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Qué es la lógica matemática

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Breve introducción al estudio de la lógica matemática en su etapa primaria, Se comienza con una motivación y se termina con las proposiciones y conectivos lógicos!!

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Qué es la lógica matemática

  1. 1. Universidad Católica Redemptoris Maters UNICA I año SabatinoCatedrático: Lic. Francisco S. Hernández Mendoza. Carrera: Matemática. ¿Qué es la Lógica Matemática?Aprender matemáticas, “es muy difícil”; así se expresan la mayoría de nuestrosestudiantes en todos los niveles, sin embargo pocas veces se busca una explicación delporqué no aprenden las ciencias exactas los alumnos. Nuestra teoría es la siguiente: “Los alumnos no aprenden ciencias exactas, porque se les hace difícil relacionarlas conocimientos que se proporcionan en la escuela (leyes, teoremas, fórmulas)con los problemas que se le presentan en la vida real”.La “lógica matemática”, ayuda al estudiante a encontrar estas relaciones entre losdiferentes esquemas de aprendizaje, para que de esta manera tenga una buena estructuracognitiva. Si el alumno sabe lógica matemática puede relacionar estos conocimientos,con los de otras áreas para de esta manera crear conocimiento.La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas ytécnicas determina si un argumento es válido. La lógica es ampliamente aplicada en lafilosofía, matemáticas, computación, física. En la filosofía para determinar si unrazonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones,sin embargo la lógica permite saber el significado correcto. En las matemáticas parademostrar teoremas e inferir resultados matemáticos que puedan ser aplicados eninvestigaciones. En la computación para revisar programas.La lógica es pues muy importante; ya que permite resolver incluso problemas a los quenunca se ha enfrentado el ser humano utilizando solamente su inteligencia y apoyándosede algunos conocimientos acumulados, se pueden obtener nuevos inventos innovacionesa los ya existentes o simplemente la utilización de los mismos.Cuando enseñamos Matemática, uno de nuestro objetivos es que el estudiante aprenda arealizar demostraciones formales por el método directo y el método por contradicción oreducción al absurdo, etc. Por esta razón se hace necesario que el educando aprendalógica matemática, y así no tendrá problemas para aprender ciencias exactas y serácapaz a través de pasos lógicos, resolver un problema determinado.Es importante mencionar que en las demostraciones no hay un solo camino para llegaral resultado. El camino puede ser mas largo o más corto dependiendo de las reglas deinferencia y tautologías que el alumno seleccione, pero definitivamente deberá llegar al
  2. 2. resultado. Esto permite que el estudiante tenga confianza en la aplicación de reglas yfórmulas. De tal manera que cuando llegue a poner en practica esto, el sea capaz deinventar su propia solución, porque en la vida cada quien resuelve sus problemas deacuerdo a las reglas de inferencia que él aplica para relacionar sus conocimientos y asíobtener el resultado deseado.Pero, qué es la Lógica Matemática?La Lógica Matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En unnivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no validoun argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrarteoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos losprogramas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos;y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud deproblemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizarcualquier actividad. Proposiciones LógicasUna Proposición Lógica: es un enunciado que puede ser falso o verdadero pero noambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática.A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones lógicas válidas y noválidas, y se explica el porqué algunos enunciados no son proposiciones. Lasproposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la oración.Ejemplos:p: Un triangulo es una figura plana que tiene tres lados.q: -17 + 38 = 21r: x > y-9s: El Madriz será campeón de fútbol.t: Hola ¿como estas?w: Lava el coche por favor.Los enunciados p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lotanto son proposiciones validas. El enunciado r no es una proposición valida, el valorde falso o verdadero depende del valor asignado a las variables x y y en determinadomomento, pero puede llegar a serlo, a este tipo de expresiones se les llama formasproposicionales. La proposición s también esta perfectamente expresada aunque paradecir si es falsa o verdadera se tendría que esperar a que terminara la temporada defútbol, por lo tanto no es una proposición lógica. Finalmente los enunciados t y w noson válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es unsaludo y el otro es una orden.
  3. 3. En este curso nuestra meta, en la medida en que se pueda, consiste en: 1. Traducir las proposiciones del lenguaje ordinario a la forma simbólica. 2. Simplificar la forma simbólica. 3. Traducir la forma simplificada de nuevo a proposiciones del lenguaje ordinario.Para fines prácticos, supondremos que las traducciones en un sentido y en otro entre ellenguaje ordinario y el simbólico se pueden efectuar de manera sencilla. Aunque en larealidad, no siempre sucede así, desafortunadamente. Al traducir, debemos preguntarnosque significa la oración en el lenguaje natural, y luego tratar de encontrar unaproposición en el lenguaje simbólico que tenga, hasta donde sea posible, el mismosignificado. Valor de Verdad de una Proposición Lógica.La cualidad de verdadera o falsa de una proposición lógica se llama Valor de Verdad.Para indicar que una proposición es verdadera, usaremos la letra “V”, y si es falsa seusará la letra “F”. Conectivos o Conectores Lógicos y Modificadores.Se denominan Conectivos o Conectores Lógicos, a ciertas expresiones gramaticalestales como: “y”, “o”, “sí…entonces…”, “…si y sólo si…”, las cuales se usan paraenlazar proposiciones.Principales Conectivos Lógicos: Conector Símbolo Interpretación Conjunción ∧ y, pero Disyunción ∨ o Condicional → sí …entonces … … implica … Bicondicional ↔ … si y sólo si … … equivale a …Existen otras interpretaciones de los conectivos lógicos, pero estas son las máscomunes.
  4. 4. Las expresiones gramaticales como “no es cierto que…”, “no ocurre que…”, “es falsoque…”, “no”, que se usan para modificar el valor de verdad de una proposición, sellaman modificador negativo o modificador no. Símbolo Interpretación No ~ No es cierto que… No ocurre que … Es falso que …El modificador negativo no es un conectivo lógico porque no enlaza proposiciones. Proposiciones Simples y Compuestas.Las proposiciones lógicas, según su estructura, se clasifican en: • Proposiciones simples, también llamadas atómicas. • Proposiciones compuestas, también llamadas moleculares.Proposiciones Simples: Son aquellas proposiciones que no se pueden dividir en otramas sencilla, y no poseen conectivos lógicos en su estructura.Ejemplo:p : El cielo es azulProposiciones Compuestas: Son aquellas que están formadas por dos o másproposiciones simples unidas por los conectores lógicos. Ejemplo:q: Fui al colegio, pero el colegio estaba cerrado.r: Los lectores de este documento son jóvenes o universitarios.w: Si el martes próximo me saco la lotería entonces te regalaré una moto.Bibliografía Consultada:Introducción a la Lógica, Karl. J. Smith, Grupo Editorial Iberoamérica.Matemática 1 Educ. Secundaria SGS, Luís Sáenz, Luís Gutiérrez, Róger Sequeira,Farben Grupo Editorial Norma.

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