Este documento resume tres métodos numéricos para resolver ecuaciones no lineales: el método de bisección, el método de la secante y el método de Newton-Raphson. El método de bisección divide repetidamente un intervalo en dos hasta aproximar una raíz. El método de la secante usa las secantes de puntos sucesivos para encontrar una nueva aproximación. El método de Newton-Raphson calcula la tangente en un punto para encontrar una mejor aproximación, requiriendo el cálculo de la derivada.

1. Resolución de ecuaciones no lineales
a través de métodos numéricos.
Matemàticas Avanzadas II
Lic. Edgar Gerardo Mata Ortiz
BRENDA A. GALINDO RAMÌREZ & ANAHÍ DAZA ZAMORA

2. Método de bisección
 El método de Bisección para la resolución de la ecuación f (x) = 0 se basa en el Teorema de
Bolzano que nos asegura la existencia de, al menos, una raíz de una función f (x) en un
cierto intervalo [a; b], bajo ciertas condiciones.
 Supongamos que f (x) es continua y cambia de signo en los extremos de [a; b]. Basándonos
en el anterior teorema, podemos aproximar una solución de la ecuación f(x)= 0 dividiendo
el intervalo inicial en dos subintervalos iguales y eligiendo aquel en el que f (x) cambia de
signo.
 Después se repite el proceso hasta que se verifique algún criterio deparada.

3. En resúmen…
El método de bisección consiste en
dividir el intervalo en 2 subintervalos
de igual magnitud, reteniendo el
subintervalo en donde f cambia de
signo, para conservar al menos una
raíz o cero, y repetir el proceso
varias veces.
Promedio de los extremos de la
recta que pasa por el eje x.
Cambio de signo
(obtendremos estos
valores cuando
insertemos nuestro
punto medio en
nuestra ecuación
Estos puntos significan que la solución esta
entre estos puntos (para acercarnos más a ella
es necesario hacer una gran lista de datos y
utilizar todos los decimales posibles)

4. Ejemplo
Y=2x3+3x2-3x-5
x y
-2 -3
-1 -1
0 -5
1 -3
2 17
-10
-5
0
5
10
15
20
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
Método de Bisección
Sustituiremos valores de “x”
asignados al azar con la ecuación
no lineal que se nos dan

5. Y=2x3+3x2-3x-5
X1 X2 Xm f(X1) f(Xm)
1 2 1.5 -3 4 Signo Positivo
1 1.5 1.25 -3 -0.15625 Signo Negativo
1.25 1.5 1.375 -0.15625 1.74609375
1.25 1.375 1.3125 -0.15625 0.75244141
1.25 1.3125 1.28125 -0.15625 0.28765869
1.25 1.28125 1.265625 -0.15625 0.06311798
Aparentemente la solución de nuestra ecuación esta
entre 1 y 2 porque en los valores de “y” y en nuestra
gráfica podemos observar el cambio de signo y el
cruce en el eje “x”

6. VENTAJAS Y DESVENTAJAS
Ventajas Desventajas
Es siempre convergente. Converge muy lentamente.
Es óptimo para resolver una ecuación
f(x)=0 cuando no se sabe nada de f , excepto
calcular su signo.
Permite encontrar solo una raíz, aunque
existan más en el intervalo.
Requiere que f sea continua en el intervalo
especificado.
Algunas veces la determinación del intervalo
inicial no es muy fácil.
Se basa en el Teorema de Bolzano.
A veces, no es obvio el criterio de finalización
del proceso iteractivo.
Se puede establecer el límite de error. No puede determinar raíces complejas.
Es fácil de implementar.
MÉTODO
BISECCIÓN

7. Método de la Secante
 Al igual que con bisección, se considera una función que tiene al
menos una raiz en el intervalo en estudio. Se obtienen las diferentes
iteraciones y se llevan a una tabla que contiene las diferentes
iteraciones obtenidas, así como las estimaciones de los errores
absoluto y relativo que corresponden a la iteración. A la gráfica de
la función se le añaden los puntos obtenidos, y las diferentes
secantes que resultan al dibujar el segmento que une las dos
últimas iteraciones: (xn-1, f(xn-1)) y (xn, f(xn)). El punto de corte de este
segmento con el eje de abscisas 'x' es la abscisa de la nueva
iteración obtenida (xn+1, f(xn+1)). En algunos de los ejemplos se
puede apreciar que, a pesar de que el valor en alguna iteración
salga fuera del intervalo donde está la raiz, el método se
reconduce y obtiene una raíz en el intervalo propuesto.

