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LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE

ELABORADO POR:
Dr. RIBER DONOSO

1


Todos los derechos reservados. Ninguna parte de este libro puede ser reproducida, trasmitida en
cualquier formato o por cualquier medio, sea electrónico, mecánico, fotocopia, grabación o de otra
manera, o almacenado en un sistema de recuperación, sin el consentimiento previo y por escrito del
autor.

Esta publicación fue posible gracias al
apoyo de:

Fundación de Asistencia Social
“NARCISA DE JESÚS”

DeDicatoria

2


¡Gracias a Dios por la vida que me ha
dado! ….De todo corazón a mi noble
hija Mercedes, quien llena mi espíritu
de amor haciendo fácil mi caminar
hacia el éxito.

agraDecimiento:

3


A mis padres, por la formación que me
han dado, la misma que me ha
permitido caminar por la senda de la
excelencia y forjarme como un ser
humano.

introDUcciÓn

4


E ste libro está dirigido a las personas que llevan la gestión de la enseñanza
así como a sus pupilos, he incluso a universitarios y público en general; con
un tono didáctico pero primando a la vez la enseñanza de la matemática
moderna y con una finalidad aplicativa para que los niños desarrollen su
talento en los diferentes métodos de aprender a aprender.

En el documento se ubican didácticas que ayudan al proceso de enseñanza
aprendizaje y que explican de manera divertida como resolver ejercicios y
problemas de matemática; además incluye diapositivas que permitirán una
explicación clara del contenido de texto. Por otra parte y, considerando
que la motivación es parte importante en el proceso de enseñanza
aprendizaje, ésta se expone de manera continuada, a fin de que el
estudiante desarrolle no solamente aspectos didácticos relacionados con
la Matemática, sino sus valores éticos y morales que le vayan
perfeccionando como ser humano.

La obra está adecuada para desarrollar la creatividad en el aula y en
nuestra vida diaria, además de lograr la generación de ideas nuevas y el
fortalecimiento de nuestra mente.

LAS CICATRICES DE LOS CLAVOS

5


Esta es la historia de un muchachito que tenía muy mal carácter. En una ocasión su padre le
dio una funda de clavos y le dijo que cada vez que perdiera la paciencia, debería clavar uno
detrás de la puerta.

El primer día, el muchacho clavó algunos. Durante los días que siguieron, a medida que
aprendía a controlar su temperamento, clavaba cada vez menos; descubriendo al final, que era
más fácil dominarse que clavar clavos detrás de la puerta.

Llegó el día en que pudo controlar su carácter durante todo el día. Su padre le sugirió que
retirara un clavo por cada día que lograrse dominarse.

Los días pasaron, y pudo anunciar a su padre que no quedaban clavos para retirar. El hombre
lo tomó de la mano, lo llevó hasta la puerta y le dijo: “Has trabajado duro, hijo mío, pero mira
esos hoyos en la madera: nunca más será la misma. Cada vez que pierdas la paciencia, dejas
cicatrices como las que aquí ves; es decir, puedes insultar a alguien y retirar lo dicho, pero la
cicatriz perdurará para siempre”

Quizá muchos ya hayan leído esta historia, pero en eso consiste la vida, repetirse una y mil
veces si es necesario todo eso que a veces nos cuesta escuchar y asimilar, esta es una gran
lección, muy dura pero no pudo haberse hecho un mejor ejemplo el padre de este chiquillo,
increíble, ustedes creen que a él se le olvidará, creo que no.

DIDÁCTICA

6


Aprendiendo a sumar sin llevar.

En los niños, cuando ejecutan una suma, se presenta el problema de que se olvidan de llevar
cuando la suma de determinadas cifras en una columna da como resultado un número mayor a
nueve; entonces, resulta aplicable el siguiente procedimiento:

EJERCICIO 1.

Sume: 28
75
92
54
+ 42
75
43
12
69
82
Procedimiento

Sume las cifras de las unidades y de las decenas ubicando los resultados en forma escalonada
luego del último número. En lo posible el maestro debe graficar el escalonamiento para que el
estudiante no se equivoque. Al final los resultados escalonados se suman y se obtiene el resultado
final

Si utilizamos el método tradicional que tiene en cuenta que hay que llevar,
tenemos que:

7


Sumo las cifras de las unidades y se obtiene 42; así escribo 2 y llevo 4.

Sumo luego las cifras de las decenas obteniendo 57; que se escribe igual por no existir otras cifras
para la suma

Ejercicio 2.

Sume:

279
864
567
2458
+ 639
725
668
222

Si aplicamos el procedimiento del ejercicio anterior, tendremos:

En la nueva suma que tendríamos que ejecutar, podemos observar que también se tiene que
llevar; por lo tanto en estos casos debemos volver o aplicar el escalonamiento para que la
operación culmine con éxito; es decir:

8


Si utilizamos el método conocido; tenemos:

Sumando las cifras de las unidades se obtiene 52; por lo que escribo 2 y llevo 5
y así sucesivamente con las demás

Problema 1.

Los 5 hijos de Doña Mercedes deciden apoyarle económicamente para el pago de su operación
(hernia discal); para lo cual aportan con las siguientes cantidades: $127; $130; $145; $172; $185.
¿Qué capital juntaron los hijos de Doña Mercedes?

Solución:

El capital que se logro juntar es la suma de las cantidades que aportan cada uno de los hijos.

Procedimiento

Es necesario sumar las cinco cantidades que se indicaron; es decir:

Sin Llevar Llevando

9


Respuesta: Entre todos los hermanos juntaron un capital de $759.

Problema 2

Don Tomás acaba de comprar en el supermercado para su restaurant, lo siguiente: $183 en
compras; $125 en (arroz-azúcar- harina- maíz-lenteja-quaker, etc.); $ 65 en conservas; $73 en
bebidas y $54 en útiles de oficina. ¿Cuánto gasto en total Don Tomás?

Solución:

El capital que gasta es la suma de las cantidades que se indican; es decir

Sin llevar Llevando

Respuesta: Don Tomás hizo las compras en el supermercado para su restaurante, por la suma de $
500.

EJERCICIOS PROPUESTOS

10


1.- Resuelva las siguientes sumas utilizando los métodos analizados

a)

b)

c)

11


d)

2.- Los miembros de una familia ganan los siguientes sueldos: $261, $310, $483, $634,
$271, $423 y $723. ¿Cuánto perciben todos juntos?

R=3105

3.- Los ingresos registrados durante 8 mese por una Empresa son los siguientes:
$37.425, $72.764, $61.727, $87.247, $67.425, $17.343, $72.725 y $72324. Determine
los ingresos totales.

12


R=488.980

Sé paciente. Te pasará, tarde o temprano: ¡la vida te abrirá la puerta, y te
permitirá entrar y dar una gran fiesta!" Louis Brown

JUEGO

Sitúa sobre los círculos de la serpiente los números del 1 al 9, de tal forma que cada línea
horizontal y vertical de 3 números sume 13.

13


SOLUCIÓN: Se colocan los números 6, 7, 8, 9 en los círculos que se encuentran en línea inclinada
desde abajo hacia arriba.

9

8

7

6
3 9

8

En la inclinación formada por 3 círculos se coloca los tres números que están abajo de 6; esto es el
3, 4, 5 de arriba hacia abajo. 4 7

6

5
14


Finalmente se colocarán los números restantes 1, 2 en la línea de círculos inclinado formado por
espacios de arriba hacia abajo.

3 6 1

7

4 8
2

9

5

Da toDo Por QUien ameS

15


Hace muchos años, cuando trabajaba como voluntario en un Hospital de Stanford, conocí a una
niñita llamada Liz quien sufría de una extraña enfermedad. Su única oportunidad de recuperarse
aparentemente era una transfusión de sangre de su hermano de 5 años, quien había sobrevivido
milagrosamente a la misma enfermedad y había desarrollado anticuerpos necesarios para
combatirla. El doctor explicó la situación al hermano de la niña, y le preguntó si estaría dispuesto a
dar su sangre a su hermana. Yo lo vi dudar por solo un momento antes de tomar un gran suspiro y
decir:

Si, lo haré, si eso salva a Liz.

Mientras la transfusión continuaba, el estaba acostado en una cama al lado de la de su hermana, y
sonriente mientras nosotros lo asistíamos a él y a su hermana, viendo retornar el color a las
mejillas de la niña.

Entonces la cara del niño se puso pálida y su sonrisa desapareció. El miró al doctor y le preguntó
con voz temblorosa ¿A qué hora empezaré a morirme?

Siendo solo un niño, no había comprendido al doctor; él pensaba que le daría toda su sangre a su
hermana. Y aún así se la daba.

DIDÁCTICA

Los cuadros mágicos como herramienta práctica para desarrollar operaciones de suma de
números enteros, decimales o fraccionarios.

16


Un cuadro mágico es un cuadrado que contiene cuadrículas en su interior que en número se
puede establecer de la siguiente manera 9, 16, 25, 36, etc. La característica que prevalece en la
construcción de los mismos es que la suma de los números que se vayan ubicando en los mismos
sea la misma horizontal, vertical y diagonalmente. Por otra parte, cabe señalar que los números
que vayan a ubicarse en el cuadro mágico deben corresponder a sucesiones en las que sus
elementos se encuentren a la misma distancia. Finalmente, los cuadros mágicos se los puede
trabajar con números enteros, fraccionarios y decimales, sean estos positivos o negativos.

Ejercicio 1.

Ubique números múltiplos de tres en las casillas del cuadro empezando desde el 6, de modo que
la suma horizontal, vertical y diagonal sea la misma.

Los números a colocarse serían 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 todos ellos múltiplos de 3. La
aplicación de la condición estimularía un desarrollo de pensamiento al cual debe ser sometido el
niño en un principio. En todo caso si hablamos de didácticas todos los niños tendrán el deseo de
conocer un procedimiento de llenado adecuado que al final permita cumplir con el objetivo; por
lo cual a continuación se pone a consideración el siguiente procedimiento:

• Introduzca casilleros auxiliares en cada lado del cuadrado y ubique los números
ordenados ascendentemente en las diagonales como indican las flechas

12

6 30
9 21

17
24


18

15 27

Finalmente ubique dentro del cuadrado los números de los casilleros auxiliares según muestran las
fechas:

Para verificar el cumplimiento de la condición, y a fin de ejercitarla suma se puede evacuar
esta operación con los números dispuestos en la forma horizontal, vertical y diagonal; así:

9 30 15
9+24+21=54 + 24 + 18 + 12
30+18+6=54 21 6 27
54 54 54

18


15+12+27=54 9 24 21
9+30+15=54 + 6
+ 30 + 18
15 12 27
54 54 54
24+18+12=54
21+6+27=54

9 15
9+18+27=54 + 18 + 18
15+18+21=54 27 21
54 54

Sugerencia: Usted en calidad de docente puede establecer las secuencias numéricas que
desarrollen el cuadro mágico cuidando que la distancia de número a número sea la misma.

Ejercicio 2.

Ubique los números decimales 0.375; 0.385; 0.395; 0.405; 0.415; 0.425; 0.435; 0.445; y
0.455 en las casillas del cuadrado, de modo que la suma horizontal, vertical y diagonal sea
la misma.

19


Ejercicio 3.

Ubique los números -12, -8,-4,0,4,8,12,16,20 en las casillas del cuadrado, de manera que
la suma horizontal, vertical y diagonal sea la misma.

20


(-8) + (12) + (8)=12

(20) + (4) + (-12)=12

(0) + (-4) + (16)=12

(-8) + (20) + (0)=12

(12) + (4) + (-4)=12

(8) + (-12) + (+16)=12

(-8) + (4) + (16)=12

(8) + (4) + (0)=12


21


1.- Ubique las siguientes secuencias numéricas en cuadros mágicos, de tal manera que
se cumple con la condición analizando anteriormente; es decir; que la suma
horizontal, vertical y diagonal de los números dispuestos sea la misma:

A) 8 11 14 17 20 23 26 29
1; ; ; ; ; ; ; ;
5 5 5 5 5 5 5 5

B) -17; -14; -11; -8; -5; -2; +1; +4;+ 7

22


C) 0.27; 0.62; 0.97; 1.32; 1.67; 2.02; 2.37; 2.72; 3.07

D) 7; 14; 21; 28; 35; 35; 42; 49; 56; 63

23


E) 127; 165; 203; 241; 279; 317; 355; 393; 431

F) -456;-200; 56; 312; 568: 824; 1.080; 1336; 1592

24


El éxito es la habilidad de ir de fracaso a fracaso sin perder el entusiasmo.
Winston Churchill

JUEGO

Una cada cuadrado con el triángulo que tiene la misma figura, tomando en cuenta que las líneas
no pueden cruzarse ni salirse del diagrama.

25


SOLUCIÓN:

el

EL MAESTRO

26


Un día un maestro y su joven aprendiz salieron al campo, una vez que habían caminado mucho

decidieron descansar en una morada muy humilde, en la que el maestro se percató que todos los

individuos que habitaban la casa eran extremadamente pobres, y que por lo general pasaban

desocupados y sin hacer nada. El maestro preguntó qué hacían para sobrevivir, y el jefe del hogar

le respondió que tenían una vaca que les daba varios litros de leche al día y que esa leche la

utilizaban como alimento o la intercambiaban por otros productos. Al siguiente día el maestro

después de despedirse de la familia dijo a su aprendiz que empujase a la vaca por un barranco,

ante lo que este se opuso diciendo que su familia sobrevivía solo por esa vaca, el maestro con su

silencio mostró su descontento y el aprendiz cedió y empujó a la vaca al vacío, tiempo después el

aprendiz había regresado a la humilde vivienda a disculparse por lo que hizo, pero vio que la

entrada era mucho más elegante había un amplio jardín y una casa bonita y el aprendiz pensó que

a lo mejor los antiguos habitantes de la casa habían vendido la casa para poder alimentarse, pero

al entrar a ella se dio cuenta de que todo los habitantes eran los mismos, el joven preguntó qué

había pasado y el hombre respondió que al morir su vaca tuvieron que hacer otras cosas para

sobrevivir y así acumularon mayor fortuna y se dieron cuenta de que debido al talento que

poseían, dejaron de ser conformistas y que todos en la familia se habían superado.

DIDÁCTICA

Eres hábil para dibujar; pues aprende a multiplicar por el Método Gráfico.

27


De hecho existen estudiantes que no logran memorizar las tablas de multiplicar
haciéndose necesario utilizar un método de multiplicación que deje de lado el
conocimiento de las tablas. De ahí que a través de los siguientes ejercicios el estudiante
desarrolla un procedimiento de multiplicación que solo requiere saber contar.

- Ejercicio 1

Multiplique 324 x 24

Solución:

 Representamos el primer factor con líneas inclinadas hacia la derecha; es decir:

3

2
4
 A continuación representamos el segundo factor con líneas inclinadas hacia la
izquierda; es decir:

28


• Advertencia: vigilar que se formen rombos perfectos.

 Señalar en la figura los medios que posteriormente serán materia de conteo con
flechas verticales.

 Contamos los nudos estableciendo los resultados en la parte inferior de las
flechas y tomando en cuenta los valores a llevarse; de la siguiente manera:

29


 La comprobación puede llevarse a cabo aplicando la multiplicación normal:

324
X 24
1296
648
7776

Es necesario que para empezar y si se trata de niños que no alcancen la memorización de tablas se
utilice este método; pero al final el estudiante deberá resolver la multiplicación utilizando las
tablas.

Ejercicio 2.


Cuando exista la presencia de ceros se requiere que la línea que los represente sea una línea
punteada de conformidad con el procedimiento que se establece a continuación:

0
2

30


3

1

2

0

0

• Advertencia: no se cuentan los enlaces entre líneas punteadas ni aquellas
entre una línea punteada y una continua.

Si efectuamos la multiplicación aplicando las tablas podríamos comprobar el resultado
obteniendo:

31


1200
X 320
24000
3600
384000

TRUCOS PARA MULTIPLICAR


1.- Realizar las siguientes multiplicaciones por el método gráfico

a) 2.731 X 324

b) 207 X 1.275

32


c) 313 X 1.200

d) 4.155 X 2.784

33


e) 123.456 X 27.984

Es duro fracasar, pero es todavía peor no haber intentado nunca triunfar.
Theodore Roosevelt JUEGO

El docente indica.

34


 El cuadrado que observas en la imagen ha sido dividido en 4 cuadrantes de igual tamaño

 En la parte interna del cuadrado anterior ha sido diagramado otro cuadrado que se lo ha
pintado de color verde.

 A, B, C y D de acuerdo con lo ilustrado en la figura, representan los vértices del cuadrado

B A

C D

 A continuación se te van a plantear 4 desafíos para que los resuelvas.

Primer desafío.

 Mentalmente, divide el área blanca del cuadrado A, de modo que resulten 2 piezas de
igual tamaño.

B A

 Un estudiante pasa al
frente y lo hace.

C D

35


El docente motiva.

 Bien…!!!

 Reconoce que lo ha hecho en 5 segundos, ¿cierto?

 ¿Vamos con el segundo desafío?

Segundo desafío.

 Mentalmente, divide el área blanca del cuadrante B, de modo que resulte 4 piezas de igual
tamaño.

B A

El docente dice: C D

 ¿Qué te ha parecido ahora?

 Muy fácil, ¿no?

