes. Representa los datos mediante
diagramas de Venn.
F
B
10
Sucesos compatibles

43. De los 190 alumnos de un centro escolar 100 juegan al fútbol, 50 al
baloncesto y 10 a los dos deportes. Representa los datos mediante
diagramas de Venn.
F
B
1090
Sucesos compatibles

44. De los 190 alumnos de un centro escolar 100 juegan al fútbol, 50 al
baloncesto y 10 a los dos deportes. Representa los datos mediante
diagramas de Venn.
F
B
10 4090
Sucesos compatibles

45. De los 190 alumnos de un centro escolar 100 juegan al fútbol, 50 al
baloncesto y 10 a los dos deportes. Representa los datos mediante
diagramas de Venn.
F
B
10 4090
Sucesos compatibles

46. Ω
F
B
10 4090
De los 190 alumnos de un centro escolar 100 juegan al fútbol, 50 al
baloncesto y 10 a los dos deportes. Representa los datos mediante
diagramas de Venn.
Sucesos compatibles

47. Ω
De los 190 alumnos de un centro escolar 100 juegan al fútbol, 50 al
baloncesto y 10 a los dos deportes. Representa los datos mediante
diagramas de Venn.
F
B
10 4090
50
Sucesos compatibles

48. Ω
De los 190 alumnos de un centro escolar 100 juegan al fútbol, 50 al
baloncesto y 10 a los dos deportes. Representa los datos mediante
diagramas de Venn.
F
B
10 4090
50
Sucesos compatibles

49. De los 190 alumnos de un centro escolar 100 juegan al fútbol, 50 al
baloncesto y 10 a los dos deportes. Representa los datos mediante una
tabla de doble entrada.
● Los 10 alumnos que juegan a los dos deportes ya están contados en
los 100 que juegan al fútbol y en los 50 que juegan al baloncesto.
● Las coincidencias de filas y columnas corresponden a la intersección
de esos elementos.
● En los márgenes laterales situaremos los totales.
● La casilla inferior derecha contiene la cardinalidad del espacio
muestral.
Sucesos compatibles

50. De los 190 alumnos de un centro escolar 100 juegan al fútbol, 50 al
baloncesto y 10 a los dos deportes. Representa los datos mediante una
tabla de doble entrada.
B Bc Total
F
Fc
Total
Sucesos compatibles

51. De los 190 alumnos de un centro escolar 100 juegan al fútbol, 50 al
baloncesto y 10 a los dos deportes. Representa los datos mediante una
tabla de doble entrada.
B Bc Total
F
Fc
Total 190
Sucesos compatibles

52. De los 190 alumnos de un centro escolar 100 juegan al fútbol, 50 al
baloncesto y 10 a los dos deportes. Representa los datos mediante una
tabla de doble entrada.
B Bc Total
F 10
Fc
Total 190
Sucesos compatibles

53. De los 190 alumnos de un centro escolar 100 juegan al fútbol, 50 al
baloncesto y 10 a los dos deportes. Representa los datos mediante una
tabla de doble entrada.
B Bc Total
F 10 100
Fc
Total 190
Sucesos compatibles

54. De los 190 alumnos de un centro escolar 100 juegan al fútbol, 50 al
baloncesto y 10 a los dos deportes. Representa los datos mediante una
tabla de doble entrada.
B Bc Total
F 10 100
Fc
Total 50 190
Sucesos compatibles

55. De los 190 alumnos de un centro escolar 100 juegan al fútbol, 50 al
baloncesto y 10 a los dos deportes. Representa los datos mediante una
tabla de doble entrada.
B Bc Total
F 10 100
Fc 90
Total 50 190
+
Sucesos compatibles

56. De los 190 alumnos de un centro escolar 100 juegan al fútbol, 50 al
baloncesto y 10 a los dos deportes. Representa los datos mediante una
tabla de doble entrada.
B Bc Total
F 10 100
Fc 90
Total 50 140 190+
Sucesos compatibles

57. De los 190 alumnos de un centro escolar 100 juegan al fútbol, 50 al
baloncesto y 10 a los dos deportes. Representa los datos mediante una
tabla de doble entrada.
B Bc Total
F 10 90 100
Fc 90
Total 50 140 190
+
Sucesos compatibles

