2. HISTORIA DEL CALCULO INTEGRAL
El cálculo integral, es una
rama de las matemáticas
en el proceso de
integración o
antiderivación, es muy
común en la ingeniería y
en la matemática en
general y se utiliza
principalmente para el
cálculo de áreas y
volúmenes de regiones y
sólidos de revolución.
3. Fue usado por primera
vez por científicos
como Arquímedes,
René Descartes, Isaac
Newton, Gottfried
Leibniz e Isaac Barrow.
Los trabajos de este
último y los aportes de
Newton generaron el
teorema fundamental
del cálculo integral
4. Consiste (intuitivamente) en la afirmación de que
la derivación e integración de una función son
operaciones inversas.
5. Esto significa que toda función continua
integrable verifica que la derivada de su integral es
igual a ella misma. Este teorema es central en la
rama de las matemáticas denominada análisis
matemático o cálculo.
6. DEFINICION LA INTEGRAL DEFINIDA E
INDEFINIDA
INTEGRAL INDEFINIDA:
es la funcion F(x) de la cual
proviene f(x). Se le conoce
como antiderivada o
funcion primitiva y se
obtiene al aplicar la regla
de derivacion al reves (al
final se le agrega una
constante C de
integracion).
7. INTEGRAL DEFINIDA: es la region bajo la
curva de f(x) definida por la funcion integrada y
evaluada con los limites superior (b) e inferior
(a)
8. SUMA DE RIEMANN
Es un método de integración numérica que nos
sirve para calcular el valor de una integral
definida, es decir, el área bajo una curva, este
método es muy útil cuando no es posible utilizar
el Teorema fundamental del cálculo.
9. La suma de Riemann consiste básicamente en trazar
un número finito de rectangulos dentro de un área
irregular, calcular el área de cada uno de los
rectangulos y sumarlos. El problema de este método
de integración numérica es que al sumar las áreas se
obtiene un margen de error muy grande.
11. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
1. El valor de la integral definida cambia de signo si se
permutan los límites de integración.
2. Si los límites que integración coinciden, la integral
definida vale cero.
3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la
integral definida se descompone como una suma de dos
integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].
4. La integral definida de una suma de funciones es
igual a la suma de integrales·
5. La integral del producto de una constante por una
función es igual a la constante por la integral de la
función.
12. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA
1. La integral de una suma de funciones es igual a la
suma de las integrales de esas funciones.
∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx
2. La integral del producto de una constante por una
función es igual a la constante por la integral de la
función.
∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx
13. TEOREMA DE EXISTENCIA
Sea una función real y = f (x) que es continua en un
intervalo [a, b].
Entonces se puede afirmar que existe al menos un
punto c perteneciente a dicho intervalo, para el que se
verifica: Que el valor de f (c) es el valor medio
de la función f (x) en el intervalo [a, b].
14. FUNCION PRIMITIVA
La función primitiva o antiderivada de una función f
es una función F cuya derivada es f, es decir, F = f.′
Una condición suficiente para que una función f
admita primitivas sobre un intervalo es que sea
continua en dicho intervalo
15. Si una función f admite una primitiva sobre un
intervalo, admite una infinidad, que difieren entre
sí en una constante: si F1 y F2 son dos primitivas
de f, entonces existe un número real C, tal que F1
= F2 + C. A C se le conoce como constante de
integración. Como consecuencia, si F es una
primitiva de una función f, el conjunto de sus
primitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama
integral indefinida de f y se representa como: ó
16. METODOS DE INTEGRACION
Método de integración por sustitución
Método de integración por partes
El Método de Sustitución Trigonométrica
El Método de las Fracciones Parciales
17. Método de integración por sustitución
Se basa en realizar un reemplazo de variables
adecuado que permita convertir el integrando en algo
sencillo con una integral o antiderivada simple. En
muchos casos, donde las integrales no son triviales, se
puede llevar a una integral de tabla para encontrar
fácilmente su primitiva. Este método realiza lo
opuesto a la regla de la cadena en la derivación.
18. Método de integración por partes
El método de integración por partes es el que
resulta de aplicar el siguiente teorema:
Eligiendo adecuadamente los valores de y ,
puede simplificarse mucho la resolución de la
integral.
19. El Método de Sustitución Trigonométrica
Este método, el cual es
un caso especial de
cambio de variable,
nos permitirá integrar
cierto tipo de
funciones algebraicas
cuyas integrales
indefinidas son
funciones
trigonométricas
20. El Método de las Fracciones Parciales
El método de las fracciones parciales consiste en
descomponer un cociente de polinomios en una suma
de fracciones de polinomios de menor grado. Se
utiliza principalmente en cálculo integral. El requisito
más importante es que el grado del polinomio del
denominador sea estrictamente mayor que el del
numerador.
