Teorema de Bhaskara na 8º série do Ensino Fundamental

1. Teorema de Bhaskara na 8o s´rie do Ensino Fundamental
e
Eduardo Mauricio
17 de maio de 2011
1

2. Passei pela UNICAMP
Um dia destes eu estava caminhando pelo ciclo b´sico da Universidade quando me deparei
a
com dois amigos. Trocamos id´ias sobre como estava sendo as nossas vidas e um deles me
e
perguntou se eu sabia como era resolvido a Equa¸˜o de 2o para os alunos da 8o s´rie!!! Para
ca e
ser sincero eu havia acabado de sair do Instito de Matem´tica, Estat´
a ıstica e Computa¸˜o
ca
Cient´ıfica(IMECC) e havia visto a aula (um pouco complicada) conhecida como “Teoria
Aritm´tica dos N´meros” lecionada pela Professora Dessislava H. Kochloukova e no embalo
e u
n˜o demorei para responder o trivial...”Teorema de Bhaskara“!!!!
a
Ele sorriu e me lembrou que os alunos de 8o s´rie acabaram de ver assuntos sobre produtos
e
not´veis(express˜o alg´brica do tipo (a + b)2 ) fatora¸˜o, entre outros assuntos...
a a e ca
Eu confirmei a sua palavra e lembrei da possibilidade de reduzir a equa¸˜o de 2o grau
ca
para a forma de um produto not´vel e depois desenvolver a express˜o alg´brica.
a a e
Pensei no seguinte exemplo te´rico:
o
a.x2 + b.x + c = 0 onde a,b,c ∈ N e x ∈ R
Dividindo ambos os lados por a obtemos:
a 2 b c 0
.x + .x + =
a a a a
b c
x2 + .x + = 0
a a
c
Subtraindo a em ambos os lados da igualdade:
b c c c
x2 + .x + − = 0 −
a a a a
b c
x2 + .x = −
a a
b2
Somando 4.a2 em ambos os lados da igualdade:
b b2 b2 c
x2 + .x + 2
= 2
−
a 4.a 4.a a
b 2 b2 −4.a.c
(x + 2.a ) = 4.a2
Note que o lado direito da equa¸˜o esta com uma cara conhecida muito similar ao
ca
”Teorema de Bhaskara” para melhorar a visualiza¸˜o vamos fazer a seguinte modifica¸˜o:
ca ca
∆ = b2 − 4.a.c, logo:
b 2 ∆
(x + 2.a ) = 4.a2
Lembrando que:
A norma euclidiana ou norma-2 ´ dada por:
e
n
2
x = |xi |2
i=1
2

3. Para o caso de n = 1 temos:
1
2
x = |xi |2 = |x1 |2 = (x1 )2
i=1
Ou seja,
2
x = |x1 |2 = (x1 )2 (Express˜o I)
a
Como resolver a Express˜o I quando x1 ∈ R????(Equa¸˜o de 2o logo cont´m duas raizes)
a ca e
1
Sabemos que (x1 )2 = x1 .x1 = K ⇒ x1 = (K) 2 , paraK ∈ R
Pela Express˜o I temos: |x1 |2 = (x1 )2
a
Logo: |x1 |2 = (x1 )2 = K
Pela defini¸˜o de m´dulo:
ca o
x se x>0
|x| =
−x se x≤0
Logo:
x1 2 se x1 > 0
|x1 |2 =
(−x1 )2 se x1 ≤ 0
ou seja, |x1 |2 = K,
x1 2 = K se x1 > 0
K = |x1 |2 =
(−x1 )2 = K se x1 ≤ 0
Podemos concluir:
1
se x1 > 0 ⇒ x1 2 = K ⇒ x1 = (K) 2
1 1
2
se x1 ≤ 0 ⇒ (−x1 ) = K ⇒ −x1 = (K) 2 ⇒ x1 = −(K) 2
Agora podemos voltar ao nosso problema:
b 2 ∆
(x + 2.a ) = 4.a2
1
b ±(∆) 2
x+ =
2.a 2.a
b
Subtraindo 2.a em ambos os lados da igualdade:
1
b b b ±(∆) 2
x+ − =− +
2.a 2.a 2.a 2.a
1
−b ± (∆) 2
x=
2.a
Muito interessante essa solu¸˜o depois disto pensei que os jovens da 8o s´rie poderiam
ca e
enriquecer mais cultura matem´tica!!!!
a
3