Investigación de Operaciones II

INSTITUTO TECNOLÓGICO
SUPERIOR DE PÁNUCO

CATEDRÁTICO:
ING. ARGIA LILI PAZ MOLINA.

ASIGNATURA:
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II.

PRESENTA:
JESÚS ABUNDIS MANZANARES.

CARRERA:
LICENCIATURA EN INFORMATICA.

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL

INDICE
UNIDAD 1 ................................................................................................................................................. 6
INVENTARIOS ......................................................................................................................................... 6
1.-INTRODUCCIÓN. ............................................................................................................................... 7
1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE
INVENTARIOS......................................................................................................................................... 8
SISTEMAS DE INVENTARIOS. ........................................................................................................ 8
MODELO DE INVENTARIO SIN DÉFICIT .................................................................................... 10
FUNDAMENTOS ............................................................................................................................... 10
ANÁLISIS DE ECUACIONES.......................................................................................................... 12
MODELO DE INVENTARIO CON DÉFICIT .................................................................................. 15
ANÁLISIS DE ECUACIONES .......................................................................................................... 16
MODELO DE PRODUCCIÓN SIN DÉFICIT ................................................................................. 19
MODELO DE PRODUCCIÓN CON DÉFICIT ............................................................................... 21
MODELO DE DESCUENTO EN TODAS LAS UNIDADES ........................................................ 24
MODELO CON DESCUENTO INCREMENTALES ..................................................................... 31
1.3 COSTOS DE INVENTARIOS ....................................................................................................... 37
COSTOS DE ALMACENAMIENTO................................................................................................ 40
COSTOS DIRECTOS DE ALMACENAJE ..................................................................................... 41
CALCULO DE LA TASA ANUAL ―AD-VALOREM ― ..................................................................... 42
COSTOS DE LANZAMIENTO DEL PEDIDO. .............................................................................. 45
COSTOS DE ADQUISICION ........................................................................................................... 45
COSTOS DE RUPTURA DE STOCK ............................................................................................ 46
1.4 MODELOS DETERMINÍSTICOS ................................................................................................. 47
MODELO DE INVENTARIO GENERAL ........................................................................................ 47
1.5 PLANEACIÓN DE REQUERIMIENTOS DE MATERIALES. ................................................... 49
UNIDAD 2 ............................................................................................................................................... 51
LI. Jesús Abundis Manzanares |

2

GLOBAL

LÍNEAS DE ESPERA............................................................................................................................ 51
INTRODUCCION................................................................................................................................... 52
ORIGEN. ............................................................................................................................................. 53
2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA. .............................................................. 56
USO DE LAS TASAS DE LLEGADA Y DE SERVICIO ............................................................... 57
APLICACIONES DE LA TEORIA DE LINEAS DE ESPERA. ..................................................... 59
TIEMPOS UNIFORMES DE LLEGABA Y DE SERVICIO. ......................................................... 62
TEORIA DE LINEAS DE ESPERA DE UN SOLO CANAL. ........................................................ 64
2.3 MODELO CON REABASTECIMIENTO INSTANTANEO. ................................................... 65
2.3 TEOREMA DE LITTLE............................................................................................................... 68
2.4 PATRONES DE LLEGADAS Y DE SERVICIO.......................................................................... 70
2.5 SOLUCION ANALITICA LINEAS DE ESPERA. ........................................................................ 78
USO DE LAS TASAS DE LLEGADA Y DE SERVICIO ............................................................... 78
APLICACIONES DE LA TEORIA DE LINEAS DE ESPERA ..................................................................... 79
TIEMPOS UNIFORMES DE LLEGABA Y DE SERVICIO. ......................................................... 82
TEORIA DE LINEAS DE ESPERA DE UN SOLO CANAL. ........................................................ 83
PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE (MODELOS DE POISSON).................................. 84
PROCESO DE NACIMIENTO PURO Y MUERTE PURA. ......................................................... 84
MODELO DE NACIMIENTO PURO. .............................................................................................. 84
MODELO DE MUERTE PURA........................................................................................................ 86
UNA COLA, UN SERVIDOR Y POBLACIÓN FINITA. ................................................................ 89
UNA COLA-SERVIDORES MULTIPLES EN PARALELO-POBLACION INFINITA. .............. 96
UNIDAD 3 ............................................................................................................................................. 109
SIMULACIÓN ....................................................................................................................................... 109
3.1 INTRODUCCIÓN. ......................................................................................................................... 110
3.2 PROCEDIMIENTO DE SIMULACION. ...................................................................................... 112

3

GLOBAL

Descripción del procedimiento empleado en las simulaciones. ............................................... 112
3.3 LOS NUMEROS ALEATORIOS Y EL MUESTREO DE VARIABLES ALEATORIAS. ...... 115
NÚMERO ALEATORIO. ................................................................................................................. 115
3.4 SIMULACION DE INVENTARIOS. ............................................................................................ 116
3.5 SIMULACION DE SISTEMAS CON LINEAS DE ESPERA. .................................................. 117
3.6 VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA SIMULACION. ........................................................... 130
VENTAJAS: ...................................................................................................................................... 130
DESVENTAJAS: .............................................................................................................................. 131
UNIDAD 4 ............................................................................................................................................. 132
TEORÍA DE JUEGOS ......................................................................................................................... 132
4. INTRODUCCION ........................................................................................................................... 133
4.2 JUEGOS DE SUMA CERO ......................................................................................................... 135
4.3 JUEGOS DE SUMA DISTINTA A CERO .................................................................................. 136
HISTORIA: ........................................................................................................................................ 137
HISTORIA DE LA TEORÍA DE JUEGOS. ................................................................................... 138
APLICACIONES. ............................................................................................................................. 140
UNIDAD 5 ............................................................................................................................................. 144
CADENAS DE MARKOV ................................................................................................................... 144
5.- INTRODUCCION. .......................................................................................................................... 145
PROBABILIDADES DE TRANSICIÓN. ....................................................................................... 148
5.2 EL DIAGRAMA DE ESTADOS Y LA MATRIZ DE TRANSICION ......................................... 161
DIAGRAMAS DE ESTADO ............................................................................................................ 161
5.3 CALCULO DE PROBABILIDADES DE TRANSICION Y DE ESTADO ESTABLE. ........................................ 168
RESULTADOS................................................................................................................................. 169
UNIDAD 6 ............................................................................................................................................. 170
PROGRAMACIÓN DINAMICA. ......................................................................................................... 170

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GLOBAL

INTRODUCCION............................................................................................................................. 171
10.1 MODELOS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA ................................................................. 172
6.2 FORMULACION DE MODELOS PROGRAMACION DINAMICA ......................................... 172
6.3 METODO HACIA ATRAS ............................................................................................................ 172
ANEXOS ............................................................................................................................................... 173
PROBLEMARIO. ................................................................................................................................. 173
UNIDAD I .............................................................................................................................................. 174
1.-INVENTARIOS. ................................................................................................................................ 174
UNIDAD II ............................................................................................................................................. 202
Líneas de espera. ................................................................................................................................ 202
Documento PDF ................................................................................................................................. 202
UNIDAD III ............................................................................................................................................ 202
Simulación .......................................................................................................................................... 202
Documento PDF ................................................................................................................................. 202
UNIDAD IV............................................................................................................................................ 202
Teoría de Juegos ................................................................................................................................. 202
Documento PDF ................................................................................................................................. 202
UNIDAD V ............................................................................................................................................. 202
Cadenas de Markov ............................................................................................................................ 202
Documento PDF ................................................................................................................................. 202
UNIDAD VI............................................................................................................................................ 202
Programación ..................................................................................................................................... 202
Documento PDF ................................................................................................................................. 202
BIBLIOGRAFIAS. ................................................................................................................................ 203


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GLOBAL

UNIDAD 1
INVENTARIOS


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GLOBAL

1.-INTRODUCCIÓN.
Inventarios son bienes tangibles que se tienen para la venta en el curso ordinario del
negocio o para ser consumidos en la producción de bienes o servicios para su
posterior comercialización.

Los inventarios comprenden, además de las materias primas, productos en proceso y
productos terminados o mercancías para la venta, los materiales, repuestos y
accesorios para ser consumidos en la producción de bienes fabricados para la venta o
en la prestación de servicios; empaques y envases y los inventarios en tránsito.

La base de toda empresa comercial es la compra y venta de bienes o servicios; de
aquí la importancia del manejo del inventario por parte de la misma. T.Q.M.S.L.

Este manejo contable permitirá a la empresa mantener el control oportunamente, así
como también conocer al final del período contable un estado confiable de la situación
económica de la empresa.

Ahora bien, el inventario constituye las partidas del activo corriente que están listas
para la venta, es decir, toda aquella mercancía que posee una empresa en el almacén
valorada al costo de adquisición, para la venta o actividades productivas.

Clases de Inventarios: Inventario de Mercancías: Lo constituyen todos aquellos bienes
que le pertenecen a la empresa bien sea comercial o mercantil, los cuales los
compran para luego venderlos sin ser modificados.


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GLOBAL

En esta Cuenta se mostrarán todas las mercancías disponibles para la Venta. Las que
tengan otras características y estén sujetas a condiciones particulares se deben
mostrar en cuentas separadas, tales como las mercancías en camino (las que han
sido compradas y no recibidas aún), las mercancías dadas en consignación o las
mercancías pignoradas (aquellas que son propiedad de la empresa pero que han sido
dadas a terceros en garantía de valor que ya ha sido recibido en efectivo u otros
bienes).

Inventario de Productos Terminados: Son todos aquellos bienes adquiridos por las
empresas manufactureras o industriales, los cuales son transformados para ser
vendidos como productos elaborados.

1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS
Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS.
SISTEMAS DE INVENTARIOS.
Las empresas mantienen inventarios de materias primas y de productos terminados.
Los inventarios de materias primas sirven como entradas al proceso de producción y
los inventarios de productos terminados sirven para satisfacer la demanda de los
clientes.

Puesto que estos inventarios representan frecuentemente una considerable inversión,
las decisiones con respecto a las cantidades de inventarios son importantes.


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GLOBAL

Los modelos de inventario y la descripción matemática de los sistemas de inventario
constituyen una base para estas decisiones.

Mantener un inventario (existencia de bienes) para su venta o uso futuro es una
práctica común en el mundo de los negocios. Las empresas de venta al menudeo, los
mayoristas, los fabricantes y aún los bancos de sangre por lo general almacenan
bienes o artículos. ¿Cómo decide una instalación de este tipo sobre su ―política de
inventarios‖, es decir, cuándo y cómo se reabastece.

