Sequências e progressões

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Material preparado pelo Professor Daniel Mascarenhas para o 1o. ano do Ensino Médio, sonbre Sequências e Progressões (Matemática) - Colégio Espaço Aberto - Nov. 2011

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Sequências e progressões

  1. 1. Profº.Daniel Mascarenhas
  2. 2. <ul><li>Uma sequência numérica infinita é uma função cujo domínio é o conjunto dos números naturais não nulos. </li></ul><ul><li>Ex: Considere uma sequência infinita dada pela lei de formação a(n) = 3n+1, encontre os cinco primeiros. </li></ul>
  3. 3. <ul><li>Na  matemática , os  números de Fibonacci  são uma  sequência  ou sucessão definida como  recursiva  pela fórmula abaixo: </li></ul><ul><li>O algoritmo recursivo que define a série aplica-se, na prática, conforme a regra sugere: começa-se a série com 0 e 1; a seguir, obtém-se o próximo número de  Fibonacci  somando-se os dois anteriores e, assim, sucessiva e infinitamente. Os primeiros números de  Fibonacci   para  n  = 0, 1,… são </li></ul><ul><li>0 ,  1 ,  1 ,  2 ,  3 ,  5 ,  8 ,  13 ,  21 ,  34 ,  55 ,  89 ,  144 , 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946…Esta sequência foi descrita primeiramente por  Leonardo de Pisa , também conhecido como  Fibonacci , para descrever o crescimento de uma população de coelhos.  </li></ul>
  4. 4. <ul><li>Progressão aritmética (P.A.) é uma sequência em que cada termo a partir do segundo é igual ao termo anterior adicionado com uma constante chamada razão. </li></ul><ul><li>A razão da P.A. pode ser determinada pela diferença entre quiasquer dois termos consecutivos da sequência. </li></ul><ul><li>Interpolar é preencher, completar. Para interpolar termos aritméticos em uma P.A. é necessário conhecermos a razão. </li></ul>
  5. 5. <ul><li>A fórmula do termo geral de uma P.A. é usada para encontrar qualquer termo da P.A. </li></ul><ul><li>Ex: Determinar 0 22º termo de uma P.A. considerando que o primeiro termo é 6 e a razão é -2. </li></ul>
  6. 6. <ul><li>Para obter uma P.A. com 3 ou 4 termos, utiliza-se uma notação especial: </li></ul><ul><li>P.A. com 3 termos (x-r, x, x+r) </li></ul><ul><li>P.A. com 4 termos (x-3y, x-y, x+y, x+3y) em que y=r/2. </li></ul><ul><li>Para quaisquer três termos consecutivos de uma P.A. verifica-se que o termos médio é igual à média aritmética dos termos extremos, isto é: </li></ul>
  7. 7. <ul><li>Ex: Em determinado trecho de uma rodovia serão instalados sete postos de telefones para socorro. Considerando que o primeiro telefone deverá ser instalado no quilometro 12 e o último, no quilometro 30, deseja-se saber em quais quilômetros deverão ser colocados todos os postos. </li></ul>
  8. 8. <ul><li>A fórmula da soma dos termos de uma P.A. É dada por: </li></ul><ul><li>Ex: Determinar a soma dos 15 primeiros termos da P.A. (3, 7, 11, ...). </li></ul>
  9. 9. <ul><li>Progressão geométrica(P.G.) é uma sequência em que cada termo a partir do segundo, é dado pelo produto do termo anterior com uma constante q, chamada razão. </li></ul><ul><li>A razão da P.G. pode ser determinada pela razão de quaisquer dois termos consecutivos da sequência : </li></ul>
  10. 10. <ul><li>Para obter uma P.G. co 3 ou 4 termos, utiliza-se uma notação especial: </li></ul><ul><li>P.G. com 3 termos: </li></ul><ul><li>P.G. com 4 termos: , com . </li></ul><ul><li>O produto de termos eqüidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos, ou seja: </li></ul>
  11. 11. <ul><li>A fórmula do termo geral da P.G. é dada pela fórmula é dada por: . </li></ul><ul><li>Ex: Dada a P.G. (5, 10, 20, ...), determinar o oitavo termo da P.G. </li></ul>
  12. 12. <ul><li>01. Inserir cinco termos geométricos entre os números 3 e 12288, de modo que a P.G. obtida seja alternada. </li></ul>
  13. 13. <ul><li>Para calcular a soma dos termos de uma P.G. finita usamos: . </li></ul><ul><li>Ex. Determinar a soma dos 10 termos iniciais da P.G. (1, 3, 9, ...). </li></ul>
  14. 14. <ul><li>Para calcular o limite da soma dos termos de uma P.G. infinita, usamos: . </li></ul><ul><li>Ex: Determinar a soma dos termos P.G. (1/3, 1/6, 1/12, ...). </li></ul>

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