Este documento fornece um resumo de tópicos fundamentais de álgebra, funções, trigonometria, progressões, matrizes e determinantes. Inclui definições, propriedades e fórmulas chave destes tópicos, como conjuntos, funções do segundo grau, trigonometria, progressões aritméticas e geométricas, operações com matrizes e determinantes.

1. Índice
Exatas Handbook Álgebra Elementar e Conjuntos
Funções
Logaritmos
5
6
7
Trigonometria 8
Progressões 14
Matrizes e Determinantes 16
Sistemas Lineares 22
Análise Combinatória 23
Binômio de Newton 24
Números Complexos 26
Polinômios 29
Geometria Analítica 32
Geometria Espacial 39
Geometria Plana 43
Fernando H. Ferraz
Álgebra Elementar Logaritmos
x
Simbologia logab = x Û a = b
Ù (e) Î (pertence) onde:
Ú (ou) Ï (não pertence) a, b, x ÎR
| (tal que) É (contém) a>0ea¹1eb>0
$ (existe) É (não contém)
Decorrências da definição
$ (não existe) Ì (contido)
loga1 = 0 (" 0 < a ¹ 1)
" (qualquer que seja) Ë (não contido)
logaa = 1 (" 0 < a ¹ 1)
Æ (vazio)
logba
a = b (0 < a ¹ 1 e b > 0)
Conjuntos
logab = logac Û b = c (0 < a ¹ 1, b > 0 e c > 0)
Interseção
Propriedades operatórias
A Ç B = { x | x Î A Ù x ÎB }
logab + logac = log abc
União logab - logac = log a b
A È B = { x | x Î A Ú x ÎB } a
c
logab = a . logab
Diferença log ab = 1 . log b
a
a a
A - B = { x | x Î A Ù x ÏB }
Mudança de base
Complementar
B logcb
se B Ì A então CA = A - B logab =
logca
5 7

2. Trigonometria Funções
Razões Trigonométricas Estudo da função
Uma relação R: A ® B será uma função de A em B, se
Seja um triângulo retângulo, fixando um ângulo agudo a, e somente se:
temos: - D(R) = A
- Cada elemento x Î A se relaciona (forma par)
com um único elemento B.
a Notação: f : A ® B ou y = f(x)
b
Função do 2º grau
- f: R ® R, definida por f(x) = ax2 + bx + c
a c - D(f) = R
seno - é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a
hipotenusa:
- Coordenadas do vértice: V = (
-b ; -D
2a 4a )
- Se a > 0, valor mínimo = yv.
sena = ba
- Se a < 0, valor máximo = yv.
cosseno - é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e
a hipotenusa:
cosa = ca
tangente - é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e
o cateto adjacente ao ângulo:
tga = b c
8 6

3. Para lembrar... De 1 temos:
sen2a + cos2a = 1
Lembre-se da frase: “Corri, caí e tomei uma cotg2a + 1 = cossec2a
2 2
coca”. tg a + 1 = sec a
corri - co/hip (cateto oposto/hipotenusa) = seno De 2 temos:
caí - ca/hip (cateto adjacente/hipotenusa) = tga = sena cotga = cosa
cosa sena
cosseno 1 1
coca - co/ca (cateto oposto por adjacente) = seca = cosa cosseca = sena
tangente
Triângulos Quaisquer
Valores notáveis Seja um triângulo abc, qualquer:
11
C
30° 45° 60°
b a
1 Ö2 Ö3
sen 2 2 2 A B
c
Ö3 Ö2 1
cos 2 2 2 Lei dos Senos:
tg Ö3 a = b = c
1 Ö3
3 senA senB senC
Radianos - Graus Lei dos Cossenos:
180° = p rad a² = b² + c² - 2bc.cosA
y° = x rad b² = a² + c² - 2ac.cosB
x = y° p c² = b² + a² - 2ab.cosC
180°
9 11
Transformação de Arcos PG (Progressões Geométricas)
Arcos negativos: Termo geral
n-1
an = a1 . q
sen(-a) = -sena
tg(-a) = -tga Soma dos termos
cos(-a) = cosa a1 - an . q a1 . (1 - qn)
Sn = 1-q Û Sn = 1-q
Adição/Subtração de arcos:
sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a PG infinita (-1 < q < 1)
sen(a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a a1
cos(a + b) = cos a . cos b - sen a . sen b S=
1-q
cos(a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b
Média da PG
tg(a + b) = tg a + tg b tg(a - b) = tg a - tg b Seja uma PG(...,a,b,c,...)
1 - tg a . tg b 1 + tg a . tg b b =Ö a . c
Arco dobro:
sen(2a) = 2 . sen a . cos a 2tga
tg(2a) = Escrevendo 3 termos consecutivos
cos(2a) = cos²a - sen²a 1 - tg²a -1
(...,xq ,x,xq)
Arco metade:
sen(x/2) = ±
Ö1 - cos x
2
cos(x/2) = ± 1 + cos x
Ö 2
1 - cos x
tg(x/2) = ± Ö 1 + cos x
13 15

4. Ciclo Trigonométrico Ö3 Relações Trigonométricas
Fundamentais
tangente
sena cosa
seno
p/2 (90º)
1 1
(120º) 2p/3 p/3 (60º)
Ö3/2
(135º) 3p/4 p/4 (45º)
Ö2/2
(150º) 5p/6
1/2
p/6 (30º)
Ö3/3
tga 1 cotga
(180º) p
-1 -Ö3/2 -Ö2/2 -1/2 1/2 Ö2/2 Ö3/2 1
0 (0º)
cosseno
10
2p (360º)
seca cosseca
A partir desse hexágono, podemos retirar todas as
-1/2
(210º) 7p/6 11p/6 (330º)
relações trigonométricas fundamentais. Notemos as
-Ö3/3
-Ö2/2 7p/4 (315º)
seguintes propriedades:
(225º) 5p/4
-Ö3/2
1) Somamos o quadrado de dois vértices dos
(240º) 4p/3
-1
5p/3 (300º)
triângulos azuis (tendo que a reta base do
-1
3p/2 (270º) segmento de reta formado por esses dois vértices
deve ser paralela ao eixo tg-cotg) e igualamos à
‘ponta’ do triângulo.
2) Seguindo as setas, igualamos o primeiro
vértice à razão dos dois vértices seguintes.
-Ö3
12 10
Matrizes Progressões
Matriz m x n é uma tabela de números reais, dispostos
em m linhas e n colunas. PA (Progessões Aritméticas)
M=
[
a11 a12 a13
a21 a22 a23
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
...
...
...
...
a1n
a2n
.
.
.
[ Termo geral
Soma dos termos
an = a1 + (n - 1) . r
Sn =
(a1 + an) . n
2
am1 am2 am3 ... amn
Média da PA
Onde aij indica a posição de cada elemento, sendo i = Tendo-se uma PA(...,a,b,c,..)
linha e j = coluna.
a+c
b=
2
Casos Especiais
Matriz quadrada: m = n
Matriz linha: m = 1 Reescrevendo 3 termos consecutivos
Matriz coluna: n = 1
Matriz nula: aij = 0, " i, j. PA(...,x - r, x, x + r)
Adição de matrizes
Tendo as duas matrizes o mesmo número de linhas e
colunas, soma-se cada elemento um a um.
Propriedades
associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
comutativa: A + B = B + A
elemento neutro: A + O = 0 + A = A
16 14

5. elemento oposto: A + (-A) = O. Determinantes
Determinante de matriz de ordem 2
Multiplicação de um numero real por uma matriz
Multiplica-se todos os elementos da matriz pelo a b = ad - bc
número real. c d
Determinante de matriz de ordem 3
Multiplicação de duas matrizes
a11 a12 a13 a11 a12
Dadas duas matrizes A e B, o produto AB só existe se o
número de colunas de A for igual ao número de linhas a21 a22 a23 a21 a22
de B, pois A é do tipo m x n e B é do tipo n x p.
O produto AB é uma matriz que tem o número de a31 a32 a33 a31 a32
linhas de A e o número de colunas de B, pois C = AB é Repetimos as duas primeiras colunas ao lado do
do tipo m x p. determinante e a seguir multiplicamos os elementos na
Ainda pela definição, deve-se obter cada elemento cik direção das flechas. Os produtos dos elementos
da matriz AB da seguinte forma: indicados pelas flechas azuis são somados e os dos
(I) Toma-se a linha i da matriz A. elementos indicados pelas flechas vermelhas são
(II) Toma-se a coluna k da matriz B. subtraídos. Está é a regra de Sarrus, só válida para
(III) Coloca-se a linha i de A na ‘vertical’ ao lado da determinantes de ordem 3.
coluna k de B.
(IV) Calcula-se os n produtos dos elementos que Menor complementar
ficaram lado a lado. Se aij é um elemento da matriz A de ordem n, então o
(V) Somam-se esses n produtos, obtendo cik. menor complementar do elemento aij é o determinante
que se obtém retirando-se a linha i e a coluna j da matriz
Propriedades A. Indicamos o menor complementar do elemento aij por
associativa: (AB).C = A . (BC) Mij.
distributiva à dir.: (A + B) . C = AC + AB
distributiva à esq.: A.(B+C) = AB + AC Complemento algébrico ou cofator
Indica-se por Aij e é dado por:
Transposta de uma matriz
17 i+j
Aij = (-1) . Mij 19
Determinantes do produto de matrizes
Sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem Análise Combinatória
então: Fatorial
det(A.B) = detA . detB n! = n . (n - 1) . (n - 2) ... 3 . 2 . 1 Þ n . (n - 1)!
1! = 1
Determinante de inversa de uma matriz: 0! = 1
1
detA-1 = detA
Princípio multiplicativo
Se um evento A pode ocorrer de m maneiras distintas
Obs.: uma matriz A só é inversível se, e somente se, e a seguir, um evento B pode ocorrer de n maneiras
detA ¹ 0. distintas, então o número de probabilidades de ocorrer
A seguido de B é m vezes n.
Arranjos simples
São agrupamentos onde a ordem com que os
elementos participam é considerada e não existe
repetição de elementos. É dado pela fórmula:
n!
An,p =
(n - p)!
Permutações simples
São arranjos onde n = p.
Pn = n!
Combinações simples
São agrupamentos onde não importa a ordem dos
elementos.
n!
Cn,p =
(n - p)! p!
21 23

6. Teorema de Laplace Sendo A uma matriz do tipo m x n, a transposta de A,
t
O determinante de uma matriz quadrada de ordem que se indica por A, é a matriz do tipo n x m que se
n(n>1), é igual à soma dos produtos dos elementos de obtém trocando as linhas por colunas da matriz A. Isto
uma fila (linha ou coluna) pelos seus respectivos é, a 1ª linha de At é igual à 1ª coluna de A, a 2ª linha de At
cofatores. é igual a 2ª coluna de A e assim sucessivamente.
Propriedades dos determinantes Propriedades
- detAt = detA t t
(A ) = A
t t t
- Trocando-se a posição de duas filas paralelas de uma (A + B) = A + B
matriz, seu determinante não se altera em módulo, t
(a . A) = a . A
t
apenas trocando de sinal. (AB)t = Bt . At
- Se duas filas paralelas de uma matriz são iguais, então
seu determinante é nulo. Matriz Identidade
- Multiplicando-se (ou dividindo-se) uma fila qualquer In = (aij)nxn onde aij = 1 (se i = j) e aij = 0 (se i ¹ j)
de uma matriz por um número, seu determinante fica
multiplicado (ou dividido) por esse número.
Propriedade
- Sendo A, uma matriz quadrada de ordem n, e a o um A . In = In . A = A
número real, então:
det(a . A) = an . det A Inversão de matrizes
- Se uma fila de uma matriz é formada por somas de A matriz inversa da matriz quadrada A, se existir, será
duas parcelas, então seu determinante é igual à soma de indicada por A-1 e será tal que:
outros dois determinantes: o primeiro formado com as
A . A-1 = A-1 . A = In
primeiras parcelas e o segundo formado com as
segundas parcelas, inalteradas as demais filas. Propriedades
- Teorema de Jacobi: um determinante não se altera -1 -1
(A ) = A
quando se soma a uma de suas filas uma outra fila t -1 -1 t
(A ) = (A )
paralela previamente multiplicada por uma constante. -1 -1
(AB) = B . A
-1
20 18
Binômio de Newton Sistemas lineares
Número binomial Todo sistema com uma ou mais equações do tipo:
n n! ( a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b
(
p = (n - p)! p!
Regra de Cramer
Binomais complementares Um sistema linear de n equações a n incógnitas
n ( n ( pode ser resolvido pela regra de Cramer:
( (
p e k são binomiais complementares se: p + k = n D D Dxn
x1 = x1 , x2 = x2 , ..., xn =
D D D
Igualdade de binomiais
n ( n ( Classificação
( (
p = k Û p = k ou p + k = n - Se D ¹ 0, sistema possível e determinado.
- Se D = Dx1 = Dx2 = ... = Dxn = 0, sistema possível e
Triângulo de Pascal indeterminado
1 - Se D = 0 e (Dx1 ¹ 0 ou Dx2 ¹ 0 ou ... Dxn ¹ 0) o
1 1 sistema é impossível.
1 2 1
1 3 3 1 Sistemas lineares homogêneos
1 4 6 4 1 É o sistema linear que possui os termos
1 5 10 10 5 1 independentes de todas as suas equações iguais a
1 6 15 20 15 6 1 zero.
n n Para um sistema linear homogêneo teremos:
(n (n n
( ( ( ( ( ( (
0 1 ( 2
...
n-1 n - Se D ¹ 0, o sistema admitirá uma única solução que
será (0;0;0;...;0), chamada solução trivial.
Propriedades - Se D = 0, o sistema será possível e indeterminado
- A soma dos binomiais de uma linha é igual a 2n, onde n é o admitindo infinitas soluções.
“numerador” dos binomiais.
24 22

7. - Relação de Stifel: a soma de dois binomiais “vizinhos” Potências de i
i0 = 1
{
de uma mesma linha é igual ao binomial situado
imediatamente abaixo do segundo número somado. i1 = i
i2 = -1 n r
i = i, n Î N
n ( n n+1 ( (
(
p + p+1 = p+1( ( i3 = -i
i4 = 1:
Binômio de Newton onde: r = 0, 1, 2 ou 3:
n 4
n n n n-1 1 n n-2 2 n n q
n
(x + a) = ( (
0 x+ 1 (
x a +
(
2
x a + ... + (
n a
( ( ( r
n
obs.: o desenvolvimento (x + a) é formado de n + 1 resto
termos. Adição/Subtração/Mutiplicação
Na adição e subtração, adicionam-se e subtraem-se
Termo Geral separadamente as partes complexas e as imaginárias.
Na multiplicação usa-se a propriedade distributiva, e
Tp+1 = (n
p
( . xn - p . ap do fato que i² = -1.
Divisão
Onde Tp+1 representa o termo de ordem p + 1 do
desenvolvimento de (x + a)n. z1 z1 . z2
z2 = z2 z2
Representação Gráfica
y O número complexo z = a +
bi é representado pelo ponto
b P P(a;b) no plano de Argand-
Gauss.
|z| P: é o afixo de z;
Ox: eixo real;
q x Oy: eixo imaginário.
25 O a 27
r1. r2. r3 + r1. r2.r4 + ... + rn-2 . rn-1.rn = - a3
Polinômios a0
n
r1. r2.r3 ... rn = (-1) . an
P(x) = a0xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an a0
Polinômio identicamente nulo Propriedades
P(x) º 0 Û P(a) = 0, " a - Se a soma dos coeficientes de um dado polinômio P(x)
é 0, então P(x) admite 1 como raiz.
P(x) º 0 Û a0 = a1 = ... = an-1 = an = 0
- Se a soma da diferença dos coeficientes simétricos de
um dado polinômio P(x) é 0, então P(x) admite -1 como
Polinômios idênticos raiz.
A(x) º B(x) Û A(a) = B(a), " a.
Grau de um polinômio
É o maior expoente de x, com coeficiente não nulo, que
aparece em P(x).
gr(P) ou dP
Se P(x) º 0, não se define gr(P).
Divisão de polinômios
A(x) B(x)
R(x) Q(x)
Temos que:
A(x) º B(x) . Q(x) + R(x)
(desde que gr(R) < gr(B) ou R(x) º 0).
Teorema do resto
O resto da divisão de um polinômio P(x) por x - a é igual a
P(a).
29 31