58. De los 190 alumnos de un centro escolar 100 juegan al fútbol, 50 al
baloncesto y 10 a los dos deportes. Representa los datos mediante una
tabla de doble entrada.
B Bc Total
F 10 90 100
Fc 40 90
Total 50 140 190
+
Sucesos compatibles

59. De los 190 alumnos de un centro escolar 100 juegan al fútbol, 50 al
baloncesto y 10 a los dos deportes. Representa los datos mediante una
tabla de doble entrada.
B Bc Total
F 10 90 100
Fc 40 50 90
Total 50 140 190
+
Sucesos compatibles

60. De los 190 alumnos de un centro escolar 100 juegan al fútbol, 50 al
baloncesto y 10 a los dos deportes. Representa los datos mediante una
tabla de doble entrada.
B Bc Total
F 10 90 100
Fc 40 50 90
Total 50 140 190
Sucesos compatibles

61. Sucesos compatibles
En una convención en la que participan 600 personas, 200 hablan español, 300
hablan inglés, y 180 hablan francés. 100 hablan español e ingles, 150 hablan
inglés y francés, 80 hablan español y francés y 50 las tres lenguas. Representa
los datos mediante diagramas de Venn.

62. E
I
F
Sucesos compatibles
En una convención en la que participan 600 personas, 200 hablan español, 300
hablan inglés, y 180 hablan francés. 100 hablan español e ingles, 150 hablan
inglés y francés, 80 hablan español y francés y 50 las tres lenguas. Representa
los datos mediante diagramas de Venn.

63. E
I
F
50
Sucesos compatibles
En una convención en la que participan 600 personas, 200 hablan español, 300
hablan inglés, y 180 hablan francés. 100 hablan español e ingles, 150 hablan
inglés y francés, 80 hablan español y francés y 50 las tres lenguas. Representa
los datos mediante diagramas de Venn.

64. E
I
F
50
50
Sucesos compatibles
En una convención en la que participan 600 personas, 200 hablan español, 300
hablan inglés, y 180 hablan francés. 100 hablan español e ingles, 150 hablan
inglés y francés, 80 hablan español y francés y 50 las tres lenguas. Representa
los datos mediante diagramas de Venn.

65. E
I
F
50
100
50
Sucesos compatibles
En una convención en la que participan 600 personas, 200 hablan español, 300
hablan inglés, y 180 hablan francés. 100 hablan español e ingles, 150 hablan
inglés y francés, 80 hablan español y francés y 50 las tres lenguas. Representa
los datos mediante diagramas de Venn.

66. E
I
F
50
30 100
50
Sucesos compatibles
En una convención en la que participan 600 personas, 200 hablan español, 300
hablan inglés, y 180 hablan francés. 100 hablan español e ingles, 150 hablan
inglés y francés, 80 hablan español y francés y 50 las tres lenguas. Representa
los datos mediante diagramas de Venn.

67. E
I
F
50
30 100
50
70
Sucesos compatibles
En una convención en la que participan 600 personas, 200 hablan español, 300
hablan inglés, y 180 hablan francés. 100 hablan español e ingles, 150 hablan
inglés y francés, 80 hablan español y francés y 50 las tres lenguas. Representa
los datos mediante diagramas de Venn.

68. E
I
F
50
30 100
50
10070
Sucesos compatibles
En una convención en la que participan 600 personas, 200 hablan español, 300
hablan inglés, y 180 hablan francés. 100 hablan español e ingles, 150 hablan
inglés y francés, 80 hablan español y francés y 50 las tres lenguas. Representa
los datos mediante diagramas de Venn.

69. E
I
F
50
30 100
50
10070
Sucesos compatibles
En una convención en la que participan 600 personas, 200 hablan español, 300
hablan inglés, y 180 hablan francés. 100 hablan español e ingles, 150 hablan
inglés y francés, 80 hablan español y francés y 50 las tres lenguas. Representa
los datos mediante diagramas de Venn.

