sesión de aprendizaje sobre conjuntos

1. ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE N° 01
I. PARTE INFORMATIVA :
1.1. UGEL : Zarumilla
1.2. Institución Educativa : N° 098 “El Gran Chilimasa”
1.3. Director : Oscar Alberto Chunga Carmen
1.4. Docente : Elmer Tandazo Balladares.
1.5. Nivel : Secundario
1.6. Área : Matemática
1.7. Grado/Año : Primero
1.8. Ciclo : VI
1.9. Duración : 90 minutos.
1.10. Fecha : Tumbes, 10 de Marzo de 2014
1.11. Unidad De Aprendizaje : Aprendamos a ser responsables practicando valores.
II. DENOMINACIÓN:
Conociendo el mundo de los conjuntos.
III. PROPÓSITO SOCIAL:
Reflexionen sobre el valor de la Responsabilidad y Perseverancia, y la importancia que
esta significa para alcanzar nuestras metas.
IV. SELECCIÓN DE ÁREAS, COMPETENCIAS, ESTÁNDAR DE APRENDIZAJE (MAPA DE
PROGRESO), CAPACIDADES, INDICADORES, TÉCNICAS E INSTRUMENTOS DE
EVALUACIÓN
Competencias
Estándar de
aprendizaje
Capacidades Conocimientos Indicadores
Técnicas e
instrumentos
de evaluación
Resuelve
situaciones
problemáticas de
contexto real y
matemático que
implican la
construcción del
significado y el uso
de los números y
sus operaciones,
empleando
diversas
estrategias de
solución,
justificando y
Representa cantidades
discretas o continuas
mediante números enteros
y racionales en su
expresión fraccionaria y
decimal en diversas
situaciones. Compara y
establece equivalencias
entre números enteros,
racionales y porcentajes;
relaciona los órdenes del
sistema de numeración
decimal con potencias de
base diez. Selecciona
unidades convencionales e
instrumentos
Matematiza,
representa,
comunica,
elabora
estrategias
para resolver
problemas,
utiliza
expresiones
simbólicas,
técnicas y
formales, y
argumenta.
Teoría de
conjuntos:
Determinación
y clasificación
de conjuntos,
relación entre
conjuntos y
operaciones con
conjuntos.
Determina y
clasifica los
conjuntos a
través de la
relación de
elementos a
conjuntos.
Realiza
operaciones con
conjuntos a
través de
cálculos
pertinentes.
Técnica:
Observación
sistemática
Instrumento:
Lista de
cotejo.

2. valorando sus
procedimientos y
resultados.
Apropiados para describir
y comparar la masa de
objetos en toneladas o la
duración de un evento en
décadas o siglos. Resuelve
y formula situaciones
problemáticas de diversos
contextos referidas a
determinar cuántas veces
una cantidad contiene o
está contenida en otra,
determinar aumentos o
descuentos porcentuales
sucesivos, relacionar
magnitudes directa o
inversamente
proporcionales, empleando
diversas estrategias y
explicando por qué las usó.
Relaciona la
potenciación y la
radicación como procesos
inversos
V. DESARROLLO DE LA SESIÓN:
MOMENTOS ESTRATEGIAS
RECURSOS Y
MATERILAES
TIEMPO
INICIO
 Con esta portada buscamos que los alumnos(as)
reflexionen sobre el valor de la Responsabilidad
y Perseverancia, y la importancia que esta
significa para alcanzar nuestras metas.
 Plumones.
 Separata.
 Software en
línea Bubbl.us
 Computadora
20
minutos

3.  Se propicia el dialogo que en la vida diaria
encontramos objetos que tienen
características comunes que podemos agrupar,
como por ejemplo: conjunto de libros, lapiceros,
mobiliarios, varones, etc. con la finalidad de
despertar el interés en los estudiantes, luego
se realizará lluvia de ideas sobre el tema para
recordar conceptos básicos desarrollados en
primaria y tener una idea concreta sobre el
nivel académico de los estudiantes y así
desarrollar sin problemas la clase.
DESARROLLO
 Se realizan intervenciones orales sobre
conceptos básicos de conjuntos.
 Determinar los conceptos básicos de conjuntos
para luego elaborar un mapa conceptual.
 Graficar en la pizarra la superposición de dos
figuras geométricas y pedir a los alumnos(as)
que determinen las operaciones de unión,
intersección, diferencia, diferencia simétrica y
complemento.
 El alumno resolverá ejercicios propuestos por
el profesor en el aula.
40
minutos
CIERRE
 Se hace evaluación de los avances en los
estudiantes de acuerdo a sus niveles de
aprendizaje.
 El alumno elaborara un mapa conceptual sobre
operaciones con conjuntos.
30
minutos

