interés compuesto

1. Especialización en Gerencia de Proyectos
Curso Finanzas del Proyecto
Unidad Interés Compuesto
Carlos Mario Morales C - 2019©

2. Operaciones Financieras
 De Corto plazo o largo plazo
 Régimen de interés compuesto
 De pago único
 De capitalización

3.  Operaciones bajo régimen de interés compuesto
 Tasas de interés
 Ecuación de valor (Equivalencia)
 Depósitos a termino fijo
 Inflación y devaluación
 Tasas deflactadas
 Tasas referenciadas
 Aceptaciones bancarias y financieras
Agenda

4. Interés Compuesto
En general las operaciones financieras de largo plazo
(más de un año) se realizan utilizando la ley financiera
de interés compuesto
Bajo esta régimen cada vez que se liquidan los
intereses, éstos se acumulan al capital para formar un
nuevo capital, sobre el cual se vuelven a liquidar los
intereses.

5. Flujo de Caja Interés Compuesto
Representación gráfica de la operación financiera bajo el régimen de
compuesto, largo plazo, pago único y de capitalización
Duración largo Plazo (años)
Ingresos
Contraprestación
Egresos
Prestación𝑽𝑷
𝑽𝑭
𝒊, I
𝒏
Variables
𝑽𝑷 Capital, Valor presente
𝑽𝑭 Capital, Valor futuro
𝒊 Tasa de Interés
𝒏 Duración, periodos
𝑰 Interés

6. Diferencias entre Interés Simple y Compuesto
Crédito: $1´000.000
Tasa de interés: 10% anual
Duración: 5 años
Número de periodos: 5 años

7. Diferencias entre Interés Simple y Compuesto
Cuota Interes Amortización Saldo
0 -$ -$ -$ 1.000.000$
1 -$ 100.000$ -$ 1.100.000$
2 -$ 100.000$ -$ 1.200.000$
3 -$ 100.000$ -$ 1.300.000$
5 1.400.000$ 100.000$ 1.400.000$ 1.400.000$
Periodo Cuota Interes Amortización Saldo
0 -$ -$ -$ 1.000.000$
1 -$ 100.000$ -$ 1.100.000$
2 -$ 110.000$ -$ 1.210.000$
3 -$ 121.000$ -$ 1.331.000$
5 1.464.100$ 133.100$ 1.464.100$ 1.464.100$
Interés compuesto
Interés simple

8. Periodo Capital Inicial Interés Capital Final
1 𝑉𝑃 𝑉𝑃𝑖 𝑉𝐹1 = 𝑉𝑃 + 𝑉𝑃𝑖 = 𝑉𝑃(1 + 𝑖)
2 𝑉𝑃(1 + 𝑖) 𝑉𝑃 1 + 𝑖 𝑖 𝑉𝐹2 = 𝑉𝑃 1 + 𝑖 𝑉𝑃 1 + 𝑖 𝑖
= 𝑉𝑃(1 + 𝑖)2
3 𝑉𝑃(1 + 𝑖)2 𝑉𝑃(1 + 𝑖)2
𝑖 𝑉𝐹3 = 𝑉𝑃(1 + 𝑖)2 𝑉𝑃(1 + 𝑖)2 𝑖
= 𝑉𝑃(1 + 𝑖)3
…. ….. ….. …….
n 𝑉𝑃(1 + 𝑖) 𝑛−1 𝑉𝑃(1 + 𝑖) 𝑛−1
𝑖 𝑉𝐹𝑛 = 𝑉𝑃(1 + 𝑖) 𝑛
Interés Compuesto
Modelos Matemáticos

9. La formula básica del interés compuesto, relaciona el valor
futuro (𝑉𝐹), con el capital inicial (𝑉𝑃), la tasa de Interés
(𝑖) y el número de periodos (𝑛)
𝑉𝐹 = 𝑉𝑃(1 + 𝑖) 𝑛
𝑉𝑃 =
𝑉𝐹
(1+𝑖) 𝑛
Valor Futuro (VF)

10. El Valor Presente se puede calcular utilizando la siguiente
formula, cuando se tiene el valor futuro (𝑉𝐹), la tasa de
Interés (𝑖) y el número de periodos 𝑛
𝑉𝑃 =
𝑉𝐹
(1+𝑖) 𝑛
Valor Presente (VP)

11. El Interés se calcula como la diferencia entre el Valor
Futuro (𝑉𝐹) y el Valor Presente (𝑉𝑃)
𝐼 = 𝑉𝐹 − 𝑉𝑃
Interés (I)

12. Dados el valor presente y futuro y el número de periodos de
conversión se puede determinar la tasa de interés a partir de la
formula, despejando i.
𝑛 𝑉𝐹
𝑉𝑃
− 1 = 𝑖
Tasa de interés (i)

13. Dados el valor presente y futuro y el número de periodos de
conversión se puede determinar la tasa de interés a partir
de la formula, despejando i.
log
𝑉𝑓
𝑉𝑝
log(1 + 𝑖)
= 𝑛
Periodos de tiempo (n)

14. Tasas de Interés

15. Es una tasa de interés de referencia anual, la cual indica el valor porcentual que se cobra
por un año, además indica el número de veces que se liquidan los intereses durante el
año.
Denominación: se representa por la letra j
Nombramiento: se indica en mayúsculas el tipo de tasa de Interés, el periodo de
liquidación y la aplicación (vencida o anticipada). También se puede nombrar con el tipo
de tasa seguido, separado por una raya, por el periodo de liquidación; en caso que se
trate de un interés anticipado adicionalmente se coloca la letra “a” minúscula.
Ejemplos:
j = X% NMV o N-m (Nominal mes vencido)
j = X% NTA o N-ta (Nominal trimestre anticipado)
j = X% NSV o N-s (Nominal semestre vencido)
Tasa Nominal

16. La tasa efectiva, a diferencia de la tasa nominal, señala la tasa de interés que
efectivamente se está pagando por un capital, para los periodos de conversión
pactados; es decir, la tasa del periodo (𝑛), la denominamos tasa efectiva
Denominación: se representa por la letra 𝑖.
Nombramiento: se indica en mayúsculas el tipo de tasa de Interés, seguido por el
periodo de liquidación.
Ejemplos
𝑖 = X% EM (Efectivo mensual, en este caso “𝑛” son meses)
𝑖 = X% ET (Efectivo trimestral, en este caso “𝑛” son trimestres)
𝑖 = X% ESA (Efectivo semestral anticipado, en este caso “𝑛” son semestres)
Tasas efectivas

17. La tasa Nominal (j) es igual a la efectiva (i) multiplicada por el
número de periodos (m) de capitalización que hay en un año. Por su
parte, la tasa efectiva (i) es igual a la tasa nominal (j) dividida por
número de periodos de capitalización por año.
𝑗 = 𝑖 × 𝑚
𝑖 =
𝑗
𝑚
Relación entre la Tasa Efectiva y Nominal

18. Dos o más tasas efectivas de interés son equivalentes, si con diferente
periodicidad para un capital determinado producen el mismo interés efectivo
al final de cualquier periodo.
Modelo Matemático
𝑖2 tasa efectiva desconocida
𝑖1 tasa efectiva conocida
𝑛1 Periodo de capitalización de la tasa conocida
𝑛2 Periodo de capitalización de la tasa desconocida
𝑖2 = 1 + 𝑖1
𝑛1
𝑛2 − 1
Equivalencia entre tasas de interés efectivas

19. En contraste con el interés 𝑖 (vencido), el interés anticipado se denomina 𝑖 𝑎.
Cuando no hay una referencia específica, se supone que la tasa de interés
será siempre vencida
Modelo matemático 𝑖 =
𝑖 𝑎
1 − 𝑖 𝑎
Despejando 𝑖 𝑎 en función de 𝑖 entonces se obtiene:
Modelo matemático
𝑖 𝑎 =
𝑖
1 + 𝑖
Equivalencia entre tasas efectivas anticipadas y vencidas