 Te estás preguntando si todo va a continuar así de sencillo…

 ¿Mejor lo compruebas en el siguiente desafío?

Tercer Desafío

 Mentalmente, divide el área blanca del cuadrante C, de modo que resulten 4 piezas de
igual tamaño.

 Este ha sido un poco más difícil, ¿Verdad?

 Si aún no sabes la solución, fíjate bien que la tienes delante de ti…
B A

36
C D


 Recuerda, tienes que dividir mentalmente el área blanca del cuadrante C, de modo que
resulten 4 piezas de igual tamaño.

 Aún no lo has visto?

 Vamos a girar la figura inicial

D
A

C
B

 Y sombramos el cuadrante D. Así nos queda la siguiente figura, identifica al cuadrante

37
C


 Borramos un par de líneas que nos sobran…
C

 Luego la solución es:

B A

C D

38


 Vamos por el último desafío

Cuarto Desafío

 Mentalmente, divide el área blanca del cuadrante D, de modo que resulten 5 piezas de
igual tamaño.

 Si ya has encontrado la solución al cuarto desafío sabrás entonces que…

 La solución es:

B A

C D

 Si al final no lo resolviste no te preocupes…

 Casi nadie consigue resolverlo a pesar de lo sencillo que es.

 Este juego es una forma de probar que el cerebro puede ser acondicionado a todo tipo de
respuestas.

viajar."
sino u
n mod
estación o de
de lleg
"La felic ada,
idad no
39 es una


LA CASA IMPERFECTA

Un maestro de construcción ya entrado en años estaba listo para retirarse a disfrutar su pensión
de jubilación. Le contó a su jefe acerca de sus planes de dejar el trabajo para llevar una vida más
placentera con su esposa y su familia. Iba a extrañar su salario mensual, pero necesitaba retirarse;
ya se las arreglaría de alguna manera.

El jefe se dio cuenta de que era inevitable que su buen empleado dejara la compañía y le pidió,
como favor personal que hiciera el último esfuerzo: construir una casa más. El hombre accedió y
comenzó su trabajo, pero se veía a las claras que no estaba poniendo el corazón en lo que hacía.
Utilizaba materiales de inferior calidad, y su trabajo, lo mismo que el de sus ayudantes, era
deficiente. Era una infortunada manera de poner punto final a su carrera.

Cuando el albañil terminó el trabajo, el jefe fue a inspeccionar la casa y le extendió las llaves de la
puerta principal. “Esta es tu casa, querido amigo –dijo-. Es un regalo para ti”.

40


Si el albañil hubiera sabido que le correspondía a su propia casa, seguramente la hubiera hecho
totalmente diferente. ¡Ahora que vivir en la casa imperfecta que había construido!

Construimos nuestras vidas de manera distraída, y sin poner en esa actuación lo mejor de
nosotros. Muchas veces, ni siquiera hacemos nuestro mayor esfuerzo en el trabajo o en el estudio.

La conclusión sería que debemos pensar como si estuviéramos construyendo nuestro destino.
Construir con sabiduría es la única regla que podemos reforzar en nuestra existencia. La vida es el
resultado de nuestras actitudes y elecciones en el pasado. La vida de nosotros será el resultado
de nuestras actitudes y elecciones.

DIDÁCTICA

La multiplicación a través de la tabla de Nepper

Un procedimiento aplicable en la multiplicación, que otorga buenos resultados a nivel de
niños es utilizar la tabla de Nepper que se expone a continuación:

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 0 0 0 0 1 1 1 1 1
2 4 6 8 0 2 4 6 8
3 0 1 1 1 2 2 2
3 6 9 2 5 8 1 4 7
4 1 1 2 2 2 3 3
4 8 2 6 0 4 8 2 6
5 0 1 1 2 2 3 3 4 4
5 0 5 0 5 0 5 0 5
6 0 1 1 2 3 3 4 4 5
6 2 8 4 0 6 2 8 4
7 0 1 2 2 3 4 4 5 6
7 4 1 8 5 2 9 6 3
8 0 1 2 3 4 4 5 1 7
8 6 4 2 0 8 6 4 2
9 0 1 2 3 4 5 6 7 8
9 8 7 6 5 4 3 2 1

41


Contando con este material concreto podríamos derivar el siguiente procedimiento para
poder ejecutar operaciones de multiplicación; así:

Ejercicio 1

Multiplicar 675 X 879

Elaboramos la tabla que se señala a continuación ubicando al primer factor en forma
vertical y el segundo en forma horizontal.

X 8 7 9

6

7

5

Tomamos los valores resultantes de la multiplicación de cada par de números de la Tabla
de Nepper.

X 8 7 9
6 4 4 5
8 2 4
7 5 4 6
6 9 3
5 4 3 4
0 5 5

Sumamos las cantidades ubicadas en forma diagonal en la tabla anterior guiándome por
las fechas.

X 8 7 9
6 5 4 4 5
+1 8 2 4

42


7 9 5 4 6
+2 6 9 3
5 4 3 4
3 +2 0 5 5

3 2 5
+1

Leer el resultado siguiendo la flecha de la figura.

675 X 879= 593325

Si comprobamos a través de una multiplicación normal, tendremos:

6 7 5
x 8 7 9
6 0 7 5
4 7 2 5
5 4 0 0
5 9 3 3 2 5

Ejercicio 2

Multiplicar 67465 X 27980

43


Leamos el resultado siguiendo la flecha: 67.465 x 279.800 = 18.876`707.000

Comprobación:

2 7 9 8 0 0
x 6 7 4 6 5
1 3 9 9 0 0 0
1 6 7 8 8 0 0
1 1 1 9 2 0 0
1 9 5 8 6 0 0
1 6 7 8 8 0 0
1 8 8 7 6 7 0 7 0 0 0

TRUCOS Y CURIOSIDADES DE
MATEMÁTICA


1.- Multiplicar utilizando la tabla de Nepper:

a) 27 x 75

44


b) 876 x 59

c) 87.965 x 1.234

45


d) 7.400 x 790.856

“El ser humano que hace más de aquello por lo que le pagan, pronto
recibirá más de lo que hace”. Napoleón Hill

46


JUEGO

 Con 5 palitos de fósforo formar la figura de un hombre.

 Ahora trate de desnudarlo

"Estar contentos con lo que
poseemos es la más segura y
mejor de las riquezas."Cicerón

47


UN DILEMA

Estás conduciendo tu carro en una noche de tormenta terrible: Pasas por una parada y
observar a tres personas esperando el bus:

1. Una anciana que está a punto de morir.

2. Un viejo amigo que te salvo la vida una vez

3. La mujer de tus sueños

¿A cuál llevarías, sabiendo que solo puedes llevar a un pasajero en tu automóvil?

Piensa antes de seguir leyendo…… Piensa….Piensa….Ese es un dilema ético-moral que una
vez se utilizó en una entrevista de trabajo.

Podrías llevar a la anciana, porque va a morir y, por tanto, deberías salvarla primero; o
podrías transportar al amigo; ya que él te salvo la vida una vez y esta sería la oportunidad
perfecta de devolverle el favor. Sin embargo, tal vez nunca vuelvas a encontrar a la mujer
de tus sueños….Piensa antes de seguir leyendo….Piensa….Piensa….

El aspirante que fue contratado (de entre 200 aspirantes) no dudó al dar su respuesta. Me
encantó y espero poder utilizarlo después en alguna entrevista. ¿Qué dijo? Simplemente
contestó: “Le daría las llaves del coche a mi amigo y le dejaría que llevara a la anciana al
hospital. Yo me quedaría y esperaría el autobús con la mujer de mis sueños”. Debemos

48


superar las aparentes limitaciones que nos plantean los problemas y aprender a pensar
creativamente.

Un optimista ve una oportunidad en toda calamidad, un pesimista ve una calamidad en
toda oportunidad.

DIDÁCTICA

Usando los dedos de las manos pase a multiplicar o aprender las tablas del 6 al 10.

El método que se detalla a continuación es usado especialmente por los agricultores rusos
y se sintetiza a partir del siguiente procedimiento:

Ejercicio 1.

Multiplique 7 x 7

Procedimiento

 Numeramos los dedos de ambas manos desde el 6 hasta el 10 así:
8 8
9 9 Tomando en cuenta que:
0 7 7 0
0 0
0 0 6 dedo pulgar
10 10
7 dedo anular
6 8 dedo medio
6 0
0 9 dedo índice

10 dedo meñique

49


 Juntamos los dedos que contengan los números a multiplicar:

Contamos ambos dedos unidos y los que hay por debajo de ellos, que para nuestro caso hacen un
total de cuatro y añadimos el cero.

