teoría

1. 1

2. Una piedra se deja caer
desde una torre de 540
pies. La altura de la
piedra, y en pies, por
encima del suelo t
segundos después se
modela mediante:
42016 2
 ty
tx 
x
y
420 pies
X representa el
desplazamiento
horizontal de la piedra,
en pies.

3. • Evalúa conjunto de ecuaciones paramétricas para
valores dados del parámetro.
• Traza curvas que estén representadas por
conjuntos de ecuaciones paramétricas.
• Escribe conjunto de ecuaciones paramétricas
como una ecuación rectangular eliminando el
parámetro.
3
PROPÓSITO DE
LA CLASE

4. ECUACIONES PARAMÉTRICAS
Reciben este nombre aquellas ecuaciones en que las variables
“x” e “y”, cada una separadamente, están expresadas en
función de la misma tercera variable “t”.
4
)(tfx 
)(tgy 
Nota: las ecuaciones paramétricas representan una sola curva
en el sistema de ejes coordenados.

5. 5
Ejemplos
-3  t  1.
Trace la curva representada por las ecuaciones
paramétricas, para cada uno de los intervalos.
1
-1  t  3.2
-2  t  4.3
22
 tx ty 3
-4  t  4.4

6. Cuando una curva se define en forma paramétrica, en
ocasiones es posible eliminar el parámetro y obtener una
ecuación rectangular en x e y, que representa a la curva.
ELIMINACIÓN DEL PARÁMETRO
6
Ecuaciones
paramétricas
Despejar t de
una de las
ecuaciones
Sustituir en
la otra
ecuación
Ecuación
rectangular
𝒙 = 𝒕 𝟐 − 𝟒
𝒚 = 𝒕/𝟐
𝒕 = 𝟐𝒚 𝒙 = (𝟐𝒚) 𝟐−𝟒 𝒙 = 𝟒𝒚 𝟐
− 𝟒

7. 7
Ejemplos
x = 5 - 3t, y = 2 + t
Elimine el parámetro e identifique la gráfica
de las curvas paramétricas.
1 x = 2 - 3t, y = 5 + t
2
x = 0.5t, y = 2t3 – 3, -2  t  23
x = t + 2, y = 4/t, t  24
5 20,sen4,cos4  ttytx

8. 8
ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE ALGUNAS CURVAS Y
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Sea la circunferencia de centro
en O y radio a. además M(x,y)
un punto de la curva y θ= <XOM
Se tiene, como ecuaciones paramétricas de la circunferencia.
CIRCUNFERENCIA
𝒙 = 𝒂 𝒄𝒐𝒔 𝜽
𝒚 = 𝒂 𝒔𝒊𝒏 𝜽
y
xO
M
N
x
y
𝜽
a

9. 9
Tómese al eje x como la recta fija OX
sobre la cual se hace rodar la
circunferencia de centro C y radio r, y sea
M el punto fijo que describe la curva.
CICLOIDE
Es la curva descrita por un punto fijo de la circunferencia que
rueda, sin resbalar, a lo largo de una recta fija.

10. 10
CICLOIDE
En el momento en que comienza a rodar la circunferencia, el punto M coincide
en el origen con T, punto de contacto de la circunferencia con OX. Cuando M y T
lleguen a A, cada punto habrá hecho un recorrido igual a 2πr, es decir, en todo
instante genérico, la distancia OT es igual al arco TM. Teniendo presente que
cuando la medida del ángulo se da en radianes, el arco es igual al radio
multiplicado por el número que mide el ángulo, se puede escribir.
Se tiene, como ecuaciones paramétricas del cicloide.
y
x
M N
P TO
C
𝜽
𝑥 = 𝑂𝑃 = 𝑂𝑇 − 𝑀𝑁 = 𝑟𝜃 − 𝑟 sin 𝜃 ;
𝑦 = 𝑃𝑀 = 𝑇𝐶 = −𝑁𝐶 = 𝑟 − 𝑟 cos 𝜃 ;
𝒙 = 𝒓(𝜽 − 𝒔𝒊𝒏 𝜽);
𝒚 = 𝒓(𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝜽);

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Ejemplos
Hipocicloide.
Halle la representación paramétrica de las
siguientes curvas.
1
Elipse.
2
Epicicloide.3