70. E
I
F
50
30 100
50
10070
Sucesos compatibles
En una convención en la que participan 600 personas, 200 hablan español, 300
hablan inglés, y 180 hablan francés. 100 hablan español e ingles, 150 hablan
inglés y francés, 80 hablan español y francés y 50 las tres lenguas. Representa
los datos mediante diagramas de Venn.

71. Ω E
I
F
50
30 100
50
10070
Sucesos compatibles
En una convención en la que participan 600 personas, 200 hablan español, 300
hablan inglés, y 180 hablan francés. 100 hablan español e ingles, 150 hablan
inglés y francés, 80 hablan español y francés y 50 las tres lenguas. Representa
los datos mediante diagramas de Venn.

72. Ω E
I
F
50
30 100
50
10070
200
Sucesos compatibles
En una convención en la que participan 600 personas, 200 hablan español, 300
hablan inglés, y 180 hablan francés. 100 hablan español e ingles, 150 hablan
inglés y francés, 80 hablan español y francés y 50 las tres lenguas. Representa
los datos mediante diagramas de Venn.

73. Ω E
I
F
50
30 100
50
10070
200
Sucesos compatibles
En una convención en la que participan 600 personas, 200 hablan español, 300
hablan inglés, y 180 hablan francés. 100 hablan español e ingles, 150 hablan
inglés y francés, 80 hablan español y francés y 50 las tres lenguas. Representa
los datos mediante diagramas de Venn.

74. Probabilidad
Sucesos independientes y dependientes

75. Experimentos consecutivos
Independientes: No dependen de lo ocurrido
en el experimento anterior.
Ejemplos:
● Lanzar monedas.
● Lanzar datos
● Jugar a la ruleta
● Sacar cartas con devolución.
● Sacar bolas de una bolsa con devolución.

76. Experimentos consecutivos
Dependientes: Dependen de lo ocurrido en el
experimento anterior.
Ejemplos:
● Sacar cartas sin devolución.
● Sacar bolas de una bolsa sin devolución.

77. Experimentos consecutivos
● Probabilidad de que se produzca primero
el suceso A y después el suceso B:
P(A⋂B)=P(A)·P(BA)
● Si son independientes P(BA)=P(B):
P(A⋂B)=P(A)·P(B)

78. Experimentos consecutivos
● Generalizando con 3 o más sucesos:
P(A⋂B⋂C...)=P(A)·P(BA)·P(CA⋂B)·…
● Si son independientes P(BA)=P(B) y
P(CA⋂B)=P(C)
P(A⋂B)=P(A)·P(B)·P(C)

79. Probabilidad
Ejemplos de experimentos consecutivos

80. Experimentos consecutivos (Ejemplo 1)
En 2 lanzamientos sacar 2 veces seguidas
un 5:
P(C1⋂C2)=P(C1)·P(C2C1)
Al ser independientes P(C2C1)=P(C2):
P(C1⋂C2)=P(C1)·P(C2)
Solución:
P(C1⋂C2)=⅙·⅙=1/36

81. Experimentos consecutivos (Ejemplo 2)
En 2 lanzamientos sacar primero un 2 y
segundo un 6:
P(D⋂S)=P(D)·P(SD)
Al ser independientes P(SD)=P(S):
P(D⋂S)=P(D)·P(S)
Solución:
P(D⋂S)=⅙·⅙=1/36

82. Experimentos consecutivos (Ejemplo 3)
En 2 lanzamientos sacar un 2 y un 6:
P[(D1⋂S2)⋃(S1⋂D2)]=P(D1⋂S2)+P(S1⋂D2)
Hay dos opciones, sacar primero un 2 y
después un 6 y viceversa.
Estas dos opciones son incompatibles entre sí,
por tanto la probabilidad total será la suma de
las probabilidades de las dos opciones. Esto va
a ser una constante en este tipo de ejercicios.

