Este documento presenta un proyecto de fin de carrera sobre la generación de secuencias caóticas para CDMA. En el capítulo 1 introduce los conceptos básicos del caos y los sistemas dinámicos, así como ejemplos de sistemas dinámicos caóticos. El capítulo 2 describe un algoritmo desarrollado para extraer los exponentes de Lyapunov de un sistema dinámico. El capítulo 3 estudia el caos mediante densidades de probabilidad. Finalmente, el capítulo 4 aborda la dinámica simbólica para obt

1. UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
ESCUELA UNIVERSITARIA DE INGENIERÍA TÉCNICA DE
TELECOMUNICACIÓN
PROYECTO FIN DE CARRERA
“GENERACIÓN DE SECUENCIAS CAÓTICAS
PARA CDMA”
AUTOR: SERGIO VALCÁRCEL MACUA
PROFESOR TUTOR: MIGUEL ÁNGEL DEL CASAR TENORIO
NOVIEMBRE 2003

2. A Ángeles y Horacio
GRACIAS por traerme al Mundo y disfrutarlo conmigo
Gracias por vuestra confianza inquebrantable
A Marta, Gracias por enseñarme la coherencia
A Ángel, me enseñas sin darte cuenta
A Sara, me das sin darte cuenta
A Cho, te Quiero, siempre juntos
Al Mundo y al Universo
A Todos JUNTOS
Gracias

3. INDICE
INTRODUCCIÓN
1. INTRODUCCIÓN AL CAOS
1.1. Preámbulo
1.2. Introducción a los Sistemas Dinámicos
1.2.1. Conceptos básicos de dinámica discreta
1.2.2. Teoría general de la dinámica continua
1.3. EL CAOS Y SUS MANIFESTACIONES
1.3.1. Sistema dinámico caótico
1.4. EJEMPLOS DE SISTEMAS DINÁMICOS CAÓTICOS DISCRETOS
DE UNA VARIABLE
1.4.1. Conjugación topológica
1.4.2. Función R-ádica
1.4.3. Tienda de Campaña
1.4.4. Curva Logística
1.4.5. Bended Up-Down
1.5. ATRACTORES EXTRAÑOS EN DINÁMICA
MULTIDIMENSIONAL
1.5.1. Conjuntos Invariantes y Atractores
1.5.2. Atractor de Henon
1.5.3. Atractor de Lorenz
1.5.4. Atractor de Rössler
2. EXPONENTES DE LYAPUNOV
2.1. CUANTIFICACIÓN DE LA DINÁMICA CAÓTICA
2.1.1. Exponentes de Lyapunov
2.1.2. Espectro de Lyapunov
2.1.3. Flujos no lineales. Análisis local mediante la matriz Jacobiana
2.2. ALGORITMO PARA LA EXTRACCIÓN DE LOS EXPONENTES
DE LYAPUNOV DE UN SISTEMA DINÁMICO DISCRETO O
CONTINUO, DEFINIDO POR SERIES
2.2.1. Presentación del problema
1
5
6
6
7
8
8
13
13
13
15
16
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20
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23
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26
27
30
33
35
35

4. 2.2.2. Presentación del algoritmo
2.2.3. Valores de entrada
2.2.4. Diagrama de bloques del algoritmo propuesto
2.2.5. Desarrollo de cada bloque
2.2.6. Análisis de los Resultados
2.2.7. Eficiencia Computacional
2.2.8. Aplicación Gráfica
2.2.9. Tablas con Pruebas
3. ESTUDIO DEL CAOS CON DENSIDADES DE PROBABILIDAD
3.1. ESTADO DEL ARTE
3.1.1. Espectro Ensanchado (Spread Spectrum)
3.1.2. Acceso Múltiple por División de Código (CDMA)
3.1.3. Secuencias de ensanchamiento en DS-CDMA
3.1.4. Secuencias caóticas
3.1.5. Necesidad de utilizar secuencias con unas propiedades
estadísticas determinadas
3.2. ESTUDIO DEL CAOS CON DENSIDADES DE PROBABILIDAD
3.2.1. Una aproximación alternativa para estudiar el caos
3.2.2. Introducción intuitiva a la evolución de densidades
3.2.3. Comentarios intuitivos sobre la evolución de densidades
3.2.4. Sistemas ergódicos –I–. La medida natural
3.2.5. Convenciones de notación
3.2.6. Herramienta para el estudio de la evolución de densidades
3.2.7. Operador Perron-Frobenius. Definición
3.2.8. Operador Perron-Frobenius. Propiedades y Ventajas
3.2.9. Consideraciones sobre los comentarios relativos a la evolución de
densidades
3.2.10. Mapas Ergódicos –II–
3.2.11. Mapas de mezcla
3.2.12. Mapas exactos
3.2.13. Inestabilidades numéricas en MATLAB
3.2.14. Estudio del Periodo de la secuencia en función del número de
decimales
35
36
37
38
49
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79
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85
88
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93
94

5. 4. DINÁMICA SIMBÓLICA
4.1. PRSENTACIÓN DEL PROBLEMA
4.1.1. Obtención de secuencias binarias a partir de órbitas reales de un
sistema
4.2. ESTUDIO DE LA CAOTICIDAD Y COMPLEJIDAD DE LA
SECUENCIA BINARIA
4.2.1. Varios intentos de algoritmos que extraigan los exponentes de
Lyapunov a partir de la Secuencia Binaria. Métodos y conclusiones
4.2.2. Reconstrucción del Atractor de partir de la Secuencia Binaria
4.2.3. Reconstrucción del atractor agrupando los bits en símbolos y
transformándolos a valores reales
4.2.4. Una trampa durante la reconstrucción del atractor
4.2.5. Test de evaluación de la aleatoriedad de una secuencia simbólica
5. CONCLUSIONES
6. ANEXOS
6.1.1. ANEXO 1. DESCOMPOSICIÓN QR
6.1.2. ANEXO 2. MANUAL DE USUARIO
6.1.3. ANEXO 3. PARTICIONES DE MARKOV
7. BIBLIOGRAFÍA
8. PRESUPUESTO
97
98
99
99
106
107
110
114
118
122
123
125
131
134
140

6. 1
INTRODUCCIÓN

7. 1
INTRODUCCIÓN
La Teoría del Caos ha abierto un nuevo mundo a la matemática aplicada. Unos
pocos conceptos que permiten, por primera vez, acercarse a la dinámica No Lineal. La
No Linealidad es una característica que se encuentra por todas partes en la Naturaleza.
De ahí que el campo de aplicación de la Teoría del Caos es muy extenso.
En ese campo de aplicación, la Teoría del Caos se puede utilizar bien para
analizar y modelar sistemas, o bien para diseñarlos y sintetizarlos.
En este proyecto vamos a enfocar la aplicación de la Teoría desde los dos puntos
de vista.
La idea de utilizar el Caos en comunicaciones seguras tiene ya unos cuantos
años. Pero es ahora cuando puede integrarse directamente como solución comercial y
tener un explosivo desarrollo. Nos estamos refiriendo al caso de las comunicaciones
inalámbricas de Acceso Múltiple por División de Código (CDMA). Las redes CDMA
van a ser fruto de una gran explotación durante la presente década, tanto en telefonía
móvil (UMTS) como en redes de área local inalámbricas (W-CDMA). El problema que
tienen es que los códigos que asignan a cada usuario deben tener unas propiedades
estadísticas determinadas para evitar interferencias. Comúnmente, las propiedades
estadísticas deseadas implican una autocovarianza tipo δ y una covarianza cruzada nula.
Hasta el momento se han estado utilizando unas secuencias generadas mediante códigos
algebraicos (polinomios generadores). Dichas secuencias son limitadas y adolecen de
ciertos problemas de seguridad. Comparados con los métodos convencionales, el
número de secuencias caóticas discretas es casi infinito ya que existen un grandísimo
número de sistemas dinámicos caóticos, condiciones iniciales posibles y funciones de
cuantificación.
El proyecto se organiza de la siguiente manera:
En el capítulo 1, titulado “Introducción al Caos”, se exponen las nociones
básicas sobre sistemas dinámicos caóticos, las manifestaciones del caos y algunos
sistemas caóticos a los que haremos referencia en posteriores capítulos.
En el capítulo 2, titulado “Exponentes de Lyapunov”, abordamos la tarea de
detectar si una señal observada es o no caótica. Lo hacemos midiendo una de las más

8. 2
claras manifestaciones del caos, la sensibilidad a las condiciones iniciales. Dicha
manifestación la vamos a medir extrayendo los exponentes de Lyapunov de la serie.
Para ello hemos desarrollado un algoritmo y lo hemos implementado en MATLAB. El
algoritmo estima un modelo del sistema mediante funciones localmente lineales.
Una nueva forma de enfocar el caos, que además tiene una aplicación directa
para la generación de secuencias de tipo aleatorio, es estudiar la dinámica de un sistema
mediante funciones de densidad que miden la probabilidad de que, siguiendo una
trayectoria cualquiera del sistema, la órbita caiga en determinadas zonas del espacio de
fases. En el capítulo 3, llamado “Estudio del Caos con Densidades de Probabilidad”,
analizamos esta metodología. Presentamos las herramientas matemáticas necesarias y
exponemos su utilidad y aplicación.
En un sistema de comunicaciones basado en Caos, es fundamental que el
receptor conozca de antemano todos los parámetros asociados a la secuencia caótica de
transmisión. Por eso cuando no se conocen, el caos dota al sistema de un alto grado de
seguridad. Esta es la razón de que en criptografía también se estén utilizando
generadores caóticos de secuencias binarias. En el capítulo 4, “Dinámica Simbólica”,
abordamos la ardua tarea de extraer información a partir de una secuencia binaria
caótica. Lo hacemos desde dos puntos diferentes, intentamos extraer los exponentes de
Lyapunov de dicha secuencia e intentamos reconstruir el atractor al que pertenece la
órbita con la que ha sido generada.
Para terminar, incluimos unos anexos en los que tratamos de esclarecer algunas
cuestiones teóricas a las que se hace referencia durante la exposición.
Sergio Valcárcel Macua
Madrid, Noviembre de 2003

9. 3
Introducción al Caos
Capítulo 1

10. 4
1.1.- PREÁMBULO.
“Desde el campo de la matemática aplicada, una de las aportaciones que ha
irrumpido con fuerza en el panorama matemático del último tercio de siglo es la que se
centra en el estudio del movimiento: la teoría de los sistemas dinámicos. Los procesos
realizados en esta área, cuyos orígenes se remontan a la teoría de las ecuaciones
diferenciales, iniciada por Newton y Leibnitz, permiten hoy en día comenzar a entender
la conducta de sistemas dinámicos con conducta caótica, es decir, que prosiguen
perpetuamente en un movimiento sin pauta aparente.
Desde el Renacimiento se respeta a las matemáticas por ser capaces de
capturar la esencia del movimiento de los astros e incluso de predecirlo. Las
vibraciones de las cuerdas de un violín o de una membrana elástica, el movimiento de
los resortes mecánicos, la oscilación de las corrientes eléctricas en los circuitos, son
formas de movimiento cuya descripción matemática -conocida desde hace tiempo- ha
resultado clave en el desarrollo cultural y tecnológico de nuestro mundo.
¿ Pueden sin embargo las matemáticas “capturar” el complejo movimiento
atmosférico, la turbulencia de una explosión o la forma con la que un pintor mezcla
colores básicos para obtener en su paleta el tono que desea? ¿Puede el hombre, con
ayuda de algún formidable aparato matemático, despejar la bruma del futuro
prediciendo la evolución en los sistemas sometidos a leyes físicas o biológicas, por
azarosas que estas sean? ¿O por el contrario, en los sistemas en que un número de
variables muy elevado interactúa es completamente imposible cualquier predicción,
hasta el punto de que el leve aleteo de una mariposa en la selva amazónica pueda
alterar a los pocos dias el curso de un huracán? A tales preguntas se asoma, sin
respuestas acabadas, con el paso parsimonioso pero sólido que caracteriza siempre al
avance del saber matemático, la moderna teoría del caos, desarrollada a lo largo del
último tercio del siglo XX.”
Miguel A. Martín, Manuel Morán y Miguel Reyes
[I1]

11. 5
1.2.- INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DINÁMICOS
1.2.1.- Conceptos básicos de dinámica discreta
Un sistema dinámico discreto es simplemente, desde un punto de vista
matemático, una ecuación de la forma
)(1 kk xfx  , ...2,1,0k
donde f es una aplicación XXf : definida en cierto conjunto X , que recibe el
nombre de espacio de fases o espacio de estados.
Las variables que describen un sistema, se llaman variables de estado. Se
agrupan en un vector que se conoce como vector de estado, y que almacena la
información completa acerca del estado del sistema. El espacio de fases es entonces el
conjunto de todos los posibles vectores de estado del sistema.
La ecuación de un sistema dinámico puede interpretarse de la siguiente forma: si
el sistema adopta en un instante k un estado descrito a través de un cierto elemento
Xxk  , entonces en el instante 1k el estado del sistema será )(1 kk xfx  . La
aplicación f representa por consiguiente la ley de evolución del sistema dinámico, que
transforma cada estado en el siguiente estado que el sistema adopta. Si el sistema se
encuentra en un estado inicial 0x , su evolución temporal corresponde a la sucesión
,...,, 210 xxx , también llamada solución con condición inicial 0x . Se obtiene
recursivamente )( 01 xfx  , )()( 0
2
12 xfxfx  , y en general
)( 0xfx k
k 
La sencilla expresión
)()( xfk k
k 
es la solución general o flujo de los sistemas dinámicos discretos. Permite conocer el
estado del sistema en cualquier instante a partir de su posición inicial. El conjunto de
valores
),...}(),(),(,{)( 32
xfxfxfxxO 
recibe el nombre de órbita de x (se diferencia de la solución )(),...,(),(, 2
xfxfxfx k
en
que ésta última es una sucesión ordenada cuyos términos son los elementos de la
órbita).