8. Para resolver este método tendremos la siguiente función.
 Paso 1
Graficamos los valores para obtener la grafica
2x3+3x2-3x-5=0
x f(x)
-2 -3
-1 -1
0 -5
1 -3
2 17 -10
-5
0
5
10
15
20
-4 -2 0 2 4
Ejemplo:

9.  Paso 2
Para este método se necesita obtener la pendiente, para lo cual tenemos la
siguiente formula
 Despejando tenemos que:
y- y₁= m(x-x₁)
y-(-3)=20(x-1)
y+3= 20x-20
y= 20x-20-3
y= 20x-23
20x-23= 0
20x= 23
x=
23
20
∴ 𝑥 = 1.15 → 𝑥𝑠
m=
𝑦3−𝑦₁
𝑥2−𝑥1 ∴ m=
17−(−3)
2−1
∴ m= 0
Los valores obtenidos
de la pendiente y el
valor de “x” se
sustituirán en la tabla.

10.  Paso 3
Realizar la tabla del método de la secante
Nuestro valor encontrado de xs será nuestra x3 la siguiente tabla.
Para encontrar nuestro valor en (fxs) sustituimos el valor de xs en la ecuación inicial.
x1 x2 xs f(X1) f(X2) m f(Xs)
1 2 1.15 -3 17 20

11. X1 X2 Xs f(X1) f(X2) m f(Xs)
1 2 1.15 -3 17 20 -1.44075
1.15 2 1.21640931 -1.44075 17 21.695 -0.610549103
1.21640931 2 1.24357602 -0.6105491 17 22.4741684 -0.24495
1.24357602 2 1.25432038 -0.24495 17 22.7979947 -0.09610855
1.25432038 2 1.25851234 -0.09610855 17 22.9268819 -0.037379206
1.25851234 2 1.26013913 -0.03737921 17 22.977293 -0.014488067
1.26013913 2 1.26076913 -0.01448807 17 22.9968752 -0.005608074
1.26076913 2 1.26101291 -0.00560807 17 23.0044615 -0.002169669
1.26101291 2 1.26110722 -0.00216967 17 23.0073975 -0.000839241
1.26110722 2 1.26114369 -0.00083924 17 23.0085333 -0.000324599
1.26114369 2 1.2611578 -0.0003246 17 23.0089727 -0.000125543
1.2611578 2 1.26116326 -0.00012554 17 23.0091426 -4.85552E-05
1.26116326 2 1.26116537 -4.8555E-05 17 23.0092083 -1.87791E-05
Como podemos darnos cuenta hablar de métodos numéricos conlleva a
elaborar una gran cantidad de tablas como la que se muestra
anteriormente en donde encontrar el resultado.
Este valor
es nuestra
nueva y1

12. VENTAJAS Y DESVENTAJAS
MÉTODO DE LA
SECANTE
Ventajas Desventajas
Este método puede ser más conveniente en
algunos casos por que es más rápido que el
método de Regula-Falsi. Debido a que la
inferioridad de este último se debe a que un
extremo permanece fijo, para mantener a la
raíz dentro del intervalo.
Su velocidad de convergencia es menor
que la de otros métodos como Newton-
Raphson.
La ventaja principal del método de la
secante es que se puede aplicar cuando la
función f(x) es demasiado compleja como
para obtener su derivada (que se usaría en
el método de Newton-Raphson).
Dicha convergencia no se asegura si la
primera aproximación a la raíz no es lo
suficientemente cercana a ella, ni
tampoco se asegura cuando la raíz es
múltiple

13. Método de Newton-Raphson
 Si el valor inicial para la raíz es xi, entonces se puede trazar una
tangente desde el punto [xi,f(xi)] de la curva. por lo común, el
punto donde esta tangente cruza el eje x representa una
aproximación mejorada de la raíz.

