Séries fourier cap_6 Funções Contínuas por Partes

1. Fabiano J. Santos
30
6.1. Funções Contínuas por Partes
Neste capítulo faremos algumas pequenas observações sobre a teoria das Séries de Fourier.
Uma função periódica RRf : pode ser representada por uma Série de Fourier desde que
satisfaça as condições de Dirichlet:
i) f deve possuir um número finito de descontinuidades num período;
ii) f deve possuir um número finito de máximos e mínimos num período;
iii) f deve ser absolutamente integrável num período, ou seja, 

finitadttf
L
L
|)(| .
Uma função que satisfaz as condições (i) e (ii) acima é dita contínua por partes. Tal tipo de
função ocorre com bastante freqüência em problemas de Engenharia, e sendo assim investigaremos
agora com mais detalhes suas características.
Definição: uma função f se diz contínua por partes em um intervalo bta  se este intervalo
pode ser particionado por um número finito de pontos bttttta nii   ...... 110 de modo
que:
i) f seja contínua em cada subintervalo aberto 1 ii ttt ( 1...0  ni );
ii) em cada subintervalo, quando t tender à qualquer dos dois extremos, f tende a um
limite finito.
Em outras palavras, f será contínua por partes em um intervalo bxa  se for contínua
em todo este intervalo, com exceção em um número finito de pontos, onde apresenta
descontinuidades de salto (também chamados descontinuidades de primeira espécie). O gráfico a
seguir ilustra uma função contínua por partes no intervalo bta 

2. Capítulo 06
31
Observe que f atende aos dois requisitos estabelecidos na definição, uma vez que:
i) f é contínua em cada subintervalo aberto: f , 21 ttt  e 32 ttt  e que o
número de subintervalos é finito;
ii) em cada subintervalo quando t tende à qualquer um dos extremos, f tende a um valor
finito.
Observação importante: a definição anterior não faz nenhuma referência ao valor da função
nos pontos de descontinuidade, podendo a função nem mesmo ser definida em tais pontos (veja o
ponto 2t no gráfico anterior).
6.2. O Teorema de Fourier
Enunciaremos agora o Teorema de Fourier, que enuncia as hipóteses necessárias para que
uma dada função tenha uma representação em Série de Fourier. Para simplificar a notação do
Teorema, denotaremos os limites laterais à direita e à esquerda da seguinte forma
limite de f quando t tende a c pela direita: )(
)(lim

 
cf
ct
tf
e
limite de )(
)(lim


cf
ct
tf
quando t tende a c pela esquerda )(
)(lim

 
cf
ct
tf
.
Teorema: se f e 'f são contínuas por partes no intervalo LxL  e )2()( Ltftf 
(periódica com período LT 2 ), então f possui uma representação em Série de Fourier da forma
















1
0 sencos)(
n
nn
L
tn
b
L
tn
aatf

, (1)
cujos coeficientes são dados por



L
L
dttf
L
a )(
2
1
0 , 








L
L
n dt
L
tn
tf
L
a

cos)(
1
, 








L
L
n dt
L
tn
tf
L
b

sen)(
1
(2)
e converge para
2
)()(  tftf
para todo t .

3. Fabiano J. Santos
32
Pelo Teorema, nos pontos de descontinuidade (salto), f converge para a média aritmética
dos limites laterais à esquerda e à direita (motivo pelo qual os limites laterais não podem ser
infinitos). Por outro lado, nos pontos onde f é contínua temos que )()()( tftftf  , logo a
série converge para o próprio valor da função.
A demonstração deste Teorema está além dos objetivos deste texto1
. Para uma melhor
compreensão de seu significado consideramos aqui algumas classes de funções que não satisfazem
as condições impostas
i) funções tais como
t
1 e )(ttg , que apresentam descontinuidades infinitas (de segunda
espécies) quando 0t e
2
)12( 

n
t respectivamente;
ii) funções que apresentam um número infinito de descontinuidades de salto, como por
exemplo a função




irracionalétse
racionalétse
tf
,1
,0
)( . Tais funções são raras e bizarras e quase
impossíveis de serem encontradas em situações práticas.
6.3. Fenômeno de Gibbs
Para finalizar o assunto consideremos um último exemplo, no qual ressaltaremos o
Fenômeno de Gibbs, que ocorrem nas representações em Séries de Fourier.
Exemplo 01: encontre a representação em Série de Fourier para a função








t
t
tf
0,1
0,3
)( e
)2()(  tftf .
Solução: inicialmente observamos que a função é periódica de período 2 . Note que não foi feita
qualquer referência sobre o valor da função nos pontos de salto nt  ( Zn ). Deixaremos esta
questão em aberto por um momento. Graficamente temos
1
Para uma demonstração veja "Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais" – Djairo Guedes de Figueiredo –
Editora IMPA (Instituto de Matemática Pura e Aplicada) – Capítulo 03. Trata-se de uma demonstração longa, com
vários lemas e teoremas preliminares.

