2. Un vector en el espacio es cualquier segmento
orientado que tiene su origen en un punto y
su extremo en el otro.
3. Las características de un vector son:
Módulo
Dirección
Sentido
El módulo de un vector es un número que coincide con la "longitud" del
vector en la representación gráfica.
4. La dirección de un vector es la dirección de la recta que
contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.
5. La dirección de un vector es la dirección de la recta que
contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.
6. Un vector en el espacio euclídeo tridimensional se puede expresar como
una combinación lineal de tres vectores unitarios o versores perpendiculares
entre sí que constituyen una base vectorial.
En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se representan por , , ,
paralelos a los ejes de coordenadas x, y, z positivos. Las componentes del
vector en una base vectorial predeterminada pueden escribirse entre
paréntesis y separadas con comas:
Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores ax, ay, az, son las
componentes de un vector que, salvo que se indique lo contrario, son números
reales.
7. Una representación conveniente de las magnitudes vectoriales es mediante
un vector columna o un vector fila, particularmente cuando están implicadas
operaciones matrices (tales como el cambio de base), del modo siguiente:
Con esta notación, los vectores cartesianos quedan expresados en
la forma:
8. La suma de dos vectores libres es otro vector libre que se determina de la siguiente
forma:
Se sitúa el punto de aplicación de uno de ellos sobre el extremo del otro; el vector
suma es el vector que tiene su origen en el origen del primero y su extremo en el
extremo del segundo.
Por tanto, el vector suma de dos vectores coincide con una de las diagonales, la
"saliente", del paralelogramo que puede formarse con los vectores que se suman; la
otra diagonal representa la resta de dichos vectores.
9. La suma de los vectores podemos realizarla de dos maneras diferentes,
analítica y gráficamente.
Procedimiento Gráfico:
Para sumar dos vectores de manera gráfica utilizaremos la denominada Regla del
paralelogramo, consistente en trasladar paralelamente los vectores hasta unirlos por
el origen, y luego trazar un paralelogramo, del que obtendremos el resultado de la
suma, como consecuencia de dibujar la diagonal de ese paralelogramo, como
podemos ver en el siguiente dibujo:
10. Dados tres vectores
La expresión correspondiente al vector suma es:
siendo, por tanto:
11. El producto escalar de dos vectores, expresado analíticamente como r · v, se obtiene
de la suma de los productos formados por las componentes de uno y otro vector. Es
decir, dados dos vectores r y v, expresados en un mismo sistema de coordenadas:
r = rxi + ryj + rzk
v = vxi + vyj + vzk
teniendo en cuenta que el producto escalar de los vectores :
i · i = j · j = k · k = 1
i · j = i · k = j · k = 0
el resultado de multiplicar escalarmente r por v es:
r · v = rx· vx + ry · vy+ rz · vz
Esta operación no solo nos permite el cálculo de la longitud de los segmentos
orientados que representan ( sus módulos ), sino también calcular el ángulo que hay
entre ellos. Esto es posible, ya que el producto escalar también se puede hallar en
función de sus módulos y del coseno del ángulo que forman mediante la fórmula :
r · v = |r| · |v| · cos (r, v)
12. Producto escalar
El producto escalar de dos vectores es por definición un escalar.
Propiedades:
Podemos usar ahora el producto escalar para encontrar el ángulo de los vectores a y b:
Con lo que deducimos que:
El cos dará siempre entre 0 y 1
El producto escalar varía como máximo entre el y 0
El cos nos dice si los vectores son paralelos o perpendiculares
Si cos de a y b = 0 vectores perpendiculares.
Si cos de a y b <> 0 vectores perpendiculares.
En este caso, , podemos sacar como conclusión que a = 0 ó b = 0, o bien que a y b son
mutuamente perpendiculares.
13. El producto vectorial de los vectores a y b, se define como un vector, donde su
dirección es perpendicular al plano de a y b, en el sentido del movimiento de un
tornillo que gira hacia la derecha por el camino más corto de a a b,
Se escribe . Por tanto:
donde n es un vector unitario perpendicular al plano de a y b en el sentido del movimiento
de un tornillo que gira hacia la derecha de a a b.
14. Un vector no solo nos da una dirección y un sentido, sino también una magnitud, a esa
magnitud se le denomina módulo.
Gráficamente: es la distancia que existe entre su origen y su extremo, y se representa por:
15. En muchas ocasiones es conveniente tomar las componentes sobre tres direcciones
mutuamente perpendiculares OX, OY y OZ que forman un sistema cartesiano
tridimensional.
Si tomamos tres vectores unitarios, i sobre OX, j sobre OY y k sobre OZ, entonces
podemos encontrar puntos ax, ay, az sobre OX, OY, OZ, respectivamente, tales que:
y aplicando el teorema de Pitágoras nos encontramos con que el módulo de a es:
