Transformaciones lineales

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Transformaciones lineales

  1. 1. Espacio curricular: Algebra IIIProfesor: Petrovic Héctor
  2. 2.  Son funciones entre espacios vectoriales que preservan las cualidades de los espacios vectoriales. Es decir, de funciones que preservan la suma y la multiplicación por escalares. TA: R2 R3 1 0 x A = 2 -1 y V= y 3 4 x x TA y = 2x – y 3x + 4y
  3. 3.  DEFINICION: Una transformación T : Rn Rm se denomina transformación lineales si 1- T(u + v) = T(u) + T(v) para todo u y v en Rn 2- T(cv) = c T(v) para todo v en Rn y todo escalar c T W V T(v) T(u) T (u + v) T(u) + T(v) T (cv) c T(v)
  4. 4. Transformación lineal TEOREMA 1 Sea A una matriz de m x n . Entonces latransformación matricial TA: R n R m definida por. TA(x) = A x (para x en Rn)es una transformación lineal.EJEMPLO: Sea F: R2 R2 la transformación que manda acada punto hacia su punto de reflexión sobre el eje x. y (1;2) (X ;Y) x (x;-y) (1;-2)
  5. 5. Transformaciones linealesEJEMPLO: Sea R: R2 R2 la transformación que giracada punto a 90o en el sentido contrario de lasmanecillas del reloj con respecto al origen.
  6. 6. Transformaciones linealesEste tipo de ejemplo lo podemos ver en la vida diaria como en la naturaleza
  7. 7. Transformaciones lineales TEOREMA 2 Sea T: Rn Rm una transformaciónlineal. Entonces T es una transformación matricial.Mas específicamente, T = TA, donde A es la matriz demxn A = T(e1); T(e2); ... ; T(en)Esta matriz se la conoce como matriz estándar dela transformación lineal T
  8. 8. Nuevas transformaciones lineales a partir de las antiguasTEOREMA 3 Sean T: Rm Rn y S: Rn Rptransformaciones lineales. Entonces S T: Rm Rp esuna transformación lineal. Además, sus matricesestándar se encuentran relacionadas mediante S T = S T
  9. 9. Inversas de transformaciones lineales Definición : Sean S yT transformaciones lineales de Rn a Rm. Entonces S yT son “transformaciones inversas” si ocurre que S T = In y T S = In.
  10. 10. Inversas de transformaciones lineales TEOREMA 4 Sea T: Rn Rn una matriz invertible. Entonces su matriz estándar Tes una matriz invertible, y T-1 = T -1
  11. 11. Asociatividad Sean R = TA, S = TB y T = TC. A(BC) = (AB)C si y solo si R (S T) = (R S) T (R (S T))(x) = R((S T)(x)) = R(S(T(x))) = (R S)(T(x)) = ((R S) T)(x)
  12. 12. Muchas de las transformaciones lineales que hemos estudiado,conservan la forma y las medidas de las figuras u objetos, como porejemplo las simetrías y las rotaciones.
  13. 13. Integrantes:Taboada Laura OrnellaDel Rio CandelaCortez Julio RicardoPalacio Eliana JessicaFrojel Rita María E.Gramajo Silvia AlejandraFuentes Claudia Andrea

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