4. Capítulo 06
33
Procedendo naturalmente, observamos que o intervalo de definição da função pode ser
subdivido em dois subintervalos:
i) em 0 t temos que 3)( tf e 0)(' tf , logo f e 'f são contínuas neste
subintervalo. Além disto os limites laterais neste intervalo são finitos pois quando t temos
que 3f e quando  0t temos que 3f ;
ii) em  t0 , onde 1)( tf e 0)(' tf , logo f e 'f são contínuas neste
subintervalo. Além disto os limites laterais neste intervalo são finitos pois quando  0t temos
que 1f e quando t temos que 1f .
Desta forma, f satisfaz as hipóteses do Teorema e possui uma representação em Série de
Fourier. Passemos ao cálculo dos coeficientes.
213
2
1
)(
2
1
)(
2
1
0
0
0 








 






dtdtdttfdttf
L
a
L
L
;
      0cos1cos3
1
cos)(
1
cos)(
1
0
0















 







dtntdtntdtnttfdt
L
tn
tf
L
a
L
L
n ;
     )cos(1
2
sen1sen3
1
sen)(
1
0
0





n
n
dtntdtntdt
L
tn
tf
L
b
L
L
n 














 

.
Assim, temos que






ímparén
n
parén
bn ,
4
,0

e a Série de Fourier para a função fica
        ...7sen
7
4
5sen
5
4
3sen
3
4
sen
4
2)(  tttttf

,
(5a)
ou
         












1
12
)12(sen4
2...7sen
7
1
5sen
5
1
3sen
3
1
sen
4
2)(
k
k
xk
tttttf

.
(5b)
O gráfico a seguir ilustra as somas parciais 0S (com apenas 1 termo constante), 1S (com
2 termos) e 4S (com 5 termos):

5. Fabiano J. Santos
34
.
Podemos agora analisar o que acontece nos pontos de salto nt  ( Zn ). Inicialmente
observemos que para estes valores a Série obtida em (5) nos dá 2)( tf (os senos de múltiplos
inteiros de  se anulam), que é exatamente a média aritmética dos limites laterais. Assim, se
defirmos o valor da função como sendo 2 nestes pontos, a série de Fourier converge para f para
todo t . Por outro lado, se 2)( tf para tais pontos, a Série de Fourier converge para f para todo
t , exceto nestes pontos de salto.
De qualquer forma, independentemente dos valores de f nos pontos de salto, a Série de
Fourier é exatamente a dada em (5), uma vez que os cálculos dos coeficientes nn baa ,,0 não se
modificam. O gráfico a seguir ilustra a soma parcial 19S (com 20 termos)
.

6. Capítulo 06
35
Observamos que nos pontos de salto a Série não converge regularmente para o valor médio,
que vale 2. Ao invés disto, surgem oscilações em torno de cada extremo, como se a Série tentasse se
adaptar ao salto abrupto de f nestes pontos. Este fenômeno é típico de Séries de Fourier nos
pontos de descontinuidade da função e é conhecido como fenômeno de Gibbs2
.
Problemas
1. Nos exemplos 01, 02 e 03 do Capítulo 03 as séries de Fourier encontradas convergem para as
funções dadas em todos os pontos? Explique. Quais as modificações necessárias nas definições
destas funções para que isto ocorra?
2. Dada a função








tt
t
tf
0,
0,0
)( ,
a) verifique cuidadosamente que ela é contínua por partes;
b) determine sua representação em Série de Fourier;
c) qual deve ser o valor da função nos pontos de salto para que a Série encontrada convirja em todos
os pontos.
3. Esboce o gráfico e determine se as funções a seguir são ou não contínuas por partes. Caso não
sejam explique o motivo.
a)






 )()4(,
21,1
12,1
)( tftf
t
t
tf ; b)









 )()2(,
10,
1
1
01,
1
1
)( tftf
t
t
t
ttf ;
c)









 )()4(,
21,1
11,0
12,1
)( tftf
t
t
t
tf ;
2
Josiah Willird Gibbs (1839-1903). Para uma discussão mais detalhada do Fenômeno de Gibbs (e também sobre
convergência da Série de Fourier) veja "Análise de Fourier" – Hwei P. Hsu – Livros Técnicos e Científicos Editora
Ltda – Apêndice A.

7. Fabiano J. Santos
36
d) )()1(,
...,3,2,1,
12
1
2
1
,0
...,3,2,1,
2
1
12
1
,1
)( tftf
n
n
t
n
n
n
t
ntf 









 .