83. Experimentos consecutivos (Ejemplo 3)
En 2 lanzamientos sacar un 2 y un 6:
P[(D1⋂S2)⋃(S1⋂D2)]=P(D1⋂S2)+P(S1⋂D2)
Por separado (independientes):
P(D1⋂S2)=P(D1)·P(S2D1)=P(D1)·P(S2)=1/36
P(S1⋂D2)=P(S1)·P(D2S1)=P(S1)·P(D2)=1/36
Solución:
P[(D1⋂S2)⋃(S1⋂D2)]=1/36+1/36=1/18

84. Experimentos consecutivos (Ejemplo 4)
En 3 lanzamientos sacar 3 cruces:
P(x1⋂x2⋂x3)=P(x1)·P(x2x1)·P(x3x1⋂x2)
Al ser independientes:
P(x1⋂x2⋂x3)=P(x1)·P(x2)·P(x3)
Solución:
P(x1⋂x2⋂x3)=½·½·½=⅛

85. Experimentos consecutivos (Ejemplo 5)
En 3 lanzamientos sacar 2 cruces:
P[(x1⋂x2⋂c3)⋃(x1⋂c2⋂x3)⋃(c1⋂x2⋂x3)]=
P(x1⋂x2⋂c3)+P(x1⋂c2⋂x3)+P(c1⋂x2⋂c3)
Por separado (independientes):
P(x1⋂x2⋂c3)=P(x1)·P(x2)·P(c3)=½·½·½=⅛
P(x1⋂c2⋂x3)=P(x1)·P(c2)·P(x3)=½·½·½=⅛
P(c1⋂x2⋂x3)=P(c1)·P(x2)·P(c3)=½·½·½=⅛

86. Experimentos consecutivos (Ejemplo 5)
En 3 lanzamientos sacar 2 cruces:
Solución:
P[(x1⋂x2⋂c3)⋃(x1⋂c2⋂x3)⋃(c1⋂x2⋂x3)]=
=⅛ + ⅛ + ⅛ = 3/8

87. Experimentos consecutivos (Ejemplo 6)
Extraer 2 figuras seguidas en 2 extracciones
devolviendo las cartas a la baraja:
P(F1⋂F2)=P(F1)·P(F2F1)
Al ser independientes P(F2F1)=P(F2):
P(F1⋂F2)=P(F1)·P(F2)
Solución:
P(F1⋂F2)=12/40·12/40=3/10·3/10=9/100

88. Experimentos consecutivos (Ejemplo 7)
Extraer 2 figuras seguidas en 2 extracciones
sin devolver las cartas a la baraja:
P(F1⋂F2)=P(F1)·P(F2F1)
Son sucesos dependientes.
Solución:
P(F1⋂F2)=12/40·11/39=3/10·11/39=
33/390=11/130

89. Experimentos consecutivos (Ejemplo 8)
Extraer 2 figuras seguidas en 3 extracciones
devolviendo las cartas a la baraja:
P[(F1⋂F2⋂N3)⋃(F1⋂N2⋂F3)⋃(N1⋂F2⋂F3)]=
=P(F1⋂F2⋂N3)+P(F1⋂N2⋂F3)+P(N1⋂F2⋂F3)
Por separado (independientes):
P(F1⋂F2⋂N3)=P(F1)·P(F2)·P(N3)=
=12/40·12/40·28/40=3/10·3/10·7/10=63/1000

90. Experimentos consecutivos (Ejemplo 8)
P(F1⋂N2⋂F3)=P(F1)·P(N2)·P(F3)=
=12/40·28/40·12/40=3/10·7/10·3/10=63/1000
P(N1⋂F2⋂F3)=P(N1)·P(F2)·P(F3)=
=28/40·12/40·12/40=7/10·3/10·3/10=63/1000
Solución:
P[(F1⋂F2⋂N3)⋃(F1⋂N2⋂F3)⋃(N1⋂F2⋂F3)]=
=63/1000+63/1000+63/1000=189/1000
Hay que recordar que son incompatibles.