10
10

9
9
8
8

7
7
6
6

1
2

3 4
40
Contamos los dedos que hay por encima de los unidos, multiplicando el número de dedos que se
establece en cada mano; o sea:

3
x 3 = 9
50


10

10
9
10
10
9
8

8
9
7
9
7
6 8
8

7 6
7
6
6

Sumamos ambos resultados, obteniendo de esta manera la respuesta 40 + 9 = 49 resultado
de multiplicar 7 x 7.

Ejercicio 2.

Multiplicar 8 x 9

Como se puede ver en la gráfica los dedos unidos y los que se encuentran debajo de ellos suman 7;
que añadido el cero daría 70.

Por otra parte sobre los dedos unidos se establecen los dedos en cada mano un 2 y 1 que
multiplicados darían 2.

Sumados los valores obtenidos para encontrar el resultado final, nos daría:

51


70 + 2 = 72 resultado de multiplicar 8 x 9

Sugerencia: Para ejercitar estas multiplicaciones utilice material didáctico; es decir prepare dos
manos de cartón, numere los dedos y proceda con los productos.

Juego
En la siguiente figura que tiene 9 círculos, ubica los dígitos del 1 al 9 sin repetir, de tal manera que
sumado los dígitos de cada diagonal de cómo resultado 15.

Procedimiento.

Los números a colocarse son los siguientes:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Y como es lógico el número central de acuerdo con lo necesario sería el 5.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

5

Conectamos en secuencia de par en par el resto de números que pasa a ser parte de cada
diagonal.

1
2 6

3 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9
5 5

4 52 8
9


"Somos poco felices con lo
mucho que tenemos y vivimos
muy tristes, por lo poquito que
nos hace falta" Napoleon

NO TE PUDE ESPERAR

Una vez un hombre muy afortunado había conseguido la mejor entrevista de su vida: Iba a
entrevistar ni más ni menos que a Dios.

Esa tarde el hombre llegó a su casa dos horas antes, se arregló con sus mejores ropas,
lavó su automóvil e inmediatamente salió de su hogar. Manejó por la avenida principal
rumbo a su cita, pero en el trayecto cayó un chubasco que produjo un embotellamiento
de tránsito y quedó parado. El tiempo transcurriría, eran las 7:30 y la cita era a las 8:00
p.m.

Repentinamente le tocaron el cristal de la ventanilla y al voltear vio a un chiquillo de unos
nueve años ofreciéndole su cajita llena de chicles (goma de mascar). El hombre sacó algún
dinero de su bolsillo y cuando lo iba a entregar al niño ya no lo encontró. Miró hacia el
suelo y ahí estaba, en medio de un ataque de epilepsia. El hombre abrió la portezuela e
introdujo al niño como pudo al automóvil.

53


Inmediatamente buscó como salir del embotellamiento y lo logró, dirigiéndose al hospital
de la Cruz Roja más cercana. Ahí entregó al niño, y después de pedir que lo atendiesen de
la mejor forma posible, se disculpó con el doctor y salió corriendo para tratar de llegar a
su cita con Dios.

Sin embargo, el hombre llegó 10 minutos tarde y Dios ya no estaba. El hombre se ofendió
y le reclamó al cielo: “Dios mío, pero tú te diste cuenta, no llegué a tiempo por el niño, no
me pudiste esperar. ¿Qué significan 10 minutos para un ser eterno como tú?

Desconsolado se quedó sentado en su automóvil; de pronto lo deslumbró una luz y vio en
ella la carita del niño quien auxilió. Vestía el mismo suetercito deshilachado, pero ahora
tenía el rostro iluminado de bondad.

El hombre, entonces, escuchó en su interior una voz: Hijo mío no te pude esperar… y salí a
tu encuentro.

“Nos quejamos de que nuestros días son muy cortos, pero actuamos como si fueran
eternos”

54


DIDÁCTICA

Eres hábil para dibujar y sabes contar y sumar; pues ahora realizaremos multiplicaciones en las
que no se necesita saber las tablas de multiplicar.

Ejercicio 1

Multiplicar 14 x 28

Procedimiento

Dibujamos dos círculos que representan al primer factor de acuerdo con el valor de la primera
cifra y cuatro círculos que representan el valor de la segunda cifra de acuerdo a si mismo con el
número de cifras; así:

PRIMER FACTOR

SEGUNDO FACTOR:

Dividimos los círculos de la primera columna en dos partes y los círculos de la segunda columna en
8 partes de conformidad en las cifras del segundo factor.

55


Trazamos las rectas oblicuas tomando en cuenta la posición de los círculos.

Colocamos puntos en cada porción determinada por las circunferencias.; así

56


Contamos los puntos de los círculos de cada diagonal empezando desde la parte inferior.

El resultado se lee desde la parte superior 392

57


Si comprobamos utilizando el método tradicional:

14
X28
112
28
392
Ejercicio 2


58
Resultado: 7383
8 3



1.- Utilizando el método estudiado efectué los siguientes productos:

a) 324 x 15

b) 2.725 x 173

59


c) 4.920 x 273

d) 52 x 1.234

60


JUEGO

En la siguiente figura coloca los números dígitos del 1 al 8 sin repetir; de tal manera que no sean
consecutivos ni horizontal, ni vertical, ni diagonalmente.

Procedimiento

 Ubicamos en secuencia los dígitos a ingresarse en la figura

1 2 3 4 5 6 7 8

 Pensando primero en las dos cuadriculas centrales, ubiquemos los números más alejados

1 2 3 4 5 6 7 8

1 8
61


 A continuación ubicamos asimismo los números que en secuencia son los más alejados en
los lados horizontales cumpliendo la no consecutividad.

1 2 3 4 5 6 7 8

7 1 8 2

 Así mismo en secuencia se debe ubicar el otro par de números en diagonal cuidando que
se cumpla la condición del problema.

1 2 3 4 5 6 7 8

3

7 1 8 2

62
6


Y los últimos números en las cuadriculas sobrantes

1 2 3 4 5 6 7 8

3 5

7 1 8 2

4 6

“Las únicas
limitaciones
son aquellas
que nos

63


LA ESPERANZA

Tomás es un chico de siete años que vive con su mamá, una pobre costurera, en su solo cuarto, en

una pequeña ciudad del norte de Escocia. La víspera de Navidad, en su cama, el chico espera,

ansioso, la venida de Papá Noel.

Según la costumbre de su país, ha colocado en la chimenea una gran media de lana, esperando

encontrarla, a la mañana siguiente, llena de regalos, pero su mamá sabe que no habrá regalos de

Navidad para Tomás, por su falta de dinero, para evitar su desilusión, le explica que hay bienes

visibles, que se compran con dinero, y bienes invisibles, que no se compran, ni se venden, ni se

ven, pero que lo hacen a uno muy feliz: como el cariño de la mamá, por ejemplo.

Al día siguiente, Tomás despierta, corre a la chimenea y ve su media vacía.

64


La recoge con emoción y alegría y se la muestra su mamá: “¡Está llena de bienes invisibles!”, le

dice, y se le ve feliz.

Por la tarde va Tomás al salón parroquial donde se reúnen los chicos, donde cada cual está

mostrando orgulloso su regalo. “¿Y a ti, Tomás, qué te ha traído Papá Noel?” le preguntan. Tomás

muestra feliz su media vacía: “A mí me ha traído bienes invisibles”, contesta. Los chicos se ríen de

él. Entre ellos Federico un niño consentido, tiene el mejor regalo pero no es feliz. Por envidia sus

compañeros le hacen burla porque su lindo auto a pedal no tiene marcha atrás (reversa), y

enfurecido destruye el valioso juguete.

El papá de Federico se aflige, ¿Cómo dar el gusto a su hijo? En eso ve a Tomás sentado en un

rincón, feliz con su media vacía. ¿Qué te ha traído Papá Noel?, a mí bienes invisibles, contesta ante

la sorpresa del papá de Federico, y le explica que no se ven, ni se compran, ni se venden, como el

cariño de una mamá.

El papá de Federico comprendió. Los muchos regalos vistosos no habían logrado la felicidad de su

hijo. Tomas había descubierto, gracia a su mama, el camino de la felicidad.

65


DIDÁCTICA

Aprendamos a restar en la recta numérica. Para ello el niño debe saber diagramar la recta
numérica.

Ejercicio 1.

Obtenga el resultado de 3 – 5

Procedimiento

 Realizamos una recta numérica

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

 Señalamos en la recta numérica el minuendo, a través de una circunferencia

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
 Recorremos el valor indicado por el sustraendo desde el valor ubicado como minuendo
hacia la izquierda.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

66


 Registramos el resultado 3 – 5 = -2

Ejercicio 2.

