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MA32 (GEII - S3)
B - T RANSFORMÉE EN Z ET CONVOLUTION DISCRÈTE :
EXPOSITION

F. Morain-Nicolier
frederic.nicolier@univ-rei...
O UTLINE

1. S IGNAUX DISCRETS

2. U N SYSTÈME DISCRET SIMPLE

3. P RINCIPALES PROPRIÉTÉS DE LA TZ

2 / 25
1.1 S IGNAUX DISCRETS ?
Un signal est le support physique d’une information (ex :
signaux sonores, visuels)
signaux contin...
1.1 S IGNAUX DISCRETS ?

F IGURE : Signal mal échantillonné

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1.2 N OTATION MATHÉMATIQUE DES SIGNAUX
DISCRETS

Un signal discret est donc un liste ordonné de valeurs réelles
ou complex...
1.2 S UITES ET SÉRIES

Une série est obtenue en sommant les termes généraux d’une
suite, en particulier :
(Définition) Une ...
1.3 Q UELQUES EXEMPLES
impulsion unité

δn =

1
0

si n = 0
.
sinon

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1.3 Q UELQUES EXEMPLES
Échelon unité
un =

1
0

si n ≥ 0
sinon

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1.3 Q UELQUES EXEMPLES
Signal exponentiel
xn = an

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O UTLINE

1. S IGNAUX DISCRETS

2. U N SYSTÈME DISCRET SIMPLE

3. P RINCIPALES PROPRIÉTÉS DE LA TZ

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2.1. É TUDE D ’ UN SYSTÈME DISCRET SIMPLE
(xk)

(yk)

+
a

retard

F IGURE : système discret simple

yk = xk + ayk−1 . (0)...
2.1. É TUDE D ’ UN SYSTÈME DISCRET SIMPLE

On a donc

k

yk =

∑

n=−∞

ak−n xn .

Reformulons la sortie en posant
hn =

0...
2.1. É TUDE D ’ UN SYSTÈME DISCRET SIMPLE

(hn ) est donc la réponse impulsionnelle du système.
Cherchons la réponse à une...
2.1. É TUDE D ’ UN SYSTÈME DISCRET SIMPLE

H (z) =

z
z−a

est la fonction de transfert du filtre.
C’est une fonction de la...
2.1. É TUDE D ’ UN SYSTÈME DISCRET SIMPLE

H (z) est donc la transformée en z de (hn ), avec
∞

Z [ fn ] =

∑

n=−∞

fn z ...
O UTLINE

1. S IGNAUX DISCRETS

2. U N SYSTÈME DISCRET SIMPLE

3. P RINCIPALES PROPRIÉTÉS DE LA TZ

16 / 25
3.1. D ÉFINITION
(D ÉFINITION ) La transformée en z d’un signal discret (xn ) est
∞

X ( z ) = Z [ fn ] =

∑

n=−∞

fn z −...
3.2 D OMAINE DE CONVERGENCE
TRANSIORMATIONIN/

45

r R*- la limite
La TZ n’a de sens que si l’on précise le domaine des va...
3.3 E XEMPLES

TZ de l’impulsion unité
Z[δn ] = 1
TZ de l’échelon unité
Z [ un ] =

1
1 − z−1

TZ du signal exponentiel
Z ...
3.4 P ROPRIÉTÉS
(L INÉARITÉ ) Soit sn = axn + byn alors
S(z) = aX(z) + bY(z).

Quel est le domaine de convergence ?
(D ÉCA...
3.4 P ROPRIÉTÉS
(D ÉRIVÉE ) La dérivée d’une TZ multipliée par −z est la TZ
du signal multiplié par n :

−z

∞
dX(z)
= ∑ n...
3.5 R EPRÉSENTATION PAR PÔLES ET ZÉROS

Considérons H (z) = Z[hn ].
Les pôles de H(z) sont les valeurs de z pour lequelles...
3.5 R EPRÉSENTATION PAR PÔLES ET ZÉROS
Si X(z) possède M zéros zm et N pôles pn , on peut la mettre sous
la forme :
X (z)
...
3.6. TZ INVERSE
À partir de la TZ X(z) d’un signal, l’original xn peut être
retrouvé de plusieurs manières :
en développan...
3.6. TZ INVERSE
Le théorème des résidus indique que l’intégrale sur un
contour fermé C d’une fonction complexe holomorphe
...
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Introduction à la transformée en z et convolution discrète (GEII MA32)

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Exposition des principales idées du traitement du signal discret : transformée en z, réponse impulsionnelle, convolution