91. Experimentos consecutivos (Ejemplo 9)
Extraer 2 figuras seguidas en 3 extracciones
sin devolver las cartas a la baraja:
P[(F1⋂F2⋂N3)⋃(F1⋂N2⋂F3)⋃(N1⋂F2⋂F3)]=
P(F1⋂F2⋂N3)+P(F1⋂N2⋂F3)+P(N1⋂F2⋂F3)
Por separado (dependientes):
P(F1⋂F2⋂N3)=P(F1)·P(F2F1)·P(N3F1⋂F2)=
=12/40·11/39·28/38=3/10·11/39·14/19=
=462/7410=231/3705

92. Experimentos consecutivos (Ejemplo 9)
P(F1⋂N2⋂F3)=P(F1)·P(N2F1)·P(F3F1⋂N2)=
=12/40·28/39·11/38=231/3705
P(N1⋂F2⋂F3)=P(N1)·P(F2N1)·P(F3N1⋂F2)=
=28/40·12/39·11/38=231/3705
Solución:
P[(F1⋂F2⋂N3)⋃(F1⋂N2⋂F3)⋃(N1⋂F2⋂F3)]=
=231/3705+231/3705+231/3705=693/3705=
=231/1235 (Incompatibles)

93. Experimentos consecutivos (Ejemplo 10)
Extraer 2 bolas azules devolviendo las bolas a
la bolsa.
P(A1⋂A2)=P(A1)·P(A2A1)
Al ser independientes P(A2A1)=P(A2):
P(A1⋂A2)=P(A1)·P(A2)
Solución:
P(A1⋂A2)=7/10·7/10=49/100

94. Experimentos consecutivos (Ejemplo 11)
Extraer 2 bolas azules sin devolver las bolas a
la bolsa.
P(A1⋂A2)=P(A1)·P(A2A1)
Son dependientes
Solución:
P(A1⋂A2)=7/10·6/10=7/10·3/5=21/50

95. Experimentos consecutivos (Ejemplo 12)
Extraer 2 bolas iguales devolviendo las bolas
a la bolsa.
P[(A1⋂A2)U(V1⋂V2)]=P(A1⋂A2)+P(V1⋂V2)
Por separado (independientes):
P(A1⋂A2)=P(A1)·P(A2)=7/10·7/10=49/100
P(V1⋂V2)=P(V1)·P(V2)=3/10·3/10=9/100
Solución:
P[(A1⋂A2)U(V1⋂V2)]=49/100+9/100=29/50

96. Experimentos consecutivos (Ejemplo 13)
Extraer 2 bolas iguales sin devolver las bolas
a la bolsa.
P[(A1⋂A2)U(V1⋂V2)]=P(A1⋂A2)+P(V1⋂V2)
Por separado (dependientes):
P(A1⋂A2)=P(A1)·P(A2A1)=7/10·6/9=7/15
P(V1⋂V2)=P(V1)·P(V2V1)=3/10·2/9=1/15
Solución:
P[(A1⋂A2)U(V1⋂V2)]=7/15+1/15=8/15

97. Experimentos consecutivos (Ejemplo 14)
Extraer 2 bolas iguales sin devolver las bolas
a la bolsa.
P[(A1⋂A2)U(V1⋂V2)]=P(A1⋂A2)+P(V1⋂V2)
Por separado (dependientes):
P(A1⋂A2)=P(A1)·P(A2A1)=7/10·6/9=7/15
P(V1⋂V2)=P(V1)·P(V2V1)=3/10·2/9=1/15
Solución:
P[(A1⋂A2)U(V1⋂V2)]=7/15+1/15=8/15

98. Experimentos consecutivos (Ejemplo 15)
En 3 lanzamientos sacar al menos 1 cara.
Es más fácil por el cálculo del suceso
complementario, no sacar ninguna cara y al
ser independientes:
P(x1⋂x2⋂x3)=P(x1)·P(x2)·P(x3)=⅓·⅓·⅓=1/27
Solución
P(x1⋂x2⋂x3)=1-P(x1⋂x2⋂x3)=1-1/27=26/27

99. Probabilidad
Árboles de probabilidad de sucesos
independientes

100. Árbol de probabilidad
Lanzamos una moneda dos veces consecutivas:
P(C)=1/2
P(X)=1/2
P(C⋂C)=P(C)·P(C)=1/2·1/2=1/4
P(X⋂X)=P(X)·P(X)=1/2·1/2=1/4
P(C⋂X)=P(C)·P(X)=1/2·1/2=1/4
P(X⋂C)=P(X)·P(C)=1/2·1/2=1/4