14. Ejemplo
x y
-3 7
-2 2
-1 -1
0 -2
1 -1
2 2
3 7
y=X2-2
Para resolver este método, se
recomienda al igual que los demás
tabular y grafiar algunos datos al azar
para percibir entre cuales de ellos
pudiera estar la solución.
A simple vista podríamos percibir que
entre 1 y 2 esta la solución pero no es
seguro.

15. Este método nos dice que para obtener la
solución es necesario obtener la derivada de
nuestra ecuación: y=X2-2
X0 Y0 m X1
2 2.00 4 1.5
1.5 0.25 3 1.41666667
1.41666667 0.01 2.83333333 1.41421569
1.41421569 0.000006007304882871270 2.82843137 1.41421356
1.41421356 0.00 2.82842712 1.41421356
1.41421356 0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 2.82842712 1.41421356
1.41421356 0.00 2.82842712 1.41421356
Derivada= 2X
x y
-3 7
-2 2
-1 -1
0 -2
1 -1
2 2
3 7
En nuestra tabulación
notamos que hay cambio
de signo entre los valores,
así que tomaremos ese
numero para comenzar
hacer nuestra tabla
(porque aparentemente
ahí esta la solución)
=
Sustituimos X0
con la ecuación
inicial (y=X2-2)
Despejamos X0 en la
derivada de nuestra
ecuación(2x)

16. X0 Y0 m X1
2 2.00 4 1.5
1.5 0.25 3
1.4166666
7
1.41666667 0.01
2.8333333
3
1.4142156
9
1.41421569 0.000006007304882871270
2.8284313
7
1.4142135
6
1.41421356 0.00
2.8284271
2
1.4142135
6
1.41421356
0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
00
2.8284271
2
1.4142135
6
1.41421356 0.00
2.8284271
2
1.4142135
6
Finalmente para encontrar X1 sustituimos los valores obtenidos anteriores en esta
fórmula:
x=
𝒎𝒙 𝟎
−𝒚 𝟎
𝒎
Aquí podemos
darnos cuenta que la
solución no se
encuentra a partir de
2 si no de 1.5
Entonces tomaremos
este nuevo valor
como referencia
porque se va
acercando más a la
solución

17. VENTAJAS Y DESVENTAJAS
MÉTODO DE NEWTON
RAPHSON
Ventajas Desventajas
Su mayor ventaja, y por la cuál es uno
de los preferidos, es que cuando
converge a la raíz (el cero de la
función), lo hace de una manera
bastante rápida.
Se puede mencionar el hecho de que
al no trabajar sobre un intervalo, en
donde se asegure que existe una raíz,
no existe ninguna garantía de que se
esté aproximando a ésta.
Es imprescindible que la primera
derivada sea diferente de cero para
que el método pueda utilizarse y que
la aproximación inicial sea bastante
buena para que pueda converger.

18. Conclusión
 Los métodos numéricos nos permiten resolver ecuaciones no lineales a través de
procedimientos establecidos (secante, Newton y bisección), algunos son mejores que
otros según la ecuación que se nos este dado.
 Tal vez te preguntarás ¿cuales fueron las soluciones finales de cada uno de los ejemplos
anteriores? En los ejemplos solo se obtuvieron aproximaciones porque podríamos seguir
con una columna infinita de valores donde nos aproximemos mas a la solución y se verá
afectado por la cantidad de decimales que tomamos. Ósea entre más decimales
tomes más próximo a la solución estarás. Estamos hablando de cantidades grandes de
decimales como: de 50-100 o más, claro si tu computadora te lo permite.
 Una recomendación que podemos dar es descargar una aplicación que tiene Excel y te
permite hacer uso de más decimales en sus hojas de trabajo, esta es gratuita y lleva el
nombre de: XL precision