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Introduction à la transformée en z et convolution discrète (GEII MA32)

  1. 1. MA32 (GEII - S3) B - T RANSFORMÉE EN Z ET CONVOLUTION DISCRÈTE : EXPOSITION F. Morain-Nicolier frederic.nicolier@univ-reims.fr 2013 - 2014 / URCA - IUT Troyes 1 / 25
  2. 2. O UTLINE 1. S IGNAUX DISCRETS 2. U N SYSTÈME DISCRET SIMPLE 3. P RINCIPALES PROPRIÉTÉS DE LA TZ 2 / 25
  3. 3. 1.1 S IGNAUX DISCRETS ? Un signal est le support physique d’une information (ex : signaux sonores, visuels) signaux continus (analogiques), discrets (échantillonnés), numériques (échantillonnés et quantifiés) F IGURE : Signal échantillonné 3 / 25
  4. 4. 1.1 S IGNAUX DISCRETS ? F IGURE : Signal mal échantillonné 4 / 25
  5. 5. 1.2 N OTATION MATHÉMATIQUE DES SIGNAUX DISCRETS Un signal discret est donc un liste ordonné de valeurs réelles ou complexes En mathématique, on le représente donc par une suite numérique (D ÉFINITION ) Une suite numérique (un )n∈N est une application de N sur R (ou C). un est le terme général de la suite. 5 / 25
  6. 6. 1.2 S UITES ET SÉRIES Une série est obtenue en sommant les termes généraux d’une suite, en particulier : (Définition) Une série {un } est la somme des termes généraux un de la suite (un ). ∞ {un } = ∑ n=0 ∞ un ou {un } = ∑ n=−∞ un ex : série de Fourier 6 / 25
  7. 7. 1.3 Q UELQUES EXEMPLES impulsion unité δn = 1 0 si n = 0 . sinon 7 / 25
  8. 8. 1.3 Q UELQUES EXEMPLES Échelon unité un = 1 0 si n ≥ 0 sinon 8 / 25
  9. 9. 1.3 Q UELQUES EXEMPLES Signal exponentiel xn = an 9 / 25
  10. 10. O UTLINE 1. S IGNAUX DISCRETS 2. U N SYSTÈME DISCRET SIMPLE 3. P RINCIPALES PROPRIÉTÉS DE LA TZ 10 / 25
  11. 11. 2.1. É TUDE D ’ UN SYSTÈME DISCRET SIMPLE (xk) (yk) + a retard F IGURE : système discret simple yk = xk + ayk−1 . (0) C’est une équation aux différences (simple) Cherchons à exprimer explicitement (yk ) en fonction de (xk ) 11 / 25
  12. 12. 2.1. É TUDE D ’ UN SYSTÈME DISCRET SIMPLE On a donc k yk = ∑ n=−∞ ak−n xn . Reformulons la sortie en posant hn = 0 an si t < 0 . si n ≥ 0 12 / 25
  13. 13. 2.1. É TUDE D ’ UN SYSTÈME DISCRET SIMPLE (hn ) est donc la réponse impulsionnelle du système. Cherchons la réponse à une entrée xk = zk où z est un nombre complexe fixé. Montrons alors que yk = z xk . z−a 13 / 25
  14. 14. 2.1. É TUDE D ’ UN SYSTÈME DISCRET SIMPLE H (z) = z z−a est la fonction de transfert du filtre. C’est une fonction de la variable z, définie dans le domaine |z| > |a|. Explicitons l’obtention de H (z) à partir de (hn ). 14 / 25
  15. 15. 2.1. É TUDE D ’ UN SYSTÈME DISCRET SIMPLE H (z) est donc la transformée en z de (hn ), avec ∞ Z [ fn ] = ∑ n=−∞ fn z − n . quelles sont ses propriétés ? quelles sont ses conditions d’existence et de convergence ? ⇒ suites et séries numériques et de fonctions 15 / 25
  16. 16. O UTLINE 1. S IGNAUX DISCRETS 2. U N SYSTÈME DISCRET SIMPLE 3. P RINCIPALES PROPRIÉTÉS DE LA TZ 16 / 25
  17. 17. 3.1. D ÉFINITION (D ÉFINITION ) La transformée en z d’un signal discret (xn ) est ∞ X ( z ) = Z [ fn ] = ∑ n=−∞ fn z − n où z est une variable complexe. La TZ peut-être considérée comme une généralisation de la transformée de Fourier (poser z = eiω ) La TZ constitue l’outil privilégié pour l’étude des système discrets. Elle joue un rôle équivalent à la transformée de Laplace Par exemple, la TZ permet de représenter un signal possédant une infinité d’échantillons par un ensemble fini de nombres. 17 / 25