12. 6
1.2.2.- Teoría general de la dinámica continua
En los sistemas discretos se trata al tiempo como una magnitud discreta que se
incrementa por unidades enteras. Para muchos problemas la discretización del tiempo
resulta la solución más natural. Sin embargo las matemáticas disponen del lenguaje del
cálculo diferencial para describir de forma mucho más precisa el movimiento cuando se
desea tratar el tiempo como una magnitud continua.
Exponemos esta teoría en el espacio bidimensional por razones de sencillez,
pero todo lo que sigue vale para cualquier número de dimensiones.
Un sistema dinámico en tiempo continuo es una ecuación de la forma
))(()( txvtx 

donde 22
: RRUv  es un campo vectorial definido en cierta región abierta U de
2
R . Se entiende por solución de tal ecuación una función 2
: RRI  definida en
un intervalo abierto I que verifica la ecuación, es decir, tal que
))((
)(
tv
dt
td



Si I0 y x)0( se dice que f es una solución con condición inicial x. Tal
solución se denota )(tx .
La región U juega el papel de espacio de fases o espacio de los estados. El
estado del sistema en un instante t está caracterizado por un vector de estado Utx )( .
Las coordenadas del vector de estado )(),( 21 txtx , en el instante t son las variables de
estado. La ecuación del sistema dinámico puede desglosarse en las ecuaciones
))(),(()(
))(),(()(
2122
2111
txtxvtx
txtxvtx




De esta forma, un sistema dinámico en tiempo continuo especifica una pauta de
evolución de ciertas variables de estado, determinando los ritmos de variación de cada
una de ellas –sus derivadas– en función de los valores que las variables toman.

13. 7
 Teorema.
Sea la ecuación ))(()( txvtx 

donde 22
: RRUv  admite derivadas
parciales continuas de primer orden en cada punto del conjunto abierto
U. Entonces, dado un punto cualquiera Ux , existe una única solución
de la ecuación con condición inicial x ( )(tx ).
Este teorema establece que la ecuación de un sistema dinámico define una ley de
evolución del sistema: fijados unos valores de las variables de estado en un instante, si
éstas evolucionan según la ecuación del sistema, quedan únicamente determinadas en
todo un intervalo temporal posterior y anterior al instante dado.
El sistema de todas las soluciones UIxx : es el llamado flujo generado por
el sistema dinámico. Contiene toda la información acerca de todas las posibles formas
de evolución del sistema, desde todas las posibles condiciones iniciales.
1.3.- EL CAOS Y SUS MANIFESTACIONES
Las pautas complejas de evolución, tan extendidas en el Universo, no son
consecuencia, como se creía, de la interdependencia entre un número elevado de
variables; la complejidad puede derivar simplemente de la no linealidad incluso en
sistemas caracterizados por una única variable, como es el caso del modelo de May.
1.3.1.- Sistema dinámico Caótico
 Definición
Un sistema dinámico ),( fX se dice que es caótico si verifica las tres
propiedades siguientes:
1. Los puntos periódicos de f son densos en X .
2. Es sensible a las condiciones iniciales.
3. Tiene la propiedad de mezcla (o es topológicamente transitivo).

14. 8
Esta definición de caos fue dada por R. Devaney en 1989. Posteriormente J.
Banks y otros autores probaron [I4] que las propiedades (1) y (3) implican la propiedad
(2). Además, M. Vellekoop y R. Berglund han probado [I5] que, cuando f es continua
y RX  es un intervalo (no necesariamente finito) entonces la propiedad (3) implica
las propiedades (1) y (2).
Puntos periódicos densos
Dado un punto cualquiera Xy  , existen puntos periódicos de f tan próximos
como se quiera a y, lo que es equivalente a probar que existe una sucesión de puntos
periódicos que convergen a y.
Sensibilidad a las condiciones iniciales
En el invierno de 1961 el metereólogo Edward Lorenz, con el objeto de predecir
el tiempo, estaba iterando un complejo sistema dinámico en su ordenador para ver como
se comportaba durante un largo periodo de tiempo. En vez de esperar varias horas, paró
su ordenador y anotó los valores de la órbita en un instante intermedio de lo que ya
había realizado, con la intención de volver a ponerlo a funcionar en otro momento.
Un tiempo después puso de nuevo a funcionar su ordenador, para seguir
calculando la órbita, con los datos iniciales que había tomado en aquel instante
intermedio. Lo que él esperaba que ocurriese es lo siguiente: la máquina repetiría la
segunda mitad de la ejecución original, y luego seguiría a partir de allí. La repetición
servía como una comprobación útil, pero ahorrándose la primera mitad.
Cuando Lorenz regresó, encontró que la nueva ejecución no había repetido la
segunda mitad de la original. Empezaba de la misma manera pero lentamente las dos
ejecuciones divergían, hasta que al final no guardaban ningún parecido la una con la
otra. [I2]
Lo que había sucedido es que en la memoria del ordenador se almacenaban seis
cifras decimales, mientras que en la impresión, para ahorrar espacio, sólo aparecían tres.

15. 9
Lorenz había introducido los números redondeados suponiendo que la diferencia (una
parte entre mil) no tendría consecuencias. [I3]
 Definición
Dado un sistema dinámico )(1 kk xfx  , con espacio de fases x , y un
valor inicial Xx 0 , entonces la órbita de 0x es
,...},,,,{)( 432100 xxxxxxO 
donde
)())))((...(()( 0
1
01 xfxffffxfx k
kk

 
para cada 0k .
La órbita de un punto 0x en el sistema dinámico ),( fX , interpretada como una
sucesión de pares 
0)},{( kkxk se suele llamar serie temporal del sistema dinámico
),( fX con punto inicial 0x , y a la gráfica obtenida al trazar la poligonal que une
puntos consecutivos se le suele llamar gráfico de la serie temporal.
Podemos revivir la experiencia vivida por Lorenz iterando en el ordenador el
sistema dinámico asociado a la curva logística ( )1()( xxxf   ) con parámetro 4 :
)1(4)( xxxf  ó )1(41 kkk xxx 
Si representamos en un gráfico las series temporales asociadas a las órbitas de
dos puntos muy próximos, 2360.352322530 x e 2370.352322530 y cuya distancia
es 12
00 10
 yx , en el sistema dinámico )1(4)( xxxf  nos encontramos con el
resultado de la (1.1). Se puede observar que las órbitas comienzan siendo muy
próximas, para ir separándose paulatinamente y llegar a realizar un recorrido
absolutamente independiente la una de la otra. Las órbitas se acercan y se alejan sin
ningún tipo de control.

16. 10
Si elegimos otros valores iniciales, el resultado habría sido idéntico y, por
ocurrir este fenómeno, diremos que el sistema dinámico )1(4)( xxxf  es sensible a
las condiciones iniciales.
 Definición
Un sistema dinámico ),( fX se dice sensible a las condiciones iniciales
si existe un número positivo  tal que para cualquier Xx y 0
existen Xy  y 0n verificando que
 yx y  )()( yfxf nn
es decir, si existe un número positivo  tal que todo punto inicial del espacio de
fases tiene puntos tan cerca como se quiera con órbitas que se separan en algún
momento de la órbita del punto inicial una distancia mayor que  .
Conviene resaltar que la definición de sensibilidad a las condiciones iniciales no
exige que las órbitas de todos los puntos próximos a uno dado se separen de la órbita de
éste, sino que en cualquier entorno del punto dado haya algún punto cuya órbita se
separe de la de él.
Figura 1.1. Sensibilidad a las condiciones iniciales

17. 11
Un ejemplo de sistema dinámico que no es sensible a las condiciones iniciales
es, por ejemplo, el asociado a )1(2.3)( xxxf  . Si hallamos las gráficas asociadas a
las series temporales de dos puntos próximos o lejanos, por ejemplo 0.13 y 0.83, vemos
(figura 1.2)
Mezcla
Si un sistema dinámico es caótico es lógico pensar que la órbita de cualquier
punto va a visitar, en su recorrido, a casi todos los puntos del espacio de fases.
 Definición
Se dice que un sistema caótico ),( fX tiene la propiedad de mezcla (o
es topológicamente transitivo) si dados dos intervalos cualesquiera
XJI , de longitud positiva y arbitrariamente pequeños, siempre
existen puntos de I cuya órbita visita en algún instante J, es decir, si
existe 1n tal que
 JIf n
)(
Figura 1.2. Sistema que no tiene sensibilidad a las condiciones iniciales

18. 12
1.4.- EJEMPLOS DE SISTEMAS DINÁMICOS CAÓTICOS DISCRETOS DE
UNA VARIABLE.
En esta sección vamos a describir tres sistemas dinámicos de tiempo discreto
que describen su movimiento sobre una dimensión (también llamados mapas), que,
como se verá cuando estudiemos el caos a partir de densidades de probabilidad, serán de
mucho interés por su aplicación práctica. Dichos sistemas son la función R-ádica, la
función tienda de campaña y la parábola logística.
1.4.1.- Conjugación topológica
 Definición
Dados n
RBA , , y dos aplicaciones AAf : y BBg : , se dice
que f y g son topológicamente conjugadas, si existe un
homeomorfismo BAh : (h es continua y tiene inversa 1
h también
continua) tal que
hgfh  
Dos aplicaciones topológicamente conjugadas son equivalentes en
cuanto al tipo de dinámica que generan.
1.4.2.- Función R-ádica
Es una aplicación )1,0[)1,0[: R definida por
Rx, si Rx /10 
Rx –R+1, si RxR /2/1 
R(x) =
…… ……
Rx-R+(R-1) si 1
1


x
R
R

19. 13
En la figura 1.3 podemos observar el mapa correspondiente a una función
R-ádica con R=10
.
Para R = 2, se define el operador shift, también llamado Bernoulli shift como
2x, si 2/10  x
 )2()( xfracxS
2x-1, si 12/1  x
donde frac(z) indica la parte fraccionaria de z.
Figura 1.3. Función 10-ádica
434360.332325350 x 5000 iteraciones
Figura 1.4. Operador Shift
434360.332325350 x
5000 iteraciones

20. 14
 Teorema
El sistema dinámico )),1,0([ S asociado al operador shift es un sistema
dinámico caótico.
Para una demostración del comportamiento caótico del sistema, en los términos de la
definición de R. Devaney, ver [I1] páginas 168-174.
1.4.3.- Sistema dinámico asociado a la función “tienda de campaña”
2x, si 2/10  x
)(xT
2(1-x), si 12/1  x
Figura 1.5. Tienda de Campaña
0.334250 x 1000 iteraciones

21. 15
 Lema
Si consideramos al operador shift definido en 1x como 1)1( S ,
entonces, para 1k , se cumple que
kk
STT 1
es decir, que
))(()(1
xSTxT kk

para todo  1,0x y 1k .
 Teorema
El sistema dinámico   T,1,0 asociado a la función tienda de campaña es
un sistema dinámico caótico.
Una demostración del lema y del teorema anterior se puede encontrar en [I1] (páginas
174-181).
1.4.4.- Curva logística
El sistema dinámico asociado a la curva logística
)1(4)( xxxf 
con espacio de fases en  1,0 se puede ver en la gráfica 1.7.
Vamos a establecer una relación entre este sistema dinámico   f,1,0 y el
sistema dinámico   T,1,0 asociado a la función tienda de campaña. Esta relación nos
va a permitir deducir las propiedades del sistema dinámico logístico a partir de las del
sistema dinámico de la tienda de campaña, se va a establecer por medio de la función
   1,01,0: h definida por






 xsenxhy
2
)( 2 
(ver figura 1.6)

22. 16
Esta función es biyectiva, es decir, cada punto  1,0x tiene una única imagen
 1,0y y viceversa. Además es creciente, continua e infinitamente derivable.
Las funciones f y T están ligadas, por medio de la función h según la relación
))(())(( xThxhf  , para todo  1,0x
que se puede expresar, en términos de composición de funciones, como Thhf   .
Puesto que h es biyectiva, admite función inversa 1
h y la expresión anterior se
puede poner como 1
 hThf  . Por lo tanto, para cada 1k , se tiene que
)(.........)()( 111 
 hThhThhThf k

y, aplicando la propiedad asociativa y que hh 1
es la identidad, se llega a que
1
 hThf kk
 ó kk
Thhf   , para cada 1k .
Usando estas relaciones es fácil ver que la función h traslada órbitas de   T,1,0
en órbitas de   f,1,0 , y la función 1
h a la inversa.
Figura 1.6. Función h, para relacionar la tienda de campaña y
la curva logística

23. 17
 Lema
Si  ,...,,)( 2100 xxxxO 
es la órbita de 0x en   T,1,0 , entonces
 ),...(),(),())(( 2100 xhxhxhxhO 
es la órbita de )( 0xh en   f,1,0 .
Inversamente, si  ,...,,)( 2100 yyyyO 
es la órbita de 0y en   f,1,0 ,
entonces
 ),...(),(),())(( 2
1
1
1
0
1
0
1
yhyhyhyhO 

es la órbita de )( 0
1
yh
en   T,1,0
 Teorema
El sistema dinámico   f,1,0 , asociado a la curva logística )1(4)( xxxf  ,
es un sistema dinámico caótico.
En realidad la familia de curvas logísticas )1()( xxxf   se comporta de
forma caótica, sólo a partir de un determinado valor del parámetro  .
Figura 1.7. Curva Logística
)1(41 nnn xxx 
0.35230 x
600 iteraciones

24. 18
El valor de  que sirve de frontera, entre la zona donde se producen fenómenos
de duplicación de periodo y la zona de caos lo vamos a representar por  y recibe el
nombre de punto de Feigenbaum o punto de entrada al caos.
Fue Feigenbaum el que determinó dicho valor para la familia de sistemas
dinámicos asociados a la curva logística
...5699456.3
A partir de dicho punto se puede evaluar la constante de Feigenbaum o
constante del caos para esta familia de sistemas dinámicos:
...0296692016091.4
que es interesante presentar por su universalidad (es idéntica para una amplia familia de
sistemas dinámicos) y por la importancia futura que se le augura.
Hemos definido por tanto tres sistemas dinámicos caóticos de tiempo discreto,
comprobando como la tienda de campaña y la curva logística surgen como conjugación
topológica a partir del operador shift. Vamos a definir otro sistema del que hablaremos
más en el capítulo 3.
1.4.5.- Bended Up-Down
Está definido por la función    1,01,0: f .



