101. Árbol de probabilidad
Lanzamos una moneda dos veces consecutivas:
P(C)=1/2
P(X)=1/2
P(C⋂C)=P(C)·P(C)=1/2·1/2=1/4
P(X⋂X)=P(X)·P(X)=1/2·1/2=1/4
P(C⋂X)=P(C)·P(X)=1/2·1/2=1/4
P(X⋂C)=P(X)·P(C)=1/2·1/2=1/4
La suma de
probabilidades es 1

102. Árbol de probabilidad
Lanzamos una moneda dos veces consecutivas:
P(C)=1/2
P(X)=1/2
P(C⋂C)=P(C)·P(C)=1/2·1/2=1/4
P(X⋂X)=P(X)·P(X)=1/2·1/2=1/4
P(C⋂X)=P(C)·P(X)=1/2·1/2=1/4
P(X⋂C)=P(X)·P(C)=1/2·1/2=1/4
La suma de
probabilidades es 1

103. Árbol de probabilidad
Lanzamos una moneda dos veces consecutivas:
P(C)=1/2
P(X)=1/2
P(C⋂C)=P(C)·P(C)=1/2·1/2=1/4
P(X⋂X)=P(X)·P(X)=1/2·1/2=1/4
P(C⋂X)=P(C)·P(X)=1/2·1/2=1/4
P(X⋂C)=P(X)·P(C)=1/2·1/2=1/4La suma de
probabilidades es 1

104. Árbol de probabilidad
P(C)=1/2
P(X)=1/2
P(C⋂C)=P(C)·P(C)=1/2·1/2=1/4
P(X⋂X)=P(X)·P(X)=1/2·1/2=1/4
P(C⋂X)=P(C)·P(X)=1/2·1/2=1/4
P(X⋂C)=P(X)·P(C)=1/2·1/2=1/4
La suma de
probabilidades es 1

105. Árbol de probabilidad
Se sacan 2 bolas consecutivas de una bolsa con 3 bolas verdes y
7 bolas azules devolviéndolas en cada caso a la bolsa:
P(A)=7/10
P(V)=3/10
P(A⋂A)=P(A)·P(A)=7/10·7/10=49/100
P(A⋂V)=P(A)·P(V)=7/10·3/10=21/100
P(V⋂A)=P(V)·P(A)=3/10·7/10=21/100
P(V⋂V)=P(V)·P(V)=3/10·3/10=9/100

106. Árbol de probabilidad
Se sacan 2 bolas consecutivas de una bolsa con 3 bolas verdes y
7 bolas azules devolviéndolas en cada caso a la bolsa:
P(A)=7/10
P(V)=3/10
P(A⋂A)=P(A)·P(A)=7/10·7/10=49/100
P(A⋂V)=P(A)·P(V)=7/10·3/10=21/100
P(V⋂A)=P(V)·P(A)=3/10·7/10=21/100
P(V⋂V)=P(V)·P(V)=3/10·3/10=9/100
La suma de
probabilidades es 1

107. Árbol de probabilidad
Se sacan 2 bolas consecutivas de una bolsa con 3 bolas verdes y
7 bolas azules devolviéndolas en cada caso a la bolsa:
P(A)=7/10
P(V)=3/10
P(A⋂A)=P(A)·P(A)=7/10·7/10=49/100
P(A⋂V)=P(A)·P(V)=7/10·3/10=21/100
P(V⋂A)=P(V)·P(A)=3/10·7/10=21/100
P(V⋂V)=P(V)·P(V)=3/10·3/10=9/100
La suma de
probabilidades es 1

108. Árbol de probabilidad
Se sacan 2 bolas consecutivas de una bolsa con 3 bolas verdes y
7 bolas azules devolviéndolas en cada caso a la bolsa:
P(A)=7/10
P(V)=3/10
P(A⋂A)=P(A)·P(A)=7/10·7/10=49/100
P(A⋂V)=P(A)·P(V)=7/10·3/10=21/100
P(V⋂A)=P(V)·P(A)=3/10·7/10=21/100
P(V⋂V)=P(V)·P(V)=3/10·3/10=9/100
La suma de
probabilidades es 1

