Investigación de Operaciones II

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Investigación de Operaciones II

  1. 1. INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE PÁNUCO CATEDRÁTICO: ING. ARGIA LILI PAZ MOLINA. ASIGNATURA: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II. PRESENTA: JESÚS ABUNDIS MANZANARES. CARRERA: LICENCIATURA EN INFORMATICA.
  2. 2. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL INDICE UNIDAD 1 ................................................................................................................................................. 6 INVENTARIOS ......................................................................................................................................... 6 1.-INTRODUCCIÓN. ............................................................................................................................... 7 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS......................................................................................................................................... 8 SISTEMAS DE INVENTARIOS. ........................................................................................................ 8 MODELO DE INVENTARIO SIN DÉFICIT .................................................................................... 10 FUNDAMENTOS ............................................................................................................................... 10 ANÁLISIS DE ECUACIONES.......................................................................................................... 12 MODELO DE INVENTARIO CON DÉFICIT .................................................................................. 15 ANÁLISIS DE ECUACIONES .......................................................................................................... 16 MODELO DE PRODUCCIÓN SIN DÉFICIT ................................................................................. 19 MODELO DE PRODUCCIÓN CON DÉFICIT ............................................................................... 21 MODELO DE DESCUENTO EN TODAS LAS UNIDADES ........................................................ 24 MODELO CON DESCUENTO INCREMENTALES ..................................................................... 31 1.3 COSTOS DE INVENTARIOS ....................................................................................................... 37 COSTOS DE ALMACENAMIENTO................................................................................................ 40 COSTOS DIRECTOS DE ALMACENAJE ..................................................................................... 41 CALCULO DE LA TASA ANUAL ―AD-VALOREM ― ..................................................................... 42 COSTOS DE LANZAMIENTO DEL PEDIDO. .............................................................................. 45 COSTOS DE ADQUISICION ........................................................................................................... 45 COSTOS DE RUPTURA DE STOCK ............................................................................................ 46 1.4 MODELOS DETERMINÍSTICOS ................................................................................................. 47 MODELO DE INVENTARIO GENERAL ........................................................................................ 47 1.5 PLANEACIÓN DE REQUERIMIENTOS DE MATERIALES. ................................................... 49 UNIDAD 2 ............................................................................................................................................... 51 LI. Jesús Abundis Manzanares | 2
  3. 3. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL LÍNEAS DE ESPERA............................................................................................................................ 51 INTRODUCCION................................................................................................................................... 52 ORIGEN. ............................................................................................................................................. 53 2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA. .............................................................. 56 USO DE LAS TASAS DE LLEGADA Y DE SERVICIO ............................................................... 57 APLICACIONES DE LA TEORIA DE LINEAS DE ESPERA. ..................................................... 59 TIEMPOS UNIFORMES DE LLEGABA Y DE SERVICIO. ......................................................... 62 TEORIA DE LINEAS DE ESPERA DE UN SOLO CANAL. ........................................................ 64 2.3 MODELO CON REABASTECIMIENTO INSTANTANEO. ................................................... 65 2.3 TEOREMA DE LITTLE............................................................................................................... 68 2.4 PATRONES DE LLEGADAS Y DE SERVICIO.......................................................................... 70 2.5 SOLUCION ANALITICA LINEAS DE ESPERA. ........................................................................ 78 USO DE LAS TASAS DE LLEGADA Y DE SERVICIO ............................................................... 78 APLICACIONES DE LA TEORIA DE LINEAS DE ESPERA ..................................................................... 79 TIEMPOS UNIFORMES DE LLEGABA Y DE SERVICIO. ......................................................... 82 TEORIA DE LINEAS DE ESPERA DE UN SOLO CANAL. ........................................................ 83 PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE (MODELOS DE POISSON).................................. 84 PROCESO DE NACIMIENTO PURO Y MUERTE PURA. ......................................................... 84 MODELO DE NACIMIENTO PURO. .............................................................................................. 84 MODELO DE MUERTE PURA........................................................................................................ 86 UNA COLA, UN SERVIDOR Y POBLACIÓN FINITA. ................................................................ 89 UNA COLA-SERVIDORES MULTIPLES EN PARALELO-POBLACION INFINITA. .............. 96 UNIDAD 3 ............................................................................................................................................. 109 SIMULACIÓN ....................................................................................................................................... 109 3.1 INTRODUCCIÓN. ......................................................................................................................... 110 3.2 PROCEDIMIENTO DE SIMULACION. ...................................................................................... 112 LI. Jesús Abundis Manzanares | 3