Obtenga el resultado de 7 – 3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
El Resultado de 7 – 3 = 4

1.- Utilizando la recta numérica efectúe los siguientes rectas

a) 9 -7

b) 8 -13

c) -7 -3

d) 6 -15

e) 9 -17

67


VIDEO
MOTIVACIONAL

JUEGO

De un solo trazo

Con líneas tachar los puntos sin levantar el lapicero.

Solución:

68


Con 7 líneas tachar todos los puntos sin levantar el lapicero.

Aprenderás Lecciones, estás inscrito
en una escuela informal de tiempo
completo llamada vida

Solución.

69


MOTIVACIONAL

LAS CICATRICES DE LOS CLAVOS

Esta es la historia de un muchachito que tenía muy mal carácter. Su padre le dio una funda de
clavos y le dijo que cada vez que perdiera la paciencia, debería clavar uno detrás de la puerta.

El primer día, el muchacho clavó. Durante los días que siguieron, a medida que aprendía a
controlar su temperamento, clavaba cada vez menos. Descubrió que era más fácil dominarse que
clavar clavos detrás de la puerta.

Llegó el día en que pudo controlar su carácter durante todo el día. Su padre le sugirió que retirara
un clavo por cada día que lograse dominarse.

Los días pasaron, y pudo anunciar a su padre que no quedaban clavos para retirar. El hombre lo
tomó de la mano, lo llevó hasta la puerta y le dijo: “Haz trabajado duro, hijo mío, pero mira esos
hoyos en la madera: nunca más será la misma. Cada vez que pierdes la paciencia, dejas cicatrices
como las que aquí ves. Puedes insultar a alguien y retirar lo dicho, pero la cicatriz perdurará para
siempre”

70


Quizá muchos ya hayan leído esta historia, pero en eso consiste la vida, repetirse una mil veces si
es necesario todo eso que a veces nos cuesta escuchar y asimilar, esta es una gran lección, muy
dura pero no pudo haberse hecho un mejor ejemplo el padre de este chiquillo, increíble, ustedes
creen que a él se le olvidará, creo que no.

Mi hermano mayor ha comprado un librito llamado “Tips para la vida” es de Hilda María Pedraza,
sé que la historia no es de ella, porque el libro es la recopilación de muchas historias, lástima que
no dice quien es el autor, pero bueno en todo caso la intención es lo que cuenta, aunque sé que
así no deben hacerse las cosas.

DIDÁCTICA

Multipliquemos utilizando el método ruso. Solamente necesitas saber sumar y saber la tabla del 2
para duplicar cantidades y dividir para 2.

Ejercicio 1

Multiplicar 24 x 8

Procedimiento:

Colocamos los dos factores dispuestos en columnas de manera que el primero se va multiplicando
por dos y el otro se va dividiendo para 2 hasta que este último llegue a la unidad.

24 8

48 4

96 2

192 1

La última cantidad de la primera columna será considerada como el resultado de la multiplicación.

24 X 8 = 1 9 2

71


Ejercicio 2

Multiplicar 31 x 18

31 18

62 9 (8)

124 4

248 2

496 1
De salir un número impar como el que observa en la tabla (9), se resta 1 para que sea par y
continuamos con el método haciendo una marca en el reglón correspondiente y posteriormente
se suma la cantidad marcada en el último número de la primera columna, siendo este el
resultado.

6 2

X 4 9 6

5 5 8

Por lo tanto 31 X 18 = 558

Ejercicio 3.

Multiplicar 31 x 18

115 23 (22)

230 11(10)

460 5(4)

920 2(10)

1840 1

72


1840

230
+
460

115

2645

Es necesario tener en cuenta que por las cantidades impares que arroje la realización de este
ejercicio lo hace más extenso pero en todo caso el resultado se registra.

115 X 23 = 2645

1.- Realice los siguientes productos utilizando el método estudiado.

a) 23 x 75

b) 247 x 46

73


c) 2.946 x 325

d) 216 x 1.437

74


VIDEO
MOTIVACIONAL

JUEGO

Adivinando el día y el mes de nacimiento

Solicitar a uno o varios estudiantes:

Que escriba el número del día en que nació

 Que a ese número le añada el cero a la derecha

 Que el total multiplique por dos

 Que agregue 73 a ese producto

 Que este gran total sea multiplicado por 5

 Finalmente que sume el número del mes de su nacimiento

Este gran total lo recepta Usted e inmediatamente anunciará el signo, el mes, el día y la hora en
que nació. Estos dos últimos datos casi nadie lo sabe.

75


EJEMPLO

Si una persona nació el 30 de Junio hará lo siguiente ante los pedidos formulados por Usted.

- A 30 le agrega 0 300

- El resultado multiplica por 2: 2 X 300 = 600

- Luego suma 73, quedando 600 + 73 = 673

- Multiplica por 5: 673 x 5 = 3365

- Luego suma 6 que corresponde a Junio: 3365 + 6 = 3371

- Anuncia el número

- Ahora Usted a 3371 le resta 365 (siempre esa cantidad) 3371 – 365 = 3006

30 06 30 de Junio, signo cáncer
¿QUÉ TE IMPIDE VOLAR?
DÍA MES la hora le pone usted, así como el día

“El ser humano que
hace más de aquello por
lo que le pagan, pronto
recibirá más de lo que

76


EL REY Y EL HALCÓN

Un rey recibió como obsequio, dos pequeños halcones, y los entregó al maestro de cetrería para
que los entrenara.

Pasados unos meses, el maestro le informó al rey que uno de los halcones estaba perfectamente
pero que al otro no sabía que le sucedía, no se había movido de la rama donde lo dejó desde el día
que llegó.

El rey mandó llamar a curanderos y sanadores para que vieran al halcón, pero nadie pudo hacer
volar el ave. Encargó entonces la misión a miembros de la corte, pero nada sucedió.

Al día siguiente por la ventana, el monarca pudo observar, que el ave aún continuaba inmóvil.

Entonces decidió comunicar a su pueblo que ofrecería una recompensa, a la persona que hiciera
volar al halcón.

77


A la mañana siguiente, vio al halcón volando ágilmente por los jardines. El rey le dijo a su corte,
traedme al autor de ese milagro.

Su corte rápidamente le presentó a un campesino.

El rey le preguntó:

¿Tú hiciste volar al halcón?, ¿Cómo lo hiciste?, ¿Eres mago?

Intimidado el campesino le dijo al rey:

Fácil mi rey, sólo corté la rama, y el halcón voló, se dio cuenta que tenía alas y se fue a volar.

Tenemos sueños, queremos resultados, buscamos oportunidades, pero no siempre estamos
dispuestos a correr riesgo, no siempre estamos dispuestos a transitar caminos difíciles.

Nos conformamos con lo que tenemos, creemos que es lo único y posible, y aprendemos a vivir
desde la resignación.

No puedes descubrir nuevos mares… a menos que tengas el coraje para volar.

“La motivación nos impulsa a
comenzar y el hábito nos permite
continuar”

Jim Ryum

78


DIDÁCTICA CON MATERIAL DIDÁCTICO

A multiplicar con la caja maquinder.

El estudiante debe saber solo contar. Este proceso sirve para realizar operaciones que van desde
el uno hasta el doce.

Materiales:

• Vasos plásticos

• Semillas

Ejercicio 1.

Multiplique 4 X 6

• En la multiplicación el primer número me indica el número de vasos que voy a ocupar; en
este ejemplo se va a utilizar 4 vasos.

Número de vasos 4 X 6

• El segundo término indica la cantidad de semillas que voy a poner en cada envase; en este
caso se pondrá 6 semillas.

79


4 X 6 Numero de semillas

• Luego se procede a contar cada una de las semillas que están en los envases, pasándole al
envase central.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1er Envase 2er Envase

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

3er Envase 4to Envase

4 X 6 = 24

De este modo obtenemos de una manera entretenida la respuesta de la multiplicación que deseamos.

Se sugiere que el método sea utilizado cuando el estudiante recién empieza a multiplicar y que las
aplicaciones se las haga con factores de una sola cifra.


1.- Resuelva los siguientes productos utilizando el procedimiento que ha sido material
de estudio.

a) 7 x 35

80


b) 4 x 6

c) 9 x 6

d) 3 x 8

e) 5 x 6

81


VIDEO
MOTIVACIONAL

JUEGO

Ahora adivinemos el número de hermanos.

Pídale a una o varias personas que:

- Escriba el número de hermanos hombres que tenga

- Sume a ese resultado el número de hermanas

- Multiplique por 5 el resultado

- Sume 20 a este último resultado

- Multiplique a continuación por 20

- Sume al producto el número de hermanas que tiene

- Sume finalmente 5 al resultado final.

La persona a continuación da el resultado y usted rápidamente le dice el número de hermanos que
tiene.

