3. O primeiro a introduzir o
cálculo logarítmico foi o escocês
John Napier em 1614, publicando o
primeiro tratado sobre logaritmos:
"Descrição da maravilhosa regra dos
logaritmos".
A palavra “Logaritmo" também foi
inventada por Napier a partir das palavras
gregas “logos” – razão – e “aritmos” – número.
4. Na mesma época, o suíço
Jost Bürgi desenvolveu,
independentemente, métodos
com os mesmos fundamentos
básicos, diferenciados pelo uso
dos valores numéricos e da
terminologia.
Sendo sua ideia anterior ou não à de Napier,
o fato é que a publicação de seus resultados só
ocorreu em 1620.
5. Reconhecendo a enorme
importância do método de
Napier, Henry Briggs
adaptou-o para valores mais
fáceis de serem utilizados
por meio da introdução dos
logaritmos decimais, na
forma como os conhecemos
hoje.
Ele elaborou a primeira tabela de logaritmos
comuns que foi usada até o século 19.
6. Essas descobertas aumentaram muito a
capacidade de cálculo numérico dos que
estavam envolvidos em Astronomia e
Navegação.
Dizia-se na época que
a invenção dos logaritmos
“duplicou” a vida dos
astrônomos, alusão ao fato
de que o trabalho de
cálculo diminuíra tanto
com a introdução dos
logaritmos, que os
astrônomos poderiam
produzir o equivalente ao
que produziam antes, se
pudessem viver duas vidas.
7. Definição de logaritmos
A operação de logaritmação deriva da
potenciação, como podemos ver no exemplo:
2x = 8 => 2x = 23 => x = 3 é o logaritmo de 8 na base
2, como na notação:
log 2 8 = 3 , pois 23 = 8
8. Outros exemplos:
1) 3x = 81 => 3x = 34 => x = 4 é o logaritmo de 81
na base 3:
log 3 81 = 4, pois 34 = 81
2) 2x = 1/32 => 2x = 2-5 => x = -5 é o logaritmo de
1/32 na base 2:
log 2 1/32 = -5, pois 2-5 = 1/32
9. Exemplos impossíveis:
1. 4x = -16 (não conseguimos transformar base negativa em
positiva)
2. 0x = 2 (não conseguimos transformar 0 em uma potência com
outra base)
3. 5x = 0 (não conseguimos transformar 0 em uma potência com
outra base)
4. 1x = 3 (para transformarmos 1 em uma potência com outra
base teremos expoente 0, o que eliminaria a variável x da
equação)
10. Definição:
Considerando dois números
reais, a e b, positivos com a ≠ 1,
chamaremos logaritmo do
número b na base a, o expoente x,
de forma que ax = b.
log a b = x ↔ ax = b (Condições de
existência: b > 0 e 0 < a ≠ 1)
11. Observação:
Os sistemas de logaritmos são
definidos por suas bases:
log a b => sistema de logaritmos de base a
log 10 b ou log b => sistema de logaritmos de
base 10 ou sistema de logaritmos decimais
13. Na Matemática
Os logaritmos são utilizados na matemática para resolver
equações exponenciais do tipo 52x – 7 . 5x + 12 = 0 e também problemas
de matemática financeira ou outros.
Vejamos o exemplo:
Uma pessoa aplicou a importância de R$ 500,00 numa instituição bancária
que paga juros mensais de 3,5%, no regime de juros compostos. Quanto
tempo após a aplicação o montante será de R$ 3 500,00?
Resolução:
Nos casos envolvendo a determinação do tempo e juros compostos, a
utilização das técnicas de logaritmos é imprescindível.
Fórmula para o cálculo dos juros compostos: M = C * (1 + i) t.
15. Assim, de acordo com a situação problema, temos:
M (montante) = 3500
C (capital) = 500
i (taxa) = 3,5% = 0,035
t = ?
M = C * (1 + i)t
3500 = 500 * (1 + 0,035)t
3500/500 = 1,035t
1,035t = 7
Aplicando logaritmo
log 1,035t = log 7
t * log 1,035 = log 7 (utilize tecla log da calculadora
científica )
t * 0,0149 = 0,8451
t = 0,8451 / 0,0149
t = 56,7
O montante de R$ 3 500,00 será originado após 56 meses
de aplicação.
16. Na Química
Poucas profissões dependem tanto de um bom cálculo das
proporções quanto a do químico. É que as substâncias reagem
nos tubos de ensaio em obediência a uma determinada proporção,
e é preciso fazer cálculos para prever o resultado das misturas
feitas em laboratório. Também se mede a velocidade das reações
recorrendo a uma escala logarítmica e o cálculo do pH de uma
solução define-se como um logaritmo decimal do inverso da
respectiva concentração, por exemplo, um líquido cuja
concentração de H3O+ é 4,8 . 10-8 mol/l tem pH = 8 – log 4,8.
17. Na Química
Vejamos outro exemplo:
Determine o tempo que leva para que 1000 g de certa substância
radioativa, que se desintegra a taxa de 2% ao ano, se reduza a 200 g.
Utilize a seguinte expressão:
Q = Q0 * e–rt, em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em
anos.
Q = Q0 * e–rt
200 = 1000 * e–0,02t
200/1000 = e–0,02t
1/5 = e–0,02t
loge1/5 = logee-0,02t (aplicando definição)
–0,02t = loge1/5
–0,02t = loge5–1
–0,02t = –loge5
–0,02t = –ln 5 * (–1)
0,02t = ln 5
t = ln 5 / 0,02
t = 1,6094 / 0,02
t = 80,47 então, a substância levará 80,47 anos para se reduzir a 200g.
18. Na Geologia
O geólogo depende muito da matemática. Dentre as
ferramentas mais utilizadas por ele estão as funções
exponenciais e logarítmicas, que são usadas, por exemplo,
para analisar o comportamento dos sedimentos nos rios. O
cálculo com logaritmos mostra que parte de sedimentos
afunda rapidamente e quanto continua empurrado pela
correnteza.
A escala Richter foi desenvolvida por Charles Richter e
Beno Gutenberg, no intuito de medir a magnitude de um
terremoto provocado pelo movimento das placas
tectônicas. As ondas produzidas pela liberação de energia do
movimento das placas podem causar desastres de grandes
proporções. Os estudos de Charles e Beno resultaram em uma
escala logarítmica denominada Richter, que possui
pontuação de 0 a 9 graus.
19. Na Geologia
Um exemplo:
Qual a energia liberada por um terremoto de intensidade 6 na
escala Richter?
I = 6
Para calcular a energia liberada por um terremoto, usamos a
seguinte fórmula:
I = (2/3)log10(E/E0), onde I: varia de 0 a 9, E: energia liberada em
kW/h
e E0: 7 x 10-3 kW/h.
6 = (2/3)log10(E / 7 x 10-3)
9 = log10(E / 7 x 10-3)
109 = 10log
10
(E / 7 x 10-3) (consequência da definição)
109 = E / 7 x 10-3
E = 7 x 10-3 x 109
E = 7 x 106 kW / h
A energia liberada por um terremoto de 6 graus na escala
Richter é de 7 x 106 kW/h.
20. FFIMM
Alunos:
Ana Flávia Piaia n°01
Gregory Dalla Corte n°15
Juliana Dias n°18
Vinicius Marcolina n°30