20. Conversión entre tasa de Interés
Existen innumerables situaciones de la vida cotidiana donde se hace necesario convertir
la tasa de interés dada a otra denominación con el fin de poder comparar para la toma de
decisiones o simplemente realizar cálculos.
Se pueden tener varias posibilidades, pasar de:
1. Una tasa nominal a otra
2. Nominal a Efectiva vencida
3. Nominal a efectiva anticipada
4. Efectiva vencida a Nominal
5. Efectiva anticipada a Nominal
6. Efectiva a efectiva
7. Efectiva vencida a efectiva anticipada
8. Efectiva anticipada a efectiva vencida

21. Conversión entre tasas de Interés
Utilizando los modelos matemáticos vistos previamente se puede convertir cualquier tasa
a cualquier base siguiendo los pasos que se ilustran en las siguientes graficas:
j1
i1 i2
j2
1
2 3
4
𝑖2 = 1 + 𝑖1
𝑛1
𝑛2 − 1

22. Conversión entre tasa de Interés
j11
2 3
4
i1
i2
j2
i1aj1a i2a
j2a
5 6 7 8𝑖2 = 1 + 𝑖1
𝑛1
𝑛2 − 1
𝑖1𝑎 =
𝑗1𝑎
𝑚
𝑗2𝑎 = 𝑖2𝑎 × 𝑚

23. Cuando se combina una tasa i1 y una tasa i2, se puede determinar una tasa combinada que reúne ambas tasa de
interés. A continuación se deduce la formula del interés combinado: Para un peso sometido a una tasa de interés i1,
durante un periodo, el valor final será:
1 + 𝑖1
Si este valor resultante se somete a una tasa de interés i2, también durante de un periodo, el valor final será:
1 + 𝑖1 × 1 + 𝑖2
El monto final, aplicando una tasa de interés combinada, durante un periodo, se tiene:
1 + 𝑖 𝑐
Igualando las dos expresiones anteriores, se tiene:
1 + 𝑖 𝑐 = 1 + 𝑖1 × 1 + 𝑖2
Al despejar 𝑖 𝑐, se obtiene:
𝑖 𝑐 = 𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖1 × 𝑖2
Tasas combinadas

24. Ecuaciones de valor

25. Considerando el concepto de equivalencia entre valores financieros de
una operación financiera; es posible igualar los valores de la operación
en una fecha determinada, la cual se denomina fecha focal (ff).
Fecha Focal: es una fecha cualquiera en la cual se puede afirmar que la
sumatoria de los ingresos es igual a la sumatoria de egresos de la
operación financiera.
Principio Fundamental: se establece que para toda operación financiera
la sumatoria de los Ingresos debe ser igual a la sumatoria de los egresos
en la fecha focal; o lo que es igual la suma de las obligaciones igual a la
suma de los pagos
Ecuaciones de Valor

26. ∑ Ingresos = ∑ Ingresos (en ff)
∑ Obligaciones = ∑ Pagos (en ff)
Ecuaciones de Valor
Ingresos
Egresos
Fecha Focal
ff

27. Depósitos a termino fijo (CDT)

28. Los intermediarios financiero son personas jurídicas que tiene por función captar el
ahorro del público y prestarlo a otras personas que lo requieren para la inversión o
el consumo a una tasa de interés mayor.
La tasa de interés a la cual un intermediario capta recursos se denomina tasa de
captación y a la cual presta el dinero se le denomina tasa de colocación. La
diferencia de estas dos tasas se denomina margen de intermediación
Los CDT (Certificados de Depósito) son uno de los muchos productos con los que
cuenta el sector financiero para captar el ahorro del publico. En los depósitos a
término fijo es necesario considerar que la ganancia obtenida por concepto de
intereses es gravada con un impuesto que se cobra al momento de la liquidación,
denominado retención en la fuente
Depósitos a termino fijo

29. DTF: se define como el promedio ponderado semanal de las
tasas de captación de los certificados de depósito a 90 días
pagando los intereses por anticipado; en los bancos,
corporaciones financieras, compañías de financiamiento y
corporaciones de ahorro y vivienda.
TCC: es el promedio ponderado de las tasas de captación de
los certificados a 90 días solo en las corporaciones financieras
CDAT: depósitos a término fijo de menos de un mes
Depósitos a termino fijo

