Este documento presenta una guía para el examen semestral de cálculo diferencial, incluyendo instrucciones generales, ejercicios de límites, derivadas, integración y aplicaciones. Se proporcionan ejemplos resueltos y problemas para que el estudiante practique y demuestre su comprensión de los conceptos fundamentales del cálculo.

1. GUÍA DE CÁLCULO DIFERENCIAL PARA EL EXAMEN SEMESTRAL.
INDICACIONES generales para el semestral: los procedimientos y operaciones son indispensables en la solución de
cada problema. La resolución del problema debe ser clara, legible y coherente, nada de borrones o ambigüedades.
De no cumplir con esto, tu respuesta NO se tomará en cuenta.
UNIDAD UNO
Se te presentan a continuación tres gráficas.
En orden: una función cúbica, una cuadrática y una lineal, calcula el límite que se te indica para cada una de ellas,
puedes
Ejemplo resuelto: práctica:
lim  x3  x  2   (2)3  (2)  2  8 lim  x 2  2   lim  x  2  
x 0 x 3
x 2
2.5 7
También usando la 10
2
gráfica, lo resuelves, 8 6
sin necesidad de 1.5
5
operaciones, solo 6 1
busca el valor de y 4
0.5
para la x dada, donde 4
0 3
corte a la curva. 2 -3 -2 -1 0 1 2 3
-0.5 2
0 -1
1
-4 -2 0 2 4
-2 -1.5
0
-2
-4 -6 -4 -2 0 2 4 6
-2.5 -1
-6
-2
-3
0
“En el cálculo de límites, cuando intentamos la sustitución directa de “x” y llegamos a un resultado tal como 0 , decimos
que es una forma INDETERMINADA, entonces se tiene que intentar una factorización para encontrar el límite”.
DEMUESTRA los resultados de evaluar los siguientes límites.
Ejemplos resueltos: lim 2 x  6 =2
lim  2 x3  5 x  6  =12
x 5
x 2
 2(2)3  5(2)  6
 2(8)  10  6
 16  10  6
 12
x5 x 8 1
lim =no existe lim =
x 3 x 2  9 x 8 x  64 16
2
(3)  5

(3) 2  9
2
 
0
 no _ existe

2. x2  4 1
lim = 
lim =4
x2 x2 x0 x
(2)2  4 0 Se intenta primero la
  sustitución directa de x
(2)  2 0 Si llegamos a un resultado
indeterminado
( x  2)( x  2)
  ( x  2) Entonces tenemos que
FACTORIZAR
( x  2)
 (2)  2  4 Y volvemos a hacer la sust.
directa
Límites al infinito y en el infinito
1 1
Siempre ten en cuenta que: = 0 y también que: =  = no existe.
 0
Evalúa los siguientes límites en el infinito (recuerda que se harán los cálculos considerando solo los términos significativos de
cada expresión).
*se están proporcionando los resultados para que compares.
x2  9 1 5 x3  4 x  6 1
lim = =0 Nos quedamos solamente con los
lim =
x  x 3  27  x  20 x 3  x  1
términos que contengan a la x con el
exponente más elevado 4
x 2 Simplificamos la expresión
 3
x
1
 Entonces, ya cuando este lo mas
simplificada posible
x
1 Sustituimos x por el valor indicado ( ) y
 0
( )
encontramos el resultado.
x2  5 28 x 2  5 x  3
lim = No existe=  lim =4
x  x  5 x  7 x 2  6 x  1

3. UNIDAD 2 y UNIDAD 3
Usando las reglas de derivación encuentra la derivada (y’) de cada función.
1
3 5 14
yx y  yx2 y3 x y x
4 3
y'  y'  y'  y'  y' 
10 x 2
y   3x   7 x 
3 4
y x 3 2
y
4 5x
y'  y'  y' 
Calcula la tercera derivada de la función: REGLAS DE DERIVACION
y  ( x  5) 4 d
uv  uv ' vu '
REGLA DEL PRODUCTO dx
d n
u   nu n1 u '
REGLA DE LA CADENA dx  
d
u  v  w  u ' v ' w '
REGLA DE LA SUMA dx
d  u  vu ' uv '

REGLA DEL COCIENTE
dx  v 
  v2
Determina la cuarta derivada de la función Determina la cuarta derivada de la función
y  25 x 4  5 x 3  10 x 2  x  3 yx
9
2