4. VI. BIBLIOGRAFIA:
6.1. Científica:
 BALDOR Aurelio (1995), Aritmética, Décima reimpresión, México.
 DE LA CRUZ SOLORZANO, Máximo (2006) Aritmética, 3ra Edición,
Lima Ediciones Luren S.A.
 FARFÁN ALRCÓN, Oscar Raúl (2008). Aritmética, Editorial San Marcos.
Lima,
 RUBIÑOS TORRES, Luis (2010). Razonamiento Matemático La Enciclopedia,
Ediciones Rubiños. Perú.
6.2. Didáctica:
 ALVAREZ DE ZAYAS, Carlos (2005). Didáctica de la Educación Superior,
6ta Edición. Fondo Editorial FACHSE. UNPRG. Lambayeque. Perú.
 GALVEZ VASQUEZ, José (1992) Métodos y técnicas de aprendizaje, 3ra
Edición, Cajamarca Editorial Estela.
 VIRGILIO GUTIÉRREZ, Mercedes (2005),Didáctica de la matemática –
Tomo II, 1ra Edición, Lima – Perú.

7. RESUMEN CIENTÍFICO
NOCIÓN DE CONJUNTO:
Entenderemos por conjunto a la reunión, agrupación,
colección o familia de integrantes homogéneos o
heterogéneos que reciben el nombre de elementos del
conjunto.
DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS:
Un conjunto queda determinado cuando es posible
decidir si un objeto dado pertenece o no al conjunto.
Para determinar conjuntos se puede proceder:
1. Por Extensión: Cuando se mencionan todos los
elementos del conjunto, por ejemplo:
A = {Brasil, Argentina, Uruguay}
B = {0; 1; 2; 3}
2. Por Comprensión: Cuando se enuncia una
propiedad o característica común que deben
cumplir sus elementos, por ejemplo en los
conjuntos anteriores como:
A = {x/x es un país sudamericano que ha ganado un
campeonato mundial de fútbol}
B = {x/x es un número natural menor o igual que 3}
RELACIÓN DE PERTENENCIA:
Si un objeto “x” es elemento de un conjunto “A”,
escribiremos xA lo que se lee: “x” pertenece al
conjunto “A”. En caso contrario, escribiremos xA lo
que se lee: “x” no pertenece al conjunto “A”.
Ejemplo:
Si: A = {2; 5; 8; 9}, entonces 2A y 3A
El símbolo  denota una relación de elemento a
conjunto.
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS:
1. Inclusión: Dados los conjuntos “A” y “B”,
diremos que “A” es subconjunto de “B” o que
“A” está incluido en “B”, si cada elemento de
“A” es también un elemento de “B”. Se denota:
A  B
Simbólicamente:
A  B   x: x  A  x  B
Esto significa: “A” está incluido en “B” si y sólo
si para todo “x”, si “x” pertenece a “A”,
entonces “x” pertenece a B.
El símbolo  denota una relación de conjunto a
conjunto.
Observación:
Representación gráfica de A  B
AB
A = B
B
A
A B
(“A” es subconjunto propio de “B”)
2. Igualdad: Dos conjuntos son iguales, si tienen los
mismos elementos. Usando la relación de inclusión
se tiene que:
A = B  A  B  B  A
Ejemplo:
Si: A = {0; 1; 2} y
B = {x/x es un número natural menor que 3},
Entonces: A = B
CONJUNTOS ESPECIALES:
1. Conjunto Vacío (nulo): Es aquel que carece de
elementos. Se le representa por “” o {}.
Por ejemplo:
A = {x/x  N; 4<x<5}
Nota:
El conjunto vacío se considera subconjunto de
todo conjunto. Simbólicamente  A,   A.
2. Conjunto Unitario: Es aquel conjunto que tiene un
sólo elemento.
Ejemplo:
1. {5; 5 ;5 ;5 ;5; 5}
2. {x/x  Z  -5< x< -3}
3. Conjunto Universal: Es un conjunto que contiene
todos los elementos de determinado contexto. Se