82


EJEMPLO

Si la persona tiene 1 hermano hombre y 3 hermanas mujeres harán lo siguiente:

- Escribir 1

- Suma 3 : 1 + 3 = 4

- Multiplico el resultado por 5 : 5 x 4 = 20

- Sumo 20 : 20 + 20 = 40

- Multiplico por 2 : 40 x 2 = 80

- Sumo el número de hermanos : 80 + 3 = 83

- Sumo 5 a este último resultado : 83 + 5 = 88

- Este número le da a Usted.

Recibido el número usted resta 75 (constante)

Así 88 – 75 = 13

La primera cifra del resultado representa a los hombres; ósea 1 y la segunda cifra representa al
número de mujeres; ósea 3

83


"El hombre inteligente no es el que tiene muchas ideas, sino el que
sabe sacar provecho de las pocas que tiene." Anónimo

LA BARBERÍA

Un hombre fue a una barbería a cortarse el cabello y recortarse la barba, como es costumbre en

estos casos, entabló una amena conversación con la persona que lo atendía. Hablaban de tantas

cosas y tocaron muchos temas. De pronto, tocaron el tema de Dios.

84


El barbero dijo:

Fíjese caballero que yo no creo que Dios exista, como usted dice.

Pero, ¿por qué dice usted eso? preguntó el cliente.

Pues es muy fácil, basta con salir a la calle para darse cuenta de que Dios no existe.

O…. dígame, acaso si Dios existiera, ¿habría tantos enfermos?, ¿Habría niños abandonados?

Si Dios existiera, no habría sufrimiento ni tanto dolor para la humanidad.

Yo no puedo pensar que exista un Dios que permita todas estas cosas.

El cliente se quedó pensando un momento, pero no quiso responder para evitar una discusión.

El barbero terminó su trabajo y el cliente salió del negocio. Recién abandonaba la barbería, vio en

la calle a un hombre con la barba y el cabello largo; al parecer hacía mucho tiempo que no se lo

cortaba y se veía muy desarreglado. Entonces entró de nuevo a la barbería y le dijo al barbero:

¿Sabe una cosa? Los barberos no existen

¿Cómo que no existen? Preguntó el barbero. Si aquí estoy yo y soy barbero

¡No! Dijo el cliente, no existen porque si existieran no habría personas con el pelo y la barba tan

larga como la de ese hombre que va por la calle.

Ah, los barberos sí existen, lo que pasa es que esas personas no vienen hacia mí

85


¡Exacto! Dijo el cliente. Ese es el punto

Dios sí existe, lo que pasa es que las personas no van hacia él y no le buscan, por eso hay tanto

dolor y miseria.

"En el camino de tu vida, no es tan importante la distancia a que has
llegado, sino la dirección que llevas." Anónimo

DIDÁCTICA

Que fácil resulta multiplicar una cantidad por once o múltiplos de once, si utilizamos el siguiente
proceso; para ello debes saber sumar.

Ejercicio 1

Multiplique 25.427 X 11

Procedimiento.

Colocamos ambos factores horizontalmente.

2 5 4 2 7 X 1 1

A continuación y ocupando la posición que se indica se ubica la última cifra del primer factor.

2 5 4 2 7 X 1 1
7

86


Se suma la cifra colocando más la penúltima cifra; luego la penúltima cifra más la antepenúltima y
así sucesivamente.

Finalmente y al término de la columna se coloca la primera cifra del primer factor obteniéndose
de esa manera el resultado, que debe ser leído desde abajo

2 5 4 2 7 X 1 1
7
Si comprobamos la multiplicación por el 9 método tradicional
6
2 5 9
4 2 7
X
7 1 1
2 5 4 2 7 Resultado: 279.697
2
2 5 4 2 7
2 7 9 6 9 7

Ejercicio 2

Multiplicar 46.789 X 11

El resultado leído desde abajo es: 5 1 4. 6 7 9

87


Comprobando mediante la multiplicación tradicional tenemos:


1.- Utilizando el método estudiado efectué las siguientes multiplicaciones:

a) 27.845 x 11

4 6 7 8 9
X 1 1
4 6 7 8 9
4 6 7 8 9
R: 306.295
5 1 4 6 7 9
b) 9.876 x 11

88


R: 108.636

c) 798.654 x 11

R: 8´785.194

d) 1´235.796 x 11

89


R: 13´593.756

VIDEO
MOTIVACIONAL
JUEGO

Siempre da 30

Pida a un estudiante que escriba un dígito del 1 al 6 y usted haga lo mismo, de manera que al
sumar las cantidades usted llegará siempre primero a 30, no importa quién empiece.

Ahora si el empieza trate de formar usted primero la suma de nuevo y luego completar 7
sucesivamente.

Si Usted empieza, hágalo con el 1 o el 2 para alcanzar el 9 primero y luego seguir emparejando los
siete, hasta llegar primero a 30

90


No hay nada en la vida que no contenga sus
lecciones. Si estás vivo, siempre tendrás algo para
aprender.

EL VALOR DE LA AMISTAD

Se contaba en un colegio esta historia:

Un día cuando era estudiante de secundaria, vi a un compañero de mi clase caminando de regreso
a su casa. Se llamaba Carlos. Iba cargando todos sus libros y pensé: “¿Por qué estará llevando
todos sus libros el viernes? Debe ser un nerd.

Yo ya tenía planes para todo el fin de semana: Fiestas y un partido de fútbol con mis amigos el
sábado por la tarde, así que me encogí de hombros y seguí caminando.

91


Mientras caminaba, vi a un montón de chicos corriendo hacia él, y cuando lo alcanzaron, le tiraron
todos sus libros y le hicieron una zancadilla que lo arrojó al suelo; sus anteojos volaron y cayeron
en el paso como a tres metros de él. Miré hacia él y pude ver una tremenda tristeza en sus ojos.

Mi corazón se estremeció, así que corrí hacia él gateaba buscando sus anteojos. Observé algunas
lágrimas en sus ojos. Le acerqué a sus manos sus anteojos y le dije ¡Estos chicos son unos tarados,
no deberían hacer esto!

Me miró y me dijo: ¡Hola… gracias!

Había una gran sonrisa en su cara. Lo ayude con sus libros pues vivía cerca de mi casa. Le pregunté
por qué no lo había visto antes y me contó que se acababa de cambiar de una escuela privada.

Caminamos hasta su casa. Le pregunté si quería jugar futbol el sábado, con mis amigos, y aceptó.

Estuvimos juntos todo el fin de semana. Llegó el lunes por la mañana y ahí estaba Carlos con una
nueva pila de libros. Me paré y le dije: Hola, vas a sacar músculos si cargas todos esos libros todos
los días.

Se rió y me dio la mitad para que le ayudara.

Durante los cuatro años siguientes, Carlos y yo nos convertimos en los mejores amigos.

Cuando ya estábamos por terminar la secundaria, Carlos decidió ir a la Universidad de Georgetown
y yo iría a la Duque. Sabía que seríamos amigos, que la distancia no sería un problema.

El estudiaría medicina y yo administración, con una beca de fútbol.

Carlos fue el orador de nuestra graduación. Yo lo fastidiaba todo el tiempo diciéndole que era un
nerd. Llegó el gran día. El preparó el discurso. Y estaba feliz de no ser yo el que tenía que hablar.

Carlos se veía realmente bien. Era de esas personas que se había encontrado a sí mismo en la
secundaria, había mejorado en todos los aspectos y se veía bien con sus anteojos. ¡Tenía más citas
con chicas que yo y todas lo adoraban! ¡Caramba! Algunas veces me sentía celoso…

92


Pude ver que él estaba nervioso por el discurso, así que le di una palmadita en la espalda y le dije:

- Vas a ver qué estarás genial, amigo.

Me miró con una de esas miradas realmente de agradecimiento y me sonrió

- Gracias me dijo. Limpió su garganta y comenzó el discurso:

“La graduación es un buen momento para dar las gracias a todos aquellos que nos han ayudado a
través de estos años difíciles: tus padres, tus hermanos, quizás algún…pero principalmente a tus
amigos. Yo estoy aquí para decirles a ustedes, que ser amigo de alguien es el mejor regalo que
podemos dar y recibir y, a propósito, les voy a contar una historia…”

Yo miraba a mi amigo incrédulo cuando comenzó a contar la historia del día que nos conocimos.
Aquél fin de semana él había tenido planeado suicidarse. Estaba solo, tenía grandes problemas.
Habló de cómo había limpiado su casillero de la escuela y porque llevaba todos sus libros con él:

Para que su mamá no tuviera que ir después a recogerlos.

Me miraba fijamente y me sonreía.

“Afortunadamente fui salvado. Un amigo me salvo de hacer algo irremediable”.

Yo escuchaba con asombro cómo este apuesto y popular chico contaba a todos ese momento de
debilidad. Su padre también me miraba y me sonreía con muestras de gratitud. Recién en ese
momento me di cuenta de lo profundo de sus palabras:

Nunca subestimes el poder de tus acciones: con un pequeño gesto, puedes cambiar la vida de otra
persona, para bien o para mal.