  4. 4. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL Descripción del procedimiento empleado en las simulaciones. ............................................... 112 3.3 LOS NUMEROS ALEATORIOS Y EL MUESTREO DE VARIABLES ALEATORIAS. ...... 115 NÚMERO ALEATORIO. ................................................................................................................. 115 3.4 SIMULACION DE INVENTARIOS. ............................................................................................ 116 3.5 SIMULACION DE SISTEMAS CON LINEAS DE ESPERA. .................................................. 117 3.6 VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA SIMULACION. ........................................................... 130 VENTAJAS: ...................................................................................................................................... 130 DESVENTAJAS: .............................................................................................................................. 131 UNIDAD 4 ............................................................................................................................................. 132 TEORÍA DE JUEGOS ......................................................................................................................... 132 4. INTRODUCCION ........................................................................................................................... 133 4.2 JUEGOS DE SUMA CERO ......................................................................................................... 135 4.3 JUEGOS DE SUMA DISTINTA A CERO .................................................................................. 136 HISTORIA: ........................................................................................................................................ 137 HISTORIA DE LA TEORÍA DE JUEGOS. ................................................................................... 138 APLICACIONES. ............................................................................................................................. 140 UNIDAD 5 ............................................................................................................................................. 144 CADENAS DE MARKOV ................................................................................................................... 144 5.- INTRODUCCION. .......................................................................................................................... 145 PROBABILIDADES DE TRANSICIÓN. ....................................................................................... 148 5.2 EL DIAGRAMA DE ESTADOS Y LA MATRIZ DE TRANSICION ......................................... 161 DIAGRAMAS DE ESTADO ............................................................................................................ 161 5.3 CALCULO DE PROBABILIDADES DE TRANSICION Y DE ESTADO ESTABLE. ........................................ 168 RESULTADOS................................................................................................................................. 169 UNIDAD 6 ............................................................................................................................................. 170 PROGRAMACIÓN DINAMICA. ......................................................................................................... 170 LI. Jesús Abundis Manzanares | 4
  5. 5. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL INTRODUCCION............................................................................................................................. 171 10.1 MODELOS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA ................................................................. 172 6.2 FORMULACION DE MODELOS PROGRAMACION DINAMICA ......................................... 172 6.3 METODO HACIA ATRAS ............................................................................................................ 172 ANEXOS ............................................................................................................................................... 173 PROBLEMARIO. ................................................................................................................................. 173 UNIDAD I .............................................................................................................................................. 174 1.-INVENTARIOS. ................................................................................................................................ 174 UNIDAD II ............................................................................................................................................. 202 Líneas de espera. ................................................................................................................................ 202 Documento PDF ................................................................................................................................. 202 UNIDAD III ............................................................................................................................................ 202 Simulación .......................................................................................................................................... 202 Documento PDF ................................................................................................................................. 202 UNIDAD IV............................................................................................................................................ 202 Teoría de Juegos ................................................................................................................................. 202 Documento PDF ................................................................................................................................. 202 UNIDAD V ............................................................................................................................................. 202 Cadenas de Markov ............................................................................................................................ 202 Documento PDF ................................................................................................................................. 202 UNIDAD VI............................................................................................................................................ 202 Programación ..................................................................................................................................... 202 Documento PDF ................................................................................................................................. 202 BIBLIOGRAFIAS. ................................................................................................................................ 203 LI. Jesús Abundis Manzanares | 5