8. denomina UNIVERSO (U). Existen muchos universos
posibles.
4. Conjunto Potencia: Se llama así a aquel conjunto
que tiene por elementos a todos los subconjuntos
de un conjunto dado, por ejemplo:
Dado: A = {m, n, p}
Luego su conjunto potencia, que se denota por P(A),
será:
P(A)= {{m},{n},{p},{m,n},{m,p},{n,p}, {m,n,p}, }
El número de elementos del conjunto potencia se
puede determinar en la siguiente relación:
n [P (A) ] =2n (A)
Dónde: n(A) es el número de elementos del conjunto
“A”.
Observación:
1. Al número de elementos de un conjunto se le
llama también cardinal del conjunto.
2. Se llama conjunto disjuntos, a aquellos que no
tienen elementos comunes, por ejemplo:
A = {1; 2; 3; 4}
B = {13; 14; 15}
3. Todo conjunto tiene subconjuntos, y la cantidad
de estos está dada por la siguiente relación:
Número de subconjuntos = 2n(A)
4. Se llama subconjunto propio, a todos los
subconjuntos de un conjunto dado; excepto al
que es igual al conjunto.
Número de subconjuntos propios = 2n(A) – 1
EJERCICIOS RESUELTOS
01. Hallar la suma de los elementos del siguiente
conjunto:





 




     

 
x 3
 N / x N x 15

2
A
Solución:
Como: x  N  x 15
 x {0;1;2;.....; 14}
 
3 x

Hallamos los elementos de A forma: N
2
  

 




      



13 3
;
2
11 3
;
2
9 3
;
2
7 3
;
2
5 3
;
2
3 3
2
A
A {0;1;2;3;4;5}
  Elementos = 0 +1+2+3+4+5 = 15
02. Hallar el número de elementos del siguiente
conjunto:
T {(x 4) / x Z 5 2x 1 3} 2        
Solución:
Hallamos los valores de “x”
3 1 x2 5    
4 x2 4   
2 x 2   
x = {- 2; - 1; 0; 1; 2}
Hallamos los elementos de la forma: 4 x2 
( 2) 4 8 2    ; (2) 4 8 2   ; (0) 4 4 2  
( 1) 4 5 2    ; (1) 4 5 2  
Luego, los elementos son: T = {4; 5; 8}
 N(T) = 3 elementos
03. Sabiendo que: n(A) - n(B) = 4. Además entre A y B
tienen 544 subconjuntos. Hallar: n(A) + n(B)
Solución:
Si: n(B) = x  n(A) = x+4
Total de subconjuntos: 544
2 2 544 x 4 x   
2 .(2 1) 544 x 4  
2 32 x 
 x = 5
Luego: n(A) = 9; n(B) = 5
 n(A) + n(B) = 14
04. Sabiendo que:
A= {x/x es un número de 3 cifras de la base 6}

9. B= {x/x es un número de 4 cifras de la base 5}
Determinar: n (A  B)
Solución:
Del enunciado:
A {1006;1016;1026;...5556}
A  {36;37;38;........; 215 }
B  {10005;10015;10025;.....; 44445}
B{125;126;127;.......; 624}
Luego:








A B 125;126;127;......; 215

215 124 91 números


 
 
 91 ) B A( n  
05. Dado el conjunto A = {1; 2; 3; {4; 5} }, ¿Cuántas de
las siguientes proposiciones son verdaderas?
I. 4  A IV. {4; 5}  P(A)
II. {4 ; 5}  A V.   {4 ; 5}
III. {1 ; 2 ; 3}  A
Solución:
I) F II) V III) V
IV) F V) F
2 verdaderas
06. Hallar el cardinal de A, si:
A =






 IN; 3x  25
x
2
x
Solución:
x
2
 N  x es par ...... (1)
3 x < 25

x < 8,3
 x = {1; 2; ...; 8} ..... (2)
De (1) y (2): {2 ; 4 ; 6 ; 8 }
 n (A) = 4
07. Dados los conjuntos A; B y C subconjuntos de los
números naturales.
A = { (3x – 7) / x  Z+  x < 8 }
B =