30. Inflación (f) y Devaluación (Dv)

31. La inflación es el fenómeno económico que representa el alza
general de los precios de una economía; por su parte, cuando se
presenta una baja generalizada de precios el fenómeno se
denomina deflación. La inflación se simboliza con la letra “𝑓”; la
deflación estará representada por inflación negativa “ − 𝑓”
La devaluación (𝐷𝑣) es la perdida de valor de una moneda
frente a otra. Por ejemplo, hay devaluación del peso frente al
dólar cuando hoy hay que pagar $1.800 pesos por un dólar y un
tiempo más tarde su valor es $1.900 pesos
Inflación y Devaluación

32. La inflación se calcula con base en los aumentos de los productos de la
canasta familiar, la cual es un conjunto de artículos previamente
seleccionados que representan la totalidad de los productos de consumo.
Todos los cambios de la canasta familiar se miden a través del IPC –Índice
de Precios al Consumidor-
En el sector empresarial la canasta familiar en vez de bienes de consumo
incluye materias primas, salarios, servicios y demás materiales e insumos
necesarios para la producción, en este caso la inflación de los productos se
mide de acuerdo a las variaciones del IPP –Índice de precios al productor-
el cual varía de acuerdo sector económico.
La inflación se mide como una tasa efectiva anual
Inflación y Devaluación

33. La devaluación es la perdida de valor de una moneda frente a otra. Por ejemplo, hay
devaluación del peso frente al dólar cuando hay que pagar $1.800 pesos por un dólar y
un tiempo más tarde hay que pagar $1.900 pesos por el mismo dólar; para calcular la
devaluación se procede como sigue:
𝐷𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 =
1.900 − 1.800
1.800
= 0,0555 = 5,55%
En este caso, se dice que hubo una devaluación del 5,5% del peso con respecto al dólar
En general la 𝐷𝑣 se calcula como:
𝐷𝑣 =
𝑇𝐶𝑓 − 𝑇𝐶𝑖
𝑇𝐶𝑖
= 𝐷𝑣%
Inflación y Devaluación

34. Tasa Deflactadas

35. En los proyectos de inversión la rentabilidad real se ve afectada por la
inflación. para calcular la rentabilidad real se puede hacer uso de la
formula de tasas combinadas, considerando que la tasa combinada se
compone de la tasa real y la tasa causada por la inflación
𝑖 = 𝑖 𝑟 + 𝑓 + 𝑖 𝑟 × 𝑓
Despejando 𝑖 𝑟, se obtiene:
𝑖 𝑟 =
𝑖 − 𝑓
1 + 𝑓
𝑖 𝑟 se conoce como tasa deflactada
Tasas deflactadas

36. Tasa de referencia

37. Muchos de los créditos que se adquieren en el sector financiero
comúnmente se pactan a una tasa de interés principal más unos puntos
adicionales; a estos puntos adicionales se les denomina “SPREAD”.
Cuando la tasa de interés principal esta dada por una tasa efectiva, para
calcular la tasa pactada, es decir la principal más el SPREAD, se utiliza la
formula de tasas combinadas; por su parte, cuando la tasa principal se
expresa como un interés nominal, entonces simplemente se suman la tasa
principal y el SPREAD.
En general la inflación se expresa como una tasa efectiva anual, el DTF y el
TCC como un interés nominal
Tasas Referenciadas

38. Aceptaciones bancarias

39. Son letras de cambio, respaldadas por
una entidad financiera, con cargo a un
proveedor de bienes; a través de ellas la
entidad asegura el pago al momento del
vencimiento. En general, su plazo es
menor a un año; no son divisibles y no
son gravables en el mercado primario.
Las Aceptaciones reciben el nombre de
bancarias cuando son respaldadas por
los bancos, y financieras cuando su
respaldo proviene de otras entidades
financieras
Aceptaciones bancarias y financieras
Banco /Entidad
Expide aceptacion a
solicitud de un
Comerciante
Comerciante
recibe la aceptación
del Banco
Proveedor
recibe aceptacion del
comerciante como
respaldo a una compra
OTC
mercado extrabursatil;
donde se puede
descontar Aceptación
Bolsa
Mercado Bursatil donde
se puede descontar la
aceptacion