  18. 18. 3.2 D OMAINE DE CONVERGENCE TRANSIORMATIONIN/ 45 r R*- la limite La TZ n’a de sens que si l’on précise le domaine des valeurs de lim lr( & 1l 1/* = 4,(2.8) z pour lesquelles la série existe. série Xr(z) converge alors pour lzl >Rr_. Avec le changement de variable / = -k, peut montrer d'ure madère similaire que la série Xl (z) converge pour lzl (Â,+, Nous montrerons (plus tard) que le domaine de convergence R,a est la lirnite de X(z) est un anneau du plan complexe. R,+ = 1/[ lim lx( -/)lt/t (2.e) : ,- + - si, série TZ converge si Ainsilaune(2.1) converge en général dans un anneau du plan complexe 0 ( R,- ( lzl ( R,* ( +R < |z| < R x− i est illustré sur la figure tt évident que si Àx- ) 2. I . x+ (2.r 0) Rjr, et .R, + caractérisent le signal x série (2.1) n'est pas convergente. Les limites À,-} , la des z donné ///l Fig.2.l ([ ). résiortr de convetzenî.e 18 / 25
  19. 19. 3.3 E XEMPLES TZ de l’impulsion unité Z[δn ] = 1 TZ de l’échelon unité Z [ un ] = 1 1 − z−1 TZ du signal exponentiel Z [ an u n ] = z z−a 19 / 25
  20. 20. 3.4 P ROPRIÉTÉS (L INÉARITÉ ) Soit sn = axn + byn alors S(z) = aX(z) + bY(z). Quel est le domaine de convergence ? (D ÉCALAGE ) Si yn = xn−n0 alors Y ( z ) = z − n0 X ( z ) . En particulier, si yn = xn−1 , Y(z) = z−1 X(z). 20 / 25
  21. 21. 3.4 P ROPRIÉTÉS (D ÉRIVÉE ) La dérivée d’une TZ multipliée par −z est la TZ du signal multiplié par n : −z ∞ dX(z) = ∑ nxn z−n = Z[nxn ] dz n=−∞ (C ONVOLUTION ) La convolution discrète étant définie par ∞ xn ∗ yn = ∑ xn−k yn , k=−∞ la TZ est Z[xn ∗ yn ] = X(z)Y(z). 21 / 25
  22. 22. 3.5 R EPRÉSENTATION PAR PÔLES ET ZÉROS Considérons H (z) = Z[hn ]. Les pôles de H(z) sont les valeurs de z pour lequelles H (z) tend vers l’infini. Les zéros de H(z) sont les valeurs de z pour lesquelles H (z) est nul. Les pôles et les zéros complexes de H (z) sont de la forme α ± iβ. 22 / 25
  23. 23. 3.5 R EPRÉSENTATION PAR PÔLES ET ZÉROS Si X(z) possède M zéros zm et N pôles pn , on peut la mettre sous la forme : X (z) Y (z) b + b1 z − 1 + . . . + bM z − M = 0 1 + a1 z−1 + . . . + aN z−N ∏M (z − zm ) = A m=1 ∏N=1 (z − pn ) n H (z) = On peut toujours écrire une TZ sous cette forme, et donc représenter le signal par des listes de pôles et de zéros. Exemple : H ( z ) = Z ( an u n ) = z z−a 23 / 25
  24. 24. 3.6. TZ INVERSE À partir de la TZ X(z) d’un signal, l’original xn peut être retrouvé de plusieurs manières : en développant X(z) en une série (puissance par exemple) en utilisant le théorème des résidus pour calculer xn = 1 2iπ Γ X(z)zn−1 dz où Γ est un lacet entourant l’origine, situé dans la couronne de convergence et orienté dans le sens positif. un formulaire 24 / 25
  25. 25. 3.6. TZ INVERSE Le théorème des résidus indique que l’intégrale sur un contour fermé C d’une fonction complexe holomorphe F(z) rationnelle vaut C F(z)dz = 2iπ ∑ pi ∈C Résidu(pi ) où pi est un pôle de F(z). (Fonction holomorphe = fonction à valeurs complexes, définie et dérivable en tout point d’un sous-ensemble ouvert du plan complexe.) si pi est un pôle simple : Résidu(pi ) = limz→pi (z − pi )F(z) 1 Exemple : calcul de Z−1 [ 1+az−1 ]. 25 / 25

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