y 
4
y A
2
C = { z es impar / z  B }
Hallar: n { A  B  C}
Solución:
* A : x  Z+  x < 8 ; {1; 2 ; ... ; 7}
A = {2 ; 5 ; 8 ; 11 ; 14}
* B : y + 4 es par  y = { 2 ; 8 ; 14 }
B = { 3 ; 6 ; 9 }
* C : = {3 ; 9 }
A  B  C = 
08. Determinar el conjunto "B",
si: B = {x/x2 – 5x + 6 = 0 }
a) { 2 } b) { 3 } c) { 2, 3 }
d) { , 2, 3 } e) { , {2}, {3} }
Solución:
Factorizamos la expresión:
x2 – 5x + 6 = 0 x = 2
x – 3 Luego: (x– 3) (x– 2)= 0
x – 2 x = 3
Luego el conjunto "B" queda determinado:
B = { 2, 3}
CLAVE: "C"
09. Si los conjuntos A y B son iguales, donde:
A = {a2 + 2a ; b3 – b}
B = {2a ; 15}
Hallar: a . b, siendo a y b naturales
a) 3 b) 15 c) 9
d) 12 e) 6
Solución:
Como A y B son iguales:

10. a2 + 2a = 15  a = 3 ; a = – 5
b3 – b = 2a  b (b + 1) (b – 1) = 6  b = 1
 a . b = 3
CLAVE: "A"
10. Si: A = {3. {5} }
Decir cuál de las siguientes afirmaciones es
verdadera:
a) {3, 5}  A b) {5}  A C) 5  A
d) {{5}}  A e) {{{5}}}  A
Solución:
Del conjunto: A = {3, {5} }, calculamos los
subconjuntos de dicho conjunto "A":
A = { {3}; { {5} }; { 3, {5} };  }
Por lo tanto: { {5} }  A
CLAVE: "D"
11. Si el conjunto A tiene 3 elementos ¿Cuántos
subconjuntos propios tiene el conjunto potencia
de P(A)?
a) 23 – 1 b) 28 – 1 c) 216 – 1
d) 2256 – 1 e) 264 – 1
Solución:
Si el conjunto A tiene 3 elementos, el conjunto P(A)
tiene 23 = 8 elementos
Si el conjunto P(A) tiene 8 elementos, el conjunto
potencia de P(A) tiene 28 = 256 elementos.
Por lo tanto, el número de subconjuntos propios
del conjunto potencia de P(A) será:
 2 1 256 
CLAVE: “D”
12. Sabiendo que el conjunto: A = {a + b ; a + 2b- 2 ;
10} es un conjunto unitario. ¿Cuál es el valor de
= a2 + b2?
a) 16 b) 80 c) 68
d) 58 e) 52
Solución:
Para que sea un conjunto unitario, los elementos
deben ser, luego:
* a +b = 10 ...... ()
* a + 2b - 2= 10  a + 2b = 12 ...... ()
De () y (): a = 8  b = 2
 a2 + b2 = 68
CLAVE: “C”
13. Si: A = {x / x  Z  10 < x < 20}
  15 y  A}
 

B = {y + 5 / y  Z  

¿Cuál es la suma de los elementos de B?
a) 45 b) 50 c) 55
d) 60 e) 65
Solución:
El conjunto A, determinado por extensión es:
A = {11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19}
 

 y  15  A:
En el conjunto B, como 

y  {0; 1; 2; 3; 4}
 y  {0; 1; 4; 9; 16}
Luego: B = {5; 6; 9; 14; 21}
 Suma de elementos de B = 55
CLAVE: “C”
14. Dados los siguientes conjuntos iguales:
A = {a + 2 ; a + 1}
B = {7 - a ; 8 - a}
C = {b + 1 ; c + 1}
D = {b + 2 ; 4}
Determinar el valor de: a + b + c
a) 2 b) 5 c) 7
d) 10 e) 12
Solución:
Para que sean iguales deben tener los mismos
elementos, luego:
Si: A = B, los elementos de A y los de B deben ser
los mismos, entonces, igualando los mayores:
a + 2 = 8 - a  a = 3