En una empresa pequeña, el administrador puede llevar un recuento de su inventario
y tomar estas decisiones. Sin embargo, como esto puede no ser factible incluso en
empresas chicas, muchas compañías han ahorrado grandes sumas de dinero al
aplicar la ―administración científica del inventario‖. En particular, ellos.

1. Formulan un modelo matemático que describe el comportamiento del sistema de
inventarios.
2. Derivan una política óptima de inventarios con respecto a este modelo.
3. Con frecuencia, utilizan una computadora para mantener un registro de los niveles
de inventario y señalar cuándo conviene reabastecer.

LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y
DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS.

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GLOBAL

MODELO DE INVENTARIO SIN DÉFICIT

FUNDAMENTOS
Este modelo tiene como bases el mantener un inventario sin falta de productos para
desarrollar las actividades de cualquier empresa.

Este es un modelo de inventarios que se encuentra basado en las siguientes
suposiciones:
La demanda se efectúa a tasa constante.

El reemplazo es instantáneo (la tasa se reemplazo es infinita).

Todos los coeficientes de costos son constantes.

En este modelo no se permite la falta de productos para la venta, es decir, una
empresa que maneje este modelo de inventario no se puede quedar sin mercancías
para la venta.

En la siguiente figura se ilustra esquemáticamente este modelo.
Símbolos.
Q = Cantidad optima a pedir.
Im = Inventario Máximo.
t = Periodo entre pedidos.
T = Periodo de Planeación.


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GLOBAL

En este modelo se representan iguales el inventario máximo y la cantidad económica
pedida.

Cabe mencionar que esto no siempre es verdadero.
El costo total para un periodo en este modelo esta conformado por tres componentes
de costo:

Costo unitario del producto (C1)
Costo de ordenar una compra (C2)
Costo de mantener un producto en almacén (C3).

El costo para un periodo estará conformado de la siguiente manera:
Costo por periodo = [Costo unitario por periodo] + [Costo de ordenar un pedido] +
[Costo de mantener el inventario en un periodo]

El costo total para el periodo de planeación estará conformado de la manera
siguiente:

Costo total = Costo por periodo x Numero de pedidos a realizar.


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GLOBAL

ANÁLISIS DE ECUACIONES.
Costo unitario por periodo.
El costo unitario por periodo simplemente es el costo de la cantidad optima a pedir.
C1 Q
Costo de ordenar una compra.
Puesto que solo se realiza una compra en un periodo el costo de ordenar una compra
está definido por:
C2
Costo de mantener el inventario por periodo.

El inventario promedio por periodo es [Q / 2]. Por consiguiente el costo de
mantenimiento del inventario por periodo es:

Para determinar el costo en un periodo se cuenta con la siguiente ecuación:
El tiempo de un periodo se expresa de la siguiente manera:

Nota: La demanda del artículo en un periodo de planeación se define con la letra D.
El número de periodos se expresa de la manera siguiente:

Si se desea determinar el costo total en el periodo de planeación (T) se multiplica el
costo de un periodo por el número de interperiodos (t) que contenga el periodo de
planeación. Para determinar este costo se aplica la siguiente ecuación:


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GLOBAL

Costo Total = Costo (Q*)t
Otra manera de representar el costo total para el periodo de planeación es por medio
de la siguiente ecuación:

Cuando los componentes del costo total se representan gráficamente se obtiene un
punto óptimo (de costo mínimo).

Una forma de determinar la cantidad óptima a pedir es suponer diversos valores de Q
y sustituir en la ecuación anterior hasta encontrar el punto de costo mínimo. Un
procedimiento más sencillo consiste en derivar la ecuación del costo total con
respecto a Q e igualar la derivada a cero.

Al resolver esta derivada tenemos la ecuación para determinar la cantidad óptima a
pedir.

Q=
Esta ecuación ocasiona un costo mínimo y tiene como base un balance entre los dos
costos variables (costo de almacenamiento y costo de compra) incluidos en el
modelo. Cualquier otra cantidad pedida ocasiona un costo mayor.

Para entender este modelo se resolverá un ejercicio en donde se aplican todos los
aspectos más importantes de este modelo de compra.


13

GLOBAL

EJERCICIO

Una empresa vende un artículo que tiene una demanda de 18, 000 unidades por año,
su costo de almacenamiento por unidad es de $ 1.20 por año y el costo de ordenar
una compra es de $ 400.00. El costo unitario del artículo es $ 1.00. No se permite
faltante de unidades y su tasa de reemplazo es instantánea. Determinar:

La cantidad optima pedida

El costo total por año

El número de pedidos por año

El tiempo entre pedidos
Datos
C1= $ 1.00
C2 = $ 400.00
C3 = $ 1.20
La cantidad optima a pedir se calcula de la siguiente forma.
= 3 465 Unidades

El costo total estará determinado por:
Costo = [(1)(18000)] + [ (400)(18000/3465)] + [(1.2)(3465/2)] = $ 22, 156 por año
El número de pedidos por año es


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GLOBAL

N = D / Q = 18 000 / 3465 = 5.2 Pedidos por año
El tiempo entre pedidos es
t = Q / D = 3465 / 18000 = 0.1925 años

MODELO DE INVENTARIO CON DÉFICIT
FUNDAMENTOS

El modelo de compra que permite déficit tiene como base las siguientes suposiciones:

El reemplazo es instantáneo (la tasa se reemplazo es infinita).

Este modelo tiene costos normales (costo unitario del producto, costo de ordenar una
compra, costo de mantener en inventario) pero además tiene un costo adicional, el
costo por unidad de faltante.

En este modelo es posible diferir un pedido, de manera que una vez recibida la
cantidad pedida desaparece el déficit, esto se representa claramente en el siguiente
esquema.


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GLOBAL

Q = Cantidad optima a pedir
S = Cantidad de unidades agotadas
Im = Inventario Máximo
t = Periodo entre pedidos
T = Periodo de Planeación
t1 = Tiempo en donde se cuenta con inventario
t2 = Tiempo en donde se cuentan con unidades agotadas.

Por consiguiente, en este modelo, los costos de déficit son ocasionados por
agotamiento de existencias durante el periodo de tiempo y no por la pérdida de
ventas.

En este modelo se incluyen los costos de déficit para determinar el costo para un
periodo.

Costo por periodo = [Costo unitario por periodo] + [Costo de ordenar un pedido] +
[Costo de mantener el inventario en un periodo] + [costo de déficit por periodo]

ANÁLISIS DE ECUACIONES
El costo unitario y el costo de ordenar un pedido se determinan de una manera
semejante a como se determinan en el modelo de compra sin faltante.


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GLOBAL

Para determinar el tiempo t1, el inventario máximo y el tiempo t2 en función de la
cantidad óptima a pedir (Q) y la cantidad de existencias agotadas (S) se realiza el
siguiente proceso.

El inventario máximo estará definido por:
Im = Q – S

Las siguientes ecuaciones se obtienen a partir de la semejanza de triángulos:
Debido a que el tiempo de un periodo t es Q / D. Las ecuaciones anteriores pueden
representarse de la siguiente forma.

Sustituyendo las ecuaciones 1,2 y 5 en la ecuación del costo por periodo tenemos.
Multiplicando el costo de un periodo por el número total de interperiodos que tiene el
periodo de planeación obtenemos el costo total.

Para determinar la cantidad optima a pedir y la cantidad de existencias agotadas se
realiza una operación de derivación parcial con respecto a cada una de estas
variables.

El resultado de estas operaciones nos da como resultado.
aspectos más importantes de este modelo de compra.


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GLOBAL

EJERCICIO

Una empresa vende un artículo que tiene una demanda de 18, 000 unidades por año,
su costo de almacenamiento por unidad es de $ 1.20 por año y el costo de ordenar
una compra es de $ 400.00. El costo unitario del artículo es $ 1.00. El costo por
unidad de faltante es de $ 5.00 por año. Determinar:

La cantidad optima pedida
El costo total por año
El número de pedidos por año
El tiempo entre pedidos

Datos
C1= $ 1.00
C2 = $ 400.00
C3 = $ 1.20
C4 = $ 5.00

La cantidad óptima a pedir se calcula de la siguiente forma.
= 3 465 Unidades

El costo total estará determinado por:
= 747 Unidades

El número de pedidos por año es
= 4.66

18

GLOBAL

El tiempo entre pedidos es
=0.215

MODELO DE PRODUCCIÓN SIN DÉFICIT
FUNDAMENTOS
Las suposiciones de este modelo son las siguientes.
El reemplazo es instantáneo (la tasa se reemplazo es finita).
La tasa de manufacturación es mayor que la tasa de demanda.

Este modelo es muy similar al modelo de compra sin déficit. En este modelo cambia el
costo de ordenar una compra por el costo de iniciar una tanda de producción (C2).

Para determinar la cantidad optima a pedir, se sigue el procedimiento del modelo de
compra sin déficit.

En el siguiente esquema se representa este modelo.
Q = Cantidad optima a producir
R = Tasa de manufacturación
t = Periodo entre tandas de producción
t1 = Tiempo en donde se cuenta con inventario disponible
t2 = Tiempo en donde no se cuenta con inventario

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GLOBAL

El costo de organizar una tanda por periodo estará determinado por.
El tiempo entre tandas de producción estará definido por.

Puesto que las unidades se utilizan de acuerdo a su definición el inventario máximo
por periodo es el tiempo de manufacturación t1 multiplicado por la tasa de
acumulación, en donde la tasa de acumulación es la tasa manufacturación R menos
la tasa de demanda D, obteniendo como resultado:

Im= t1(R - D)

El tiempo de manufacturación es el tiempo requerido para fabricar Q unidades:
Por consiguiente el inventario máximo estará definido por:

Otra forma de representar el costo por periodo es de la forma siguiente:
Para determinar el costo total por el periodo de planeación se procederá a multiplicar
el costo por periodo por el número de tandas de producción.

Para encontrar la cantidad optima a producir se derivada esta ecuación y se iguala
con cero.

En donde el valor de Q se puede obtener mediante la siguiente ecuación:
Esta cantidad óptima que debe fabricarse representa un balance entre los costos de
almacenamiento y los costos de organización de una tanda de producción.

aspectos más importantes de este modelo de manufacturación.

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GLOBAL

EJERCICIO
La demanda de un artículo de una determinada compañía es de 18, 000 unidades por
año y la compañía puede producir ese artículo a una tasa de 3 000 unidades por mes.

El costo de organizar una tanda de producción es $ 500.00 y el costo de
almacenamiento de una unidad es de $ 0.15 por mes. Determinar la cantidad óptima
de debe de manufacturarse y el costo total por año suponiendo que el costo de una
unidad es de $ 2.00,
= 4 470 Unidades
El costo total anual es
= $ 40, 026
El inventario máximo estaría determinado por:
= 2 235 Unidades

MODELO DE PRODUCCIÓN CON DÉFICIT
FUNDAMENTOS
Las suposiciones para este modelo son las siguientes:

El reemplazo es instantáneo (la tasa se reemplazo es finita).


La tasa de manufacturación es mayor que la tasa de demanda.

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GLOBAL

En la siguiente figura se ilustra esquemáticamente este modelo.

Q = Cantidad optima a pedir
S = Cantidad de unidades agotadas
t = Periodo entre tandas de producción
t1 t4= Tiempo de manufacturación
t2 t3= Tiempo de consumo de las unidades producidas.

El costo de un periodo de producción estará determinado por la siguiente ecuación:
Por definición tenemos otra manera de representar el costo de producción para un
periodo tenemos.

Multiplicando la ecuación anterior por el número de periodos de producción tenemos
el costo total para el periodo de planeación:

Para determinar la cantidad óptima Q se obtienen las derivadas parciales con
respecto a Q y a S.

Realizando las operaciones correspondientes obtenemos como resultado:
aspectos más importantes de este modelo de manufacturación.


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GLOBAL

EJERCICIO
La demanda de un artículo de una determinada compañía es de 18, 000 unidades por
año y la compañía puede producir ese artículo a una tasa de 3 000 unidades por mes,
El costo de organizar una tanda de producción es $ 500.00 y el costo de
almacenamiento de una unidad es de $ 0.15 por mes. Determinar la cantidad optima
de debe de manufacturarse y el costo total por año suponiendo que el costo de una
unidad es de $ 2.00. El costo por unidad agotada es de $ 20.00 por año.

Datos
D = 18, 000 Unidades por año
R = 3,000 por mes
C1 = $ 2.00
C2 = $ 500.00
C3 = $ 0.15 por mes
C4 = $ 20.00 por año

La cantidad óptima estará definida por:
= 4670 Unidades
Para calcular el costo anual primero se deben calcular el número de unidades
agotadas.
= 193 Unidades
El costo total quedara definido por
Costo Total = $ 39, 855 por periodo de planeación.


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GLOBAL
MODELO DE DESCUENTO EN TODAS LAS UNIDADES
FUNDAMENTOS
Este modelo se basa manejar diferentes costos según las unidades pedidas, es decir,
la cantidad de productos a comprar definirá el precio de los mismos.

Algunas empresas manejan este modelo de inventario debido a que sus costos le
permiten realizar este tipo de compras. Este modelo les proporciona sus costos
totales más bajos según sus necesidades y los recursos con los que cuenten. En la
siguiente gráfica se representa este modelo.
Ni = Cantidades a pedir
Costo i = Costos de adquirir la cantidad Ni

En este modelo se realizan descuentos según la cantidad a comprar, por ejemplo, una
empresa distribuye artículos, sus precios son los siguientes:
De A Costo Unitario 0
10, 000
$ 5.00
10, 001
20,000
$4.50
20, 001
30, 000
$3.00
30, 001
En adelante
$2.00

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GLOBAL

Según estos costos si nosotros deseamos comprar entre 0 y 10, 000 unidades estas
tendrán un costo de $5.00, entre 10, 0001 y 20, 000 un costo de $4.50, entre 20, 001
y 30, 000 un costo de $3.00 y arriba de 30, 001 un costo de $2.00.

En la siguiente gráfica se presentan los datos antes descritos.
Esto resulta bueno para algunas empresas que cuenten con costos de mantener
inventarios muy bajos, ya que pueden realizar compras en gran escala a precios
bajos.

Con este tipo de modelo los costos unitarios de los productos se ven mermados pero
los costos de mantener un almacén se pueden ver incrementados sustancialmente.
Cabe mencionar que se debe de tomar en cuenta que la mercancía en ocasiones
mantenerla en un almacén le ocasiona deterioro.

Para realizar el desarrollo de este modelo estructuraremos un algoritmo que consta de
cuatro pasos, en los cuales se tomarán aspectos importantes de este modelo.
Pasos para la aplicación de este modelo.

Para realizar el desarrollo de este algoritmo nos apoyaremos en la siguiente gráfica
en donde se representa este modelo.

PASO 1.
El primer paso es determinar la cantidad optima a pedir según los costos (Costo de
pedir, Costo de mantener) que maneje la empresa, para cada uno de los descuentos
con que se cuentan.


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GLOBAL

Determinaremos la cantidad optima a pedir para cada uno de los costos (C1, C2, C3,
C4) de los descuentos.

Q = Cantidad Optima
D = Demanda del artículo.
C1 = Costo unitario del artículo.
C2 = Costo de ordenar un pedido.
i = Porcentaje sobre el precio del artículo por mantenimiento en inventario.

Existen ocasiones en que la empresa maneja un costo de almacén adicional,
entonces la ecuación que definida de la siguiente forma:
En donde C3 + iC1j será el costo total de mantener en almacén.

PASO 2.
El segundo paso es realizar una comparación de los valores de Qj con sus
respectivos niveles de precio (Ci), por ejemplo, se compara el valor obtenido de Q1
con respecto al intervalo que corresponde el valor del costo de C1, si este se
encuentra entre el valor de 0 y el valor de N1 entonces este valor de Q se tomará
como un valor óptimo. De igual manera se realizará una comparación entre Q2 y el
intervalo de N1 y N2. Esto operación se realiza con todos los valores de Q obtenidos.
En caso de que el valor obtenido no se encontrara dentro de este intervalo, la
cantidad óptima estará definida por el límite inferior del intervalo.

En la gráfica el valor de Q1 no se encuentra dentro de su intervalo, por consiguiente el
valor de Q2 será su límite inferior, o sea, Q2 = N1.


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GLOBAL

PASO 3.
El tercer paso es determinar los costos totales para cada uno de los valores óptimos
obtenidos anteriormente. El costo total lo determinaremos con la siguiente ecuación.

PASO 4.
El cuarto paso es determinar el menor costo total obtenido en el paso anterior. El valor
de Q utilizado para determinar este costo será la cantidad optima a pedir según los
costos estimados en el planteamiento del problema.
Para entender mejor este modelo se resolverá un problema en donde se describirán
cada uno de los pasos anteriormente mencionados.

EJERCICIO.
Determine la cantidad optima a ordenar para una parte comprada que tiene las
siguientes características:
Uso estimado anual a tasa constante 10, 000 unidades

Costo de procesar una orden $ 32.00

Intereses anual, impuesto y seguro como una fracción del valor de la inversión sobre
el inventario promedio 20 %.

El esquema de precios es el siguiente:
Cantidad
Precio
0 < Q < 1, 000
$ 3.50

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GLOBAL

1, 000 < Q < 2, 000
$ 2.95
2, 000 < Q
$ 2.00

No se permiten faltantes el lote se entrega en un embarque.
RESOLUCIÓN.

Datos.
D = 10, 000 Unidades
C2 = $ 32.00
C11 = $ 3.50
C12 = $ 2.95
C13 = $ 2.00
i = 20 %

Nota: Cabe hacer mención que el costo de mantener una unidad en almacén esta
definido por C3 = iC1j.

Representando los costos unitarios proporcionados tenemos la siguiente gráfica.
Para iniciar con el desarrollo del problema seguiremos el algoritmo antes descrito.

PASO 1.
Determinaremos la cantidad optima a pedir para cada uno de los costos
proporcionados.


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GLOBAL

Para C11 = $ 3.50 tenemos:
= 956.18
= 1041.51
= 1264.91

Con los datos obtenidos anteriormente terminaremos que las cantidades optimas que
se encuentran dentro del intervalo correcto.

Cantidad
Consideración
0 < Q1 = 956.18 < 1, 000
Ö
1, 000 < Q2 = 1041.51 < 2, 000
Ö
2, 000 < Q3 = 1264.91
X

Debido a que Q3 no se encuentra dentro de su intervalo su valor quedará definido por
su intervalo inferior, o sea, Q3 = 2, 000.

Los datos obtenidos anteriormente pueden quedar representados en la siguiente
gráfica.


29

GLOBAL

PASO 3.
Ahora procederemos a determinar el costo total de los valores óptimos obtenidos
anteriormente.

El costo total para el primer valor óptimo obtenido es (Q1 = 956.18):
= $ 35, 669.32

El costo total para el segundo valor óptimo obtenido es (Q2 = 1041.51):
= $ 30, 114.48

El costo total para el segundo valor optimo obtenido es (Q3 = 2000):
= $ 20, 560.00

PASO 4.
Ahora solo falta determinar el mínimo valor del costo total calculado anteriormente.
Vemos que el valor mínimo es el del Costo Total3 por consiguiente la cantidad optima
a ordenar es de 2,000 unidades.

En la siguiente gráfica se presentan los resultados obtenidos al calcular cada uno de
los costos totales y la determinación del menor costo.

Como se puede ver en la gráfica el menor costo se produce al pedir 2, 000 unidades.
Podemos concluir que la cantidad optima a pedir para este problema es de 2, 000
unidades y esto ocasiona tener un costo total de $ 20, 560.00.


30

GLOBAL
MODELO CON DESCUENTO INCREMENTALES
FUNDAMENTOS
Este modelo se basa en manejar un precio unitario de un producto en referencia a la
cantidad necesitada, a diferencia del modelo de descuentos en todas las unidades
este realiza descuentos sobre una cierta cantidad de artículos que se encuentran
dentro de un intervalo. Para entender mejor este modelo supongamos que tenemos la
siguiente tabla de precios y deseamos conocer el costo de 25 000 unidades de cierto
producto.

De A Costo Unitario 0
10, 000
C11
10, 001
20,000
C12
20, 001
30, 000
C13
30, 001

En adelante
C14

En la siguiente gráfica se presentas los costos unitarios de este producto.
Para determinar el costo de 25 000 unidades se tomarán 10 000 unidades a un costo
de C11, 10 000 unidades a un costo de C12 y 5 000 unidades a un costo de C13.

31

GLOBAL

Se toman las cantidades de los intervalos con sus respectivos precios hasta que se
logre acumular la cantidad requerida, es obvio que existe un gran contraste en
comparación al modelo de descuentos en todas las unidades en donde el precio se
toma con referencia al intervalo en donde se encuentra la cantidad requerida.

Por consiguiente el costo de 25 000 unidades será:
Costo = C11 (10 000) + C12(10 000)+ C13(5 000)

Para el modelo de descuentos en todas la unidades estaría definido de la siguiente
manera:

Costo = C13 (25 000)
En la siguiente gráfica se presentan los costos que nos representaría adquirir una
cierta cantidad de un producto, por ejemplo, si queremos adquirir alguna cantidad que
se encontrase entre el intervalo de N0 y N1 la línea de costo estaría definida de la
siguiente manera:

Si la cantidad a adquirir sobrepasará el intervalo de N0 y N1, y se ubicará ahora entre
el intervalo de N1 y N2 la línea de costo estará representada por:

Esto se realiza para todos los intervalos considerados, dando como resultado la
siguiente gráfica.

Ahora podemos concluir que el costo no se incrementa linealmente, sino que toma
diversos estados en relación a la cantidad requerida.


32

GLOBAL

En este modelo se deberá determinar la cantidad optima a pedir en base a los costos
unitarios con los que se cuenten, es decir, se determinará la cantidad optima para
cada costo unitario.

Es necesario también definir el costo de adquirir una cantidad Nj, es se realiza
mediante la siguiente ecuación.

Para adquirir una cantidad N3 el costo de esta se le deberá sumar los costos
anteriores, o sea, N1 y N2, esto se realiza debido a las bases en las que se
fundamenta el modelo anteriormente explicadas.

El costo óptimo total de un lote de productos estará definido por la siguiente ecuación.
El costo total para un periodo de planeación estará definido por la siguiente ecuación.

Si a esta ecuación la derivamos con respecto a Q obtendremos la ecuación para
determinar la cantidad óptima a pedir.

En ocasiones algunas empresas manejan un costo de almacén adicional, entonces la
ecuación es la siguiente:

En donde C3 + iCj será el costo total de almacén.

Para entender mejor este modelo se resolverá un problema en donde se describirán
cada uno de los pasos anteriormente mencionados.


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GLOBAL

Ejercicio
Determine la cantidad óptima a ordenar para una parte comprada que tiene las
siguientes características:

Uso estimado anual a tasa constante 120, 000 unidades

Costo de procesar una orden $ 800.00

Intereses anual, impuesto y seguro como una fracción del valor de la inversión sobre
el inventario promedio 10 %.

El costo de mantener es de $ 6.00.

El esquema de precios es el siguiente:
Cantidad
Precio
0 < Q < 10, 000
$ 6.00
10, 000 <= Q < 30, 000
$ 5.80
30, 000 <= Q
$ 5.70


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GLOBAL

RESOLUCIÓN
Datos.
D = 120 000 Unidades
C2 = $ 800.00
i = 10 %
C3 = $ 6.00
La siguiente gráfica nos representa la estructura de precios del problema.
Para desarrollar mejor este modelo, se realizará una tabla la cual contendrá datos
referentes del problema que se analiza.
La tabla se presentará de la siguiente manera:
J
Cj
Nj
V(Nj)
V(Q)=V(Nj-1)+Cj(Q-Nj-1)
J = Intervalos
Cj = Precio unitario para el intervalo j
Nj = Cantidad para el periodo j.
V(Nj) = Costo de Nj unidades.
V(Q) = Costo de Q unidades

Ahora procederemos a iniciar el proceso de resolución del problema. Encontraremos
los costos de lotes para cada uno de los intervalos de productos.

V(N1) = C1(N1-N0) = 6(10,000 - 0) = 60, 000
V(N2) = C2(N2- N1) = 60,000 + 5.80(30,000 – 10, 000) = 60,000+116, 000 = 176, 000

35

GLOBAL

Nota. En el paso anterior se le suma el costo del lote anterior al costo actual, es decir,
a 116 000 del costo del lote actual se le suma 60, 000 del costo anterior.

El costo óptimo total de un lote de productos estará definido por la siguiente ecuación.
V(Q1) = V(N0) + C1(Q –N0) = 0 + 6(Q - 0) = 6Q
V(Q2) = V(N1) + C2(Q –N1) = 60 000 + 5.80(Q – 10, 000) = 5.80 Q + 6 000

Ahora introduciremos los valores a la tabla quedando de la siguiente forma.
J
Cj
Nj
V(Nj)
V(Q)=V(Nj-1)+Cj(Q-Nj-1)
1
$ 6.00
10, 000 60, 000 6Q 2 $ 5.80 30, 000
176, 000
5.80 Q + 6000
3
$ 5.70
La cantidad óptima para los diferentes costos será:
= 5 393.59 Unidades
= 10 105.82 Unidades
= 14 555.82 Unidades


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GLOBAL

Los valores obtenidos los compararemos con sus respectivos intervalos.
Cantidad
Consideración
0 < Q1 = 5393.59 < 10, 000
Si
10, 000 <= Q2 = 10 105.82 < 30, 000
Si
30, 000 <= Q3 = 14 555.82
No
En base al análisis anterior tenemos que los costos para Q1 y Q2 son:
Costo Total (Q1) = $ 739 130.07
Costo Total (Q2) = $ 731 955.28
Ahora podemos concluir que lo óptimo será pedir 10 105.82 Unidades.

1.3 COSTOS DE INVENTARIOS
La Gestión de Inventarios es una actividad en la que coexisten tres tipos de Costos
• Costos asociados a los flujos
• Costos asociados a los stocks
• Costos asociados a los procesos

Esta estructura se plantea sin perjuicio de mantener la clásica estructura de Costos
por naturaleza, según se clasifican en los dos siguientes grandes grupos.
• Costos de Operación.
• Costos Asociados a la Inversión
LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.3 COSTOS DE INVENTARIOS

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GLOBAL

Los primeros, son los necesarios para la operación normal en la consecución del Fin.
Mientras que los asociados a la Inversión son aquellos financieros relacionados con
depreciaciones y amortizaciones.

Dentro del ámbito de los flujos habrá que tener en cuenta los Costos de los flujos de
aprovisionamiento (transportes), aunque algunas veces serán por cuenta del
proveedor (en el caso de contratos tipo CFR, CIF, CPT o CIP, entre otros) y en otros
casos estarán incluidos en el propio precio de la mercancía adquirida. Será necesario
tener en cuenta tanto los Costos de operación como los asociados a la inversión.

Costos asociados a los stocks, en este ámbito deberán incluirse todos los
relacionados con Inventarios. Estos serían entre otros Costos de almacenamiento,
deterioros, perdidas y degradación de mercancías almacenadas, entre ellos también
tenemos los de rupturas de Stock, en este caso cuentan con una componente
fundamental los Costos financieros de las existencias, todo esto ya serán explicados
más adelante.

Cuando se quiere conocer, en su conjunto los costos de inventarios habrá que tener
en cuenta todos los conceptos indicados. Por el contrario, cuando se precise calcular
los costos, a los efectos de toma de decisiones, (por ejemplo, para decidir tamaño
óptimo del pedido) solamente habrá que tener en cuenta los costos evitables (que
podrán variar en cada caso considerado), ya que los costos no evitables, por propia
definición permanecerán a fuera sea cual fuera la decisión tomada.


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GLOBAL

Por último, dentro del ámbito de los procesos existen numerosos e importantes
conceptos que deben imputarse a los Costos de las existencias ellos son: Costos de
compras, de lanzamiento de pedidos y de gestión de la actividad. Un caso
paradigmático es el siguiente. En general, los Costos de transporte se incorporan al
precio de compras (¿por qué no incorporar también los Costos de almacenamiento, o
de la gestión de los pedidos?), como consecuencia de que en la mayoría de los casos
se trata de transportes por cuenta del proveedor incluidos de manera más o menos
tácita o explícita en el precio de adquisición. Pero incluso cuando el transporte está
gestionado directamente por el comprador se mantiene esta práctica, aunque muchas
veces el precio del transporte no es directamente proporcional al volumen de
mercancías adquiridas, sino que depende del volumen transportado en cada pedido.

En estas circunstancias el costo del transporte se convierte también en parte del costo
de lanzamiento del pedido.

La clasificación puramente logística de Costos que se ha citado hasta ahora no es la
más frecuentemente utilizada en ―la profesión‖. Ya hemos citado en el párrafo anterior
conceptos como ―costo de lanzamiento del pedido‖ o ―costo de adquisición‖, que no
aparecían entre los conceptos inicialmente expuestos. Pues bien, la clasificación
habitual de costos que utilizan los gestores de los inventarios es la siguiente:
• Costos de almacenamiento, de mantenimiento o de posesión de stocks
• Costos de lanzamiento del pedido
• Costos de adquisición
• Costos de ruptura de stocks


39

GLOBAL
COSTOS DE ALMACENAMIENTO.
Los costos de almacenamiento, de mantenimiento o de posesión del Stock, incluyen
todos los costos directamente relacionados con la titularidad de los inventarios tales
como:
• Costos Financieros de las existencias
• Gastos del Almacén
• Seguros
• Deterioros, pérdidas y degradación de mercancía.

Dependen de la actividad de almacenaje, este gestionado por la empresa o no, o de
que la mercadería este almacenada en régimen de depósito por parte del proveedor o
de que sean propiedad del fabricante.

Para dejar constancia de esta complejidad, se incluye seguidamente una relación
pormenorizado de los Costos de almacenamiento, mantenimiento o posesión de los
stocks en el caso más general posible. No obstante, más adelante se expondrá un
método simplificado para calcular estos costos (la tasa anual ―ad valorem‖) que se
utiliza con mucha frecuencia.

La clasificación de los costos de almacenamiento que seguidamente se incluye los
clasifica por actividad (almacenaje y manutención), por imputabilidad (fijos y variables)
y por origen directos e indirectos.


40

GLOBAL

COSTOS DIRECTOS DE ALMACENAJE
• Costos fijos
• Personal
• Vigilancia y Seguridad
• Cargas Fiscales
• Mantenimiento del Almacén
• Reparaciones del Almacén
• Alquileres
• Amortización del Almacén
• Amortización de estanterías y otros equipos de almacenaje
• Gastos financieros de inmovilización

Costos variables
• Energía
• Agua
• Mantenimiento de Estanterías
• Materiales de reposición
• Reparaciones (relacionadas con almacenaje)
• Deterioros, pérdidas y degradación de mercancías.
• Gastos Financieros de Stock.
COSTOS DIRECTOS DE MANTENCION
Costos fijos
• Personal
• Seguros
• Amortización de equipos de manutención

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GLOBAL

• Amortización de equipos informáticos
• Gastos financieros del inmovilizado
Costos variables
• Energía
• Mantenimiento de equipo de manutención
• Mantenimiento de equipo informático
• Reparaciones de equipos de manutención
• Comunicaciones.

COSTOS INDIRECTOS DE ALMACENAJE
• de administración y estructura
• De formación y entrenamiento del personal
Existe un método aproximado de valuar los costos de almacenamiento, conocido
como la tasa Anual Ad valorem.

CALCULO DE LA TASA ANUAL “AD-VALOREM “
Este método aproximado, que se utiliza bastante para la planificación de Sistemas
Logísticos, consiste en admitir que los costos de almacenamiento se pueden
aproximar por una tasa anual aplicada al valor de las mercancías almacenadas.

Esta hipótesis que es evidente en el caso de los costos financieros de los Stocks se
generaliza en este método a los demás costos que intervienen en el almacenamiento
(Inversiones, personal, energía, deterioros, perdidas.) Asumiéndose que cuanta más
cara es una mercancía más caro es el costo de almacenamiento.


42

GLOBAL

Supongamos por ejemplo, el caso de una empresa comercializadora de cementos
especiales, ubicado en un determinado puerto marítimo, para atender a uno de sus
clientes, recibe un buque de 5.000 Tm. Con un cargamento de cemento blanco
especial de la misma cantidad, cuyo precio es de $80 la Ton. , se traslada a un
almacén adecuadamente acondicionado donde queda almacenado.

El destino de esta carga es una fábrica que trabaja Just in time, y que solo admite 200
Tons diarias. El cargamento de 5.000 Tns. Tardará 25 días en ser retirado, existiendo
a lo largo de dichos 25 días un Stock medio de 2.500 Tns. (5.000 el primer día y 0 el
ultimo).

Hemos invertido $ 400.000 (5.000 x $80), que no recuperaremos hasta el día 25. Si
somos capaces de obtener un rendimiento por nuestro dinero alternativo del 8%
anual, el costo financiero de los Stock que tenemos por inmovilización es del 8%, esto
aplicado al Stock medio nos da (2.500 x$80) durante el tiempo que lo tenemos
inmovilizado (25 días).

1/ABCDEF
2 8% Rendimiento Anual 16000 (B3 x B5) x B2
3 2500 Promedio de Inmovilización 1.095,89 pta (E3 x B4 ) / 365
4 25 Tiempo inmovilizado promedió
5 80 Precio unitario


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GLOBAL

Pues bien el método de la tasa ad-valorem se extienden a los demás costos que se
componen el almacenamiento de mercaderías, admitiendo que además del 8% anual
que corresponde al costo de Stock, hay otros puntos porcentuales que corresponden
a la integración de los demás costos que también intervienen en el almacenamiento,
haciendo así tasas superiores a la de almacenamiento de Stock, por ejemplo en
España se cobraba el 25 % cuando la tasa de mercado era del 15 %.
También es muy importante destacar que estos costos que mencionamos ―extras‖ en
el almacenamiento, siempre están en relación directa con el tipo de mercadería que
se trate, así bien no será lo mismo almacenar arena, o leña contra dinero o caviar.

Una estructura razonable para la composición de la tasa es la siguiente:
Costo financiero de los Stocks 8% al 20%
Almacenamiento Físico 5% al 15%
Deterioro o Robo 2% al 5%
Para el Ejemplo del almacenamiento de cemento blanco, que requiere un esmerado
Almacenaje pero poca manutención, cabe valorarlo con una tasa que contemple solo
el costo financiero de Almacenamiento sin ―Extras‖, en este caso 18 %.
0.18 * (2500* 80) * ( 25/365 ) = 2.466

La repercusión, de los costos de almacenamiento, es 0.49 la tonelada, que se suman
a los costos del transporte primario hasta el puerto de descarga, y los costos de la
distribución capilar hasta el cliente.


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GLOBAL

COSTOS DE LANZAMIENTO DEL PEDIDO.
Los Costos de lanzamiento de los pedidos incluyen todos los Costos en que se
incurre cuando se lanza una orden de compra. Los Costos que se agrupan bajo esta
rúbrica deben ser independientes de la cantidad que se compra y exclusivamente
relacionados con el hecho de lanzar la orden. Sus componentes serían los siguientes:

Costos implícitos del pedido: Costo de preparación de las máquinas cuando el pedido
lo lanza producción, Costo de conseguir ―LUGAR‖ en el almacén de recepción
(movilización de mercancías o transporte a otras localizaciones, por ejemplo), costos
de transporte exclusivamente vinculados al pedido (la factura de un ―courier‖ en el
caso de una reposición urgente, por ejemplo), costos de supervisión y seguimiento de
la necesidad de lanzar un pedido, etc.

Costos Administrativos vinculados al circuito del pedido.
Costos de recepción e inspección.

COSTOS DE ADQUISICION
Es la cantidad total Invertida en la compra de la mercancía, o el valor contable del
producto cuando se trata de material en curso o productos terminados.

En el primer caso (materias primas o componentes), el costo de adquisición
incorporará los conceptos no recuperables que el proveedor vaya a incluir en su
factura (por ejemplo, el transporte, si es por cuenta del proveedor, pero no el IVA).


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GLOBAL

Se debe tener en cuenta que muchos proveedores aplican descuentos por volumen,
por lo que unas veces el costo de adquisición de un pedido tendrá una componente
de costo evitable y otras veces será en su totalidad un costo no evitable.

En el segundo caso (material en curso o productos terminados), la determinación del
costo de adquisición es más compleja, dependiendo de las prácticas contables de la
empresa. En principio debe incorporar los siguientes conceptos:
• Costos de Materiales incorporados que, según las prácticas contables de la empresa
pueden ser valorados de acuerdo a los siguientes criterios.
o Método FIFO (first in, first out ). – (Primero en entrar, primero en salir) PEPS
o Método LIFO (last in, first out ). – (Ultimo en entrar, primero en salir) UEPS equivale
en cierto modo a un precio de reposición.
o Método MIFO (midle in, first out) es un promedio ponderado
o Precios estandarte de la empresa
o Precios estimados de reposición
o Costos directos de producción (MOD, depreciaciones etc.)

COSTOS DE RUPTURA DE STOCK
Los Costos de ruptura o de rotura de stocks incluyen el conjunto de Costos por la falta
de existencias, estos costos no serán absorbidos por la producción en proceso, sino
que irán a parar directamente al estado de resultados.

Los criterios para valorar estos costos de ruptura son:


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• Disminución del ingreso por Ventas: La no integridad contable por falta de
referencias en un pedido realizado, supone una reducción de los ingresos por ventas,
tanto por el desplazamiento en el tipo de la fecha de facturación, como por la pérdida
absoluta de la pérdida.
• Incremento de los gastos del Servicio: Aquí se incluyen las penalizaciones
contractuales por retrasos de abastecimiento, partes en el proceso de producción, los
falsos fletes etc.

La valoración de estos costos de ruptura es difícil y poco frecuente, solo es posible si
la empresa esta provista de un eficiente sistema de gestión de la calidad, en general
el gestor de inventarios deberá conformarse con estimaciones subjetivas o costos
Estándar. En literatura especializada estos son considerados entre el 1% y el 4% de
los ingresos por ventas, pero esto es también tentativo.

1.4 MODELOS DETERMINÍSTICOS
MODELO DE INVENTARIO GENERAL
La naturaleza del problema de inventario consiste en hacer y recibir pedidos de
determinados volúmenes, repetidas veces y a intervalos determinados. Una política
de inventario responde las siguientes preguntas.

LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.4 MODELOS DETERMINÍSTICOS

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GLOBAL

¿Cuánto se debe ordenar?
Esto determina el lote económico (EOQ) al minimizar el siguiente modelo de costo:
(Costo total del inventario) = (Costo de compra) + (costo de preparación + (Costo de
almacenamiento) + (costo de faltante).

Todos estos costos se deben expresar en términos del lote económico deseado y del
tiempo entre los pedidos.

El costo de compra se basa en el precio por unidad del artículo. Puede ser constante,
o se puede ofrecer con un descuento que depende que dependa del volumen del
pedido.

El costo de preparación representa el cargo fijo en el cual se incurre cuando se hace
un pedido. Este costo es independiente del volumen del pedido.

El costo de almacenamiento representa el costo de mantener suficientes existencias
en el inventario. Incluye el interés sobre el capital, así como el costo de
mantenimiento y manejo.

El costo de faltante es la penalidad en la cual se incurre cuando nos quedamos sin
existencias. Incluye la perdida potencial de ingresos, así como el costo mas subjetivo
de la perdida de la buena voluntad de los clientes.

LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.4 MODELOS DETERMINÍSTICOS

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GLOBAL

¿Cuándo se deben colocar los pedidos?
Depende del tipo de sistema de inventario que tenemos. Si el sistema requiere una
revisión periódica (por ejemplo, semanal o mensual), el momento para hacer un
nuevo pedido coincide con el inicio de cada periodo. De manera alternativa, si el
sistema se basa en una revisión continua, los nuevos pedidos se colocan cuando el
nivel del inventario desciende a un nivel previamente especificado, llamado el punto
de reorden.

1.5 PLANEACIÓN DE REQUERIMIENTOS DE MATERIALES.
Conceptos de Planeación de Requerimientos de Materiales, qué es el sistema MRP,
qué es el Plan Maestro de Producción, Lista de Materiales, programación dinámica,
Datos para la Planificación de requerimiento de materiales, modelos heurísticos.

Ventajas De Las MRP.
Entre las ventajas de un sistema MRP se pueden considerar los siguientes ítems:
1. Capacidad para fijar los precios de una manera más competente.
2. Reducción de los precios de venta.
3. Reducción del inventario.
4. Mejor servicio al cliente.
5. Mejor respuesta a las demandas del mercado.
6. Capacidad para cambiar el programa maestro.
7. Reducción de los costos de preparación y desmonte.
8. Reducción del tiempo de inactividad.
9. Suministrar información por anticipado, de manera que los gerentes puedan ver el
programa planeado antes de la expedición real de los pedidos.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.5 PLANEACIÓN DE REQUERIMIENTOS DE MATERIALES.

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GLOBAL

10. Indicar cuando demorar y cuando agilizar.
11. Demorar o cancelar pedidos.
12. Cambiar las cantidades de los pedidos.
13. Agilizar o retardar la fecha de los pedidos.
14. Ayudar en la capacidad de planeación.
15. Reducción hasta el 40% en las inversiones de inventario.

Los sistemas avanzados de MRP, también llamados como siguiente generación de
MRP II o simplemente E.R.P incluyen entre sus características básicas:

1. Arquitectura Cliente/Servidor.
2. Base datos centralizados, con consultas SQL y generación de informes.
3. Interface gráfica de usuario, con manejo de ventanas.
4. Soporte de base de datos distribuida.
5. Sistemas iniciales para soporte de decisiones.
6. Manejo electrónico de datos e intercambio de los mismos.
7. Interoperabilidad con múltiples plataformas, entre las que se pueden incluir
Windows NT y Unix
8. Manejo de interfaces de programación con interoperabilidad con otras aplicaciones
de otros programas.
9. Intercambio de datos utilizando Internet.
10. Comunicación entre clientes y proveedores.

LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.5 PLANEACIÓN DE REQUERIMIENTOS DE MATERIALES.

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GLOBAL

UNIDAD 2
LÍNEAS DE ESPERA

LI. Jesús Abundis Manzanares | UNIDAD 2

51

GLOBAL
INTRODUCCION.
Las colas (líneas de espera) son parte de la vida diaria. Todos esperamos en colas
para comprar un boleto para el cine, hacer un depósito en el banco, pagar en el
supermercado, enviar un paquete por correo, subir a un juego en la feria, etc. Nos
hemos acostumbrado a esperas largas, pero todavía nos molesta cuando lo son
demasiado.

Sin embargo, tener que esperar no sólo es una molestia personal. El tiempo que la
población de un país pierde en colas es un factor importante tanto en la calidad de
vida como en la eficiencia de su economía. Por ejemplo, antes de su disolución, la
Unión Soviética era notoria por las excesivas colas que sus ciudadanos solían tener
que soportar solo para comprar artículos básicos. Hoy en Estados Unidos se estima
que las personas pasan 37 mil millones de horas al año en líneas de espera. Si este
tiempo se usara de manera productiva significaría cerca de 20 millones de personasaños de trabajo útil cada año.

Incluso estas asombrosas cifras no cuentan toda la historia del impacto que causa la
espera excesiva. También ocurren grandes ineficiencias debido a otros tipos de
espera que no son personas en una Cola.

La Teoría de Colas es el estudio de la espera en las distintas modalidades. Usa los
modelos de colas para representar los tipos de sistemas de líneas de espera
(sistemas que involucran colas de algún tipo) que surgen en la práctica. Las fórmulas
para cada modelo indican cuál debe ser el desempeño del sistema correspondiente y
señalan la cantidad promedio de espera que ocurrirá, en una gama de circunstancias.

LI. Jesús Abundis Manzanares | INTRODUCCION.

52

GLOBAL

Por lo tanto, estos modelos de líneas de espera son muy útiles para determinar cómo
operar un sistema de colas de la manera más efectiva. Proporcionar demasiada
capacidad de servicios para operar el sistema implica costos excesivos; pero al no

Contar con suficiente capacidad de servicio la espera aumenta con todas sus
desafortunadas consecuencias. Los modelos permiten encontrar un balance
adecuado entre el costo de servicio y la cantidad de espera.

ORIGEN.
El origen de la Teoría de Colas o Líneas de Espera se remonta a los estudios
realizados en 1909 por Agner Krarup Erlang (Dinamarca, 1878 - 1929), para analizar
la congestión en el sistema telefónico de Copenhague.

Sus investigaciones acabaron en una nueva teoría llamada teoría de colas o de líneas
de espera. Esta teoría es ahora una herramienta de valor en negocios debido a que
muchos de sus problemas pueden caracterizarse, como problemas de congestión
llegada - partida.

La Teoría de Colas requiere de un estudio matemático del comportamiento de líneas
de espera. Estas se presentan cuando ―clientes‖ llegan a un ―lugar‖ demandando un
servicio al ―servidor‖, el cual tiene cierta capacidad de atención. Si el servidor no está
disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma en la ―línea
de espera‖.


53

GLOBAL

El problema es determinar qué capacidad o tasa de servicio proporciona el balance
correcto. Esto no es sencillo, ya que un cliente no llega a un horario fijo, es decir, no
se sabe con exactitud en qué momento llegarán los clientes. También el tiempo de
servicio no tiene un horario fijo.

Las llegadas se describen por su distribución estadística. Si las llegadas ocurren con
una tasa promedio y que son independientes una de otra, entonces ocurren de
acuerdo con una distribución de probabilidades de tipo ―Poisson‖.

Distribución Poisson.
Si la tasa de llegada se da en razón del tiempo que transcurre entre una llegada y
otra, entonces se dice que sigue una distribución de tipo ―Exponencial‖.
En un supuesto común, la distribución del tiempo de servicio está dada por la
distribución ―Exponencial‖. Mientras que el número de servidores puede ser uno o
varios.

Distribución Exponencial.
La tasa de servicio, al igual que la de llegada, debe ser evaluada para ver si se ajusta
a una distribución ―Exponencial‖.

DEFINICION
Una Cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos
matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o de sistemas
de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costes del
sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado.


54

GLOBAL

Con frecuencia, las empresas

deben tomar decisiones respecto al caudal de

servicios que debe estar preparada para ofrecer. Sin embargo, muchas veces es
imposible predecir con exactitud cuándo llegarán los clientes que demandan el
servicio y/o cuanto tiempo será necesario para dar ese servicio; es por eso que esas
decisiones implican dilemas que hay que resolver con información escasa.

Estar preparados para ofrecer todo servicio que se nos solicite en cualquier momento
puede implicar mantener recursos ociosos y costos excesivos. Pero, por otro lado,
carecer de la capacidad de servicio suficiente causa colas excesivamente largas en
ciertos momentos. Cuando los clientes tienen que esperar en una cola para recibir
nuestros servicios, están pagando un coste, en tiempo, más alto del que esperaban.
Las líneas de espera largas también son costosas por tanto para la empresa ya que
producen pérdida de prestigio y pérdida de clientes.

La teoría de las colas en si no resuelve directamente el problema, pero contribuye con
la información vital que se requiere para tomar las decisiones concernientes
prediciendo algunas características sobre la línea de espera: probabilidad de que se
formen, el tiempo de espera promedio.
Pero si utilizamos el concepto de ―clientes internos‖ en la organización de la empresa,
asociándolo a la teoría de las colas, nos estaremos aproximando al modelo de
organización empresarial ―just in time‖ en el que se trata de minimizar el costo
asociado a la ociosidad de recursos en la cadena productiva.


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GLOBAL

El problema es determinar qué capacidad o tasa de servicio proporciona el balance
correcto. Esto no es sencillo, ya que un cliente no llega a un horario fijo, es decir, no
se sabe con exactitud en que momento llegarán los clientes. También el tiempo de
servicio no tiene un horario fijo.
Los problemas de ―Colas‖ se presentan permanentemente la vida diaria: un estudio de
EE.UU. concluyó que un ciudadano medio pasa 5 años de su vida esperando en
distintas Colas, y de ellos casi 6 meses parado en los semáforos.

La Teoría de Colas requiere de un estudio matemático del comportamiento de líneas
de espera. Estas se presentan cuando ―clientes‖ llegan a un ―lugar‖ demandando un
servicio al ―servidor‖, el cual tiene cierta capacidad de atención. Si el servidor no está
disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma en la ―línea
de espera‖.

2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA.
Esta notación sirve para etiquetar o nombrar a los diferentes modelos de líneas de
espera que se pueden tener. La notación consta de 6 números de la forma siguiente:
a/b/c/d/e/f
Donde los símbolos representan lo siguiente:
a= La distribución de tiempo entre llegadas.
b= La distribución de tiempo de servicio.
c= El número de servidores en paralelo.
d= Tipo de disciplina en el servicio (FCFS, LCFS, SIRO, PRIORIDAD).
e= Número máximo admitido en el sistema (línea de espera + en servicio).
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA.

56

GLOBAL

f= Tamaño de la población de donde se extrae los clientes.
Para reemplazar a los símbolos a y b se usan las siguientes iniciales:
M = Cuando el tiempo de llegada o servicio tiene una distribución exponencial
entrada o salida de Poisson (o Markoviana).
D= Cuando el tiempo de llegada o servicio es determinista
Ek = Cuando el tiempo de llegada o servicio tiene una distribución de Erlangs con
parámetro K.

G = Cuando el tiempo de llegada o servicio tiene una distribución general (cualquier
distribución arbitraria).

Como observamos los elementos básicos para crear un modelo de línea de espera,
dependerá de los siguientes factores:

Distribución de llegadas. (Individuales o en grupo).
Distribución de servicio. (Individuales o en grupo).
Diseño de la instalación (estaciones en serie, paralelo, o en red)
Disciplina de servicio
Tamaño de la línea (finita o infinita)
Fuente de los clientes (finita o infinita).

USO DE LAS TASAS DE LLEGADA Y DE SERVICIO
Como la mayor parte de las técnicas matemáticas, la teoría de líneas de espera tiene
su propio conjunto de términos. El de disciplina de la línea de espera se refiere a la
condición en que se escogen las llegadas para recibir servicio.

57

GLOBAL

En este capítulo el procedimiento consiste en que las llegadas ocupan su lugar en la
línea de espera, a base de que el que llega primero queda en primer lugar.

Las llegadas pueden ser uniformes durante cierto periodo, o pueden ser aleatorias. La
tasa de llegadas puede tomar la forma de empleados que llegan a la caseta de
herramientas de la empresa, o en otras condiciones podrían representar el número de
clientes que esperan para comer. General-mente, la tasa de llegada se expresa como
tasa de llegada por unidad de tiempo. Si es aleatoria los clientes no llegan en un
orden o patrón lógico en el transcurso del tiempo, lo que representa la mayor parte de
los casos en el mundo de los negocios.

En las situaciones en que las llegadas se distribuyen en forma aleatoria puede
utilizarse su promedio si se registra durante un periodo suficientemente prolongado.

La tasa de servicio se ocupa de la forma en que las instalaciones de servicio pueden
manejar las demandas de llegada, y se expresa como una tasa por unidad de tiempo.
Por ejemplo, la tasa de servicio podría indicar el número de pedidos que el
departamento de piezas de repuesto procesa por hora. También el tiempo de servicio
puede ser uniforme o distribuido en forma aleatoria. En las problemas de-negocios ‗se
encontraran más casos de tasa uniforme de servicio que de tasa uniforme de llegada.


58

GLOBAL

APLICACIONES DE LA TEORIA DE LINEAS DE ESPERA.
La teoría de las líneas de espera se ha aplicado a una gran variedad de situaciones
de negocios. Una breve descripción de algunas aplicaciones será de gran ayuda para
sugerir problemas a los que pueda aplicarse la teoría. Una gran cadena de
supermercados ha utilizado las líneas de espera para determinar el número de
estaciones de control que se requieren para lograr un funcionamiento continuo y
económico de sus almacenes, a diversas horas del día.

Otro uso de esta teoría consiste en analizar las demoras en las casetas de peaje de
puentes y túneles. Un estudio de esta índole se refiere al número y programación de
las casetas de peaje requeridas sobre una base de veinticuatro horas, a fin de reducir
al mínimo los costos en determinado nivel de servicio.

Otras áreas relacionadas con un cliente, serían las líneas de espera de restaurantes y
cafeterías, expendios de gasolina, oficinas de líneas aéreas, almacenes de
departamentos y la programación de los pacientes en las clínicas.

En todos los casos, los clientes esperan cierto nivel aceptable de servicio, mientras
que la empresa espera poder mantener sus costos al mínimo.

La teoría de las líneas de espera no solo es aplicable a los establecimientos de ventas
a] menudeo o mayoreo, sino que las empresas manu-facturaras también la usan
extensamente. Una aplicación muy popular de la teoría de las líneas de espera es el
área de las casetas de herramientas.


59

GLOBAL

Los sobrestantes se quejan constantemente de que sus hombres tienen que esperar
mucho tiempo en las filas para recibir herramientas y piezas. Aunque se presiona a
los gerentes de fábrica para que reduzcan los gastos generales de administración, e!
aumento de empleados puede reducir realmente los gastos generales de
manufactura, porque el personal de la fábrica puede trabajar en vez de esperar en
una fila.

Otro problema

que

ha

resuelto

con

éxito

la teoría

de

las

líneas de

espera. Es la determinación adecuada del número de muelles que se requieren
cuando se

construyen instalaciones terminales para barcos y camiones. como

tanto los costos de los muelles como los de las demoras pueden ser considerables, ya
que los primeros disminuyen mientras aumentan los segundos, o viceversa, es muy
conveniente

construir el número de muelles que reduzcan al mínimo la suma de

esos dos costos, Varias empresas manufactureras

han atacado el problema de

descomposturas y reparaciones de sus máquinas, utilizando la misma teoría, El
problema se refiere a una batería de máquinas que se descomponen individual-' mente
en diferentes épocas. En realidad, las máquinas que se descomponen.

Forman una línea de espera para su reparación por el personal de mantenimiento. Es
conveniente emplear el personal de reparaciones necesario para disminuir al mínimo
la suma del costo de la perdida de producción causada por el tiempo de espera y del
costo de los mecánicos.


60

GLOBAL

La teoría de las líneas de espera se ha extendido para estudiar un plan I de incentivos
de salarios. Por ejemplo, se había asignado cierto personal de línea de producción
para manejar dos máquinas, mientras que a otros se les había asignado para
manejar. Cuatro máquinas. Como. Todas las maquinas son.
Iguales, los trabajadores reciben el mismo salario básico, pero la gratificación •: de
incentivo por la producción sobre la cuota, es de la mitad por unidad i para los
operadores con cuatro máquinas que para los que tienen dos: maquinas.
Superficialmente ese arreglo parece equitativo.

No obstante, un; estudio de las condiciones reales revela que aunque cada una de las
dos I maquinas que maneja un solo hombre estarían ociosas alrededor del 12 por
ciento de su tiempo programado, cada una de las cuatro máquinas manejadas j por
un solo individuo estarían ociosas alrededor del 16 por ciento de su tiempo
programado.

El problema es que dos (o más) maquinas pueden descomponerse a la vez
en el grupo de cuatro máquinas, lo que-general-; mente no ocurre con el grupo de dos
máquinas. El individuo que maneja el, grupo de cuatro máquinas tiene que trabajar a
mayor eficiencia que el que j maneja un grupo de dos máquinas, a fin de ganar el
mismo incentivo.

El

f

problema se resolvería pagando a los operadores de las baterías de cuatro |

maquinas un salario básico mayor, determinado básicamente empleando las J
probabilidades calculadas con la teoría de las líneas de espera.


61

GLOBAL

Las áreas anteriores no agotan en modo alguno las posibles aplicaciones de la teoría
de las líneas de espera, que pueden extenderse para incluir la i dotación de personal
de las operaciones de oficina, y el equilibrio del flujo I _ de materiales en un taller de
tareas. Esa teoría puede tener una influencia bien definida en el desafío de un
sistema de inventario y de control de producción.

TIEMPOS UNIFORMES DE LLEGABA Y DE SERVICIO.
El manejo apropiado de los tiempos uniformes de llegada y de servicio, en términos
de costo mínimo, puede demostrarse con un ejemplo. Una empresa manufacturera
maneja muchas casetas de herramientas dentro de una de sus grandes fábricas.

Actualmente, el grupo de análisis de sistemas tiene en observación una de esas
casetas atendida por un trabajador: los maquinistas llegan a solicitar servicio a una
tasa uniforme de 10 por hora mientras que se observa que el encargado de
la caseta de herramienta ' atiende sus peticiones a una tasa uniforme de
7 1/2

por

hora.

¿Seria? lucrativo para la empresa aumentar el número de

encargados si se les paga a razón de $3.00 por hora, y se paga a los maquinistas a
razón de $4.QO hora? Esas cuotas incluyen los beneficios marginales.

Inicialmente, el problema se calcula sobre una base de 4 horas, porque el personal
del taller trabaja de las 8 a. m. a las 12, y luego sale a almorzar Los resultados finales
se calculan sobre una base de 8 horas.
En vista de esos datos —tasa uniforme de llegada de 10 por hora (uno cada 6
minutes) y una tasa uniforme de servicio de 7 1/2 por hora (uno cada 8 minutos)-' el
problema puede resolverse empleando la fórmula de la suma de una serie aritmética.

62

GLOBAL

Si el primer hombre llega a las 8 a. m. no tiene tiempo de espera. Antes de dar
servicio al que llego primero, el que liego en segundo lugar se convierte en el primero
que espera en la fila, y su tiempo de espera es de 2 minutos (8 minutos — 6 minutos),
antes de que se le dé servicio.

Una vez que conocemos el tiempo de espera del primer maquinista, es necesario
calcular el tiempo de espera del último hombre en nuestras 4 horas iníciales.

Como llegan 40 maquinistas (10 hombres por hora X 4 horas), y el primero no espera,
debemos calcular el tiempo de espera de los treinta y nueve restantes, o sea que 39
maquinistas multiplicados por 2 minutos son igual a 78 minutos.

Como el aumento del tiempo de espera para cada maquinista adicional es lineal,
podemos promediar el tiempo de espera del segundo y del cuadragésimo.

El promedio del tiempo de espera de cada maquinista es igual a 2 minutos más 78
minutos, dividido entre 2, 6 40 minutos, lo que se resume en la tabla 14-1.

(La probabilidad de que los que lleguen al último no espere en la fila, porque se
acerca la hora del almuerzo, no se ha considerado aquí, aunque normalmente lo
será.) El examen de los datos indica que el costo se reduce al mínimo empleando dos
encargados.

En contraste con las tasas uniformes, la mayor parte de los problemas de los
negocios se ocupa de tasas aleatorias de llegada y de servicio, cuya solución requiere
un proceso diferente, que constituirá el tema del resto de este capítulo.

63

GLOBAL

TEORIA DE LINEAS DE ESPERA DE UN SOLO CANAL.
En la última sección, estudiamos las tasas uniformes de llegada y de servicio, y ahora
estudiaremos las tasas aleatorias de llegada y de servicio en un problema de líneas
de espera de un solo canal (una sola estación).

No trataremos aquellos casos en los que la capacidad de las instalaciones de servicio
es mayor que el promedio de las demandas de las entradas, porque esta condición da
por resultado que no haya líneas de espera.

En vez de ello nos ocuparemos de un problema de líneas de espera de un solo canal,
en el que hay una línea de espera que resulta de tiempos aleatorios de llegada y de
servicio.

Vale la pena notar que los modelos de líneas de espera pueden usarse para eliminar
un exceso de trabajadores, cuando la instalación de servicio es mayor que las
demandas de servicio.

La forma en que llegan las unidades es aleatoria, si no puede predecirse exactamente
cuando llegara cierta unidad.


64

GLOBAL

2.3 MODELO CON REABASTECIMIENTO INSTANTANEO.
No se permite el faltante. Suposiciones:
1. La demanda tiene que ser constante.
2. Los costos son constantes (no se permite descuento en adquisiciones
voluminosas).
3. Los proveedores entregaran con puntualidad los pedidos en el periodo
comprendido.

4. El lote mínimo es igual al inventario máximo.
Nomenclatura:

Q = tamaño económico del lote. Si es muy grande o muy chico
N = número de pedido. Puedes pedir una o 2 veces
D = Demanda. Por si las dudas ten cuidado y siempre papelito habla
Ci = Costo de compra. Al mejor te sale más barato en otro lado
Ch = Costo de mantener un unidad en los inventarios (%).
Co = Costo de ordenar. ya ves que hay gandallas que te cobran el envió
R = Punto de reorden.
L = Tiempo de consumo. en menos de 30 min si te cobran sino pues no
T = Tiempo para consumir el inventario máximo. el tiempo en el que te atragantas
Imáx = Inventario Máximo.
Î =Inventario Promedio.
Ct = Costo Total.
Ct = Costo de compra + Costo de ordenar + Costo de tenencia.
Costo de compra = CiD

65

GLOBAL

Costo de ordenar =
Costo de tenencia =
Si la demanda es de 50 piezas por día y el proveedor pasa 10 días en surtir por tanto
necesitamos 500 piezas para no tener faltante.
R = ? = 50 * 10 −500
D = 50 pza/día.
L = 10 días.
R=DL
Unidad = 5040

Ejemplo:
Una Cía. fabricante de refrescos de la marca de Coca-Cola a observado que requiere
anualmente de 3000 baleros que son utilizados en las bombas de agua a propulsión a
chorro con un programa de mantenimiento preventivo diseñado por el departamento
de producción.

El costo de cada unidad es de $ 80,000, el costo de oportunidad de inversión es de
12% del costo del producto. Los costos generados por el control de inventarios como
son el sueldo de personal de almacén, agua y electricidad es de 2,400 * unidad lo cual
es muy caro porque yo solo pago cuatrocientos pesos de luz, otro costo que
representa aun los deterioros, extravió y envejecimiento de los productos
almacenados anualmente y alcanzan un costo de $2,000 * unidad .La orden de
compra se ha estimado en $120,000.

Suponga que el proveedor tarda en promedio 15 días en surtir una orden, determinar:
El tamaño económico del lote.