  6. 6. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL UNIDAD 1 INVENTARIOS LI. Jesús Abundis Manzanares | 6
  7. 7. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL 1.-INTRODUCCIÓN. Inventarios son bienes tangibles que se tienen para la venta en el curso ordinario del negocio o para ser consumidos en la producción de bienes o servicios para su posterior comercialización. Los inventarios comprenden, además de las materias primas, productos en proceso y productos terminados o mercancías para la venta, los materiales, repuestos y accesorios para ser consumidos en la producción de bienes fabricados para la venta o en la prestación de servicios; empaques y envases y los inventarios en tránsito. La base de toda empresa comercial es la compra y venta de bienes o servicios; de aquí la importancia del manejo del inventario por parte de la misma. T.Q.M.S.L. Este manejo contable permitirá a la empresa mantener el control oportunamente, así como también conocer al final del período contable un estado confiable de la situación económica de la empresa. Ahora bien, el inventario constituye las partidas del activo corriente que están listas para la venta, es decir, toda aquella mercancía que posee una empresa en el almacén valorada al costo de adquisición, para la venta o actividades productivas. Clases de Inventarios: Inventario de Mercancías: Lo constituyen todos aquellos bienes que le pertenecen a la empresa bien sea comercial o mercantil, los cuales los compran para luego venderlos sin ser modificados. LI. Jesús Abundis Manzanares | 7
  8. 8. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL En esta Cuenta se mostrarán todas las mercancías disponibles para la Venta. Las que tengan otras características y estén sujetas a condiciones particulares se deben mostrar en cuentas separadas, tales como las mercancías en camino (las que han sido compradas y no recibidas aún), las mercancías dadas en consignación o las mercancías pignoradas (aquellas que son propiedad de la empresa pero que han sido dadas a terceros en garantía de valor que ya ha sido recibido en efectivo u otros bienes). Inventario de Productos Terminados: Son todos aquellos bienes adquiridos por las empresas manufactureras o industriales, los cuales son transformados para ser vendidos como productos elaborados. 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS. SISTEMAS DE INVENTARIOS. Las empresas mantienen inventarios de materias primas y de productos terminados. Los inventarios de materias primas sirven como entradas al proceso de producción y los inventarios de productos terminados sirven para satisfacer la demanda de los clientes. Puesto que estos inventarios representan frecuentemente una considerable inversión, las decisiones con respecto a las cantidades de inventarios son importantes. LI. Jesús Abundis Manzanares | 8
  9. 9. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL Los modelos de inventario y la descripción matemática de los sistemas de inventario constituyen una base para estas decisiones. Mantener un inventario (existencia de bienes) para su venta o uso futuro es una práctica común en el mundo de los negocios. Las empresas de venta al menudeo, los mayoristas, los fabricantes y aún los bancos de sangre por lo general almacenan bienes o artículos. ¿Cómo decide una instalación de este tipo sobre su ―política de inventarios‖, es decir, cuándo y cómo se reabastece. En una empresa pequeña, el administrador puede llevar un recuento de su inventario y tomar estas decisiones. Sin embargo, como esto puede no ser factible incluso en empresas chicas, muchas compañías han ahorrado grandes sumas de dinero al aplicar la ―administración científica del inventario‖. En particular, ellos. 1. Formulan un modelo matemático que describe el comportamiento del sistema de inventarios. 2. Derivan una política óptima de inventarios con respecto a este modelo. 3. Con frecuencia, utilizan una computadora para mantener un registro de los niveles de inventario y señalar cuándo conviene reabastecer. LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS. 9
  10. 10. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL MODELO DE INVENTARIO SIN DÉFICIT FUNDAMENTOS Este modelo tiene como bases el mantener un inventario sin falta de productos para desarrollar las actividades de cualquier empresa. Este es un modelo de inventarios que se encuentra basado en las siguientes suposiciones: La demanda se efectúa a tasa constante. El reemplazo es instantáneo (la tasa se reemplazo es infinita). Todos los coeficientes de costos son constantes. En este modelo no se permite la falta de productos para la venta, es decir, una empresa que maneje este modelo de inventario no se puede quedar sin mercancías para la venta. En la siguiente figura se ilustra esquemáticamente este modelo. Símbolos. Q = Cantidad optima a pedir. Im = Inventario Máximo. t = Periodo entre pedidos. T = Periodo de Planeación. LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS. 10
  11. 11. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL En este modelo se representan iguales el inventario máximo y la cantidad económica pedida. Cabe mencionar que esto no siempre es verdadero. El costo total para un periodo en este modelo esta conformado por tres componentes de costo: Costo unitario del producto (C1) Costo de ordenar una compra (C2) Costo de mantener un producto en almacén (C3). El costo para un periodo estará conformado de la siguiente manera: Costo por periodo = [Costo unitario por periodo] + [Costo de ordenar un pedido] + [Costo de mantener el inventario en un periodo] El costo total para el periodo de planeación estará conformado de la manera siguiente: Costo total = Costo por periodo x Numero de pedidos a realizar. LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS. 11
  12. 12. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL ANÁLISIS DE ECUACIONES. Costo unitario por periodo. El costo unitario por periodo simplemente es el costo de la cantidad optima a pedir. C1 Q Costo de ordenar una compra. Puesto que solo se realiza una compra en un periodo el costo de ordenar una compra está definido por: C2 Costo de mantener el inventario por periodo. El inventario promedio por periodo es [Q / 2]. Por consiguiente el costo de mantenimiento del inventario por periodo es: Para determinar el costo en un periodo se cuenta con la siguiente ecuación: El tiempo de un periodo se expresa de la siguiente manera: Nota: La demanda del artículo en un periodo de planeación se define con la letra D. El número de periodos se expresa de la manera siguiente: Si se desea determinar el costo total en el periodo de planeación (T) se multiplica el costo de un periodo por el número de interperiodos (t) que contenga el periodo de planeación. Para determinar este costo se aplica la siguiente ecuación: LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS. 12
  13. 13. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL Costo Total = Costo (Q*)t Otra manera de representar el costo total para el periodo de planeación es por medio de la siguiente ecuación: Cuando los componentes del costo total se representan gráficamente se obtiene un punto óptimo (de costo mínimo). Una forma de determinar la cantidad óptima a pedir es suponer diversos valores de Q y sustituir en la ecuación anterior hasta encontrar el punto de costo mínimo. Un procedimiento más sencillo consiste en derivar la ecuación del costo total con respecto a Q e igualar la derivada a cero. Al resolver esta derivada tenemos la ecuación para determinar la cantidad óptima a pedir. Q= Esta ecuación ocasiona un costo mínimo y tiene como base un balance entre los dos costos variables (costo de almacenamiento y costo de compra) incluidos en el modelo. Cualquier otra cantidad pedida ocasiona un costo mayor. Para entender este modelo se resolverá un ejercicio en donde se aplican todos los aspectos más importantes de este modelo de compra. LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS. 13
  14. 14. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL EJERCICIO Una empresa vende un artículo que tiene una demanda de 18, 000 unidades por año, su costo de almacenamiento por unidad es de $ 1.20 por año y el costo de ordenar una compra es de $ 400.00. El costo unitario del artículo es $ 1.00. No se permite faltante de unidades y su tasa de reemplazo es instantánea. Determinar: La cantidad optima pedida El costo total por año El número de pedidos por año El tiempo entre pedidos Datos C1= $ 1.00 C2 = $ 400.00 C3 = $ 1.20 La cantidad optima a pedir se calcula de la siguiente forma. = 3 465 Unidades El costo total estará determinado por: Costo = [(1)(18000)] + [ (400)(18000/3465)] + [(1.2)(3465/2)] = $ 22, 156 por año El número de pedidos por año es LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS. 14
  15. 15. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL N = D / Q = 18 000 / 3465 = 5.2 Pedidos por año El tiempo entre pedidos es t = Q / D = 3465 / 18000 = 0.1925 años MODELO DE INVENTARIO CON DÉFICIT FUNDAMENTOS El modelo de compra que permite déficit tiene como base las siguientes suposiciones: La demanda se efectúa a tasa constante. El reemplazo es instantáneo (la tasa se reemplazo es infinita). Todos los coeficientes de costos son constantes. Este modelo tiene costos normales (costo unitario del producto, costo de ordenar una compra, costo de mantener en inventario) pero además tiene un costo adicional, el costo por unidad de faltante. En este modelo es posible diferir un pedido, de manera que una vez recibida la cantidad pedida desaparece el déficit, esto se representa claramente en el siguiente esquema. LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS. 15
  16. 16. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL Q = Cantidad optima a pedir S = Cantidad de unidades agotadas Im = Inventario Máximo t = Periodo entre pedidos T = Periodo de Planeación t1 = Tiempo en donde se cuenta con inventario t2 = Tiempo en donde se cuentan con unidades agotadas. Por consiguiente, en este modelo, los costos de déficit son ocasionados por agotamiento de existencias durante el periodo de tiempo y no por la pérdida de ventas. En este modelo se incluyen los costos de déficit para determinar el costo para un periodo. Costo por periodo = [Costo unitario por periodo] + [Costo de ordenar un pedido] + [Costo de mantener el inventario en un periodo] + [costo de déficit por periodo] ANÁLISIS DE ECUACIONES El costo unitario y el costo de ordenar un pedido se determinan de una manera semejante a como se determinan en el modelo de compra sin faltante. LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS. 16
  17. 17. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL Para determinar el tiempo t1, el inventario máximo y el tiempo t2 en función de la cantidad óptima a pedir (Q) y la cantidad de existencias agotadas (S) se realiza el siguiente proceso. El inventario máximo estará definido por: Im = Q – S Las siguientes ecuaciones se obtienen a partir de la semejanza de triángulos: Debido a que el tiempo de un periodo t es Q / D. Las ecuaciones anteriores pueden representarse de la siguiente forma. Sustituyendo las ecuaciones 1,2 y 5 en la ecuación del costo por periodo tenemos. Multiplicando el costo de un periodo por el número total de interperiodos que tiene el periodo de planeación obtenemos el costo total. Para determinar la cantidad optima a pedir y la cantidad de existencias agotadas se realiza una operación de derivación parcial con respecto a cada una de estas variables. El resultado de estas operaciones nos da como resultado. Para entender este modelo se resolverá un ejercicio en donde se aplican todos los aspectos más importantes de este modelo de compra. LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS. 17
  18. 18. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL EJERCICIO Una empresa vende un artículo que tiene una demanda de 18, 000 unidades por año, su costo de almacenamiento por unidad es de $ 1.20 por año y el costo de ordenar una compra es de $ 400.00. El costo unitario del artículo es $ 1.00. El costo por unidad de faltante es de $ 5.00 por año. Determinar: La cantidad optima pedida El costo total por año El número de pedidos por año El tiempo entre pedidos Datos C1= $ 1.00 C2 = $ 400.00 C3 = $ 1.20 C4 = $ 5.00 La cantidad óptima a pedir se calcula de la siguiente forma. = 3 465 Unidades El costo total estará determinado por: = 747 Unidades El número de pedidos por año es = 4.66 LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS. 18
  19. 19. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL El tiempo entre pedidos es =0.215 MODELO DE PRODUCCIÓN SIN DÉFICIT FUNDAMENTOS Las suposiciones de este modelo son las siguientes. La demanda se efectúa a tasa constante. El reemplazo es instantáneo (la tasa se reemplazo es finita). Todos los coeficientes de costos son constantes. La tasa de manufacturación es mayor que la tasa de demanda. Este modelo es muy similar al modelo de compra sin déficit. En este modelo cambia el costo de ordenar una compra por el costo de iniciar una tanda de producción (C2). Para determinar la cantidad optima a pedir, se sigue el procedimiento del modelo de compra sin déficit. En el siguiente esquema se representa este modelo. Q = Cantidad optima a producir R = Tasa de manufacturación Im = Inventario Máximo t = Periodo entre tandas de producción T = Periodo de Planeación t1 = Tiempo en donde se cuenta con inventario disponible t2 = Tiempo en donde no se cuenta con inventario LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS. 19
  20. 20. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL El costo de organizar una tanda por periodo estará determinado por. El tiempo entre tandas de producción estará definido por. Puesto que las unidades se utilizan de acuerdo a su definición el inventario máximo por periodo es el tiempo de manufacturación t1 multiplicado por la tasa de acumulación, en donde la tasa de acumulación es la tasa manufacturación R menos la tasa de demanda D, obteniendo como resultado: Im= t1(R - D) El tiempo de manufacturación es el tiempo requerido para fabricar Q unidades: Por consiguiente el inventario máximo estará definido por: Otra forma de representar el costo por periodo es de la forma siguiente: Para determinar el costo total por el periodo de planeación se procederá a multiplicar el costo por periodo por el número de tandas de producción. Para encontrar la cantidad optima a producir se derivada esta ecuación y se iguala con cero. En donde el valor de Q se puede obtener mediante la siguiente ecuación: Esta cantidad óptima que debe fabricarse representa un balance entre los costos de almacenamiento y los costos de organización de una tanda de producción. Para entender este modelo se resolverá un ejercicio en donde se aplican todos los aspectos más importantes de este modelo de manufacturación. LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS. 20
  21. 21. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL EJERCICIO La demanda de un artículo de una determinada compañía es de 18, 000 unidades por año y la compañía puede producir ese artículo a una tasa de 3 000 unidades por mes. El costo de organizar una tanda de producción es $ 500.00 y el costo de almacenamiento de una unidad es de $ 0.15 por mes. Determinar la cantidad óptima de debe de manufacturarse y el costo total por año suponiendo que el costo de una unidad es de $ 2.00, = 4 470 Unidades El costo total anual es = $ 40, 026 El inventario máximo estaría determinado por: = 2 235 Unidades MODELO DE PRODUCCIÓN CON DÉFICIT FUNDAMENTOS Las suposiciones para este modelo son las siguientes: La demanda se efectúa a tasa constante. El reemplazo es instantáneo (la tasa se reemplazo es finita). Todos los coeficientes de costos son constantes. La tasa de manufacturación es mayor que la tasa de demanda. LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS. 21
  22. 22. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL En la siguiente figura se ilustra esquemáticamente este modelo. Q = Cantidad optima a pedir S = Cantidad de unidades agotadas Im = Inventario Máximo t = Periodo entre tandas de producción T = Periodo de Planeación t1 t4= Tiempo de manufacturación t2 t3= Tiempo de consumo de las unidades producidas. El costo de un periodo de producción estará determinado por la siguiente ecuación: Por definición tenemos otra manera de representar el costo de producción para un periodo tenemos. Multiplicando la ecuación anterior por el número de periodos de producción tenemos el costo total para el periodo de planeación: Para determinar la cantidad óptima Q se obtienen las derivadas parciales con respecto a Q y a S. Realizando las operaciones correspondientes obtenemos como resultado: Para entender este modelo se resolverá un ejercicio en donde se aplican todos los aspectos más importantes de este modelo de manufacturación. LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS. 22
  23. 23. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL EJERCICIO La demanda de un artículo de una determinada compañía es de 18, 000 unidades por año y la compañía puede producir ese artículo a una tasa de 3 000 unidades por mes, El costo de organizar una tanda de producción es $ 500.00 y el costo de almacenamiento de una unidad es de $ 0.15 por mes. Determinar la cantidad optima de debe de manufacturarse y el costo total por año suponiendo que el costo de una unidad es de $ 2.00. El costo por unidad agotada es de $ 20.00 por año. Datos D = 18, 000 Unidades por año R = 3,000 por mes C1 = $ 2.00 C2 = $ 500.00 C3 = $ 0.15 por mes C4 = $ 20.00 por año La cantidad óptima estará definida por: = 4670 Unidades Para calcular el costo anual primero se deben calcular el número de unidades agotadas. = 193 Unidades El costo total quedara definido por Costo Total = $ 39, 855 por periodo de planeación. LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS. 23
  24. 24. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL MODELO DE DESCUENTO EN TODAS LAS UNIDADES FUNDAMENTOS Este modelo se basa manejar diferentes costos según las unidades pedidas, es decir, la cantidad de productos a comprar definirá el precio de los mismos. Algunas empresas manejan este modelo de inventario debido a que sus costos le permiten realizar este tipo de compras. Este modelo les proporciona sus costos totales más bajos según sus necesidades y los recursos con los que cuenten. En la siguiente gráfica se representa este modelo. Ni = Cantidades a pedir Costo i = Costos de adquirir la cantidad Ni En este modelo se realizan descuentos según la cantidad a comprar, por ejemplo, una empresa distribuye artículos, sus precios son los siguientes: De A Costo Unitario 0 10, 000 $ 5.00 10, 001 20,000 $4.50 20, 001 30, 000 $3.00 30, 001 En adelante $2.00 LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS. 24
  25. 25. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL Según estos costos si nosotros deseamos comprar entre 0 y 10, 000 unidades estas tendrán un costo de $5.00, entre 10, 0001 y 20, 000 un costo de $4.50, entre 20, 001 y 30, 000 un costo de $3.00 y arriba de 30, 001 un costo de $2.00. En la siguiente gráfica se presentan los datos antes descritos. Esto resulta bueno para algunas empresas que cuenten con costos de mantener inventarios muy bajos, ya que pueden realizar compras en gran escala a precios bajos. Con este tipo de modelo los costos unitarios de los productos se ven mermados pero los costos de mantener un almacén se pueden ver incrementados sustancialmente. Cabe mencionar que se debe de tomar en cuenta que la mercancía en ocasiones mantenerla en un almacén le ocasiona deterioro. Para realizar el desarrollo de este modelo estructuraremos un algoritmo que consta de cuatro pasos, en los cuales se tomarán aspectos importantes de este modelo. Pasos para la aplicación de este modelo. Para realizar el desarrollo de este algoritmo nos apoyaremos en la siguiente gráfica en donde se representa este modelo. PASO 1. El primer paso es determinar la cantidad optima a pedir según los costos (Costo de pedir, Costo de mantener) que maneje la empresa, para cada uno de los descuentos con que se cuentan. LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS. 25
  26. 26. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL Determinaremos la cantidad optima a pedir para cada uno de los costos (C1, C2, C3, C4) de los descuentos. Q = Cantidad Optima D = Demanda del artículo. C1 = Costo unitario del artículo. C2 = Costo de ordenar un pedido. i = Porcentaje sobre el precio del artículo por mantenimiento en inventario. Existen ocasiones en que la empresa maneja un costo de almacén adicional, entonces la ecuación que definida de la siguiente forma: En donde C3 + iC1j será el costo total de mantener en almacén. PASO 2. El segundo paso es realizar una comparación de los valores de Qj con sus respectivos niveles de precio (Ci), por ejemplo, se compara el valor obtenido de Q1 con respecto al intervalo que corresponde el valor del costo de C1, si este se encuentra entre el valor de 0 y el valor de N1 entonces este valor de Q se tomará como un valor óptimo. De igual manera se realizará una comparación entre Q2 y el intervalo de N1 y N2. Esto operación se realiza con todos los valores de Q obtenidos. En caso de que el valor obtenido no se encontrara dentro de este intervalo, la cantidad óptima estará definida por el límite inferior del intervalo. En la gráfica el valor de Q1 no se encuentra dentro de su intervalo, por consiguiente el valor de Q2 será su límite inferior, o sea, Q2 = N1. LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS. 26
  27. 27. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL PASO 3. El tercer paso es determinar los costos totales para cada uno de los valores óptimos obtenidos anteriormente. El costo total lo determinaremos con la siguiente ecuación. PASO 4. El cuarto paso es determinar el menor costo total obtenido en el paso anterior. El valor de Q utilizado para determinar este costo será la cantidad optima a pedir según los costos estimados en el planteamiento del problema. Para entender mejor este modelo se resolverá un problema en donde se describirán cada uno de los pasos anteriormente mencionados. EJERCICIO. Determine la cantidad optima a ordenar para una parte comprada que tiene las siguientes características: Uso estimado anual a tasa constante 10, 000 unidades Costo de procesar una orden $ 32.00 Intereses anual, impuesto y seguro como una fracción del valor de la inversión sobre el inventario promedio 20 %. El esquema de precios es el siguiente: Cantidad Precio 0 < Q < 1, 000 $ 3.50 LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS. 27
  28. 28. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL 1, 000 < Q < 2, 000 $ 2.95 2, 000 < Q $ 2.00 No se permiten faltantes el lote se entrega en un embarque. RESOLUCIÓN. Datos. D = 10, 000 Unidades C2 = $ 32.00 C11 = $ 3.50 C12 = $ 2.95 C13 = $ 2.00 i = 20 % Nota: Cabe hacer mención que el costo de mantener una unidad en almacén esta definido por C3 = iC1j. Representando los costos unitarios proporcionados tenemos la siguiente gráfica. Para iniciar con el desarrollo del problema seguiremos el algoritmo antes descrito. PASO 1. Determinaremos la cantidad optima a pedir para cada uno de los costos proporcionados. LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS. 28
  29. 29. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL Para C11 = $ 3.50 tenemos: = 956.18 Para C12 = $ 2.95 tenemos: = 1041.51 Para C13 = $ 2.00 tenemos: = 1264.91 Con los datos obtenidos anteriormente terminaremos que las cantidades optimas que se encuentran dentro del intervalo correcto. Cantidad Consideración 0 < Q1 = 956.18 < 1, 000 Ö 1, 000 < Q2 = 1041.51 < 2, 000 Ö 2, 000 < Q3 = 1264.91 X Debido a que Q3 no se encuentra dentro de su intervalo su valor quedará definido por su intervalo inferior, o sea, Q3 = 2, 000. Los datos obtenidos anteriormente pueden quedar representados en la siguiente gráfica. LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS. 29
  30. 30. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL PASO 3. Ahora procederemos a determinar el costo total de los valores óptimos obtenidos anteriormente. El costo total para el primer valor óptimo obtenido es (Q1 = 956.18): = $ 35, 669.32 El costo total para el segundo valor óptimo obtenido es (Q2 = 1041.51): = $ 30, 114.48 El costo total para el segundo valor optimo obtenido es (Q3 = 2000): = $ 20, 560.00 PASO 4. Ahora solo falta determinar el mínimo valor del costo total calculado anteriormente. Vemos que el valor mínimo es el del Costo Total3 por consiguiente la cantidad optima a ordenar es de 2,000 unidades. En la siguiente gráfica se presentan los resultados obtenidos al calcular cada uno de los costos totales y la determinación del menor costo. Como se puede ver en la gráfica el menor costo se produce al pedir 2, 000 unidades. Podemos concluir que la cantidad optima a pedir para este problema es de 2, 000 unidades y esto ocasiona tener un costo total de $ 20, 560.00. LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS. 30
  31. 31. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL MODELO CON DESCUENTO INCREMENTALES FUNDAMENTOS Este modelo se basa en manejar un precio unitario de un producto en referencia a la cantidad necesitada, a diferencia del modelo de descuentos en todas las unidades este realiza descuentos sobre una cierta cantidad de artículos que se encuentran dentro de un intervalo. Para entender mejor este modelo supongamos que tenemos la siguiente tabla de precios y deseamos conocer el costo de 25 000 unidades de cierto producto. De A Costo Unitario 0 10, 000 C11 10, 001 20,000 C12 20, 001 30, 000 C13 30, 001 En adelante C14 En la siguiente gráfica se presentas los costos unitarios de este producto. Para determinar el costo de 25 000 unidades se tomarán 10 000 unidades a un costo de C11, 10 000 unidades a un costo de C12 y 5 000 unidades a un costo de C13. LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS. 31
  32. 32. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL Se toman las cantidades de los intervalos con sus respectivos precios hasta que se logre acumular la cantidad requerida, es obvio que existe un gran contraste en comparación al modelo de descuentos en todas las unidades en donde el precio se toma con referencia al intervalo en donde se encuentra la cantidad requerida. Por consiguiente el costo de 25 000 unidades será: Costo = C11 (10 000) + C12(10 000)+ C13(5 000) Para el modelo de descuentos en todas la unidades estaría definido de la siguiente manera: Costo = C13 (25 000) En la siguiente gráfica se presentan los costos que nos representaría adquirir una cierta cantidad de un producto, por ejemplo, si queremos adquirir alguna cantidad que se encontrase entre el intervalo de N0 y N1 la línea de costo estaría definida de la siguiente manera: Si la cantidad a adquirir sobrepasará el intervalo de N0 y N1, y se ubicará ahora entre el intervalo de N1 y N2 la línea de costo estará representada por: Esto se realiza para todos los intervalos considerados, dando como resultado la siguiente gráfica. Ahora podemos concluir que el costo no se incrementa linealmente, sino que toma diversos estados en relación a la cantidad requerida. LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS. 32
  33. 33. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL En este modelo se deberá determinar la cantidad optima a pedir en base a los costos unitarios con los que se cuenten, es decir, se determinará la cantidad optima para cada costo unitario. Es necesario también definir el costo de adquirir una cantidad Nj, es se realiza mediante la siguiente ecuación. Para adquirir una cantidad N3 el costo de esta se le deberá sumar los costos anteriores, o sea, N1 y N2, esto se realiza debido a las bases en las que se fundamenta el modelo anteriormente explicadas. El costo óptimo total de un lote de productos estará definido por la siguiente ecuación. El costo total para un periodo de planeación estará definido por la siguiente ecuación. Si a esta ecuación la derivamos con respecto a Q obtendremos la ecuación para determinar la cantidad óptima a pedir. En ocasiones algunas empresas manejan un costo de almacén adicional, entonces la ecuación es la siguiente: En donde C3 + iCj será el costo total de almacén. Para entender mejor este modelo se resolverá un problema en donde se describirán cada uno de los pasos anteriormente mencionados. LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS. 33
  34. 34. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL Ejercicio Determine la cantidad óptima a ordenar para una parte comprada que tiene las siguientes características: Uso estimado anual a tasa constante 120, 000 unidades Costo de procesar una orden $ 800.00 Intereses anual, impuesto y seguro como una fracción del valor de la inversión sobre el inventario promedio 10 %. El costo de mantener es de $ 6.00. El esquema de precios es el siguiente: Cantidad Precio 0 < Q < 10, 000 $ 6.00 10, 000 <= Q < 30, 000 $ 5.80 30, 000 <= Q $ 5.70 LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS. 34
  35. 35. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL RESOLUCIÓN Datos. D = 120 000 Unidades C2 = $ 800.00 i = 10 % C3 = $ 6.00 La siguiente gráfica nos representa la estructura de precios del problema. Para desarrollar mejor este modelo, se realizará una tabla la cual contendrá datos referentes del problema que se analiza. La tabla se presentará de la siguiente manera: J Cj Nj V(Nj) V(Q)=V(Nj-1)+Cj(Q-Nj-1) J = Intervalos Cj = Precio unitario para el intervalo j Nj = Cantidad para el periodo j. V(Nj) = Costo de Nj unidades. V(Q) = Costo de Q unidades Ahora procederemos a iniciar el proceso de resolución del problema. Encontraremos los costos de lotes para cada uno de los intervalos de productos. V(N1) = C1(N1-N0) = 6(10,000 - 0) = 60, 000 V(N2) = C2(N2- N1) = 60,000 + 5.80(30,000 – 10, 000) = 60,000+116, 000 = 176, 000 LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS. 35
  36. 36. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL Nota. En el paso anterior se le suma el costo del lote anterior al costo actual, es decir, a 116 000 del costo del lote actual se le suma 60, 000 del costo anterior. El costo óptimo total de un lote de productos estará definido por la siguiente ecuación. V(Q1) = V(N0) + C1(Q –N0) = 0 + 6(Q - 0) = 6Q V(Q2) = V(N1) + C2(Q –N1) = 60 000 + 5.80(Q – 10, 000) = 5.80 Q + 6 000 Ahora introduciremos los valores a la tabla quedando de la siguiente forma. J Cj Nj V(Nj) V(Q)=V(Nj-1)+Cj(Q-Nj-1) 1 $ 6.00 10, 000 60, 000 6Q 2 $ 5.80 30, 000 176, 000 5.80 Q + 6000 3 $ 5.70 La cantidad óptima para los diferentes costos será: = 5 393.59 Unidades = 10 105.82 Unidades = 14 555.82 Unidades LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS. 36
  37. 37. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL Los valores obtenidos los compararemos con sus respectivos intervalos. Cantidad Consideración 0 < Q1 = 5393.59 < 10, 000 Si 10, 000 <= Q2 = 10 105.82 < 30, 000 Si 30, 000 <= Q3 = 14 555.82 No En base al análisis anterior tenemos que los costos para Q1 y Q2 son: Costo Total (Q1) = $ 739 130.07 Costo Total (Q2) = $ 731 955.28 Ahora podemos concluir que lo óptimo será pedir 10 105.82 Unidades. 1.3 COSTOS DE INVENTARIOS La Gestión de Inventarios es una actividad en la que coexisten tres tipos de Costos • Costos asociados a los flujos • Costos asociados a los stocks • Costos asociados a los procesos Esta estructura se plantea sin perjuicio de mantener la clásica estructura de Costos por naturaleza, según se clasifican en los dos siguientes grandes grupos. • Costos de Operación. • Costos Asociados a la Inversión LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.3 COSTOS DE INVENTARIOS 37
  38. 38. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL Los primeros, son los necesarios para la operación normal en la consecución del Fin. Mientras que los asociados a la Inversión son aquellos financieros relacionados con depreciaciones y amortizaciones. Dentro del ámbito de los flujos habrá que tener en cuenta los Costos de los flujos de aprovisionamiento (transportes), aunque algunas veces serán por cuenta del proveedor (en el caso de contratos tipo CFR, CIF, CPT o CIP, entre otros) y en otros casos estarán incluidos en el propio precio de la mercancía adquirida. Será necesario tener en cuenta tanto los Costos de operación como los asociados a la inversión. Costos asociados a los stocks, en este ámbito deberán incluirse todos los relacionados con Inventarios. Estos serían entre otros Costos de almacenamiento, deterioros, perdidas y degradación de mercancías almacenadas, entre ellos también tenemos los de rupturas de Stock, en este caso cuentan con una componente fundamental los Costos financieros de las existencias, todo esto ya serán explicados más adelante. Cuando se quiere conocer, en su conjunto los costos de inventarios habrá que tener en cuenta todos los conceptos indicados. Por el contrario, cuando se precise calcular los costos, a los efectos de toma de decisiones, (por ejemplo, para decidir tamaño óptimo del pedido) solamente habrá que tener en cuenta los costos evitables (que podrán variar en cada caso considerado), ya que los costos no evitables, por propia definición permanecerán a fuera sea cual fuera la decisión tomada. LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.3 COSTOS DE INVENTARIOS 38