11. De donde los elementos de A son 5 y 4, por lo que,
si A = D:
b + 2 = 5  b = 3
Por lo tanto: a + b + c = 10
CLAVE: “D”
15. Sea: U = {1; 2; 3; ...}
Entonces, dados los conjuntos:
A = {2x/x  U  x < 5}
B = {1,5x - 1 / x  A}
¿Cuál es el número de elementos de A  B?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
Solución:
Determinando el conjunto A por extensión:
Como: x < 5  x  {1; 2; 3; 4}  A = {2; 4; 6; 8}
Determinando el conjunto B por extensión:
Como: x  A = {2; 4; 6; 8}  B = {2; 5; 8; 11}
Luego: A  B = {2; 8}
 n(A  B) = 2
CLAVE: “B”
16. El conjunto A tiene 2 elementos menos que el
conjunto B, que por cierto posee 3 072
subconjuntos más que A. Si tales conjuntos son
disjuntos. ¿Cuál es el conjunto de A  B?
a) 19 b) 20 c) 21
d) 22 e) 24
Solución:
Si asumimos que el número de elementos de A es
“x”, se tiene:
n(A) = x   de subconjuntos de A = 2x
n(B) = x + 2   de subconjuntos de
B = 2x+2
Luego, por dato: 2x+2 – 2x = 3 072
Operando algebraicamente: 2x(22 - 1) = 3 072
3072
x 10 10024 2
2   
3
Luego: x = 10
Entonces: n(A) = 10  n(B) = 12
Por lo tanto, como A y B son disjuntos:
 n(A  B) = 10 + 12 = 22
CLAVE “D”
17. ¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto “B”,
donde: B = (A  C) – (A  C),
si: A = {x/x3 – 6x2 + 12 x – 8 = 0}
y : C = {x/x2 + x – 20 = 0} ?
a) 2 b) 4 c) 8
d) 16 E) 32
Solución
Determinando ambos conjuntos por extensión
luego de observar algebraicamente que:
x3 – 6x2 + 12x – 8 = (x – 2)3
x2 + x – 20 = (x – 4) (x + 5)
Se tiene:
A = {x/(x - 2)3 = 0} = {x/x – 2 = 0}  A = {2}
C = {x/(x - 4) (x+5) = 0} {x/x - 4  x +5 =0}  C= {4;
5}
Entonces:
A  C = {2; 4; –5}
A  C = 
Luego:
B = (A  C) – (A  C) = {2; 4; 5}
Como:
n(B) = 3   # de subconjuntos de:
B = 23 = 8
CLAVE “C”
18. Para 2 conjuntos A y B se cumple que:
* A tiene 16 subconjuntos
* B tiene 8 subconjuntos
* A  B tiene 32 subconjuntos
¿Cuántos subconjuntos tiene A  B?
a) 2 b) 4 c) 8
d) 16 e) 32
Solución
Recuerda que le número de subconjuntos de x es
n(x) 2 donde n(x) es el número de elementos del
conjunto x, entonces:
* # de subconjuntos de A = 16 = 24  n (A) = 4
* # de subconjuntos de B = 8 = 23  n(B) = 3
* # de subconjuntos de A  B =32 = 25  n(A 
B) = 5
Como: n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B)
Reemplazando:

12. 5 = 4 + 3 – n(A  B)  n(A  B) = 2
Por lo tanto:
# subconjunto de A  B = 22= 4
CLAVE “B”
19. Se tomó una encuesta a 300 personas sobre
preferencia de 3 diarios A, B y C, con
averiguándose que:
* 250 leen A o B
* 100 leen A pero no leen B
* 120 no leen B pero no leen A
* 20 no leen estos diarios
¿Cuántas personas, como mínimo, leen A y B pero
no C?
a) 18 b) 19 c) 20
d) 21 e) 22
Solución:
El diagrama de Venn - Euler correspondiente será:
A B
a e b
c
C
g
d
f
20
U = 300
Nos piden: ? emi 
De los datos:
* a + d + e + g +b + f = 250 ... (I)
* a + d = 100 ... (II)
* b + f = 120 ... (III)
* g  10
Reemplazando (II) y (III) en (I):
100 + e + g + 120 = 250  e + g = 30
e = 30 - g
El menor valor de “e” se conseguirá si g es
máximo o sea: g = 10
 = emin  20
CLAVE “C”
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. De un grupo de 100 alumnos, 49 no llevan el curso
de aritmética, 53 no llevan álgebra y 27 no llevan
aritmética ni álgebra. ¿Cuántos alumnos llevan un
solo curso?
a) 36 b) 48 c) 40
d) 28 e) 54
02. De un grupo de personas encuestadas, el 40%
prefieran el producto A y el 56% prefieran el
producto B; si el 40% de los que prefieran A también
prefieran B y 120 personas no prefieren ninguno de
los dos productos. ¿Cuántos prefieren exactamente
un producto?
a) 277 b) 305 c) 196
d) 384 e) 327
03. En un grupo de 55 personas, 25 hablan inglés, 32
francés, 33 alemán y 5 los tres idiomas. Si todos
hablan por lo menos un idioma. ¿Cuántas personas
del grupo hablan exactamente dos de estos
idiomas?
a) 25 b) 20 c) 18
d) 36 e) 32
04. Luego de combinar "n" frutas distintas, para prepara
jugo surtido se obtuvieron 247 de tales jugos. Hallar
"n"
a) 10 b) 9 c) 8
d) 7 e) N.A.
05. Sabiendo que: n (G) – n(S) = 3
Además, entre G y S fueron 2560 subconjuntos.
Hallar n(G) + n(S).
a) 17 b) 19 c) 18
d) 20 e) N.A.
06. Sabiendo que:
3
4
n(A)
n(B)

