Exposition des principales idées du traitement du signal discret : transformée en z, réponse impulsionnelle, convolution

1. MA32 (GEII - S3)
B - T RANSFORMÉE EN Z ET CONVOLUTION DISCRÈTE :
EXPOSITION
F. Morain-Nicolier
frederic.nicolier@univ-reims.fr
2013 - 2014 / URCA - IUT Troyes
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2. O UTLINE
1. S IGNAUX DISCRETS
2. U N SYSTÈME DISCRET SIMPLE
3. P RINCIPALES PROPRIÉTÉS DE LA TZ
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3. 1.1 S IGNAUX DISCRETS ?
Un signal est le support physique d’une information (ex :
signaux sonores, visuels)
signaux continus (analogiques), discrets (échantillonnés),
numériques (échantillonnés et quantifiés)
F IGURE : Signal échantillonné
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4. 1.1 S IGNAUX DISCRETS ?
F IGURE : Signal mal échantillonné
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5. 1.2 N OTATION MATHÉMATIQUE DES SIGNAUX
DISCRETS
Un signal discret est donc un liste ordonné de valeurs réelles
ou complexes
En mathématique, on le représente donc par une suite
numérique
(D ÉFINITION ) Une suite numérique (un )n∈N est une
application de N sur R (ou C). un est le terme
général de la suite.
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6. 1.2 S UITES ET SÉRIES
Une série est obtenue en sommant les termes généraux d’une
suite, en particulier :
(Définition) Une série {un } est la somme des termes généraux
un de la suite (un ).
∞
{un } =
∑
n=0
∞
un ou {un } =
∑
n=−∞
un
ex : série de Fourier
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7. 1.3 Q UELQUES EXEMPLES
impulsion unité
δn =
1
0
si n = 0
.
sinon
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8. 1.3 Q UELQUES EXEMPLES
Échelon unité
un =
1
0
si n ≥ 0
sinon
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9. 1.3 Q UELQUES EXEMPLES
Signal exponentiel
xn = an
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10. O UTLINE
1. S IGNAUX DISCRETS
2. U N SYSTÈME DISCRET SIMPLE
3. P RINCIPALES PROPRIÉTÉS DE LA TZ
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11. 2.1. É TUDE D ’ UN SYSTÈME DISCRET SIMPLE
(xk)
(yk)
+
a
retard
F IGURE : système discret simple
yk = xk + ayk−1 . (0)
C’est une équation aux différences (simple)
Cherchons à exprimer explicitement (yk ) en fonction de
(xk )
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12. 2.1. É TUDE D ’ UN SYSTÈME DISCRET SIMPLE
On a donc
k
yk =
∑
n=−∞
ak−n xn .
Reformulons la sortie en posant
hn =
0
an
si t < 0
.
si n ≥ 0
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13. 2.1. É TUDE D ’ UN SYSTÈME DISCRET SIMPLE
(hn ) est donc la réponse impulsionnelle du système.
Cherchons la réponse à une entrée
xk = zk
où z est un nombre complexe fixé.
Montrons alors que
yk =
z
xk .
z−a
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14. 2.1. É TUDE D ’ UN SYSTÈME DISCRET SIMPLE
H (z) =
z
z−a
est la fonction de transfert du filtre.
C’est une fonction de la variable z, définie dans le domaine
|z| > |a|.
Explicitons l’obtention de H (z) à partir de (hn ).
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15. 2.1. É TUDE D ’ UN SYSTÈME DISCRET SIMPLE
H (z) est donc la transformée en z de (hn ), avec
∞
Z [ fn ] =
∑
n=−∞
fn z − n .
quelles sont ses propriétés ?
quelles sont ses conditions d’existence et de convergence ?
⇒ suites et séries numériques et de fonctions
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16. O UTLINE
1. S IGNAUX DISCRETS
2. U N SYSTÈME DISCRET SIMPLE
3. P RINCIPALES PROPRIÉTÉS DE LA TZ
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17. 3.1. D ÉFINITION
(D ÉFINITION ) La transformée en z d’un signal discret (xn ) est
∞
X ( z ) = Z [ fn ] =
∑
n=−∞
fn z − n
où z est une variable complexe.
La TZ peut-être considérée comme une généralisation de
la transformée de Fourier (poser z = eiω )
La TZ constitue l’outil privilégié pour l’étude des système
discrets.
Elle joue un rôle équivalent à la transformée de Laplace
Par exemple, la TZ permet de représenter un signal possédant
une infinité d’échantillons par un ensemble fini de nombres.