Los amigos son ángeles que nos llevan en sus brazos cuando nuestras alas tienen problemas para
recordar cómo volar.

93


¿Sabemos y tenemos conciencia de las consecuencias de nuestros actos, para bien o para mal?

No somos responsables de la felicidad o infelicidad de los demás, ¿pero si es cierto que a veces
contribuimos con la primera.

DIDÁCTICA

Ampliando figuras con el uso del factor multiplicativo.

Ejercicio 1

Construya un rompecabezas como el que figura a continuación pero más grande, de modo que la
parte que mida 4cm en el dibujo mida 9cm en el nuevo rompecabezas.

94


Procedimiento.

Determinamos el factor multiplicativo que estaría compuesto por el valor ampliado sobre el valor
a ampliarse; es decir:

Multiplicamos cada medida por el factor multiplicativo; así:

Establecemos medidas totales para cada uno de los dados

Lado 1

=
+
L1 = L2 = L3 = L4 = 63/4

Realizamos el trazado de la nueva figura.

95


Ejercicio 2

Realice una figura semejante a la siguiente, cambiando la medida 4cm por 6cm, cabe anotar que la
figura principal corresponde a un triangulo equilátero. (Lados y ángulos iguales).

Factor Multiplicador: 6/4

Medidas Ampliadas en sentido Horario:

96


La longitud de cada lado sería:

6+ + =

97


JUEGO

Adivinando un número de tres cifras

Solicite a alguien que piense un número de 3 cifras (que no le indique); y que luego realice lo
siguiente:

 Duplique su primera cifra (olvidándose por el momento de las otras 2)

 Sume 5 al resultado

 Lo obtenido multiplique por 5

 Que añada la segunda cifra del número que pensó

 Multiplique por 10 el resultado

 Al número recién obtenido que le sume la tercera cifra del número que el pensó

 Que enuncie lo que obtuvo

Al final Usted. Recibe el número y le resta “250” y obtendrá el número que él o ella pensó.

EJEMPLO

Supongamos que el estudiante pensó el 387

- duplica : 2 x 3 = 6

- suma : 6 + 5 = 11

- Multiplica por 5 = 11 x 5 = 55

- Suma la segunda cifra : 55 + 8 = 63

- Multiplica por 10 : 10(63) = 630

- Suma la tercera cifra : 630 + 7 = 637

Finalmente Ud. en forma mental: 637 – 250 = 387

98


"Una persona predestinada es la que construye un sólido edificio, con los
ladrillos que le van tirando los que quieren voltearlo" David Brinkley

HELADO PARA EL ALMA

La semana pasada llevé a mis niños a un restaurante. Mi hijo de 6 años de edad preguntó si podía
dar las gracias. Cuando inclinamos nuestras cabezas el dijo: “Dios es bueno, Dios es grande, gracias
por los alimentos, yo estaría aún más agradecido si mamá nos brindara helado para el postre.
Libertad y Justicia para todos. Amén”

Junto con las risas de los clientes que estaban cerca, escuché a una señora comentar: “Eso es lo
que está mal en este país, los niños de hoy en día no saben cómo orar, pedir a Dios helado….”

¡Nunca había escuchado esto antes!” Al oír esto, mi hijo empezó a llorar y me preguntó: “¿Está
enojado Dios conmigo?

99


Sostuve a mi hijo y le dije que había hecho un estupendo trabajo y Dios seguramente no estaría
enojado con él.

Un señor de edad se aproximó a la mesa. Guiñó su ojo a mi hijo y le dijo: “Llegué a saber que Dios
pensó que aquella fue una excelente oración”.

¿En serio? Preguntó mi hijo. -¡por supuesto! Luego en un susurro dramático añadió, indicando a la
mujer cuyo comentario había iniciado aquel asunto: “Muy mal, ella nunca pidió helado a Dios. Un
poco de helado, a veces es muy bueno para el alma”.

Como era de esperar, compré a mis niños helados al final de la comida. Mi hijo se quedó mirando
fijamente el suyo por un momento y luego hizo algo que nunca olvidaré por el resto de mi vida.
Tomó su helado y sin decir una sola palabra avanzó hasta ponerlo frente a la señora.

Con una gran sonrisa le dijo: “Tómelo, es para usted. El helado es bueno para el alma y mi alma ya
está bien”.

DIDÁCTICA

Encontremos la raíz cuadrada de números de cuatro cifras utilizando un método didáctico.

Ejercicio 1

Encontrar

Procedimiento

Dibujamos cuatro cuadrados unificados y ubicamos diagonales sobre cada cuadrado.

Escribimos el número 1296 de izquierda a derecha como se indica en la figura.

100


6

9

1 2

En el segundo cuadro buscamos un cuadrado perfecto que termine en 6 por ejemplo el 36; y en el
tercer cuadro buscamos el cuadrado perfecto que más se aproxime al número que está abajo en
este caso el 12; así:

Sacamos los cuadrados de los números anteriores escritos en los cuadrados; así:

101


Multiplicamos las cifras del número obtenido:

3 X 6 = 18

Este número lo escribimos en los cuadros restantes

Luego sumamos diagonalmente las cifras y la suma que se realice tiene que ser igual al número
que queremos sacar la raíz cuadrada; si lo es, la respuesta en este caso sería 35; si no, tenemos
que probar con otros cuadrados perfectos; así:

8 6
6=6
1 3

8
9
0 1 9=9

1=1 2=2

Como la suma coincide la respuesta de la raíz es 36

Ejercicio 2

Determinar

1.

102


2.

3. 5 x 7 = 35

4.

5.

Como la suma coincide, la respuesta de la raíz es 57.


1.- Utilizando el método analizado, encuentra la raíz cuadrada de los siguientes
números:

103


a) 2.116

b) 1.444

c) 9.409

104


d) 2.209

VIDEO MOTIVACIONAL

JUEGO

INGENIO MATEMÁTICO

Antes de un examen de Matemática que se califique sobre 10 inicie incentivando a los estudiantes
en el sentido de que todos pueden obtener nueve en Matemática.

PROCEDIMIENTO

- Solicite a un estudiante o a todos escriban su edad

- A continuación que escriban el número de horas que duermen en la noche

- Bajo las dos cantidades escriban lo que gastan en comida diariamente.

- Pida luego que sumen las tres cantidades y luego los dígitos del resultado en forma
horizontal

- Luego que sumen los dígitos de la diferencia y escriba con número grande el resultado
obtenido.

- Finalmente felicite a todos por su gran dedicación hacia la asignatura, lo cual ha permitido
que obtengan la calificación de NUEVE

105


EJEMPLO

1. Edad 44 años

Duermo 8 horas

Gasto 4 dólares en comida

TOTAL 56

2. Suma horizontal 5 + 6 = 11, La suma horizontal resta del total 56-11 =45

3. Sumo los dígitos de la diferencia y la respuesta es 9, que es el número obtenido por todos.

AMOR SIN CONDICIÓN

Un soldado que pudo haber regresado a casa después de haber peleado en la guerra de Vietnam,
les hablo a sus padres desde San Francisco.

“Mamá, Papá, Voy de regreso a casa, pero les tengo que pedir un favor:

Traigo a un amigo que me gustaría que se quedara con nosotros”.

“Claro, le contestaron, “Nos encantaría conocerlo”.

106


“Hay algo que deben de saber”, continuó el hijo diciendo, “el fue herido en la guerra. Piso en una
mina de tierra y perdió un brazo y una pierna. El no tiene a donde ir, y quiero que el se venga a
vivir con nosotros a casa”

“Siento mucho el escuchar eso hijo. A lo mejor podemos encontrar un lugar en donde él se pueda
quedar”

“No, Mamá y Papá, yo quiero que el viva con nosotros”

“Hijo, le dijo el padre, tú no sabes lo que estas pidiendo. Alguien que esté tan limitado
físicamente puede ser un gran peso para nosotros. Nosotros tenemos nuestras propias vidas que
vivir, y no podemos dejar que algo como esto interfiera con nuestras vidas. Yo pienso que tú
deberías de regresar a casa y olvidarte de esa persona. El encontrará la manera en la que pueda
vivir él solo”

En ese momento el hijo colgó la bocina del teléfono. Los padres ya no volvieron a escuchar de él.
Unos cuantos días después, recibieron una llamada telefónica de la policía de San Francisco. Su
hijo había muerto después de que se había caído de un edificio, fue lo que les dijeron. La policía
creía que era un suicidio. Los padres destrozados por la noticia volaron a San Francisco y fueron
llevados a la morgue de la ciudad a que identificaran a su hijo. Ellos lo reconocieron, pero para su
horror descubrieron algo que no sabían, su hijo tan sólo tenía un brazo y una pierna.

