Este documento presenta los conceptos básicos del cálculo matricial de estructuras. Explica el diagrama de Tonti para modelar estructuras, la discretización en términos de grados de libertad, y los métodos de rigidez y flexibilidad que utilizan las matrices de rigidez y flexibilidad.

1. 1
Conceptos básicos
Cálculo matricial de estructuras
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2. Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
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Índice
 Introducción
 Métodos matriciales: relaciones básicas
 Discretización: barras y nudos
 Métodos de compatibilidad y equilibrio
 Conceptos de matriz de rigidez y flexibilidad

3. Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
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Conocimientos previos
 Mecánica de medios continuos:
 Esfuerzo + Tensión + Deformación + Desplazamiento
 Equilibrio + Comportamiento + Compatibilidad
 Resistencia de materiales – Vigas:
 Sabemos calcular: Momentos y axiles + Deformada
 Dados: Geometría + Condiciones de apoyo + Cargas
 Álgebra matricial:
 Operación con matrices, propiedades

4. Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
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Introducción
 Método matricial:
 Generaliza métodos de Maxwell, Mohr, S-XIX
 Métodos:
 Peligros:
 Olvidar la física
Específicos por tipologías Generales
 Conocer:
 Fundamentos
 Limitaciones
Solución
Ordenador

5. Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
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Métodos matriciales:
relaciones básicas
 Barra (1D) prisma recto
Placas, láminas, sólidos (2D, 3D)
 Diagrama de Tonti
MDR El más usado Equilibrio
MIR Menos sistemático
MIF Optimización Compatibilidad

6. Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
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Discretización: barras y nudos
Idealización
de Resistencia
de materiales
Representación
en función de
los extremos
Número finito
n=GDL
Discretizar

7. Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
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Discretización: barras y nudos
 Grados de libertad (GDL) = número de
coordenadas a fijar para que su movimiento
quede determinado unívocamente
 Se pueden definir GDL de desplazamientos o fuerzas

8. Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
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Métodos de compatibilidad y equilibrio
Compatibilidad / Flexibilidad / Fuerzas
 Se convierte en isostática y se
obliga la compatibilidad





Equilibrio / Rigidez / Desplazamientos
 Se permiten todos los movimientos
y se obliga el equilibrio

9. Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
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Métodos de compatibilidad y equilibrio
Compatibilidad / Flexibilidad / Fuerzas
 Se convierte en isostática y se
obliga la compatibilidad
 Seleccionar n incógnitas
hiperestáticas fH
 Estructura isostática




Equilibrio / Rigidez / Desplazamientos
 Se permiten todos los movimientos
y se obliga el equilibrio

10. Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
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Métodos de compatibilidad y equilibrio
Compatibilidad / Flexibilidad / Fuerzas
 Se convierte en isostática y se
obliga la compatibilidad
 Seleccionar n incógnitas
hiperestáticas fH
 Estructura isostática
 Equilibrio



Equilibrio / Rigidez / Desplazamientos
 Se permiten todos los movimientos
y se obliga el equilibrio

11. Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
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Métodos de compatibilidad y equilibrio
Compatibilidad / Flexibilidad / Fuerzas
 Se convierte en isostática y se
obliga la compatibilidad
 Seleccionar n incógnitas
hiperestáticas fH
 Estructura isostática
 Equilibrio
 Comportamiento


Equilibrio / Rigidez / Desplazamientos
 Se permiten todos los movimientos
y se obliga el equilibrio

12. Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
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Métodos de compatibilidad y equilibrio
Compatibilidad / Flexibilidad / Fuerzas
 Se convierte en isostática y se
obliga la compatibilidad
 Seleccionar n incógnitas
hiperestáticas fH
 Estructura isostática
 Equilibrio
 Comportamiento
 Compatibilidad en todos los
vínculos liberados
 Sistema de ecuaciones → fH

Equilibrio / Rigidez / Desplazamientos
 Se permiten todos los movimientos
y se obliga el equilibrio

13. Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
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Métodos de compatibilidad y equilibrio
Compatibilidad / Flexibilidad / Fuerzas
 Se convierte en isostática y se
obliga la compatibilidad
 Seleccionar n incógnitas
hiperestáticas fH
 Estructura isostática
 Equilibrio
 Comportamiento
 Compatibilidad en todos los
vínculos liberados
 Sistema de ecuaciones → fH
 Postproceso u(fH)
Equilibrio / Rigidez / Desplazamientos
 Se permiten todos los movimientos
y se obliga el equilibrio

14. Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
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Métodos de compatibilidad y equilibrio
Compatibilidad / Flexibilidad / Fuerzas
 Se convierte en isostática y se
obliga la compatibilidad
 Seleccionar n incógnitas
hiperestáticas fH
 Estructura isostática
 Equilibrio
 Comportamiento
 Compatibilidad en todos los
vínculos liberados
 Sistema de ecuaciones → fH
 Postproceso u(fH)
Equilibrio / Rigidez / Desplazamientos
 Se permiten todos los movimientos
y se obliga el equilibrio
 Incógnitas = desplazamientos u
 Tantas como GDL
 Compatibilidad
 Comportamiento
 Equilibrio en todos los GDL
 Sistema de ecuaciones → u
 Postproceso: f,p(u)

15. Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
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Matriz de Rigidez y Flexibilidad
 Concepto:
 Intuitivamente:
Rigidez = fuerza necesaria para producir
un movimiento unidad
Flexibilidad = movimiento necesario para
producir una fuerza unidad
k= rigidez
del muelle
a= flexibilidad
del muelle

16. Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
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Matriz de Rigidez y Flexibilidad
 Generalización a una estructura:
 Varios GDL → forma matricial
Matriz de rigidez
nxn
Matriz de flexibilidad
nxnn=GDL

17. Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
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Matriz de Rigidez y Flexibilidad
 Sentido de K (matriz de rigidez):
 Kij es la fuerza en i cuando uj=1, uj=0
 Consecuencia: diagonal > 0

18. Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
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 Sentido de A (matriz de flexibilidad):
 Aij es el desplazamiento en i cuando fj=1, fj=0
Matriz de Rigidez y Flexibilidad

19. Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
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Matriz de Rigidez y Flexibilidad
 Sentido de K (matriz de rigidez):
 Ejemplo:

20. Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
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Matriz de Rigidez y Flexibilidad
 Sentido de K (matriz de rigidez):
 Ejemplo:

21. Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
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Matriz de Rigidez y Flexibilidad
 Sentido de K (matriz de rigidez):
 Ejemplo:
 No lo haremos así: automatizaremos
Repetir el ejercicio para la matriz de flexibilidad A

22. Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
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Matriz de Rigidez y Flexibilidad
 Simetría:
 Teorema de reciprocidad:
 Definimos los estados A y B:
 Generalizando:

23. Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
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Resumen
 Diagrama de Tonti:
 Discretización: →
GDL
 Métodos de rigidez / flexibilidad
 Matriz de rigidez: