18. COORDERNADAS ESFERICAS O CILINDRICAS

17,066 views

Published on

Published in: Travel
1 Comment
1 Like
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total views
17,066
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
6
Actions
Shares
0
Downloads
274
Comments
1
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

18. COORDERNADAS ESFERICAS O CILINDRICAS

  1. 1. Coordenadas cilíndrica<br />Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje.<br />El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana.<br />Un punto P en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ,φ,z), donde:<br />ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto P al eje z, o bien la longitud de la proyección del radiovector sobre el plano XY<br />φ: Coordenada acimutal, definida como el ángulo que forma con el eje X la proyección del radiovector sobre el plano XY.<br />z: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano XY.<br />Los rangos de variación de las tres coordenadas son<br />La coordenada acimutal φ se hace variar en ocasiones desde -π a +π. La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de ρ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, ρ vuelve a aumentar, pero φ aumenta o disminuye en π radianes.<br />Contenido[ocultar]1 Relación con otros sistemas de coordenadas 1.1 Relación con las coordenadas cartesianas2 Líneas y superficies coordenadas3 Base coordenada4 Diferenciales de línea, superficie y volumen 4.1 Diferencial de línea4.2 Diferenciales de superficie4.3 Diferencial de volumen5 Operadores diferenciales en coordenadas cilíndricas<br />Relación con otros sistemas de coordenadas [editar]<br />Relación con las coordenadas cartesianas [editar]<br />Coordenadas cilíndricas y ejes cartesianos relacionados.<br />Líneas y superficies coordenadas [editar]<br />Las líneas coordenadas son aquellas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas cilíndricas, estas son:<br />Líneas coordenadas ρ: Semirrectas horizontales partiendo del eje Z.<br />Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales.<br />Líneas coordenadas z: Rectas verticales<br />Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son:<br />Superficies ρ=cte.: Cilindros rectos verticales.<br />Superficies φ=cte.: Semiplanos verticales.<br />Superficies z=cte.: Planos horizontales.<br />Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema ortogonal.<br />Base coordenada [editar]<br />A partir del sistema de coordenadas cilíndricas se puede definir una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones<br />e inversamente<br />En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala<br />Disponiendo de la base de coordenadas cilíndricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es<br />Nótese que no aparece un término . La dependencia en esta coordenada está oculta en los vectores de la base.<br />Efectivamente:<br />Diferenciales de línea, superficie y volumen [editar]<br />Diferencial de línea [editar]<br />Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas cilíndricas, viene dado por<br />Diferenciales de superficie [editar]<br />La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es complicada.<br />Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, q3 = cte. el resultado es<br />y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.<br />En el caso particular de las coordenadas cilíndricas, los diferenciales de superficie son<br />ρ=cte: <br />φ=cte: <br />z=cte: <br />Diferencial de volumen [editar]<br />El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que<br />que para coordenadas cilíndricas da<br />Operadores diferenciales en coordenadas cilíndricas [editar]<br />El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas cilíndricas. Estas son:<br />Gradiente<br />Divergencia<br />Rotacional<br />Laplaciano<br />

×