325
8199
37
1529
33
313
32
9
)(
x
x
x
x
x
x
x
x
xf
1119
11953
5331
310




x
x
x
x
Figura 1.8. Mapa Bended Up-Down
0.133523250 x
2000 iteraciones

25. 19
1.5.- ATRACTORES EXTRAÑOS EN DINÁMICA MULTIDIMENSIONAL
Ligados a los sistemas dinámicos caóticos surgen conjuntos geométricos que
tienen estructura fractal [I1] [I6]. Esa complejidad geométrica ha sido detectada antes
por medio de la simulación de sistemas dinámicos de más de una variable que modelen
aspectos de la naturaleza (figura 1.9), que por el estudio matemático propiamente dicho.
Atractores extraños: Estructuras asintóticas hacia donde evolucionan las
órbitas de ciertos sistemas dinámicos, que están presentes en la dinámica de los más
insospechados procesos de la naturaleza. Siempre son procesos que en su evolución
“gastan energía”, es decir, son sistemas disipativos, y además, las leyes que los
gobiernan son no lineales.
En realidad ambos hechos, la no linealidad y la disipación, están relacionados,
aunque no de forma directa, ya que un sistema lineal también puede ser disipativo. La
disispación de energía desde un punto de vista matemático, significa que el espacio de
fases que el sistema dinámico n-dimensional, discreto o continuo, va transformando con
el tiempo, va contrayéndose y disminuyendo de volumen de tal forma, que la región del
espacio hacia donde evolucionan las órbitas del sistema, el atractor, tiene volumen n-
dimensional nulo. Lo que añade la no linealidad, es la forma particular de lograr esa
contracción del espacio de estados, la cual puede provocar, por una parte, una dinámica
caótica, y por otra, una estructura geométrica compleja en el atractor.
Podríamos decir que un atractor extraño, desde el punto de vista geométrico, es
fractal, y desde el punto de vista dinámico, es caótico.
Chua Duffing Lorenz Rössler
(Circuitos electrónicos) (Osciladores no lineales) (Convección atmosférica) (Cinética química)
Figura 1.9 Atractores extraños en diferentes modelos de la naturaleza

26. 20
1.5.1.- Conjuntos invariantes y atractores
 Definición
Consideremos un sistema dinámico
)(1 kk xfx 
siendo kx un vector de estado perteneciente al espacio de fases X, que
supondremos es un subconjunto de n
R y XXf : una aplicación.
Diremos que un conjunto XA  es un atractor si existe un
conjunto abierto AC  verificando que para Cx las órbitas  )(xfk
convergen al conjunto A, es decir, para Cx
0)),(( Axfd k
Cuando k
El atractor, por tanto, puede ser visto como la región del plano o
del espacio hacia donde viajan las órbitas del conjunto C, denominado
cuenca de atracción de A.
Además, las órbitas de los puntos del atractor ya han llegado a su
destino, por lo que habrá de ocurrir que AAf )( , esto es, el atractor es
un conjunto invariante.
Aunque el atractor como conjunto se transforma en sí mismo, las órbitas de sus
puntos no son necesariamente simples. Más bien, suele ocurrir lo contrario, es decir, que
la dinámica de los puntos del atractor suele ser caótica, esto es:
a) Existe al menos algún punto Ax  tal que su órbita  )(xfk es densa en A
(que es otra forma de expresar la propiedad de mezcla)
b) El conjunto de puntos periódicos de f en A es denso en A
c) Tiene sensibilidad a las condiciones iniciales.
Un atractor que verifica estas condiciones suele ser denominado un atractor
extraño.
La primera propiedad implica que el atractor no puede ser descompuesto en dos
atractores diferentes.
Aunque no existe una definición matemática formal del término atractor, en la
práctica el término suele implicar una complejidad geométrica de tipo fractal, que se

27. 21
caracteriza por tener volumen n-dimensional nulo, y una microestructura particular
generalmente de tipo cantoriano.
1.5.2.- Atractor de Henon
Propuesto originalmente por Henon y Pomeau (1976) para explicar el
movimiento de ciertos cuerpos espaciales y presenta la cualidad de ser un sistema de
ecuaciones muy simple en el que la única componente no lineal es el 2
x de la primera
ecuación.
Es un sistema dinámico bidimensional dependiente de dos parámetros.
2
1 1 kkk axyx 
kk bxy 1
Si llamamos ),1(),( 2
bxaxyyxH  a la transformación que define dicho
sistema, podemos estudiar - a partir del determinante de la matriz jacobiana ),( yxDH -
para qué valores de los parámetros a y b la transformación contrae áreas (es disipativa),
es decir, para qué valores de a y b es ),( yxDH <1.
En particular los valores a = 1.4 y b = 0.3 generan una dinámica caótica.
Figura 1.10 Atractor de Henon
(2000 iteraciones)

28. 22
En contraste con lo que ocurre en sistemas discretos no lineales, los sistemas
continuos de dimensión 1 y 2 no dan lugar a una dinámica caótica. La propiedad de que
dos trayectorias soluciones no se pueden cortar [I1 página 89] tiene como consecuencia
el conocido teorema de Poincaré-Benedixon que establece que, en un sistema dinámico
continuo definido por funciones con cierto grado de regularidad (por ejemplo con
derivadas parciales continuas), las soluciones, o escapan al infinito (cuando el tiempo t
evoluciona, esto es t ) o convergen a un punto, o a una estructura recurrente (ciclo
límite). En otras palabras, parece que no existen sistemas dinámicos caóticos en
dimensión 1 y 2.
Vamos a presentar por tanto dos sistemas dinámicos de dimensión 3 que exhiben
comportamiento caótico y que en una sección posterior nos serán útiles para probar
nuestro algoritmo de extracción de los exponentes de Lyapunov.
1.5.3.- Atractor de Lorenz
Edward Lorenz (1963) estudió numéricamente el sistema.
yxx  

yzyRxy 

xyBzz 

con  , R y B constantes positivas.
El sistema proviene de un modelo matemático del problema de convección
térmica, y tiene una gran importancia para la predicción del tiempo atmosférico. [I7]
Figura 1.11
Atractor de Lorenz
Td= 0.005
Total=75
(Td = Intervalo de Integración)

29. 23
1.5.4.- Atractor de Rössler
Rösler dio un ejemplo (1977) de sistema dinámico con un atractor extraño,
mucho más simple que el de Lorenz.
El sistema viene definido por las ecuaciones diferenciales
)( cxzbz
ayxy
zyx






en el que las dos primeras ecuaciones son lineales y en la tercera existe un único
término no lineal. Es pues uno de los ejemplos más simples que uno puede dar en
dinámica no lineal. No obstante, este único factor no lineal es suficiente para generar
una dinámica caótica.
Figura 1.12
Atractor de Rössler
Td= 0.1
Total=1000

30. 24
Exponentes de Lyapunov
Capítulo 2
“El movimiento de una simple ala de mariposa en
China, hoy produce un diminuto cambio en el estado de la
atmósfera. Después de un cierto periodo de tiempo, el
comportamiento de la atmósfera diverge del que debería haber
tenido. Así que, en el periodo de un mes, un tornado que habría
devastado la costa de América no se forma. O quizá se forma
uno que no se iba a formar.”
Edward Lorenz
[I1]

31. 25
2.1.- CUANTIFICACIÓN DE LA DINÁMICA CAÓTICA
En un sistema caótico, por muy precisa que sea la medida efectuada del estado
actual ( 0x ), puesto que el conocimiento del valor exacto 0x es imposible, la sensibilidad
a las condiciones iniciales, presente siempre en dinámica caótica, determina una
impredicibilidad de los estados futuros. Por otra parte también determina una
incertidumbre respecto al pasado debido a que las aplicaciones caóticas no pueden
ser inyectivas.
El problema que nos planteamos es cómo cuantificar esos grados de
incertidumbre, junto con otros parámetros dinámicos y geométricos, que nos midan el
grado de “extrañeza” del atractor y, con ello, el conocimiento de la evolución del
sistema.
La dinámica caótica desarrolla una doble acción de estirado y plegado sobre el
espacio de fases [I1].
La operación de estirado tiene como consecuencia la sensibilidad a las
condiciones inicales, ya que dicha operación provoca que puntos inicialmente próximos
vean separados sus futuros. Esta característica de los sistemas dinámicos es una firma
inequívoca de comportamiento caótico. La tasa de divergencia media de órbitas de
puntos, que inicialmente están infinitesimalmente próximos, nos va a cuantificar esta
propiedad esencial del caos. Esta cuantificación se plasma en unos parámetros
numéricos denominados exponentes de Lyapunov, también llamados exponentes
característicos.
La entropía de un sistema dinámico es la pérdida de información que, en
promedio sobre el número de iteraciones, tiene lugar cuando el sistema evoluciona. Este
promedio de información perdida es proporcional a los exponentes de Lyapunov.
Otra característica que hemos constatado en los atractores extraños es la
fractalidad. La mencionada doble acción de estirado y plegado, repetida una y otra vez,
va “disipando”,es decir, contrayendo el espacio de fases, dando lugar a que el atractor

32. 26
tenga una estructura cantoriana y su volumen n-dimensional sea nulo. Puesto que el
volumen del atractor es nulo, procede cuantificar su medida como conjunto geométrico.
Ello se consigue mediante la dimensión fractal que sirve para diferenciar, en medida, a
los conjuntos que, a pesar de tener volumen n-dimensional nulo, pueden tener un
tamaño muy variable. La idea intuitiva del concepto de dimensión fractal es medir cómo
escalan ciertos parámetros, que uno espera estén relacionados directamente con el
tamaño del conjunto, cuando observamos el mismo a una escala cada vez más pequeña.
El exponente de escalamiento será la dimensión fractal.
La dimensión de información nos da la pauta con que recibimos información
de la dinámica del atractor al pasar a escalas más pequeñas de observación.
Existen además un gran número de dimensiones cuantificables sobre el atractor,
que son: dimensión de auto-similaridad (self-similarity dimension), dimensión de
capacidad (capacity dimension), dimensión de Hausdorff, dimensión de correlación
(correlation dimension), dimensión de Lyapunov, dimensión de Minkowski-Bouligand
y un largo etc. Para más información sobre algunas de ellas consultar [L1] [L5] e [I6].
2.1.1.- Exponentes de Lyapunov
En un sistema dinámico la sensibilidad a las condiciones iniciales la vamos a
medir mediante un exponente que nos determine la tasa de divergencia exponencial de
órbitas adyacentes infinitamente próximas, o como la definen Eckmann y Ruelle [L5],
la razón exponencial a la que una perturbación en el estado inicial de una serie crece o
disminuye.
Lyapunov definió el exponente característico para cuantificar el grado de
estabilidad de un sistema, estableciendo que,dado un sistema de ecuaciones
diferenciales, una solución x(t) será estable si soluciones que empiezan próximas a ella
continúan estándolo con el paso del tiempo.
Si estudiamos un sistema lineal de ecuaciones diferenciales encontraremos una
solución general en la forma de

i
t
i
i
eCtx 
)( .

33. 27
Para estudiar la estabilidad de esta solución bastará con estudiar el signo de sus
exponentes característicos i . La presencia de exponentes negativos supone que la
solución es estable. Si aparecen exponentes positivos estaremos ante una solución
inestable.
Para el caso de sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales, su significado
no es idéntico, pues la presencia de exponentes positivos no indica inestabilidad, sino
comportamiento caótico.
Supongamos que
)(1 nn xfx 
es un sistema dinámico unidimensional y que f es derivable salvo, a lo sumo, en un
número finito de puntos.
Imaginemos dos puntos próximos 0x y 0x ; después de N iteraciones se han
convertido en )( 0xf N
y )( 0 xf N
respectivamente.
Supongamos que ambos puntos están a una distancia
)(
00
0
)()( xNNN
exfxf 
 
es decir, que la separación inicial  se ha multiplicado por un número que crece
exponencialmente con el número de iteraciones N y que, además, viene caracterizado
por un exponente )( 0x dependiente del punto 0x en el que estamos analizando la
sensibilidad a las condiciones iniciales.
Tomando logaritmos y límites cuando 0 y N en la expresión
anterior, obtnenemos



 



)()(
log
1
limlim)( 00
0
0
xfxf
N
x
NN
N
0
0 )(
log
1
lim
dx
xdf
N
N
N 

siendo
0
0 )(
dx
xdf N
la derivada de la función )( 0xf N
en 0xx  .