4. DE CÓMO SE GESTÓ Y QUIÉN DESCUBRIÓ EL CÁLCULO INFINITESIMAL
el legado de las matemáticas, el cálculo infinitesimal es, sin duda, la Fueron muchos los grandes científicos que dedicaron su vida al estudio de
herramienta más potente y eficaz para el estudio de la naturaleza. El esta ciencia y que, a pesar de no tener tantas innovaciones como en
cálculo infinitesimal tiene dos caras: diferencial e integral; y un oscuro nuestros tiempos, aportaron grandes avances a nuestro universo.
interior donde, como demonios, moran los infinitos: grandes y pequeños.
En el último cuarto del siglo XVII, Newton y Leibniz, de manera
Los orígenes del cálculo integral se remontan al mundo griego; independiente, sintetizaron de la maraña de métodos infinitesimales
concretamente a los cálculos de áreas y volúmenes que Arquímedes usados por sus predecesores dos conceptos, los que hoy llamamos la
realizó en el siglo III A. C. Aunque hubo que esperar mucho tiempo, hasta derivada y la integral. Mostraron que ambos conceptos eran inversos,
el siglo XVII, para que apareciera -o mejor, para que se descubriera- el hecho que constituye el Teorema Fundamental del Cálculo. Desarrollaron
cálculo. Varias son las causas de semejante retraso. Entre ellas debemos unas reglas para manipular la derivada: así surgen las reglas de
destacar la inexistencia de un sistema de numeración adecuado –como el derivación… Acababa de nacer el cálculo infinitesimal.
decimal-, tampoco se contaba con el álgebra simbólica y la geometría
analítica que permitieran el tratamiento algebraico -y no puramente Para resolver todos los problemas de cuadraturas, máximos y mínimos,
geométrico- de las curvas, que finalmente posibilitaron enormemente los tangentes, centros de gravedad, etc., que habían ocupado a sus
cálculos de tangentes, cuadraturas, máximos y mínimos, entre otros. Todo predecesores, bastaba echar a andar esos dos nuevos conceptos
ello ocurrió principalmente en el siglo XVII. mediante sus correspondientes reglas de cálculo.
El cálculo diferencial se origina cuando se empiezan a realizar estudios El primero en descubrirlo fue Newton, pero su fobia a publicar le hizo
sobre el movimiento, es decir, al estudiar la velocidad de los cuerpos al guardar casi en secreto su descubrimiento. Leibniz, más conocido como
caer al vacío, ya que la velocidad cambia de un momento a otro; entonces filósofo, fue el otro inventor del cálculo. Su descubrimiento fue posterior al
la velocidad en cada instante debe calcularse teniendo en cuenta la de Newton, aunque Leibniz fue el primero en publicar el invento. Las
distancia que recorre en un tiempo infinitesimalmente pequeño; así es suspicacias entre Newton y Leibniz y sus respectivos seguidores, primero
como en 1666 el científico Isaac Newton comenzó a desarrollar el cálculo, sobre quién había descubierto antes el cálculo y, después, sobre si uno lo
al no haber hasta ese entonces métodos que le ayudaran a dar solución a había copiado del otro, acabaron estallando en un conflicto de prioridad
los problemas que él precisaba resolver. Por otra parte, Pierre de Fermat, que amargó los últimos años de ambos genios. Se puede decir que la
matemático francés, se gana un puesto como precursor del cálculo gracias disputa fue evitable pues los métodos de ambos genios tienen importantes
a su estudio de los métodos para obtener los máximos y mínimos de diferencias conceptuales que se constata desde la génesis independiente
funciones. Mientras tanto, Leibniz, a partir de su trabajo con sucesiones de los mismos.
comienza a desarrollar toda una teoría de sumas y diferencias
infinitesimales que acabarían en la gestación de su cálculo por el año 1680. "El legado de las matemáticas: De Euclides a Newton, los genios a través
de sus libros"
1.- ¿Cuáles son las ramas del cálculo infinitesimal?
a) Geométrico y analítico c) Trascendente y logarítmico
b) Diferencial e integral d) Trigonométrico y racional
2.- ¿En qué siglo aparece formalmente el cálculo?
a) XV b) XVI c) XVII d.C. d) XVII a. C.
3.- ¿Cual es el tema principal del Cálculo Diferencial?
a) La Derivada b) La Integral c) La tangente d) El Infinito
4.- El carácter inverso de la derivada y la integral es lo que constituye:
a) El Teorema Fundamental del Cálculo c) El Cálculo infinitesimal
b) Las reglas de derivación e integración d) La solución de problemas
5.- Científico que contribuyó al desarrollo del cálculo:
a) Newton
b) Fermat
c) Leibniz
d) Todos los anteriores

5. UNIDAD 4
Problemas de aplicación mediante DERIVADAS. Lee e interpreta los datos para contestar cada
pregunta.
Un cañón está situado en lo alto de una colina cuya altura es de 300m. El cañón es disparado con una velocidad
de 48 m/s.
La función que describe la trayectoria de la bala es
Vo= 48 m/s
300 m
1.- La velocidad de la bala es:
A. Se mantiene constante en cualquier punto de su trayectoria.
B. Variable y se encuentra derivando la función de la posición.
C. Siempre igual a cero.
D. Cada vez mayor al transcurrir el tiempo.
2.- Determina una función que describa la velocidad en cualquier instante del recorrido de la bala:
ds
A.  V  48t  6
dt
ds
B. V  0
dt
ds
C.  V  48  6t
dt
ds
D.  V  42t
dt
3.- ¿Cómo es la velocidad en la parte más alta del recorrido de la bala?
A. v=0
B. Alcanza velocidad máxima.
C. 48 m/s
D. 3 m/s
4.- ¿Cuánto tiempo le toma a la bala llegar a la altura máxima? (procedimiento obligatorio).
A. 42 segundos
B. 3 segundos
C. 8 segundos
D. 6 segundos
5.- ¿Cuál es la altura máxima? (procedimiento obligatorio).
A. 480 m
B. 492 m
C. 300 m
D. 308 m
Recuerda traer un par de lápices para el examen, borrador y, en el caso que la necesites, también una
calculadora. Preferentemente contesta el examen con lápiz.
SUERTE en SEMESTRALES!!!!
Elaboró: DALIA LEIJA