8. Módulo
z = a + bi Þ r = |z| =Ö a² + b²
Números Complexos
Unidade Imaginária
Argumento
É o ângulo q determinado pelo eixo real Ox e o i² = -1
segmento OP, medido no sentido anti-horário a partir Definição de número complexo
do eixo real. z=a+b.i
cosq = a senq = b onde:
|z| |z|
Forma trigonométrica
z = a + bi Û z = |z| . (cosq + i . senq)
{ a Î R, a = parte real
b Î R, b = coeficiente da p. imaginária
i = unidade imaginária
números imaginários puros:
Operações na Forma Trigonométrica
São os complexos onde a = 0 e b ¹ 0
Multiplicação números reais:
São os complexos onde b = 0.
z1z2 = r1r2[cos(q 1+ q2) + i . sen(q 1+ q2)]
Conjugado de um número complexo
Divisão Dado um complexo: z = a + b . i, definimos como
z1 r1 seu conjugado: z = a - b . i
z2 = r2 [cos(q 1- q2) + i . sen(q 1- q2)]
Igualdade de Complexos
Potenciação Iguala-se a parte real com a outra parte real e o
zn = rn . [cos(nq) + i . sen(nq)] coeficiente da parte imaginária com o
coeficiente da outra parte imaginária.
28 26
Teorema de D’Alambert
Geometria Analítica Um polinôimo P(x) é divisível por x - a, se e somente
se, P(a) = 0.
Distância entre dois pontos
Teorema fundamental da algebra
dAB = Ö (Dx)² + (Dy)²
Toda equação algébrica de grau n, onde n > 0, admite
Ponto médio pelo menos uma raíz complexa.
M ( x + x , y 2+ y
A
2
B A B
(
Teorema da decomposição
P(x) = a0xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an, pode ser fatorado em:
Baricentro do triângulo
P(x) = a0(x - r1) . (x - r2) ... (x - rn) onde r1, r2,... rn são as
G ( x + x3 + x , y + y3 + y
A B C, A B
(
C raízes de P(x).
Multiplicidade de uma raiz
Área do Triângulo
Se P(x) = (x - r)m . Q(x) e Q(r) ¹ 0, então r é uma raiz
xA yA 1 com multiplicidade m de P(x) = 0.
x y 1
A = 1 . mód B B
2 xC yC 1 Teorema das raízes complexas
Seja P(x) um polinômio de grau n, onde n > 1, com
Alinhamento de três pontos coeficientes reais, se P(z) = 0, então P(z) = 0, onde z = a
Se A, B e C são colineares, detS = 0. Onde S é a + bi e z = a - bi (com a Î R e b Î R*).
matriz formada com as coordenadas dos três pontos.
Relações de Girard
n n-1
Equação geral da reta Seja a0x + a1x + ... + an-1x + an = 0, e suas raízes r1, r2, ...,
rn:
a.x + b.y + c = 0 r1 + r2 + r3 + ... + rn = - a1
a 0
r1.r2. + r1. r3 + ... + rn-1.rn = a2
a0
32 30

9. Obtendo eq. geral pelo determinante Observação: Na equação de uma circunferência,
temos, necessariamente:
xA yA 1 · Os coeficientes de x² e y² são iguais, inclusive
xB yB 1 = 0 Þ ax + by + c = 0 em sinal e não nulos. Se o coeficiente de x² for
x y 1 diferente de 1, deve-se dividir toda a equação
por ele.
Equação reduzida · Não pode existir termo x.y na equação.
a c
r: ax + by + c = 0 Þ y = - b x + - b
· O termo independente p é tal que:
Þ
Þ
R² = a² + b² - p > 0
y=m.x+n (numa circunferência o raio é sempre positivo)
m = coeficiente angular ou declividade Posições relativas entre reta e circunferência
· Reta e circunferência secantes:
r
Dx
m = -a = Dy = tga C
y2 b B dCr < R
b Dx
Dy
a = inclinação · Reta e circunferência tangentes:
y1 A
a
C r dCr = R
x1 x2
n = coeficiente linear: ordenada do ponto em que a reta · Reta externa à circunferência:
(não vertical) intercepta o eixo das ordenadas.
dCr > R
C
33 35
Propriedade do lugar geométrico
A soma das distâncias de qualquer ponto da elipse aos
Geometria Espacial
focos F1 e F2 é constante e igual ao segmento A1A2. Esfera
PF1 + PF2 = 2a
Hipérbole 4 . p . R3
V=
3
R
B1 S = 4 . p . R2
b c
Cilindro Reto
F1 A1 O a A2 F2
B2
V=B.H
2
V=p.R .H
H SL (área lateral) = 2 . p . R . H
ST (área total) = 2pR(R + H)
F1 e F2 ® focos
R
O ® centro
A1A2 ® eixo real ou transverso Secção meridiana
B1B2 ® eixo imaginário É o retângulo resultante da
intersecção do cilindro com um
2c ® distância focal plano que contém os centros das
2a ® medida do eixo real H
bases.
2b ® medida do eixo imaginário Quando o cilindro é eqüilátero H
c ® excentricidade R = 2R; neste caso a secção
a meridiana é um quadrado.
relação notável: a² = b² + c² 37 39

10. Elipse Equação da reta, dado um ponto e o coeficiente
B1 angular
r: y - y0 = m(x - x0)
b a
Posição relativa de duas retas
A1 c A2 Se duas retas r e s são paralelas mr = ms.
F1 O F2 Se duas retas r e s são perpendiculares mr = -1
ms
Distância de ponto a reta
B2 Dado o ponto P(x0,y0), e a reta r: ax + by + c = 0:
F1 e F2 ® focos
O ® centro | ax0 + by0 + c |
dpr =
A1A2 ® eixo maior Ö a² + b²
B1B2 ® eixo menor
Equação da circunferência
2c ® distância focal y
2a ® medida do eixo maior (x;y)
R
2b ® medida do eixo menor b (a;b) (x - a)² + (y - b)² = R²
c ® excentricidade x² + y² -2a.x - 2b.y + p = 0
a
relação notável: a² = b² + c²
a x
Equação reduzida
Cálculo do centro e do raio
(x - x0)² (y - y0)² = 1 para o eixo principal x² + y² -2a. x - 2b. y + p = 0
+ paralelo ao eixo x
a² b²
Þ
Þ
para o eixo principal metade
(x - x0)² (y - y0)² = 1 paralelo ao eixo y
b²
+ a² com sinal trocado Þ C(a;b)
36 34 p (termo indenpendente) Þ p = a² + b² - R²
Cone reto Equação reduzida
(x - x0)² (y - y0)² = 1 para o eixo real
a²
- b² paralelo ao eixo x
1 . p . R2 . H para o eixo real
g H g V= (y - y0)² (x - x0)² = 1
3 - paralelo ao eixo y
a² b²
SL= p . R . g
R Propriedade do lugar geométrico
ST = pR (R + g) A diferença da distância de qualquer ponto da hipérbole
aos focos F1 e F2 é constante e igual ao segmento A1A2.
Secção meridiana PF1 + PF2 = 2a
É o triângulo resultante da
intersecção do cone com um
g plano que contém o vértice do
cone e o centro da base.
Obs.: o cone eqüilátero é
R aquele em que g = 2R; neste
caso a secção meridiana é um
triângulo eqüilátero.
q q = 2pR rad ou q = 360R graus
g
g
g
2pR
40 38

11. Paralelepípedo retângulo Geometria Plana
É um prisma de seis faces, todas retangulares. Ângulo
Tipos de ângulos
D c
Ângulo reto = 90º
b Ângulo agudo = entre 0º e 90º
a Ângulo obtuso = entre 90º e 180º
Ângulo raso = 180º
V = a . b. c Ângulo complementares = soma = 90º
S = 2 . (ab + ac + bc) Ângulos suplementares = soma = 180º
D = Öa2 + b2 + c 2
Polígonos
Cubo
Soma dos ângulos internos:
Si = (n - 2) . 180º
V = a³
Soma dos ângulos externos (p/ convexos):
d a S = 6 . a²
Se = 360º
D = aÖ3
Número de diagonais:
c D = n . (n - 3)
2
Pirâmide Polígonos regulares
Base: em forma de polígono. 1 .B .H - Todos os lados de mesma medida e
Faces laterais: são triângulares. V= - Todos os ângulos internos iguais.
3
Obs.: Pirâmide regular: a base é um polígno Triângulos
regular; as faces laterais são triângulos isósceles. São os polígonos de 3 lados
41 43
Quadriláteros Teorema da bissetriz interna
aa
x= y
a b a b
paralelogramo x y
losango
Semelhança de triângulos
Retângulo 4 ângulos retos
Losango 4 lados iguais A
M
Quadrado 4 ângulos retos e 4 lados iguais
c b z y
H h
Trapézios b b a
a N P
Um par de lados paralelos, chamados de bases; os B a C x
outros dois lados não sao paralelos.
^ ^
B=N=b
Trapézio isósceles: lados não paralelos são iguais; os ^ ^
C=P=a }
Þ DABC ~ DMNP Þ
ângulos adjacentes das bases são iguais.
Trapézio retângulo: tem dois ângulos retângulos Þ a = b = c =k Þ per(DABC) = k
Trapézio escaleno: os lados não paralelos são x y z per(DMNP)
desiguais.
H =k área(DABC) = k2
Quadrilátero inscritível h área(DMNP)
Se e somente se os ângulos opostos somam 180º.
Aplicações
Quadrilátero circunscritível A
Se e somente se a soma de dois lados opostos é igual à Sendo M e N pontos médios:
soma dos outros dois lados.
45 B
M N
C
Þ
{
MN // BC
MN = BC
2
47

12. Propriedades angulares Tetraedro regular
Soma dos ângulos internos = 180º É uma pirâmide de base triângular regular; todas as
Soma dos ângulos externos = 360º quatro faces são triângulos eqüiláteros.
Teorema do ângulo externo: “Cada ângulo externo é
igual à soma dos dois internos não adjacentes.”
Segmentos notáveis a
H a a² . Ö3
altura - ângulo de 90º em relação a base, unindo ao B= 4
ângulo oposto.
bissetriz - divide o ângulo em duas partes.
mediatriz - perpendicular ao meio do segmento. a a
mediana - une o ponto médio ao ângulo oposto. a . Ö6
H= 3
Pontos notáveis
Ortocentro Intersecção das alturas
Incentro Intersecção das bissetrizes a² . Ö2
V = 12
Circuncentro Interceção das mediatrizes
Baricentro Intersecção da medianas
Classificação
Eqüilátero 3 lados iguais: 3 ângulos de 60º
Isósceles 2 lados iguais, ângulos da base com
medidas iguais.
Escaleno lados todos diferentes
Retângulo 1 ângulo reto
Acutângulo 3 ângulos agudos
Obtusângulo 1 ângulo obtuso, 2 agudos.
44 42
Tangências
D C
Retas e circunferências
M N - São tangentes quando tem um único ponto em comum.
- O raio traçado no ponto de tangência é perpendicular à
B reta tangente.
A - De um ponto externo a uma circunferência é possível
ABCD: Trapézio M e N: pontos médios. traçar duas tangentes de comprimentos iguais: PT1 = PT2
- O centro da circunferência tangente aos lados de um
MN = AB + CD (base média) ângulo se encontra na bissetriz desse ângulo.
2 T1
Propriedades do baricentro do triângulo bissetriz P
A tangente
P G N
C
{
AG = 2GM
BG = 2GN
CG = 2GP Circunferências tangentes
T2
- São tangentes quando têm um único ponto comum.
B M
- O ponto de tangência e os dois centros sempre estão
Relações Métricas em Triângulos Retângulos sobre a mesma reta.
ah = bc
c b h² = mn
h b² = am
n m c² = an Teorema de Tales
a
r a = x
a x
r // s b y
b y
s
48 46

13. Áreas das figuras planas
Área dos polígonos
Quadrado Retângulo Paralelogramo
A=l.l A=b.h h A=b.h h
l b b
Triângulos
2
A =b 2 h
. l l A = l . Ö3
h 4
b l
Losango Trapézio
b
d
D D.d A = (B +2b). h
A= 2 h
B
Área do círculo e suas partes
R
R R r
R a
2
A = p . R2 A = pR . a A = p (R2 - r2)
360
nota: C = 2 . p . R
49
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