Además: n [ P (B) ] – n [ P (A) ] = 192
y n [ A  B) = 3 Hallar: n (A  B)
a) 7 b) 8 c) 11
d) 10 e) 5
07. Si: A  B y A  C = 
Calcular: [A  (B – C) ]  [B  (C – A) ]
a) A  B b) A – B c) B – A
d) B  C e) C – B

13. 08. Si: n [ P (A  B) ] = 128
n [ P (A – B) ] = 64
n [ A . B ] = 195
Hallar: n [ B – A]
a) 13 b) 6 c) 7
d) 2 e) 8
09. Para dos conjuntos A y B se cumple que:
n (A  B) = 16 ; Además: n [ P (A) ] + n [ P (B) ] = 40
Determinar: n [ P (A  B) ]
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 8
10. Una persona come huevos o tocino en el desayuno
cada mañana durante el mes de abril. Si come tocino
25 mañanas y huevos 18 mañanas. ¿Cuántas
mañanas come huevos y tocino?
a) 13 b) 15 c) 17
d) 19 e) 21
11. Simplificar:
[A – (B  P)]  (B – A) sabiendo que A  P.
a) B b) A c) A  P
d) A  P e) 
12. Si:







n 16
 / 2 n 5 ; n N

  

n 
4
A
2
Hallar la suma de los elementos de “A”
a) 25 b) 20 c) 18
d) 30 e) 32
13. Hallar: b + c – a, sabiendo que los conjuntos: A; B y
C son conjuntos iguales
A = {a + 2; 3 – a}, B = {a –1; 6 – a}, C = {1; b + c}
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
14. Para dos conjuntos A y B se cumple que:
n(A  B) = 6, Además: n{P(A)} +
n{P(B)} = 40
Determinar: n{P(A  B)}
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 8
15. Si el conjunto potencia de A tiene 512 elementos
más que el conjunto de potencia de B; ¿Cuántos
elementos podría tener mínimo, el conjunto (A 
B)?
a) 6 b) 10 c) 4
d) 5 e) 2
16. De 150 alumnos, 104 no postulan a la U.N.T., 109 no
postulan a la U.P.A.O. y 70 no postulan a estas
universidades. ¿Cuántos postulan a ambas?
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
17. De cierto número de figuras geométricas se sabe
que 60 son cuadriláteros, 20 son rombos, 30 son
rectángulos y 12 no son rombos ni rectángulos.
¿Cuántos son cuadrados?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e)5
18. De un grupo de 41 estudiantes de idiomas que
hablan inglés, francés o alemán, son sometidos a un
examen de verificación, en el cual se determinó que:
* 22 hablan inglés y 10 solamente inglés
* 23 hablan francés y 8 solamente francés
* 19 hablan alemán y 5 solamente alemán
¿Cuántos hablan inglés, francés y alemán?
a) 6 b) 69 c) 4
d) 5 e) 2
19. En un salón se encuentran 52 alumnos de los cuales
30 son hombres, 12 mujeres no tienen 18 años. Si 30
personas tienen 18 años. ¿Cuántos hombres tienen
18 años?
a) 10 b) 12 c) 22
d) 20 e) 30
20. De 150 personas que fueron encuestados se obtuvo
los siguientes resultados:
* 70 son mujeres
* 85 personas beben café
* 18 mujeres no beben café
¿Cuántos hombres no beben café?
a) 35 b) 33 c) 47
d) 51 e) 29