109. Árbol de probabilidad
Se sacan 2 bolas consecutivas de una bolsa con 3 bolas verdes y
7 bolas azules devolviéndolas en cada caso a la bolsa:
P(A)=7/10
P(V)=3/10
P(A⋂A)=P(A)·P(A)=7/10·7/10=49/100
P(A⋂V)=P(A)·P(V)=7/10·3/10=21/100
P(V⋂A)=P(V)·P(A)=3/10·7/10=21/100
P(V⋂V)=P(V)·P(V)=3/10·3/10=9/100
La suma de
probabilidades es 1

110. Probabilidad
Árboles de probabilidad de sucesos dependientes

111. Árbol de probabilidad
Se sacan 2 bolas consecutivas de una bolsa con 3 bolas verdes
y 7 bolas azules sin devolverlas a la bolsa:
P(A)=7/10
P(V)=3/10
P(A⋂A)=P(A)·P(AA)=7/10·6/9=42/90
P(A⋂V)=P(A)·P(VA)=7/10·3/9=21/90
P(V⋂A)=P(V)·P(AV)=3/10·7/9=21/90
P(V⋂V)=P(V)·P(VV)=3/10·2/9=6/90
La suma de
probabilidades es 1

112. Árbol de probabilidad
Se sacan 2 bolas consecutivas de una bolsa con 3 bolas verdes
y 7 bolas azules sin devolverlas a la bolsa:
P(A)=7/10
P(V)=3/10
P(A⋂A)=P(A)·P(AA)=7/10·6/9=42/90
P(A⋂V)=P(A)·P(VA)=7/10·3/9=21/90
P(V⋂A)=P(V)·P(AV)=3/10·7/9=21/90
P(V⋂V)=P(V)·P(VV)=3/10·2/9=6/90
La suma de
probabilidades es 1

113. Árbol de probabilidad
Se sacan 2 bolas consecutivas de una bolsa con 3 bolas verdes
y 7 bolas azules sin devolverlas a la bolsa:
P(A)=7/10
P(V)=3/10
P(A⋂A)=P(A)·P(AA)=7/10·6/9=42/90
P(A⋂V)=P(A)·P(VA)=7/10·3/9=21/90
P(V⋂A)=P(V)·P(AV)=3/10·7/9=21/90
P(V⋂V)=P(V)·P(VV)=3/10·2/9=6/90
La suma de
probabilidades es 1

114. Árbol de probabilidad
Se sacan 2 bolas consecutivas de una bolsa con 3 bolas verdes
y 7 bolas azules sin devolverlas a la bolsa:
P(A)=7/10
P(V)=3/10
P(A⋂A)=P(A)·P(AA)=7/10·6/9=42/90
P(A⋂V)=P(A)·P(VA)=7/10·3/9=21/90
P(V⋂A)=P(V)·P(AV)=3/10·7/9=21/90
P(V⋂V)=P(V)·P(VV)=3/10·2/9=6/90
La suma de
probabilidades es 1

115. Partición
Para un conjunto cualquiera E, una partición
de E es una colección de subconjuntos de E
disjuntos (incompatibles), tales que su unión
es el conjunto E.
E=P1⋃P2⋃P3⋃P4⋃…
Pi⋂Pj=∅ ∀i,j / i≠j
EP1
P2
P3 P4
...

116. Teorema de las probabilidades totales
Si {P1, P2, ..., Pn} es una partición del espacio
muestral y A es cualquier suceso, tenemos
que:
P(A)=P(P1⋂A)+P(P2⋂A)+P(P3⋂A) ... P(Pn⋂A)
es decir:
P(A)=P(A)P(P1A)+P(A)P(P2A) … P(A)P(PnA)

117. Teorema de Bayes
Si {P1, P2, ..., Pn} es una partición de Ω y son
conocidas las probabilidades P(APi) y cada Pi,
podemos calcular la P(PiA):
P(Pi⋂A)
P(PiA)=
P(A)
P(Pi⋂A)
P(PiA)=
P(P1)P(AP1)+P(P2)P(AP2) … P(Pn)P(APn)
P1
P2
P3 P4
...
A
Ω

118. Fin