Los padres de esta historia son como muchos de nosotros. Encontramos muy fácil el amar esas
personas que son hermosas por afuera o que son entretenedoras, pero no nos gusta la gente que
nos hace sentir alguna inconveniencia o que nos hace sentir incómodos. Preferimos estar alejados
de personas que no son muy saludables, hermosas o inteligentes como lo somos nosotros.

Afortunadamente, hay una persona que no nos trata de esa manera. Alguien que nos ama con un
gran amor, que siempre nos recibirá en su familia, no importa que tan destrozados estemos, física
o mentalmente. Esta noche, antes de que te metas en la cama para dormir, reza una oración a
Dios para que el te dé la fuerza para que puedas aceptar la gente tal y como es, y para que nos
ayude a ser más comprensivos de esas personas que son diferentes a nosotros.

107


DIDÁCTICA

Aprendamos a resolver conjuntos

Siguiendo un proceso didáctico que elimina en algo el grado de desarrollo de pensamiento que

exige la resolución de un problema.

Antes, es necesario que se haga conocer a l estudiante una interpretación de las regiones

sombreadas que son parte del Diagrama de Ven; elemento gráfico necesario para el desarrollo de

los problemas.

PARA DOS CONJUNTOS

108


“Solo A” “exclusivamente A” o “únicamente A”

“Ocurre A o B” “al menos uno de ellos”
o “por lo menos uno de ellos

“Ocurre A y B” “Ocurre ambos sucesos a la vez”

O “Tanto A como B

109


“No ocurre ni A ni B”

“Ocurre A”

“Ocurre B”

TRES CONJUNTOS

“Solamente A”

“Solamente B”

110


“Solamente C”

“Solamente A y B”

“Solamente A y C”

“Solamente B y C”

111


“Ocurre A, B y C”

“Ocurre A”

“Ocurre B”

“Ocurre C”

112


“Ocurre únicamente B o C”

“Ocurre únicamente A o C”

“Ocurre únicamente A o B”

“No ocurre ni A, ni B ni C”

113


“Ocurre A y B”

“Ocurre B y C”

“Ocurre A y C”

Ejercicio 1

Una investigación sobre la preferencia que tiene cierto grupo de personas hacia un medio de
difusión arroja el siguiente diagrama:
U
T: Televisión
T R
5 2
R: Radio 1
7
P: Periódico 6
114 4

3
8 P


Realice todas las lecturas posibles que presenta el diagrama.

 7 personas prefieren los tres medios de difusión.

 1+4+7+5=17 personas prefieren la televisión.

 5+2+7+6=20 personas prefieren la radio.

 4+7+6+3=20 personas prefieren el periódico.

 8 personas no les gustan ninguno de los tres medios de difusión.

 5+7=12 personas prefieren la televisión y la radio.

 7+6=13 personas prefieren la radio y la prensa.

 4+7=11 12 personas prefieren la televisión y la prensa.

 5 personas prefieren solo la radio y la televisión.

 6 personas prefieren solo la radio y la prensa

 4 personas prefieren solo la televisión y la prensa

 1 persona prefiere solo la televisión

 2 personas prefieren solo la radio

 3 personas prefieren solo la prensa

Ejercicio 2

115


De un grupo de 240 personas se conoce que 55 practican Baloncesto y 145 fútbol, mientras que
28 practican ambos deportes. ¿Cuántos conjuntos son parte del problema y que contienen?

Procedimiento:

1. Nos formulamos la pregunta ¿Cuantos conjuntos son parte del problema y que
contiene?

Son dos y contiene personas que practican fútbol y baloncesto.

2. Graficamos el diagrama de VEN.

U

F B

3. Ingresamos Valores empezando con la interrelación

28 Practican ambos deportes

4. Ahora ubicamos valores conocidos y desconocidos correspondientes al resto de la
información.

116


a. 55 practican Baloncesto de esto se deduce que:

Solo practican Baloncesto 55-28=27

U

F B

28 27

b. 145 practican fútbol de lo cual se deduce que:

Solo practican Baloncesto 145-28=117

U

F B

28 27
117

c. El valor faltante será x y corresponderá a quienes no practican ningún deporte.

U

F B

28 27
117
X
117


5. Luego de asegurarse de haber llenado todas las regiones del Diagrama de Ven sume
todos los valores conocidos y desconocidos e iguale a la cantidad total de personas que
fueron materia de investigación; ósea:

117+28+7+X=240

X=240-117-28-27

X=28

Lo cual quiere decir que existen 8 personas que no practican ni fútbol ni baloncesto.

Ejercicio 3

En un salón de clases, 48 alumnos aprobaron Física, 42 Química y 52 Inglés. ¿Cuántos alumnos hay
en el aula de clase, si 25 alumnos aprobaron los tres cursos y no hay alumnos que hayan aprobado
exactamente dos cursos y que logro desaprobar en los tres cursos?

Procedimiento.

1. Formulamos la pregunta ¿Cuántos argumentos son parte del problema y que contienen?

Son tres y contienen estudiantes que aprueban las asignaturas de Física, Química e inglés.

2. Graficamos el diagrama de Ven

U

F B

118
I


3. Ingresamos valores empezando con las intersecciones

• 25 alumnos aprobaron los tres cursos.

• No hay alumnos que hayan aprobado exactamente dos cursos.

U

F B

0
25
0 0

I

4. Ubicamos valores conocidos y desconocidos tomados del resto de la información.

a) 42 aprueban Química de lo que se deduce que:

Solo practican Química
42-25=17

119


b) 48 aprueban Física; es decir solo aprueban Física.

U
48-25=23

F Q

23 0 17
25
0 0

I
52-25=27
U
c) 52 aprueban Inglés; es decir solo aprueban Inglés.

F Q

23 17
0
25
0 0
27
120
I


d) De acuerdo con los datos no hay alumnos que hayan reprobado los tres cursos.

52-25=27
U

F Q

23 17
0
25
0 0
27

0 I

5. Para conocer cuántos alumnos hay en el aula de clase, solamente tenemos que sumar
los datos conseguidos en el diagrama de VEN.

121


U= 23+17+25+27 = 92

Son 92 estudiantes los que hay en el aula de clase.

Ejercicio 4

De 400 personas 220 prefieren torta de chocolate y a 75 no les gusta ni la torta de chocolate ni las

fresas con crema, Los que gustan solo de torta de chocolate son el triple de los que gustan ambos

postres. ¿Cuántos gustan solo de las fresas con crema?

Procedimiento.

Actúan dos conjuntos que contienen las personas que les gusta la torta de chocolate y las fresas
con crema.

El gráfico que representa el diagrama de Ven es el siguiente:

Los valores de acuerdo a los datos del programa son los siguientes:

122


220 + 75 + y = 400

Y = 105

Lo cual quiere decir que solo 105 personas les gustan solo las fresas con crema.

Todo aquello que puedas o sueñes hacer,
comiénzalo. La audacia contiene en si misma
genio, poder y magia. Goethe


1.- De una encuesta a 18 personas sobre su preferencia en la práctica deportiva se
obtuvieron los siguientes resultados:

• 2 practican fútbol
• 5 practican fútbol y tenis
• 1 practica tenis y básquet
• Entre tenis y básquet 11, sabiendo que los de básquet son 8
¿Cuántas personas practican solo tenis o básquet?

123


R: Solo tenis 3; solo básquet 7

2.- En un grupo de 28 personas, 13 hablan inglés, 15 francés, 13 español, 1 habla los
tres idiomas y 2 inglés y español ¿Cuántas personas hablan francés y español?

R: 3
3.- Se tienen 17 globos de colores, de los cuales: 5 son amarillos, 4 son rojos, 1 globo
tiene 3 colores (amarillo, azul, rojo) mientras que dos globos la mitad son rojos y la
otra mitad son azules ¿Cuántos globos tienen color amarillo, azul y rojo?

4.- Una heladería hace un pedido de 21 litros de helado con sabores puros y mezclados,
de los cuales: 5 litros son de chocolate puro, 1 litro tiene dos sabores de mora y

124


chocolate, 4 litros son de vainilla pura y 8 litros de mora y vainilla mezclado ¿Cuántos
litros de helado de mora pura han llegado?

R: De mora pura son 3

5.- El Doctor de un Instituto ha reportado los siguientes datos estadísticos acerca de un
grupo de 30 estudiantes de dicho Instituto: 19 llevan Matemática, 17 llevan Música, 11
llevan Historia, 12 Matemática y Música, 7 historia y Matemática, 2 Matemática,
Historia y Música, y 2 sólo y exclusivamente música ¿Cuantos alumnos llevan Historia y
Música?

R: Son 5

125

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