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18. 3.2 D OMAINE DE CONVERGENCE
TRANSIORMATIONIN/
45
r R*- la limite
La TZ n’a de sens que si l’on précise le domaine des valeurs de
lim lr( & 1l 1/* = 4,(2.8)
z pour lesquelles la série existe.
série
Xr(z)
converge alors pour lzl
>Rr_.
Avec le changement de variable / =
-k,
peut montrer d'ure madère similaire que la série Xl (z) converge pour lzl (Â,+,
Nous montrerons (plus tard) que le domaine de convergence
R,a est la lirnite
de X(z) est un anneau du plan complexe.
R,+ = 1/[ lim lx( -/)lt/t
(2.e)
:
,- + -
si,
série TZ converge si
Ainsilaune(2.1) converge en général dans un anneau du plan complexe
0 ( R,- ( lzl ( R,* ( +R < |z| < R
x−
i est illustré sur la figure
tt évident que si Àx-
)
2. I
.
x+
(2.r 0)
Rjr, et .R, + caractérisent le signal x
série (2.1) n'est pas convergente.
Les limites
À,-} , la
des z donné
///l
Fig.2.l
([
).
résiortr de convetzenî.e
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19. 3.3 E XEMPLES
TZ de l’impulsion unité
Z[δn ] = 1
TZ de l’échelon unité
Z [ un ] =
1
1 − z−1
TZ du signal exponentiel
Z [ an u n ] =
z
z−a
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20. 3.4 P ROPRIÉTÉS
(L INÉARITÉ ) Soit sn = axn + byn alors
S(z) = aX(z) + bY(z).
Quel est le domaine de convergence ?
(D ÉCALAGE ) Si yn = xn−n0 alors
Y ( z ) = z − n0 X ( z ) .
En particulier, si yn = xn−1 , Y(z) = z−1 X(z).
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21. 3.4 P ROPRIÉTÉS
(D ÉRIVÉE ) La dérivée d’une TZ multipliée par −z est la TZ
du signal multiplié par n :
−z
∞
dX(z)
= ∑ nxn z−n = Z[nxn ]
dz
n=−∞
(C ONVOLUTION ) La convolution discrète étant définie par
∞
xn ∗ yn =
∑
xn−k yn ,
k=−∞
la TZ est
Z[xn ∗ yn ] = X(z)Y(z).
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22. 3.5 R EPRÉSENTATION PAR PÔLES ET ZÉROS
Considérons H (z) = Z[hn ].
Les pôles de H(z) sont les valeurs de z pour lequelles H (z)
tend vers l’infini.
Les zéros de H(z) sont les valeurs de z pour lesquelles H (z)
est nul.
Les pôles et les zéros complexes de H (z) sont de la forme
α ± iβ.
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23. 3.5 R EPRÉSENTATION PAR PÔLES ET ZÉROS
Si X(z) possède M zéros zm et N pôles pn , on peut la mettre sous
la forme :
X (z)
Y (z)
b + b1 z − 1 + . . . + bM z − M
= 0
1 + a1 z−1 + . . . + aN z−N
∏M (z − zm )
= A m=1
∏N=1 (z − pn )
n
H (z) =
On peut toujours écrire une TZ sous cette forme, et donc
représenter le signal par des listes de pôles et de zéros.
Exemple :
H ( z ) = Z ( an u n ) =
z
z−a
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24. 3.6. TZ INVERSE
À partir de la TZ X(z) d’un signal, l’original xn peut être
retrouvé de plusieurs manières :
en développant X(z) en une série (puissance par exemple)
en utilisant le théorème des résidus pour calculer
xn =
1
2iπ
Γ
X(z)zn−1 dz
où Γ est un lacet entourant l’origine, situé dans la
couronne de convergence et orienté dans le sens positif.
un formulaire
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25. 3.6. TZ INVERSE
Le théorème des résidus indique que l’intégrale sur un
contour fermé C d’une fonction complexe holomorphe
F(z) rationnelle vaut
C
F(z)dz = 2iπ
∑
pi ∈C
Résidu(pi )
où pi est un pôle de F(z).
(Fonction holomorphe = fonction à valeurs complexes, définie et
dérivable en tout point d’un sous-ensemble ouvert du plan complexe.)
si pi est un pôle simple : Résidu(pi ) = limz→pi (z − pi )F(z)
1
Exemple : calcul de Z−1 [ 1+az−1 ].
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