34. 28
Con la regla de la cadena para la derivación de funciones compuestas llegamos
a obtener que





1
0
0 )('log
1
lim)(
N
i
i
N
xf
N
x
Los exponentes de Lyapunov también se pueden expresar a partir de los
números de Lyapunov. Para un n-ciclo periódico atractivo (repulsivo) el ritmo con el
que las órbitas cercanas se acercaban (alejaban) del ciclo está regulado por la derivada
de n
f en cualquier punto del ciclo. Además, si el ciclo es },...,,,{ 321 nxxxx , entonces
tras n iteraciones sobre un punto cercano la distancia de éste al ciclo se habrá
multiplicado por
)()'(...)()'()()'()()'()()'(...)()'( 3211 nn
nn
xfxfxfxfxfxf 
y la variación media tras cada iteración será
n
nxfxfxfxf )('...)(')(')(' 321
En principio no hay ninguna razón para tener que restringirnos a ciclos. Si
tenemos una órbita },...,,,{ 321 nxxxx , no periódica podemos considerar el valor
n
n
n
xfxfxfxfxL )('...)(')(')('lim)( 3211


A )( 1xL se le llama número de Lyapunov de la órbita },...,,,{ 321 nxxxx , y es el
mismo para todos los elementos de la órbita. El número de Lyapunov mide la
contracción (expansión) local asintótica en cada iteración en la proximidad de una
órbita.
El exponente de Lyapunov es el valor ))(log()( 11 xLx  [L2]
Si el exponente de Lyapunov de 1x es negativo, las órbitas de puntos cercanos a
1x serán atraídas por la de 1x , mientras que si es positivo tenderán a separarse.
A modo de ejemplo, para la familia logística, representamos en la figura (2.1) el
exponente de Lyapunov del punto inicial 0.8087325, en función del parámetro μ. Puede
observarse cómo, a partir del punto de Feigenbaum ( ...5699456.3 ), el exponente
se vuelve positivo, corroborando dicho punto como punto de entrada al caos (véase
capítulo.1 Introducción a la dinámica caótica).

35. 29
2.1.1.- El espectro de Lyapunov
[L3] [L4]
La definición de exponente de Lyapunov dada nos va a proporcionar un único
exponente. En un sistema dinámico es posible definir tantos exponentes como
dimensiones tiene el espacio de fases, de tal forma que cada exponente nos va indicar si
en esa dimensión el sistema se expande o se contrae. Va a ser necesario, por tanto,
establecer una nueva definición de exponentes de Lyapunov.
Dado un sistema dinámico en un espacio de fases n-dimensional, podemos
visualizar la evolución de una n-esfera infinitesimal con unas determinadas condiciones
iniciales; la esfera se convertirá en un n-elipsoide debido a la naturaleza del flujo, que
va deformándola localmente. El exponente de Lyapunov unidimensional (i) está
entonces definido en términos de la longitud del eje principal del elipsoide )(tpi :
)0(
)(
log
1
lim
i
i
t
i
p
tp
t
 (2.1)
Figura 2.1 Exponente de Lyapunov de la familia de curvas
logísticas en función del parámetro.
Calculado con nuestro algoritmo para series de 1000 iteraciones

36. 30
El espectro de Lyapunov viene definido por los i ordenados de mayor a menor
....321 n 
Para nosotros, los exponentes de Lyapunov están relacionados con la naturaleza
que se expande o contrae de las diferentes direcciones en el espacio de fases. Debido a
que la orientación del elipsoide cambia continuamente cuando evoluciona, las
direcciones asociadas con un exponente dado varían de una forma muy complicada a
través del atractor. No podemos, por tanto, hablar de una dirección claramente definida
asociada con un exponente dado, sino de unas direcciones dependientes del flujo del
sistema denominadas direcciones de Lyapunov.
Observamos que la extensión lineal del elipsoide crece como t
e 1
, el área
definida por los dos primeros ejes principales crece como t
e )( 21  
, el volumen definido
por los tres primeros ejes principales crece como t
e )( 321  
y así sucesivamente.
Esta propiedad nos conduce a otra definición del espectro de exponentes: la
velocidad de crecimiento exponencial a largo plazo de un elemento de j-volumen
define la suma de los j primeros exponentes.
Los ejes que se expanden se corresponden con exponentes positivos y los que se
contraen con negativos. La suma de todos los exponentes de Lyapunov es el promedio,
en el tiempo, de la tasa de divergencia del espacio de fases. Por lo tanto un sistema
dinámico disipativo tendrá, por lo menos, un exponente negativo, y el movimiento de
las trayectorias, tras un intervalo de tiempo transitorio, sucederá sobre un conjunto
límite de volumen nulo, es decir, un atractor. Un atractor de un sistema disipativo con
uno o más exponentes de Lyapunov positivo es un atractor extraño.
El hecho conjunto de que un sistema tenga tanto exponentes positivos como
negativos, y que a la vez el espacio de fases se esté contrayendo, se puede observar
gráficamente en la figura 2.2. En esta figura se considera inicialmente una
circunferencia, que con el paso del tiempo evoluciona y se deforma, transformándose en
una elipse.

37. 31
Se puede intuir que la magnitud de los exponentes de Lyapunov cuantifica la
dinámica de un atractor en términos teóricos de información. De hecho, Wolf y sus
colegas [L4] cuantifican los exponentes en unidades de bits/órbita ó bits/iteración
(definen la ecuación 2.1 como 2log en vez de Ln).
Obsérvese que la información creada por el sistema está representada como un
cambio en el volumen definido por los ejes principales, que se están expandiendo. La
suma de los correspondientes exponentes, es decir, los exponentes positivos, es igual a
la entropía de Kolmogorov (K) o tasa principal de ganancia de información [L5]:


0i
iK


El espectro de Lyapunov está también muy relacionado con la dimensión de
información del atractor extraño asociado al sistema. Existe la conjetura de Kaplan y
Yorke de que la dimensión de información fd se relaciona con el espectro de Lyapunov
según la ecuación
1
1


j
j
i i
f jd


donde j está definida por la condición


j
i
i
1
0 y que 



1
1
0
j
i
i
Figura 2.2. Divergencia y contracción.

38. 32
2.1.2.- Flujos no lineales. Análisis local mediante la matriz Jacobiana
Un sistema dinámico continuo es una ecuación de la forma
))(()( tXVtx 

Siendo V un campo vectorial definido en una región n
RU  que opera como
espacio de fases. Dicha ecuación también se puede escribir de la forma
))(),.......,(),(()(
....................................................
))(),.......,(),(()(
))(),.......,(),(()(
21
2122
2111
txtxtxvtx
txtxtxvtx
txtxtxvtx
nnn
n
n






Una solución de la ecuación es una función
))(),...,(),(()( 21 txtxtxt n
cuyas funciones componentes )(txi verifican el anterior sistema de ecuaciones.
Un punto o estado de equilibrio viene dado por la condición
0)( txi

, para i = 1,2,…, n
Si ))(,),...((),...,( 0011 txtxxxx nn

 es uno de tales estados, el análisis de la
estabilidad del mismo ha de hacerse investigando las propiedades del sistema en un
punto “próximo”.
Ello se consigue estudiando el sistema lineal hAhL )( , siendo
),......,( 11 nn hxhxhx 

y A la matriz jacobiana de V



















n
nnn
n
x
v
x
v
x
v
x
v
x
v
x
v
VJA












......
............
............
......
)(
21
1
2
1
1
1
Este nuevo sistema nos da el comportamiento del sistema ante pequeñas
fluctuaciones en torno al punto de equilibrio.

39. 33
Para calcular los exponentes de Lyapunov, uno está obligado a medir la
separación de las órbitas a lo largo de las direcciones de Lyapunov. Estas direcciones de
Lyapunov son dependientes del flujo del sistema y están definidas por su matriz
Jacobiana, es decir, la proyección tangente en cada punto de interés a lo largo del flujo
[L5]. Por lo tanto estamos obligados a preservar la correcta orientación del espacio de
fases mediante una conveniente aproximación de dicha proyección tangente.
Si suponemos que existe una medida ergódica del sistema, entonces el “teorema
ergódico multiplicativo” de Oseledec [L6] justifica el uso de unas direcciones
arbitrarias del espacio de fases cuando calculamos los exponentes de Lyapunov de
sistemas dinámicos con variaciones suaves [L7]. En la figura 2.2 se puede observar el
efecto del teorema de Oseledec: En un instante inicial encontramos los vectores
ortonormales 1v y 2v , el sistema los transforma en los vectores ortonormales 1w y 2w a
lo largo de los ejes de la elipse. Para largos periodos de evolución del sistema, los iv
son independientes del tiempo y la longitud de los ejes de la elipse varía de acuerdo a
los exponentes de Lyapunov.
Consideremos una órbita observada x(t), la cual puede ser considerada como
una solución de cierto sistema dinámico:
)(xFx  (1)
definido en un espacio n-dimensional. Por otro lado, la evolución de un vector tangente
ξ en un espacio tangente a )(tx se obtiene linealizando la ecuación (1) que define al
sistema,
  ))(( txT (2),
donde
x
F
DFT


 es la matriz Jacobiana de F.
La solución de la ecuación (2) puede ser obtenida como
)0()(  t
At  (3),
donde t
A es el operador lineal que proyecta la tangente desde el vector ξ(0) a ξ(t).
Este es el sistema lineal en el que hemos transformado el sistema no lineal. Nuestro
objetivo va a ser calcular los exponentes del sistema lineal.

40. 34
El exponente de Lyapunov, o tasa de divergencia del vector tangente ξ se define
como
)0(
)(
ln
1
lim))0(),0((



t
t
x
t 

2.2.- ALGORITMO PARA LA EXTRACCIÓN DE LOS EXPONENTES DE
LYAPUNOV DE UN SISTEMA DINÁMICO DISCRETO O CONTINUO,
DEFINIDO POR SERIES.
2.2.1.- Presentación del problema.
Antes de detallar el funcionamiento del algoritmo, vamos a exponer brevemente
la situación de partida. Se obtiene una serie temporal, a partir de la observación en la
Naturaleza, en el laboratorio o mediante la simulación en computadora, y suponemos
que dicha serie puede ser obtenida como la solución de un sistema dinámico (continuo o
discreto) definido por ecuaciones diferenciales sobre un espacio de fases de,
posiblemente, infinitas dimensiones. Deseamos obtener el espectro de Lyapunov
correspondiente al comportamiento a largo plazo del sistema. Dicho más formalmente,
el comportamiento a largo plazo del sistema define una medida ergódica de la evolución
temporal en el espacio de fases; nosotros estamos interesados en los correspondientes
exponentes de Lyapunov de esa medida ergódica.
2.2.2.- Presentación del algoritmo.
Para resolver el problema proponemos un método basado principalmente en dos
anteriores, el de Sano y Sawada [L8] y el de Eckmann, Oliffson, Ruelle y Ciliberto
[L9], que son prácticamente iguales entre sí.
Incluimos una característica del método de Rosenstein [L10] que nos ha
permitido reducir la longitud de la serie necesaria para un resultado del algoritmo
satisfactorio; es la condición de que la separación entre los vecinos encontrados y el
punto orbital analizado sea mayor que el periodo principal de la serie (ver Buscar
Vecinos del Desarrollo de cada bloque).

41. 35
Añadimos una característica más (no hemos encontrado una clara referencia
anterior, más bien lo contrario) que obliga a que sólo se analicen un total de puntos
igual a la longitud de la serie partido de τ, es decir, obligamos a que se utilicen como
puntos orbitales bajo estudio aquellos puntos de la serie que están separados τ
posiciones. Estudiamos qué parámetros influyen en el resultado. Y, finalmente,
comparamos los resultados obtenidos con los de anteriores contribuciones.
2.2.3.- Valores de entrada:
 Serie de tiempo (Time Serie) de la que queremos extraer los exponentes.
 dE = dimensión de inmersión (Embedding Dimesion). En la práctica hay que
elegir el valor correspondiente al número de variables de estado que definan al
sistema o, lo que es lo mismo, el número de exponentes de Lyapunov que hay
que calcular.
 τ es el retardo utilizado para la reconstrucción del atractor. Tiene que ser un
número entero y representa el número de posiciones de la serie que hay que
retardar. Para un sistema continuo, el retardo en unidades temporales se
obtendría como
)()( stsretardo  .
 t es el intervalo de integración o de observación, con el que se han tomado las
muestras de la serie, y que las separa en el tiempo.

42. 36
Inicializar
Estimar periodo principal de la serie
PARA cada punto j de la
serie, cogidos de τ en τ
Buscar Vecinos del
punto en una concha
de radios r y minr
Reconstruir órbita dE-dimensional
perteneciente al atractor
Hallar Vectores Desplazamiento entre
cada vecino y el punto orbital analizado
 i
y
Hallar Vectores Desplazamiento entre la
evolución de cada vecino y la evolución
del punto orbital analizado  i
z
Calcular jA (tal que i
j
i
yAz  ),
mediante un algoritmo de mínimos
cuadrados
Descomposición QR
n-ésima de 1 nj QA
Calcular exponentes
para este punto orbital
y ponderar con todos
los calculados
FIN
2.2.4.- Diagrama de bloques del algoritmo propuesto.

