Tema 10. Dinámica y funciones de la Atmosfera 2024
Modelo de redes
1. MODELO DE REDES
NOCIONES PREVIAS
La investigación de operaciones es una rama de las matemáticas que utiliza
modelos matemáticos, estadística y algoritmos con la finalidad de realizar un
proceso de toma de decisiones para mejorar el funcionamiento de un sistema,
teniendo en cuenta la escasez de recursos, para determinar cómo se puede
optimizar un objetivo definido, como la maximización de los beneficios o la
minimización de costos.
DEFINICION
El Modelo de Redes está orientado a optimizar situaciones relacionadas con las
redes de transportes, comunicaciones, etc.; todas aquellas que se puedan
representar mediante una red.
La familia de redes de los problemas de optimización incluye los
siguientesprototipos de modelos: Problemas de asignación, camino crítico, flujo
máximo, camino más corto, transporte y costo mínimo de flujos. Los problemas
sonestablecidos fácilmente mediante el uso de arcos de redes y de los nodos.
CONCEPTOS IMPORTANTES
¿Qué es una red?
Una red consiste en una serie de nodos enlazados con arcos. Cada red se
asocia algún tipo de flujo, en general, el flujo en una red está limitado por la
capacidad de sus arcos.
¿Qué es un Nodo?
Es usualmente llamado vértice, o punto. Es usualmenterepresentado por un
círculo. En las redes de transporte, estos deberían ser laslocalidades o las
ciudades en un mapa. Los nodos vendrían a ser las restricciones.
2. MODELO DE REDES
2
¿Qué es un Arco?
Es usualmente llamado borde o flecha. Este podría ser directo o indirecto. La
cabeza es el destino, y la cola el origen. La cabeza y lacola son nodos que
pueden estar tanto al origen como al final. En las redes detransporte, los arcos
podrían ser los caminos, los canales de navegación en unrío, o los patrones de
vuelo de un avión. Los arcos proporcionan la conectividadentre los nodos. Los
arcos vendrían a ser las variables.
¿Qué es el Flujo?
Es aquello que circula por los arcos según sea el tipo de sistema que estemos
analizando. Ejemplo: nº de vehículos, nº de personas, etc.
Muestra de una Red
Nodos: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Arcos: 1-2, 1-3, 2-4, 2-5, 3-4, 3-5, 4-6, 5-6
Flujos: X12 , X13 , X24 , X25 , X34 , X35 , X46 , X56
TIPOS DE MODELOS
M. Ruta más Corta
M. Flujo Máximo
M. Flujo Máximo a Costo Mínimo
2 4
6
53
1
X12
X13
X24
X25
X34
X35
X46
X56
3. MODELO DE REDES
3
1. MÉTODO DE LA RUTA MAS CORTA
Consiste en determinar cuál es la mejor manera de cruzar la red, llegando al
nodo final utilizando un costo mínimo, o empleando la menor distancia posible.
Supongaque en una red dada existen m nodos y n arcos y un costo Cij
asociado con cada arco (i a j) en la red. La finalidad del método de la Ruta más
Corta es encontrar el camino más corto a un menor costo, desde el nodo de
comienzo 1 hasta el nodo final m. El costo del camino es la suma de los costos
de cada arco recorrido.
Procedimiento
1. Elaborar un cuadro con todos los nodos y los ramales que salen de él.
2. Partiendo del origen, debemos encontrar el nodo más cercano a él.
3. Anular todos los ramales que entren al nodo más cercano elegido.
4. Comenzando en el origen se debe encontrar el nodo más cercano a él, por
intermedio del(los) nodo(s) ya elegido(s) y volver al tercer paso hasta llegar
al destino
Ejemplo Aplicativo
La empresa distribuidora de helados “Donofrio” ha identificado 6 locales
principales en Huacho que envía con frecuencia sus productos, el gerente de
dicha empresa considera que el total de sus costos se minimizaría si pudiera
asegurarse de que todos los envíos futuros al último de los locales se realicen
siguiendo la ruta más corta. Por tanto, su objetivo consiste en especificar
cuáles son las rutas más cortas desde el nodo de inicio hasta el nodo 6. En los
arcos de la red se muestran los tiempos de viaje en minutos.
9
7 3
5
1
D
2
3
5
4
6
4
862
6
3
6
5
4. MODELO DE REDES
4
Conclusión:
La ruta apropiada para que el distribuidor llegue a su destino es recorrer los
nodos D-1-3-5-6 ya que de las diversas alternativas presentadas es en la que
requiere el menor tiempo posible para llegar al último establecimiento (local)
es de 16 minutos.
2. METODO DEL FLUJO MAXIMO
Este método lo aplicamos mayormente cuando el problema puede ser
modelado mediante una red en la cual se considera que los arcos tienen la
capacidad de limitar la cantidad de un producto que se puede enviar a través
del arco. Por ello en estas situaciones se desea transportar la máxima cantidad
de flujo desde un punto de partida hacia un punto de llegada.
Procedimiento
1. Determinamos n camino que una el nodo de entrada con el de salida que
tenga capacidades de flujo.
2. Luego escogemos aquel flujo que sea menor sobre el camino elegido.
3. Para que aumente las capacidades del flujo del camino escogido en sentido
contrario y reducir las capacidades en el sentido del flujo debemos repetir los
pasos saturando todos los caminos posibles, hasta llegar a la solución.
1
D
2
3
5
4
6
4
9
8
62
7
6
3
6
5
3
5[0;D]
[6;D]
[4;D] [13;1]
[7;D]
[6;1]
[9;2]
[12;2]
[11;3]
[21;4]
[12;3]
[16;5]
[12;3]
5. MODELO DE REDES
5
Ejemplo Aplicativo
En el distrito de Huacho dos estudiantes de ingeniería desean calcular el
número máximo de vehículos que pueden circular en un determinado
momento comenzando el recorrido desde el Ovalo de Huacho y terminándolo
en la Plaza 2 de Mayo, teniendo en consideración los siguientes Nodos y
Calles:
Nodos:Arcos: Nombre de las calles
1 Ovalo
2 I.P.D
3 Paradero Osmas
4 Ferretería
5 Plaza Domingo Mandamiento
6 CARSA
7 Plaza 2 de Mayo
Como se muestra en la figura:
1 3
4
2
5
6
7
6
5 8
3
1
7
7
5
5
2 3
Solución:
Seleccionamos una ruta:
Elegimos el menor parámetro:
1-2 Salaverry
1-3 Túpac Amaru
1-4 San Martin
2-5 Salaverry
2-3 M. Castilla
3-5 More
3-6 28 de Julio
4-3 M. Castilla
4-6 San Martin
5-7 2 de Mayo
6-5 Jr Bolognesi
6-7 28 de Julio
6. MODELO DE REDES
6
1 3
4
2
5
6
7
6
5 8
3
1
7
7
5
5
2
0
2
5
3
Seleccionamos una ruta:
Elegimos el menor parámetro:
1 3
4
2
5
6
7
6
5 8
3
1
7
7
5
5
2
0
2
5
1
1
0
3
Seleccionamos una ruta:
Elegimos el menor parámetro:
8. MODELO DE REDES
8
1 3
4
2
5
6
7
6
5 8
3
1
7
7
5
5
2
0
2
5
1
1
0
0
4
4
0
0
4
3
3
3
0
0 1
2
Por lo tanto:
1 3
4
2
5
6
7
6
5 8
3
1
7
7
5
5
2
0
3
3
5
3
6
6
2 2
1
6
2
2
7
La cantidad máxima que pueden circular en un determinado momento es de 13
automóviles.
9. MODELO DE REDES
9
3. METODO DEL FLUJO MAXIMO A COSTO MINIMO
Método empleado cuando existe la posibilidad de utilizar más de una máquina
de diferentes capacidades y costos. Se utiliza el algoritmo de Busacker.
Procedimiento
1. Diseñamos la red con sus partes respectivas.
2. Etiquetamos las máquinas que tienen un costo menor comenzando por el
nodo de inicio hasta llegar al nodo final.
3. Los componentes de la etiqueta son el costo acumulado, máquina de donde
proviene y qué pasa por la máquina.
4. Hacemos un recorrido inverso de la ruta para determinar la cantidad que
aún pueden procesar las máquinas.
5. Al finalizar éste proceso calculamos el flujo y el costo de la etiqueta final.
6. Repetimos estos pasos hasta saturar todas las rutas posibles. Luego
hallamos el costo acumulado y el flujo total.
Ejemplo Aplicativo
Una pequeña empresa elabora rodillos de madera para cocina buscando
producirlas a un costo mínimo y obteniendo máxima cantidad de unidades por
hora. Para hacerlo sigue el proceso de: corte, moldeado, limado; esto es
realizado en los cortadores 1 y 2, los tornos 3 y 4, limadoras 5 y 6. Encontrar el
flujo máximo de rodillos elaborados en una hora al costo mínimo posible.
PROCESO MAQUINAS
COSTO
(S./)
FLUJO (UN.)
Cortado
1 5 20
2 6 15
Moldeado
3 4 22
4 3 21
Limado
5 5 25
6 4 28