66

GLOBAL

El inventario máximo.
El inventario Promedio.
El punto de reorden.
El tiempo requerido para consumir el inventario máximo.
Costo total del inventario.
Número de pedidos.
Datos:
D = 3000 unidad por año.
Ci = $80,000
Co =$120,000
Ch= 0.12 (80,000)+ 2,900 + 2,000
Ch = 14,000 unidades por año.
L = 15 días.
Q = 227 unidad.
Imáx. = Q = 227 u.
=
=
e) T - Q/D = 0.075 Años = 27 días.
f)Ct = $ 243,174,340
g) =


67

GLOBAL
2.3 TEOREMA DE LITTLE
Sea un sistema de colas con cualquier distribución de llegadas y servicios y cualquier
estructura, Sean L el número de trabajos presentes en el sistema en el estado
estacionario, W es tiempo medio de respuesta en el estado estacionario y λ la razón
de llegadas al sistema, Entonces:
L = λW
Explicación intuitiva: Supongamos que cobramos 1€ a cada trabajo por cada unidad
de tiempo que pasa en el sistema, Habría dos maneras equivalentes de medir las
ganancias:
� Colocando un recaudador a la entrada del sistema, le cobrará como media W a
cada uno de los λ trabajos que vea pasar por unidad de tiempo � Cada vez que
transcurre una unidad de tiempo, cobro 1 € a cada uno de los L trabajos que como
media hay en ese instante en el sistema.

Si aplico el teorema a la cola, dejando fuera del sistema al servidor, obtengo el
siguiente resultado, también muy útil:
q q L = λW

Las dos fórmulas obtenidas nos sirven para ayudarnos a obtener los valores de las
medidas de rendimiento, aunque necesitaremos otras ecuaciones para poder
conseguir resultados explícitos.


68

GLOBAL

Las ecuaciones de Little expresan que para cualquier sistema o subsistema dado, en
estado estacionario el número medio de clientes dentro es igual a la tasa media de
entrada de clientes por el tiempo medio de permanencia en ese sistema o
subsistema.

Casos particulares: el número medio de clientes en el sistema, el número medio de
clientes en la cola, el tiempo esperado de permanencia en el sistema y el tiempo
esperado de permanencia en la fila satisfacen las siguientes igualdades:

s n =l t
f n =l t
Donde l es la tasa media de llegadas, que viene dada por
¥
=
=
n0
nnllp.
Asimismo, si at t es el tiempo medio de atención, tenemos que at r = l t.

Tiempo esperado de permanencia en el sistema
Utilizando las igualdades de Little, tenemos que
l
n
ts =
Tiempo esperado de permanencia en la fila


69

GLOBAL

Aplicando nuevamente las igualdades de Little, llegamos a
l
=n f t
Hemos obtenido ecuaciones para diversas medidas de interés (en estado
estacionario) sobre filas de espera con llegadas de Poisson y tiempos de servicio
exponenciales sin hacer suposiciones acerca de las tasas de llegada y de atención. A
continuación aplicaremos estos resultados ―genéricos‖ para establecer resultados en
modelos específicos.

A continuación presentamos un estudio de algunos modelos simples de filas de
espera con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales.

2.4 PATRONES DE LLEGADAS Y DE SERVICIO.
El sistema que se analizó en la sección anterior supone que el número de clientes que
requieren servicio en un periodo de tiempo determinado es infinito. Este caso no
corresponde a la realidad ya que una población es, por regla, de tamaño finito. Este
caso no corresponde a la realidad ya que una población es, por regla, de tamaño
finito. Esta consideración, en vez de simplificar el desarrollo de fórmulas que
describen cuantitativamente al sistema, lo complica. Por ello, se refiere trabajar con el
supuesto de población infinita y no con el real.
Suponiendo que una población finita de m elementos (o<m<∞) requiriera servicios de
un sistema similar al de la sección anterior, las series infinitas analizadas para la
sección 3.4 se convierten en series finitas y generan de manera análoga los
siguientes resultados9.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.4 PATRONES DE LLEGADAS Y DE SERVICIO.

70

GLOBAL

Si m es la población que pudiera requerir un servicio determinado y n (n < m)
elementos de esa población piden ese servicio, entonces P 0 (t) se calcula mediante el
uso simultáneo de las expresiones 3.20 y 3.21, determinadas a continuación:

(3.20)
(3.21)

∑

Una vez conocida

(t) se calcula L, W, Ts, Tw de:

(3.22)
(

)

(3.23)
(3.24)
(3.25)

Obviamente, conocida P0 (t) se calcula Pn (t) de 3.20 de la siguiente manera:

(3.26)

Ejemplo 3.2. Suponga que en la flota de Aeroméxico existen cuatro aviones del tipo
jumbo 747. Se ha venido observando el comportamiento de estos aviones desde 1971
y, en especial, las fallas de las turbinas.


71

GLOBAL

Los datos indican que las fallas de cualquier turbina de cualquier avión es una
variable aleatoria y que el tiempo promedio entre dos fallas consecutivas de cualquier
avión es de un año. El tiempo promedio de revisión y compostura de la falla de la
turbina es de 45 días (un octavo de año).

Solamente se tienes un equipo humano de expertos para dar servicios y se
proporciona servicio bajo la política de ―primero que entra al taller, primero que se le
sirve‖. Durante el periodo de mantenimiento el avión no vuela. Describa
cuantitativamente al sistema de espera.

∑

∑

∑

Si se toma como unidad de tiempo un año, entonces

⁄

Como

.

, se aplica los conceptos anteriores. Se calcula la expresión 3.20


72

GLOBAL

Para n = 0, 1, 2, 3, 4 y m = 4, donde n es el número de aviones que esperan
compostura y m es la flota de jumbos 747 de Aeroméxico.

n

m

0

4

1.00000

1

4

0.50000

2

4

0.18750

3

4

0.04688

4

4

0.00576

Tabla 3.2 ∑

Por lo tanto, y de acuerdo con 3.21, se tiene:

∑

Que significa que existe un 5704% de probabilidad de que no se encuentre ningún
avión jumbo 747 en el sistema de compostura de turbinas en el tiempo t.


73

GLOBAL

La probabilidad de que se encuentre un avión en mantenimiento y otro en espera es:

El número promedio de aviones de aviones que esperan servicio en 1 año es de:

Mientras que el número promedio de aviones en el sistema (esperando en la cola y en
el taller) es:

El tiempo promedio de espera en la cola para recibir servicio es:

O sea aproximadamente 18 días, mientras que el tiempo promedio en el sistema
(espera más servicio) es de:

O sea casi 64 días:

74

GLOBAL

¿Qué representa esto en costo?

Suponga que el costo de 1 hora de vuelo de un 747 es de 10 mil pesos, de 2 mil
cuando está en tierra y de 5 mil cuando está en mantenimiento. Se supone que estos
aviones vuelan, en promedio, 14 horas por día y por cada mil horas de vuelo se les

Proporcionaría mantenimiento preventivo (independiente de las composturas de falla
de turbina) que dura en promedio 100 horas. Se supone que el sueldo mensual del
personal especializado de reparación es de 200 mil pesos y el costo mensual del
equipo de reparación (luz, depreciación, seguros, etc.,) es de 125 mil pesos.

El costo de la espera para componer las fallas de la turbina de un avión es, por lo
tanto, la suma de los siguientes costos:

a) Tiempo muerto del avión mientras espera y le reparan la turbina, (Tw).
b) Tiempo muerto de la tripulación cuando el avión se encuentra en el taller por
compostura de turbinas.

c) Tiempo de reparación de la turbina (sin incluir refacciones), es decir T w – Ts.
Como la unidad de tiempo es un año, se deben convertir todos los costos unitarios a
costo por año.


75

GLOBAL

En un año (365 días) el avión vuela:

Por lo que recibe 5 mantenimientos preventivos de 100 horas cada uno, para un total
de 500

de servicio de mantenimiento. Si en un año existen 8760 horas, lo

anterior quiere decir que:

8760 – (5110 + 500) = 3150

Estará parado el avión en tierra. Entonces el costo total anual para cada avión será
de:

(5110

) + (500

) + (3150

2000

* 5000

) = 59.9

Si un avión de este tipo pasa T w = 0.175 de año (64 días), en el sistema de
compostura de turbinas, el costo asociado a este tiempo muerto es:

(59.9

) (0.175 años) = 10.48

76

GLOBAL

El sueldo mensual de una tripulación es de 400 mil pesos (4.8 millones de pesos por
año); por lo tanto, el costo del tiempo muerto de la tripulación asociado a la
compostura de una turbina será:

(

)

La nómina mensual del equipo de reparación más sus costos mensuales suman 325
mil pesos (3.9 millones de pesos por año). Por lo tanto, el costo del tiempo de
reparación por avión, sin tomar en cuenta refacciones es:

(

)

El costo total de tener a un avión en el sistema de compostura es:

(10.48 + 0.21 + 0.49) = 11.58

Este resultado motiva las siguientes preguntas: ¿Conviene aumentar el equipo
especializado de reparación de turbinas a 2 o 3? Si es así, ¿En cuánto disminuiría el
costo de la espera por avión en el sistema? ¿A cuánto aumenta el costo del equipo de
reparación? ¿Cuál es un buen punto de equilibrio?

77

GLOBAL

2.5 SOLUCION ANALITICA LINEAS DE ESPERA.
USO DE LAS TASAS DE LLEGADA Y DE SERVICIO
Como la mayor parte de las técnicas matemáticas, la teoría de líneas de espera tiene
su propio conjunto de términos. El de disciplina de la línea de espera se refiere a la
condición en que se escogen las llegadas para recibir servicio. En este capítulo el
procedimiento consiste en que las llegadas ocupan su lugar en la línea de espera, a
base de que el que llega primero queda en primer lugar.

Las llegadas pueden ser uniformes durante cierto periodo, o pueden ser aleatorias. La
tasa de llegadas puede tomar la forma de empleados que llegan a la caseta de
herramientas de la empresa, o en otras condiciones podrían representar el número de
clientes que esperan para comer. General-mente, la tasa de llegada se expresa como
tasa de llegada por unidad de tiempo. Si es aleatoria los clientes no llegan en un
orden o patrón lógico en el transcurso del tiempo, lo que representa la mayor parte de
los casos en el mundo de los negocios. En las situaciones en que las llegadas se
distribuyen en forma aleatoria puede utilizarse su promedio si se registra durante un
periodo suficientemente prolongado.

La tasa de servicio se ocupa de la forma en que las instalaciones de servicio pueden
manejar las demandas de llegada, y se expresa como una tasa por unidad de tiempo.
Por ejemplo, la tasa de servicio podría indicar el número de pedidos que el
departamento de piezas de repuesto procesa por hora. También el tiempo de servicio
puede ser uniforme o distribuido en forma aleatoria. En las problemas de-negocios ‗se
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