43. 37
2.2.5.- Desarrollo de cada bloque.
 N: número de muestra máximo para analizar
N = n-dE*τ-1.
 L: longitud del atractor. Es del orden de la máxima separación entre puntos del
atractor [L11]. Para asegurar que los puntos, donde medimos la separación,
pertenecen al atractor proponemos buscar los valores máximo y mínimo a partir
de una posición (p) determinada de la serie
 pjixxL jMAXi  ,min
.
 r: radio exterior de la concha dE-dimensional ( Lr  05.0 ). Hay que establecer
un compromiso al elegir r. Tiene que ser lo suficientemente pequeña, para no
notar el efecto de las no linealidades, y lo suficientemente grande para que
incluya un número de vecinos mayor que dE.
 rmin: radio interior de la concha dE-dimensional ( Lr  01.0min ). El peor efecto
del ruido se da en los vectores de desplazamiento pequeños. Introduciendo
0min r atenuamos el efecto del ruido.
 nMinVec: número mínimo de vecinos. Al asegurar que el punto de estudio tiene
un número elevado de vecinos evitamos que la descomposición QR dé como
resultado matrices singulares.
 Q: primera matriz ortogonal. En realidad la matriz Q representa una base
vectorial con las direcciones sobre las que vamos a calcular los exponentes de
Lyapunov. Elegimos por comodidad que la primera base ( 1Q ) sea la matriz
identidad1
.
1
Gracias al teorema ergódico multiplicativo de Osedelec podemos elegir direcciones arbitrarias al
calcular los exponentes de Lyapunov.
Inicializar

44. 38
Hacemos la FFT de la serie y hallamos el periodo principal como el recíproco
de la frecuencia principal del espectro de potencias.
Buscamos puntos dentro de la serie que estén incluidos en la concha de radio
interior minr , y de radio exterior r, centrada en el punto orbital bajo estudio; y que
además estén separados por un intervalo temporal mayor que el periodo principal de la
serie. Que estén incluidos en una bola de radio r muy pequeño, nos permite la
aproximación lineal del flujo tangente. Que estén separados por un intervalo temporal
mayor que el periodo principal (T) de la serie, nos permite considerar cada par de
vecinos como unas condiciones iniciales cercanas, pero pertenecientes a diferentes
trayectorias.
   Tjirxxrxx jiiki
 min|
Para considerar que el punto es válido establecemos un número mínimo de
vecinos encontrados. En principio, con asegurar que el número de vecinos era mayor
que el número de dimensiones del espacio de fases reconstruido, ya obtendríamos
matrices no singulares. Aumentamos el número mínimo de vecinos, por encima de dE,
para mejorar el resultado. En los comentarios de las tablas 2.5 – 2.8 se puede observar
como varían los resultados, en función del número de vecinos, para los diferentes
sistemas.
Cuando el número de vecinos que encontramos es menor que el número mínimo
de vecinos que habíamos establecido tenemos dos opciones (A y B):
Estimar periodo principal de la serie
PARA cada punto j de la
serie, cogidos de τ en τ
Buscar Vecinos del
punto en una concha
de radios r y minr

45. 39
La reconstrucción se hará mediante el método de retardo de coordenadas
propuesto por Takens [L7].
En nuestro análisis partimos de una serie temporal que suponemos obtenida
como solución de un sistema dinámico del que desconocemos sus características.
Existen toda una serie de medidas (la dimensión de correlación, los exponentes de
Lyapunov o la entropía de Kolmogorov) que requieren para su aplicación la
reconstrucción de ese sistema original.
Para comprobar si un proceso presenta un comportamiento caótico tendremos
que analizar la evolución de la órbita del sistema. La órbita viene dada por un conjunto
de vectores como los definidos en



 )}(|{ 1tt
n
t xfxRx . En el caso de que el sistema
sea caótico, el vector x en el momento t depende de forma completamente determinista
de ese mismo vector x en el periodo anterior. Si el sistema es estocástico esta función
será aleatoria.
Nº Vecinos
Encontrados
<
Nº Mínimo
Abandonar el punto
orbital bajo estudio.
Aumentar la concha (r, rmin)
Reconstruir órbita dE-dimensional
perteneciente al atractor
A B

46. 40
Para conocer la órbita tendríamos que conocer la evolución de todos los
componentes del vector. Por desgracia, en la mayoría de las ocasiones no sólo
desconocemos la función f, sino cuáles son las variables que intervienen en el sistema e
incluso cuántas variables hay. Sólo disponemos de una serie temporal de escalares que,
suponemos, proceden de ese vector, es decir
RRn

)}({}{ ttt xyyx

 .
Takens [L6] demostró que en la mayoría de los casos, la transformación
m
RR 
)},...,,{(}{ )1(   mtttt yyyy
conserva las propiedades topológicas de la órbita original siempre que m>2n+1.
Mediante la transformación propuesta por Takens, conocida como “reconstrucción
mediante el retardo de coordenadas”, de los escalares observados ty pasamos a
vectores de dimensión m, cuantía que se denomina dimensión de inmersión. A los
vectores así formados también se les llama m-historias. Estos vectores tienen una
estructura que dibuja una trayectoria similar a la que poseía la órbita original.
Podemos observar esta característica a partir un sistema caótico concreto, el
atractor de Henon definido en el primer capítulo.
Figura 2.3: Mil puntos del atractor de Henon.
Semilla inicial 00 x e 4.00 y

47. 41
Para hacer la transformación de Takens es necesario determinar el valor de dos
parámetros: τ y m. El tamaño del vector va a venir determinado por m, mientras que τ
nos indica el tiempo que debe pasar entre observación y observación dentro de la misma
m-historia.
Si partimos de una serie temporal escalar, desconociendo todo lo que hace
referencia al sistema de partida, no vamos a tener pistas sobre qué valores dar a m y τ.
La primera alternativa sería ir dando distintos valores a m y τ, a la hora de
implementar el algoritmo de extracción de los exponentes de Lyapunov. A posteriori, a
la vista de los resultados, decidir cuáles son los valores que debemos dar a estos
parámetros. Esta forma de actuación es la que con más frecuencia se utiliza, pero tiene
como inconveniente que hace crecer de forma explosiva el tiempo de cálculo, ya de por
sí elevado, a la vez que complica la posterior interpretación de los resultados.
Aunque se escapa del contenido de este proyecto, existe una revisión completa
de los métodos [Buzug y Pfister, 1992] que tratan de darnos unos valores óptimos para
m y τ. De entre ellos es interesante resaltar “la información mutua”, que proporciona
unos resultados aceptables en unos plazos de tiempo moderados.
La elección de τ determinará el valor de los exponentes de Lyapunov hallados
mediante nuestro algoritmo, puesto que una errónea especificación de τ puede ocultar la
dinámica de un sistema.
Figura 2.4: Reconstrucción del atractor de Henon
A partir de la serie temporal tx que hemos
transformado en una 2-historia con τ igual a uno, tal
que en el eje x está representando a 1tx y en el
eje y se representa a tx

48. 42
Las figuras 2.4 y 2.5 contienen varios ejemplos de reconstrucción de los
atractores de Lorenz y Rössler para diferentes valores de τ. En dichas figuras se ha
obtenido una serie a partir del sistema y luego se ha intentado reconstruirlo con distintos
valores de τ.
Para el sistema de Lorenz, con valores de τ demasiado pequeños, los puntos
parecen concentrarse en torno a la bisectriz. Para τ igual a 8 (0.08 segundos) se consigue
una reconstrucción óptima del atractor, pero para valores de τ superiores a 10 la
estructura comienza a diluirse y no resulta posible reconocer el sistema.
En el sistema de Rössler, la reconstrucción óptima se consigue para τ igual a 10.
Hallamos una matriz de vectores de desplazamiento para cada vecino incluido en
la concha ),...,2,1}({ numVecix ik  , es decir
})(|{}{ min Tjkrxxrxxy ijkjk
i
ii

siendo T el periodo principal.
Para un vector ),...,,( 21 dEwwww  usamos la norma Euclídea
2
122
2
2
1 ),...,,( dEwwww 
Tras un intervalo tretardo  , el punto orbital que estamos analizando jx
evoluciona a jx y sus puntos vecinos }{ kx a }{ kx . El vector desplazamiento
jki xxy i
 evoluciona por tanto al vector i
z
   rxxrxxz jkjk
i
ii
   min|
Hallar Vectores Desplazamiento entre la
evolución de cada vecino y la evolución
del punto orbital analizado  i
z
Hallar Vectores Desplazamiento entre
cada vecino y el punto orbital analizado
 i
y

49. 43
Figura 2.4. Reconstrucción del atractor de Lorenz, mediante el método de
retardo de coordenadas, para diferentes valores de τ
Primero se ha determinado una serie de 10000 valores con un intervalo de
integración 0.01s.
La reconstrucción se hace a partir de la serie escalar correspondiente a la
coordenada x.
Se ilustra una proyección sobre las coordenadas x e y.

50. 44
Figura 2.5. Reconstrucción del atractor de Rössler, mediante el método de
retardo de coordenadas, para diferentes valores de τ
Serie de 10000 valores con un intervalo de integración 0.1s.
La reconstrucción se hace a partir de la serie escalar correspondiente a la
coordenada x.
A diferencia de la figura 2.4 en esta figura las gráficas son en 3D

51. 45
Si el radio exterior de la concha es suficientemente pequeño para que los
vectores de desplazamiento  i
y y  i
z sean considerados una buena aproximación de
vectores tangentes en el espacio tangente, la evolución de i
y a i
z puede ser
representada por alguna matriz jA , tal que
i
j
i
yAz 
La matriz jA es una aproximación de la proyección del flujo tangente a jx de la
ecuación (3)2
. Así, las trayectorias de puntos en la superficie de la bola (o concha en
nuestro caso al hacer 0min r ) están definidas por la acción de las ecuaciones de
movimiento linealizadas sobre puntos infinitesimalmente separados de la trayectoria
original.
Para una estimación óptima de la proyección del flujo linealizado jA a partir de los
conjuntos de vectores  i
y y  i
z , utilizamos un algoritmo de mínimos cuadrados
(least-square-error [L8]):


N
i
i
j
i
AA
yAz
N
S
jj
1
21
minmin
Llamando a la componente (k,l) de la matriz jA por )( jakl y aplicando la condición
anterior, se obtienen dEdE  ecuaciones para solucionar 0
)(



ja
S
kl
. Podemos
hallar la siguiente expresión para jA :
CVAj  ,


N
i
ilik
kl yy
N
V
1
1
)(


N
i
ilik
kl yz
N
C
1
1
)(
2
Véase el apartado Flujos no lineales. Análisis local.
Calcular jA (tal que i
j
i
yAz  ),
mediante un algoritmo de mínimos
cuadrados

52. 46
donde V y C son matrices dEdE  , llamadas matrices de covarianza, e ik
y y ik
z son
las componentes k de los vectores i
y y i
z respectivamente.
La matriz jA será del tipo:

















dE
j
aaaa
A
...
1...000
...............
0...100
0...010
321
Algunos ejemplos durante el cálculo en MATLAB de los exponentes del sistema de
Lorenz son:











4139830.334173390788460.18716901-0525570.95731143-
0000001.000000000000000.000000000000000.00000000-
00000001.000000000000000.00000000
jA











9078965.836316362654136.60980566-2708675.42932210
9453880.999999990635910.000000000632270.00000000
0546120.000000009364090.999999990632270.00000000
jA
Se puede observar que algunas veces no se halla exactamente un valor 0, aunque
el error, de producirse, es siempre menor que 8
10
.
Los principales ejes de la bola (concha) están definidos por la evolución
mediante las ecuaciones linealizadas de una base inicialmente ortonormal. Hay que
calcular la aproximación lineal definiendo una base cualquiera para cada punto de la
serie.
Descomposición QR
n-ésima de 1 nj QA

53. 47
Cada eje de la base diverge en magnitud, en principio esto es sólo un problema
debido el limitado rango de almacenamiento de las computadoras, pero además, y más
grave, está el proceso de doblado del espacio de fases sobre los ejes definidos por la
base, que nos evita percibir el proceso de estirado que determinará la sensibilidad a las
condiciones iniciales.
En un sistema caótico se presenta un problema adicional: cada vector tiende a
caer a lo largo de la dirección local de más rápido crecimiento. Debido a la finita
precisión de cálculos de las computadoras actuales, el colapso - respecto a una dirección
común - provoca que la orientación de todos los ejes se vuelva indistinguible en el
espacio de fases.
Estos dos problemas se solucionan mediante un procedimiento de
reortonormalización.
La base ortonormal define matrices ortogonales y, por tanto, podemos efectuar
sucesivas descomposiciones QR para reortonormalizar. En la iteración n hacemos una
descomposición QR de la matriz que resulta de 1 nj QA . Este principio ha sido el
usado, entre otros, por [L3], [L8], [L9], [L12]. Para esta descomposición existen varios
métodos que describimos en el Apéndice A. En varios artículos analizados ([L3], [L8],
y [L14]) distinguen los resultados obtenidos según el método de descomposición QR
utilizado; anuncian que el clásico Gram-Schmidt conduce a errores estadísticos y que el
Gram-Schmidt y la transformación Householder los solucionan, siendo este último
método el que da unos resultados óptimos. En cambio, con el método aquí propuesto,
hemos llegado a la conclusión de que el clásico de Gram-Schmidt, el Gram-Schmidt
modificado, la transformación Householder y la descomposición QR de la función “qr”
de MATLAB, prácticamente siempre, producen el mismo resultado. Elegimos la
función “qr” de MATLAB, que, al estar ya optimizada, reduce el coste computacional.

54. 48
Ahora que tenemos la ecuación del movimiento en el espacio tangente a lo largo
de las órbitas obtenidas experimentalmente, los exponentes de Lyapunov pueden ser
calculados como

 

N
j
iij
N
i R
tN 1
)(ln
1
lim


donde  iijR es la posición i de la diagonal de la matriz jR y jR es la matriz triangular
superior obtenida mediante la descomposición QR de 1 jj QA , es decir,
   1,  jjjj QAqrRQ .
Cuando j + τ > longitud de la serie finaliza el bucle PARA y, por tanto, finaliza
el algoritmo.
2.2.6.- Análisis de los Resultados.
Hay que tener en cuenta que todos los resultados obtenidos son dependientes de
las condiciones iniciales.
Si comparamos los resultados obtenidos mediante nuestro algoritmo con los
resultados obtenidos en otros artículos ([L4], [L8], [L9] y [L12]) vemos que hemos
mejorado respecto a todos los anteriores. Y lo hemos hecho tanto en la precisión del
cálculo, como en las exigencias en cuanto a la longitud de la serie.
Es interesante ver qué factores influyen en los resultados y cómo lo hacen.
Calcular exponentes
para este punto orbital
y ponderar con todos
los calculados
FIN

55. 49
Para ello, primero que vamos a hacer es analizar la longitud y calidad necesarias
de la serie para obtener un resultado satisfactorio. Lo siguiente será estudiar el efecto de
los diferentes parámetros del algoritmo.
Análisis de la LONGITUD de la serie.
En la tabla 2.1 podemos observar cómo varía la longitud necesaria de los
sistemas discretos a los continuos. En los sistemas discretos, con 500 muestras, se
consigue un error menor del 10% y, con 2000, se consiguen los resultados óptimos.
Mientras que en los continuos es necesaria una serie con una longitud mínima del orden
de 5000 muestras, consiguiéndose los resultados óptimos a partir de 10000.
Hay que tener en cuenta que los resultados dependen de las condiciones iniciales
a partir de las cuales se hayan determinado las órbitas y, por tanto, habrá órbitas de las
que se obtendrá un resultado satisfactorio con muchas menos muestras que otras. A
modo de ejemplo se pueden contrastar las tablas 2.2 y 2.3 ambas correspondientes al
sistema de Lorenz, pero con condiciones iniciales muy diferentes.
Análisis de la CALIDAD de la serie.
Analizamos los efectos del ruido añadido y de la precisión en la observación.
Para ello, sumamos una señal de igual longitud con una función de densidad de
probabilidad Uniforme ponderada por un coeficiente.
Observando la tabla 2.19 comprobamos que el ruido modifica los resultados
llegando a enmascarar la caoticidad de la serie para un coeficiente del 40%.
En las tablas 2.20, 2.21 y 2.22 comprobamos lo robusto que se muestra nuestro
algoritmo frente a la precisión durante la observación y obtención de la serie. Para los
sistemas continuos se obtienen resultados muy buenos a partir de 1 decimal, mientras
que para los discretos es necesario una precisión de 2 decimales.
Análisis del efecto de los PARÁMETROS del algoritmo.
Número mínimo de vecinos.
Todos los autores estudiados ([L4], [L8], [L9], [L12] y [L13]) señalan que para
considerar válido el análisis de un punto orbital, es necesario que dicho punto tenga un
número mínimo de vecinos. Esta indicación se hace para evitar que el análisis nos
conduzca a matrices singulares durante la descomposición QR, o bien, para mejorar el
resultado estadístico del cálculo de los exponentes.

56. 50
En nuestro caso hemos podido comprobar que el número de vecinos influye en
relación con la longitud de la serie. Si la serie es pequeña, el requisito de un número
mínimo de vecinos muy elevado evitaría analizar muchos puntos de la serie y eso nos
conduciría a errores (tablas 2.6 y 2.7). En una serie muy larga no se degenera el
resultado (tabla 2.8).
Durante nuestro análisis no hemos tenido ningún problema con los mapas 1-D
respecto a un número de vecinos pequeño (tabla 2.5).
De hecho, podemos asegurar que con un número mínimo de vecinos mayor o
igual al número de exponentes que calculamos los resultados son perfectamente válidos.
Hay que considerar que hemos calculado los exponentes de sistemas bien
conocidos, si analizáramos series de tiempo observadas en la naturaleza, el resultado
podría acusar el número mínimo de vecinos establecido.
r y minr
En la tabla 2.9 se observa cómo la influencia del radio (exterior, ya que medimos
su influencia con 0min r ) de la bola r, varía en función del tipo de sistema. En el
mapa Logístico apenas influye, mientras que en el mapa 10-ádico es capaz de hacer
alternar el signo del exponente. La explicación se debe a que según la propia dinámica
del sistema, es decir, como distribuye los puntos en el espacio de fases, una bola de
radio grande puede coger puntos suficientemente lejanos cuyas trayectorias pueden
converger hacia la misma zona. En este caso, no podemos utilizar la aproximación de
flujo tangente, corazón de nuestro algoritmo.
En las tablas 2.12 – 2.14 se aprecia cómo minr ayuda a calcular los exponentes
con más precisión.

57. 51
Figura 2.6. Evolución del cálculo del exponente de
Lyapunov del mapa logístico.
Cuando ha promediado sobre las primeras 200 muestras
se estabiliza completamente.
Figura 2.7. Evolución del cálculo de los exponentes de
Lyapunov del sistema de Lorenz
Los tres convergen muy rápido a su valor final aunque, en el
caso del tercero, ese valor no es exactamente el esperado
2.2.7.- Eficiencia Computacional
En las gráficas siguientes se puede comprobar lo rápido que converge el
resultado a su valor final.

58. 52
2.2.8.- Aplicación Gráfica
Se ha desarrollado una aplicación que trata de mostrar al usuario todos los
aspectos relacionados con la extracción de los exponentes de Lyapunov de una serie
temporal. El usuario tiene posibilidad de variar los diferentes parámetros del algoritmo,
de visualizar el proceso de generación de una serie temporal, realizar el proceso de
reconstrucción del atractor o incluso, tiene oportunidad de ver la eficiencia
computacional del algoritmo en diferentes formatos.
Figura 2.8 Aplicación Gráfica
Se pueden apreciar la obtención de la serie mediante el sistema de
Rössler, la reconstrucción del atractor , los resultados, dos formas para
estudiar la eficiencia del algoritmo…

59. 53
LONGITUD
DE LA SERIE
LOGISTICA 10-ádica TIENDA
100 1,2328 1,1812 0,5229
250 0,7707 1,1501 0,6234
500 0,6789 1,1897 0,6327
750 0,6854 1,2403 0,6365
1000 0,6838 1,2505 0,6293
1100 0,6882 1,2396 0,6211
1250 0,6941 1,2269 0,6204
1500 0,6891 1,1759 0,6205
1750 0,6938 1,187 0,6089
2000 0,6932 1,1742 0,604
2500 0,6932 1,1339 0,6076
3000 0,6909 1,1647 0,6063
3500 0,6928 1,1927 0,6085
4000 0,6923 1,1926 0,6134
4500 0,6903 1,1844 0,6064
5000 0,692 1,1579 0,6089
6000 0,6875 1,1646 0,6115
7000 0,6887 1,1528 0,6181
8000 0,6892 1,1424 0,6197
Longitud
Serie 1 2 3
500 5,1819 4,1077 -9,137
1000 4,1755 0,0751 -18,8405
1500 3,515 0,4969 -19,35
2000 3,3292 -0,388 -20,231
2500 2,8312 -0,5245 -18,6914
3000 2,026 -0,2387 -18,4087
3500 1,7839 -0,7858 -18,0044
4000 1,7008 -0,2761 -18,702
4500 1,6305 -0,1972 -18,173
5000 1,4078 -0,0408 -18,1419
5500 1,4338 0,012 -18,4609
6000 1,3236 -0,0241 -18,6074
6500 1,2322 0,116 -17,9751
7000 1,259 0,0192 -18,0143
8000 1,2623 0,0929 -18,2041
9000 1,2271 0,1182 -18,3009
10000 1,2775 0,0941 -18,3461
12500 1,2476 0,0582 -18,3079
15000 1,268 -0,0234 -18,1443
20000 1,3101 0,0007 -18,3382
25000 1,3728 -0,0695 -18,3179
Longitud
Serie 1 2 3
500 0,5985 -1,5166 -12,7958
1000 1,7635 0,3271 -18,879
1500 2,4684 0,7296 -19,1105
2000 2,7687 -0,4069 -17,9269
2500 2,78 -0,8533 -16,8821
3000 2,2139 -0,4597 -17,7108
3500 2,3283 -0,4865 -18,172
4000 2,3468 -0,4433 -18,495
4500 2,2222 -0,2993 -18,1142
5000 2,0544 -0,1676 -17,8024
5500 1,8531 -0,0113 -17,7128
6000 1,8489 -0,1027 -18,0956
6500 1,7854 -0,048 -17,7558
7000 1,7511 -0,0835 -17,829
8000 1,6002 -0,0302 -17,6934
9000 1,5979 0,0234 -17,8335
10000 1,4378 -0,0361 -17,8721
12500 1,4463 -0,0843 -18,0946
15000 1,4808 -0,042 -18,3695
20000 1,4779 -0,0917 -18,3048
25000 1,3867 -0,0067 -18,2323
Tabla 2.2 Influencia de la longitud de la
serie para el atractor de LORENZ
x0=(33.5, -21.9, 19.27)
Caso más común
Tabla 2.3 LORENZ x0l=[20 5 -5]
Caso más caótico. La órbita pasa de un
lado al otro del atractor.
Peor caso --> La longitud necesaria de
la serie aumenta hasta 10000 muestras,
aunque para 6000 el resultado difiere
menos del 5% del valor estable
Tabla 2.1 Influencia de la longitud de
la serie para los mapas asociados a las
funciones LOGÍSTICA, R-ÁDICA y
TIENDA DE CAMPAÑA.
2.2.9.- Tablas con Pruebas.

60. 54
Longitud
Serie 1 2 3
500 1,134 0,0148 -0,2198
1000 0,0723 -0,0583 -2,3256
1500 0,0877 -0,0298 -3,2436
2000 0,1027 0,0157 -1,6267
2500 0,2252 0,0313 -1,3972
3000 0,1703 0,0355 -1,1828
3500 0,1476 0,0214 -1,1816
4000 0,133 0,0226 -1,221
4500 0,1172 0,0011 -1,1506
5000 0,1101 0,0012 -1,1536
5500 0,1089 -0,0071 -1,1567
6000 0,0995 -0,0095 -1,1919
6500 0,1071 -0,0111 -1,2015
7000 0,1081 -0,0238 -1,1918
8000 0,0979 -0,0134 -1,2388
9000 0,0934 -0,0047 -1,2304
10000 0,0874 -0,008 -1,2313
12500 0,0876 -0,01 -1,2382
15000 0,0922 -0,0099 -1,2299
20000 0,093 -0,0081 -1,2109
25000 0,0914 -0,0079 -1,2165
Nº mínimo
de vecinos
LOGISTICA 10-ádica TIENDA
2 0,6932 1,1732 0,604
5 0,6932 1,1732 0,604
10 0,6932 1,1732 0,604
11 0,6932 1,1732 0,604
12 0,6932 1,1732 0,604
13 0,6932 1,1732 0,604
14 0,6932 1,1732 0,604
15 0,6932 1,1732 0,604
20 0,6932 1,1732 0,604
25 0,6932 1,1732 0,604
30 0,6932 1,1732 0,604
35 0,6932 1,1732 0,604
40 0,6932 1,1732 0,604
45 0,6932 1,1732 0,604
50 0,6932 1,1732 0,604
60 0,6932 1,1732 0,604
70 0,6932 1,1732 0,604
100 0,6932 1,1692 0,604
150 0,7928 1,1273 0,6003
250 1,2571 1,0254 0,5951
500 1,3108 0 0
Nº mínimo
de vecinos 1 2 3
2 1,2559 0,0906 -18,308
5 1,2559 0,0906 -18,308
10 1,2775 0,0941 -18,3476
11 1,2822 0,0938 -18,3653
12 1,2985 0,1178 -18,3916
13 1,2985 0,1178 -18,3916
14 1,2985 0,1178 -18,3916
15 1,2985 0,1178 -18,3916
20 1,4027 0,0939 -18,5443
25 1,5936 0,0145 -18,6442
30 1,7865 -0,0933 -18,7476
35 2,2261 -0,3458 -19,1222
40 2,7608 -0,5441 -19,486
45 3,1963 -0,3915 -20,0305
50 3,2951 -0,1349 -20,4668
60 3,6394 0,0921 -21,573
70 3,5089 1,1948 -22,6803
100 5,9896 3,5789 -27,1629
150 7,5519 4,607 -27,1706
250 0 0 0
500 0 0 0
Tabla 2.4 Influencia de la longitud de
la serie para el atractor de
RÖSSLER
X0=(14 6 20)
Tabla 2.5 Número de Vecinos
2000 muestras
Tabla 2.6 Número de Vecinos
LORENZ
X0=(33.5 -21.9 19.27)

61. 55
Nº mínimo
de vecinos
1 2 3
2 0,0901 -0,0137 -1,2436
5 0,0901 -0,0137 -1,2436
10 0,0875 -0,0092 -1,2303
11 0,0885 -0,006 -1,2287
12 0,0862 -0,0037 -1,2153
13 0,0862 -0,0037 -1,2153
14 0,0886 -0,0068 -1,2032
15 0,0931 -0,0119 -1,1899
20 0,105 -0,0071 -1,2002
25 0,1291 -0,0165 -1,259
30 0,132 0,0068 -1,2765
35 0,1445 0,0219 -1,4669
40 0,1478 0,0178 -1,6931
45 0,1401 0,0246 -1,9403
50 0,1677 0,0249 -2,1689
60 0,1866 0,0468 -3,2931
70 0,1129 0,0102 -2,966
100 -0,2561 0 0
150 -0,2561 0 0
250 -0,2561 0 0
500 0 0 0
Nº mínimo
de vecinos
1 2 3
2 0,0914 -0,0089 -1,2123
5 0,0914 -0,0089 -1,2123
10 0,0914 -0,0089 -1,2123
11 0,0914 -0,0089 -1,2123
12 0,0914 -0,0089 -1,2123
13 0,0914 -0,0089 -1,2123
14 0,0914 -0,0089 -1,2123
15 0,0914 -0,0089 -1,2123
16 0,0914 -0,0089 -1,2123
17 0,0914 -0,0089 -1,2123
18 0,0914 -0,0089 -1,2123
19 0,0914 -0,0089 -1,2123
20 0,0914 -0,0089 -1,2123
25 0,0914 -0,0089 -1,2123
30 0,092 -0,0082 -1,2112
40 0,0906 -0,0057 -1,2048
50 0,0907 0,0016 -1,1725
75 0,1122 0,0069 -1,1756
100 0,1217 0,0171 -1,2952
125 0,1448 0,0192 -1,6997
150 0,154 0,0408 -2,4123
200 0,096 0,074 -3,294
r LOGÍSTICA 10-ÁDICA TIENDA
0,01 0,694 2,5086 0,6814
0,02 0,6901 2,3485 0,6743
0,03 0,6946 2,1266 0,6567
0,04 0,6936 1,7051 0,6377
0,05 0,6934 1,174 0,6079
0,06 0,6916 0,621 0,5799
0,07 0,6931 -0,2321 0,5829
0,08 0,692 -0,1848 0,5815
0,09 0,6949 0,0482 0,5626
0,1 0,6837 -0,1773 0,5537
0,125 0,6729 -1,239 0,5253
0,3 0,6189 -1,4505 0,245
Tabla 2.7 Número de Vecinos
RÖSSLER
x0=(4 6 20) 10.000 muestras
Tabla 2.8 Número de Vecinos
RÖSSLER x0=(4 6 20)
30.000 muestras
Como podemos observar, influye mucho la
longitud de la serie y no se ve perturbada por una
exigencia elevada de vecinos, ya que al haber
tantos puntos, todos tienen muchos vecinos. Al
no evaluarse sólo determinados puntos, no se
degenera el resultado
Tabla 2.9 Variación del radio exterior
de la órbita r con 0min r

62. 56
r
1 2 3
0,01 0,1754 0,0042 -1,2165
0,02 0,1077 0,015 -1,307
0,03 0,0977 -0,0159 -1,3221
0,04 0,0987 -0,0188 -1,3494
0,05 0,0918 -0,0088 -1,3712
0,06 0,0953 -0,0126 -1,372
0,07 0,0935 -0,0103 -1,3722
0,08 0,0855 -0,0039 -1,3765
0,09 0,0764 0,002 -1,4284
0,1 0,0679 0,0049 -1,4703
0,125 0,0381 -0,012 -1,5026
0,3 0,0162 -0,0843 -1,7331
r 1 2 3
0,01 4,1664 0,5782 -21,4029
0,02 1,7229 0,0117 -18,6426
0,03 1,3173 0,1984 -19,0717
0,04 1,0346 0,2715 -18,3279
0,05 1,0615 0,1945 -17,8295
0,06 1,1873 -0,1211 -17,8376
0,07 1,2836 -0,3825 -17,4603
0,08 1,2707 -0,6162 -17,316
0,09 1,2608 -0,6967 -17,4465
0,1 1,2105 -0,8711 -17,3687
0,125 1,3158 -1,847 -17,2434
0,3 -0,1485 -2,2892 -16,5114
minr LOGÍSTICA 10-ÁDICA TIENDA
0,005 0,6934 1,1747 0,6082
0,01 0,6932 1,1732 0,604
0,015 0,6929 1,1459 0,6037
0,02 0,6916 1,1147 0,6077
0,025 0,6915 1,0576 0,6043
0,03 0,6923 0,9437 0,6001
0,035 0,6926 0,7364 0,5907
0,04 0,6941 0,5705 0,5678
0,045 0,6945 0,6569 0,582
minr 1 2 3
0,005 1,1409 0,103 -18,3448
0,01 1,2559 0,0906 -18,308
0,015 1,4325 -0,1071 -16,4957
0,02 2,0148 -0,2863 -15,1597
0,025 3,0034 -0,6708 -13,6955
0,03 4,5893 -2,8523 -15,5665
0,035 1,7961 -2,7039 -11,0902
0,04 1,6088 -1,8878 -10,0258
0,045 1,5898 -1,2596 -8,6343
Tabla 2.11 Variación del radio
exterior de la órbita r con 0min r
Para el atractor de LORENZ
x0=(33.5 -21.9 19.27)
10.000 muestras
Tabla 2.12 Variación del radio
interior de la órbita minr con r =0.05
Tabla 2.13 Variación del radio
interior de la órbita minr con r =0.05
para el atractor de LORENZ
x0=(33.5 -21.9 19.27)
10.000 muestras
Tabla 2.10 Variación del radio
exterior de la órbita r con 0min r
Para el atractor de RÖSSLER
x0=(14, 6, 20)
10.000 muestras

63. 57
minr 1 2 3
0,005 0,0895 -0,0086 -1,3169
0,01 0,0901 -0,0137 -1,2436
0,015 0,0832 -0,0096 -1,1828
0,02 0,1111 -0,0091 -1,1155
0,025 0,1097 -0,0024 -1,0607
0,03 0,2013 -0,024 -1,126
0,035 0,3113 -0,0575 -1,7021
0,04 0,6385 0,0433 -0,3317
0,045 0,5952 0,0325 -0,2221
Método QR
1 2 3
G-S clásico 1,2559 0,0906 -18,308
G-S modificado 1,2559 0,0906 -18,308
Householder Inf 0,1207 -18,308
qr MATLAB 1,2559 0,0906 -18,308
Método QR
1 2 3
G-S clásico 0,0901 -0,0137 -1,2436
G-S modificado 0,0901 -0,0137 -1,2436
Householder 0,0901 -0,0137 -1,2436
qr MATLAB 0,0901 -0,0137 -1,2436
Tabla 2.14 Variación del radio
interior de la órbita minr con r =0.05
para el atractor de RÖSSLER
x0=(14 6 20)
10.000 muestras
Tabla 2.15 Variación del método de
descomposición QR utilizado para el
atractor de LORENZ
x0=(33.5 -21.9 19.27)
10.000 muestras
r=0.05 - rmin=0.01 - nMinVec=5 -
τ=8
Hay que tener cuidado tonel método
de Householder puesto puede dar
como resultado matrices singulares.
Para solucionarlo, basta con no
calcular el punto es esos casos.
Tabla 2.16 Variación del método de
descomposición QR utilizado para el
atractor de RÖSSLER
x0=(14 6 20)
10.000 muestras
r=0.05 - rmin=0.01 - nMinVec=5 -
τ=8

64. 58
τ
1 2 3
1 6,232 0,6173 -6,7512
2 2,6465 0,8579 -15,2524
3 1,7754 -0,0452 -26,8495
4 1,1795 -0,4085 -26,9265
5 1,3883 -0,497 -26,244
6 1,5761 -0,3 -26,7485
7 1,6632 -0,3531 -22,1585
8 1,4739 -0,0911 -18,3836
9 1,4169 0,011 -14,3393
10 1,3592 0,0129 -11,3959
11 1,3157 -0,083 -8,8128
12 1,4593 -0,278 -6,4018
13 1,5862 -0,3403 -4,4621
14 1,7372 -0,2421 -3,7578
15 1,81 -0,2576 -4,216
16 1,6699 -0,1326 -4,3292
17 1,6287 -0,3073 -4,7265
18 1,7056 -0,3555 -5,0012
19 1,8036 -0,0572 -4,2266
20 1,8744 0,0183 -3,3524
τ
1 2 3
1 0,1668 -0,0802 -8,7122
2 0,0756 -0,005 -5,5432
3 0,0802 -0,0261 -3,6273
4 0,093 -0,0252 -2,5329
5 0,0898 -0,0008 -2,008
6 0,0862 -0,0014 -1,78
7 0,0757 0,0064 -1,565
8 0,0814 -0,0056 -1,43
9 0,0877 -0,0056 -1,3269
10 0,0875 -0,0092 -1,2303
11 0,0822 -0,0099 -1,0694
12 0,1037 -0,0065 -0,9579
13 0,0816 0,0057 -0,7672
14 0,0806 -0,0004 -0,7104
15 0,102 0,0065 -0,6835
16 0,0778 -0,004 -0,5979
17 0,078 -0,0029 -0,541
18 0,0924 0,0113 -0,5285
19 0,0947 0,0127 -0,4727
20 0,1403 0,0299 -0,4222
25 0,0998 0,0252 -0,4739
50 0,0729 0,0231 -0,1662
100 0,0559 -0,0064 -0,0804
200 0,0172 0,0097 -0,0291
500 0,0097 0,001 -0,022
Tabla 2.17 Exponentes de Lyapunov para el
atractor de LORENZ para diferentes valores de
τ.
x0= ( 0.1 20 14 ) 10000 muestra.
Tabla 2.18 Valores de los exponentes de
Lyapunov para el atractor de RÖSSLER, para
diferentes valores de τ.
(Semilla inicial (14, 6, 20) Variable x, td =0.1‟‟
y 1000 muestras)
*
*

65. 59
Ruido
%
LOGÍSTICA 10-ÁDICA TIENDA
5 0.5665 0.5813 0.7434
10 0.4446 0.5081 0.6484
15 0.3572 0.4254 0.5669
20 0.2674 0.3285 0.463
25 0.2282 0.2576 0.3306
30 0.1583 0.1199 0.1837
35 0.166 0.0844 -0.0531
40 0.0505 -0.0654 -0.3636
45 0.0414 -0.1628 -0.5424
50 -0.0545 -0.2719 -0.8677
Nº de
decimales
de las
muestras
de la serie
Logística 10-ádica Tienda
1 0 0 0
2 0.69544 0.63768 1.0838
3 0.69222 0.61403 1.1685
4 0.69242 0.61359 1.1927
5 0.69232 0.61336 1.1928
Nº de
decimales
de las
muestras
de la serie
HENON
1 NaN NaN
2 0.42083 -1.4072
3 0.41355 -1.2693
4 0.41178 -1.2552
5 0.41197 -1.2559
LORENZ
Nº de decimales de las
muestras de la serie 1 2 3
1 1.3406 0.075683 -20.693
2 1.2074 0.13717 -18.367
3 1.2556 0.088492 -18.321
4 1.256 0.090605 -18.301
5 1.2559 0.090676 -18.308
RÖSSLER
Nº de decimales de las
muestras de la serie 1 2 3
1 0.077646 -0.012611 -0.79974
2 0.088785 -0.012732 -1.0417
3 0.086181 -0.013568 -1.266
4 0.079443 -0.012622 -1.3227
5 0.090694 -0.012672 -1.245
Tabla 2.19 Influencia del ruido.
A la señal se le ha sumado un ruido blanco
con una amplitud igual al % - mostrado en
la columna - de la amplitud máxima de la
señal.
Tabla 2.20 Calidad de la serie.
Hemos estudiado el efecto que tiene tomar
las muestras con una precisión determinada.
Los resultados para los sistemas discretos
son perfectamente válidos a partir de 2
decimales.
Tablas 2.22 y 2.23 Calidad de la serie.
Hemos estudiado el efecto que tiene tomar las
muestras con una precisión determinada.
Los resultados para los sistemas continuos de
Lorenz y Rössler muestran que los exponentes
obtenidos a partir de series con 1 sólo decimal
son perfectamente válidos.
Tabla 2.21 Calidad de la serie
Sistema de Henon
Igual que en los demás casos discretos, los
resultados son completamente válidos para
series observadas con 2 decimales de
precisión.

66. 60
Estudio del Caos con
Densidades de Probabilidad
Capítulo 3

67. 61
3.1.- ESTADO DEL ARTE
3.1.1.- Espectro Ensanchado. (Spread Spectrum)
Una de las más importantes cuestiones de los sistemas inalámbricos es el
problema de garantizar acceso múltiple al medio de comunicación. Entre las posibles
estrategias que solucionan este problema, las técnicas de espectro ensanchado han sido
investigadas activamente durante las últimas dos décadas. Mediante el uso de esta
tecnología, todos los usuarios pueden transmitir al mismo tiempo ocupando el mismo
ancho de banda RF. Su principal característica es el ensanchamiento del ancho de
banda de la señal de información muy por encima del mínimo necesario para transmitir
el mensaje. Este ancho de banda está determinado principalmente por el método de
ensanchamiento y no por la información a transmitir.
3.1.2.- Acceso múltiple por división de código (CDMA).
Existen dos técnicas diferenciadas en CDMA, Frequency Hopping (Salto de
Frecuencia) y Direct Sequence (Secuencia Directa).
En FH-CDMA los usuarios transmiten en un gran ancho de banda cambiando la
frecuencia de la portadora a saltos, como su propio nombre indica. Para ello, los
usuarios deben saltar sin coincidir nunca en la misma frecuencia pues se interferirían. Se
intuye que la secuencia numérica que indica las frecuencias a las que tiene que saltar un
usuario, debe estar incorrelada con la misma secuencia de otro usuario. Dicha secuencia
debe ser de valores reales (normalizados o no) pues multiplicarán una frecuencia de
partida.
En DS-CDMA la transmisión es digital. Todos los usuarios comparten el mismo
ancho de banda simultáneamente. Para evitar la interferencia cocanal se le asigna a cada
usuario un código que tiene correlación cruzada nula con los de los demás usuarios.
Aunque las secuencias caóticas se pueden aplicar directamente a FH-CDMA, en
lo que sigue nos vamos a centrar en DS-CDMA

68. 62
3.1.3.- Secuencias de ensanchamiento en DS-CDMA.
En DS-CDMA, durante la transmisión, al comenzar la conexión, se le asigna a
cada usuario un código determinístico diferente - llamado secuencia de ensanchamiento
-, conocido a priori por el receptor. Este código tiene un periodo de muestreo mucho
menor que el de la señal de información; al multiplicarlo por la secuencia de
información, ésta queda modulada y, al tener un periodo de muestreo menor, ensancha
el espectro de la forma de onda de la señal transmitida muy por encima del necesario
para transmitir la información.
En recepción, para demodular los datos, se calcula la correlación cruzada de la
señal de entrada con una copia local de la secuencia de ensanchamiento.
3.1.4.- Secuencias Caóticas
La idea de usar el caos en comunicaciones de espectro ensanchado viene de [C2]
y [C3], donde además primero se reivindicó la posibilidad de generar un infinito
número de secuencias de ensanchamiento para un acceso múltiple al medio por división
de código con secuencia directa (DS-CDMA). Un primer modelo del rendimiento de un
sistema DS-CDMA basado en caos fue [C4]. Esta contribución demostró con éxito el
potencial de usar las técnicas basadas en el caos en este campo. Dicho potencial se ha
seguido investigando [C5] hasta mostrar que la aplicación de la dinámica caótica para la
optimización del nivel de código de los sistemas DS-CDMA es un ejemplo claro donde
la solución basada en caos no sólo mejora el rendimiento de las clásicas
aproximaciones, sino que podría, además, ser la elección óptima cuando la interferencia
cocanal es la principal causa de fallos.
No es muy difícil obtener [C6] la probabilidad de bit erróneo cómo función de la
relación señal a interferencia. Esta relación es la figura de mérito que tratamos de
optimizar. Las variables que podemos modificar para dicha optimización son las
secuencias de ensanchamiento. Típicamente, se han elegido secuencias pseudoaleatorias
(secuencias Gold ó secuencias maximun-length), pero nuevos informes [C6] han
demostrado que las fuentes caóticas pueden utilizarse para generar secuencias de

69. 63
ensanchamiento mejores que las aleatorias, en términos de la figura de mérito
estadística que antes mencionábamos.
3.1.5.- Necesidad de utilizar secuencias con unas propiedades estadísticas
determinadas.
Los sistemas DS-CDMA poseen tres ventajas características sobre otras técnicas
de acceso múltiple que son:
- robustez ante multitrayecto,
- una capacidad potencial elevada respecto al número de usuarios
- y una degradación suave del rendimiento.
Es interesante señalar que estas tres ventajas dependen de las propiedades
estadísticas de las secuencias de ensanchamiento; la robustez frente al multitrayecto se
deriva de las propiedades de autocorrelación del código de ensanchamiento, mientras
que la capacidad está relacionada con las propiedades de correlación cruzada de los
códigos de los diferentes usuarios.
Por tanto, la estadística de las secuencias de ensanchamiento juega un papel
fundamental en la determinación del rendimiento del sistema de comunicación. En la
teoría de los sistemas DS-CDMA comúnmente se asume [C1] que el rendimiento
máximo se obtiene usando códigos ortogonales, es decir, códigos caracterizados por
tener correlación cruzada nula. Sin embargo, si uno se refiere a un enlace CDMA up-
link, desde el transmisor móvil a una estación base fija, el medio puede ser considerado
asíncrono. Esto significa que, debido a que puede considerarse que el retardo absoluto y
la fase de la portadora varían de forma aleatoria de un usuario a otro, el tiempo de
transición de los símbolos de datos de diferentes usuarios no coincide en la recepción de
la estación base, incluso si cada receptor está sincronizado con la señal que tiene que
decodificar. Por tanto, el diseño de la secuencia de ensanchamiento es un problema
mucho más complicado que la simple determinación de un conjunto de secuencias con
correlación cruzada nula.

70. 64
Según lo anterior, las propiedades estadísticas de los procesos generados por una
fuente caótica pueden ser unidas con la probabilidad de error en un sistema DS-CDMA
[C6]. De hecho, para caracterizar el rendimiento de un sistema DS-CDMA basado en
caos es necesario calcular los momentos de orden elevado. De hecho, la computación de
estadísticos de orden elevado de procesos generados por sistemas caóticos emerge como
un paso inevitable para la completa explotación del potencial de las técnicas basadas en
caos en las aplicaciones reales.
3.2.- ESTUDIO DEL CAOS CON DENSIDADES DE PROBABILIDAD
3.2.1.- Una aproximación alternativa para estudiar el caos.
Los sistemas dinámicos suelen exhibir comportamientos muy complicados, de
los cuales, el caos es el más espectacular. En el caso de la dinámica caótica, no se puede
caracterizar las propiedades del sistema de una manera sencilla. De hecho, la tradicional
y accesible teoría de sistemas, basada en la observación de las trayectorias a lo largo del
tiempo, muestra algunas limitaciones cuando la aplicamos a la compleja dinámica no
lineal y representa una dirección de análisis que no tiene mucha utilidad y, a veces,
resulta engañosa.
Aunque el comportamiento caótico puede emerger tanto de sistemas continuos
como discretos en el tiempo, en lo que sigue vamos a fijarnos en la elección más simple
posible, es decir, sistemas dinámicos caóticos discretos de 1-D, usualmente llamados
mapas. En particular, vamos a considerar un dominio normalizado X = [0,1] y una
función no lineal y no invertible XXM : . Ya que intentamos tratar con sistemas
que tienen memoria de sus estados pasados, al dominio X de M lo llamaremos espacio
de fases (Véase Capítulo 1).
Debido a la sensibilidad a las condiciones iniciales, cualquier error en el
conocimiento de un estado se amplificará durante la evolución del sistema, hasta llegar
a un punto donde será completamente imposible predecir la posición de la órbita en el
espacio de fases.

71. 65
Para hacer frente al problema de caracterizar el comportamiento característico de
un mapa caótico, podemos utilizar las herramientas desarrolladas en la teoría de
procesos estocásticos. Vamos a estudiar la evolución de densidades.
Si 0x está distribuido de acuerdo a una densidad 0 , ¿respecto a qué densidad están
distribuidos los estados )( 01 xMx  , )( 12 xMx  … ( 1 , 2 , …)?
3.2.2.- Introducción intuitiva a la evolución de densidades.
Consideremos la construcción de un histograma capaz de representar las
frecuencias a las que la trayectoria pasa por unas regiones dadas del espacio de fases.
Para ello dividimos el intervalo X en l intervalos no solapados  liliYi ,)1(  , para i
= 0, 1, 2,…, L-1 con L>>l
y para cada intervalo calculamos y dibujamos
 
L
LkYx ik 1,...,1,0,# 
donde # indica el cardinal de un conjunto.
Más concretamente, dada una órbita  kx , queremos extraer información
representativa del sistema aproximando una distribución a largo plazo de los estados del
sistema (suponiendo que exista) por la distribución finita en el tiempo
)(1 1
0



L
k k xx
L
 , donde )( es la función generalizada de Dirac.
Figura 3.1. Densidad de estados de un mapa.
 
  dxxdxxxdxx
R
)(2/2/Pr
1,0:
00
0



 

72. 66
Figura 3.2 (a)
Histograma de densidades del
Mapa “Tienda de Campaña”
,1249.00 x
L = 5000 puntos de la órbita,
l = 32 intervalos.
Figura 3.2 (b)
Histograma de densidades del
Mapa “Logístico”
0.2412140 x
L = 5000 puntos de la órbita,
l = 32 intervalos.
Figura 3.2 (c)
Histograma de densidades del
Mapa “100-ádico”
0.241214,0 x
L = 5000 puntos de la órbita,
l = 32 intervalos.
Figura 3.2 (d)
Histograma de densidades del
Mapa “Bended Up-Down”
0.241,0 x
L = 5000 puntos de la órbita,
l = 32 intervalos.

73. 67
En la figura 3.2 a, b, c y d aparece el resultado de este procedimiento para los
mapas Tienda, Logístico, 100-ádico y Bended Up-Down definidos en el Capítulo 1.
Hay una estructura sorprendente en el resultado, los estados están visiblemente
más concentrados cerca del centro de X, mientras que hay apreciables descensos cerca
del 1y, todavía mayor, cuando nos acercamos al 0.
Si repetimos el proceso para diferentes condiciones iniciales, en general, el
resultado es el mismo.
Por tanto, se puede concluir que la característica dependencia a las
condiciones iniciales del sistema no está reflejada en la distribución de los estados
por los que pasan sus trayectorias.
Aunque esta aproximación alumbra una importante regularidad, de alguna
manera falta conocimiento y contiene posibles inconvenientes. Podría ocurrir que,
comenzando a partir de unas determinadas condiciones iniciales, la órbita fuera
periódica (Figura 3.3) o cayera en un punto fijo. Obviamente, cualquier intento de
extraer características del sistema a partir de estas trayectorias está condenado al
fracaso. El peor aspecto de estos comportamientos excepcionales es que no hay un
camino claro para predecir qué estados nos conducirán a él.
Figura 3.3 Ciclo límite del mapa “bended up-down”
6.00 x

74. 68
Una idea para superar el inconveniente anterior es considerar la evolución de
grandes conjuntos de trayectorias al mismo tiempo.
Supongamos que elegimos aleatoriamente un conjunto 0S de L condiciones
iniciales, que están repartidas siguiendo una determinada función de densidad de
probabilidad (fdp) 
 RX:0 .
En la figura 3.4 se representa el histograma de tres conjuntos de condiciones
iniciales obtenidas mediante simulación en MATLAB3
, para L = 5000 condiciones
iniciales y l = 32 intervalos. En la gráfica a las condiciones iniciales siguen una función
de densidad de probabilidad Uniforme ( 1
0S ), en la b siguen4
una Gaussiana con media
0.6 y varianza 0.1 ( 2
0S ), mientras que en la c siguen una Gaussiana de media 0.2 y
varianza 0.005 ( 3
0S ).
3
La generación de números aleatorios en MATLAB que sigan una distribución Gaussiana no es del todo
satisfactoria (Véase figura inferior). Por tanto, para que se distinga el efecto de las iteraciones sobre
diferentes distribuciones, nos hemos visto obligados a elegir conjuntos de varianza muy estrecha.
Media =0.6 y Varianza = 0.2 Media = 0.2 y Varianza = 0.1
Las figuras en azul ilustran los histogramas de frecuencias, de 2000 muestras cada uno, generadas por
MATLAB con la función “normrnd(Media, sqrt(Varianza) ,1,2000)”. Las figuras en rojo muestran la
función de densidad ideal para los mismos parámetros. Ambas figuras sólo incluyen el intervalo [0,1]
(Véase nota 2)
4
Se consideran sólo las condiciones iniciales que están dentro del intervalo [0,1], que es el espacio de
fases de las transformaciones que vamos a estudiar..

75. 69
Vamos a aplicar el mapa M a todos los puntos de 0S para obtener un nuevo
conjunto  001 )(|)( SyyMxXxSMS  . Si suponemos que el conjunto 0S
es suficientemente grande, el histograma de la distribución de 1S dará una
representación de la densidad de probabilidad asociada a )( 01 xMx  .
Las figuras 3.5 - 3.8 muestran, para los mapas Tienda de Campaña, Logístico,
100-ádica y Bended Up-Down respectivamente, los histogramas de frecuencias de los
conjuntos kS para k=1, 2, 3 y 25, cuando los conjuntos de condiciones iniciales son 1
0S
(gráficas A), 2
0S (gráficas B), y 3
0S (gráficas C) (figura 3.4).
Gráfica 3.4b Representación del histograma de
frecuencias del conjunto
2
0S . (L=5000,l=32)
Gaussiana 1.0,6.0 2
 
Gráfica 3.4a Representación del
histograma de frecuencias del
conjunto
1
0S (L=5000,l=32)
Uniforme
Gráfica 3.4c Representación del histograma de
frecuencias del conjunto
3
0S . (L=5000,l=32)
Gaussiana 005.0,2.0 2
 

76. 70
Figura 3.5B Representación de la evolución de histogramas cuando aplicamos el mapa TIENDA
a un conjunto inicial
2
0S (Figura 33b) , que sigue una GAUSSIANA 1.0,6.0 2
  .
Para k =1 se ve cómo varía la densidad transformándose en una rampa. A partir de k =2 la densidad
se mantiene tipo Uniforme. Converge un poco más lentamente que la figura anterior.
Figura 3.5A Representación de la evolución de histogramas cuando aplicamos el mapa TIENDA a
un conjunto inicial
1
0S (Figura 3.3a), que sigue una distribución UNIFORME
Puede observarse como, desde la primera iteración, la distribución se mantiene Uniforme.