  39. 39. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL Por último, dentro del ámbito de los procesos existen numerosos e importantes conceptos que deben imputarse a los Costos de las existencias ellos son: Costos de compras, de lanzamiento de pedidos y de gestión de la actividad. Un caso paradigmático es el siguiente. En general, los Costos de transporte se incorporan al precio de compras (¿por qué no incorporar también los Costos de almacenamiento, o de la gestión de los pedidos?), como consecuencia de que en la mayoría de los casos se trata de transportes por cuenta del proveedor incluidos de manera más o menos tácita o explícita en el precio de adquisición. Pero incluso cuando el transporte está gestionado directamente por el comprador se mantiene esta práctica, aunque muchas veces el precio del transporte no es directamente proporcional al volumen de mercancías adquiridas, sino que depende del volumen transportado en cada pedido. En estas circunstancias el costo del transporte se convierte también en parte del costo de lanzamiento del pedido. La clasificación puramente logística de Costos que se ha citado hasta ahora no es la más frecuentemente utilizada en ―la profesión‖. Ya hemos citado en el párrafo anterior conceptos como ―costo de lanzamiento del pedido‖ o ―costo de adquisición‖, que no aparecían entre los conceptos inicialmente expuestos. Pues bien, la clasificación habitual de costos que utilizan los gestores de los inventarios es la siguiente: • Costos de almacenamiento, de mantenimiento o de posesión de stocks • Costos de lanzamiento del pedido • Costos de adquisición • Costos de ruptura de stocks LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.3 COSTOS DE INVENTARIOS 39
  40. 40. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL COSTOS DE ALMACENAMIENTO. Los costos de almacenamiento, de mantenimiento o de posesión del Stock, incluyen todos los costos directamente relacionados con la titularidad de los inventarios tales como: • Costos Financieros de las existencias • Gastos del Almacén • Seguros • Deterioros, pérdidas y degradación de mercancía. Dependen de la actividad de almacenaje, este gestionado por la empresa o no, o de que la mercadería este almacenada en régimen de depósito por parte del proveedor o de que sean propiedad del fabricante. Para dejar constancia de esta complejidad, se incluye seguidamente una relación pormenorizado de los Costos de almacenamiento, mantenimiento o posesión de los stocks en el caso más general posible. No obstante, más adelante se expondrá un método simplificado para calcular estos costos (la tasa anual ―ad valorem‖) que se utiliza con mucha frecuencia. La clasificación de los costos de almacenamiento que seguidamente se incluye los clasifica por actividad (almacenaje y manutención), por imputabilidad (fijos y variables) y por origen directos e indirectos. LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.3 COSTOS DE INVENTARIOS 40
  41. 41. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL COSTOS DIRECTOS DE ALMACENAJE • Costos fijos • Personal • Vigilancia y Seguridad • Cargas Fiscales • Mantenimiento del Almacén • Reparaciones del Almacén • Alquileres • Amortización del Almacén • Amortización de estanterías y otros equipos de almacenaje • Gastos financieros de inmovilización Costos variables • Energía • Agua • Mantenimiento de Estanterías • Materiales de reposición • Reparaciones (relacionadas con almacenaje) • Deterioros, pérdidas y degradación de mercancías. • Gastos Financieros de Stock. COSTOS DIRECTOS DE MANTENCION Costos fijos • Personal • Seguros • Amortización de equipos de manutención LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.3 COSTOS DE INVENTARIOS 41
  42. 42. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL • Amortización de equipos informáticos • Gastos financieros del inmovilizado Costos variables • Energía • Mantenimiento de equipo de manutención • Mantenimiento de equipo informático • Reparaciones de equipos de manutención • Comunicaciones. COSTOS INDIRECTOS DE ALMACENAJE • de administración y estructura • De formación y entrenamiento del personal Existe un método aproximado de valuar los costos de almacenamiento, conocido como la tasa Anual Ad valorem. CALCULO DE LA TASA ANUAL “AD-VALOREM “ Este método aproximado, que se utiliza bastante para la planificación de Sistemas Logísticos, consiste en admitir que los costos de almacenamiento se pueden aproximar por una tasa anual aplicada al valor de las mercancías almacenadas. Esta hipótesis que es evidente en el caso de los costos financieros de los Stocks se generaliza en este método a los demás costos que intervienen en el almacenamiento (Inversiones, personal, energía, deterioros, perdidas.) Asumiéndose que cuanta más cara es una mercancía más caro es el costo de almacenamiento. LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.3 COSTOS DE INVENTARIOS 42
  43. 43. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL Supongamos por ejemplo, el caso de una empresa comercializadora de cementos especiales, ubicado en un determinado puerto marítimo, para atender a uno de sus clientes, recibe un buque de 5.000 Tm. Con un cargamento de cemento blanco especial de la misma cantidad, cuyo precio es de $80 la Ton. , se traslada a un almacén adecuadamente acondicionado donde queda almacenado. El destino de esta carga es una fábrica que trabaja Just in time, y que solo admite 200 Tons diarias. El cargamento de 5.000 Tns. Tardará 25 días en ser retirado, existiendo a lo largo de dichos 25 días un Stock medio de 2.500 Tns. (5.000 el primer día y 0 el ultimo). Hemos invertido $ 400.000 (5.000 x $80), que no recuperaremos hasta el día 25. Si somos capaces de obtener un rendimiento por nuestro dinero alternativo del 8% anual, el costo financiero de los Stock que tenemos por inmovilización es del 8%, esto aplicado al Stock medio nos da (2.500 x$80) durante el tiempo que lo tenemos inmovilizado (25 días). 1/ABCDEF 2 8% Rendimiento Anual 16000 (B3 x B5) x B2 3 2500 Promedio de Inmovilización 1.095,89 pta (E3 x B4 ) / 365 4 25 Tiempo inmovilizado promedió 5 80 Precio unitario LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.3 COSTOS DE INVENTARIOS 43
  44. 44. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL Pues bien el método de la tasa ad-valorem se extienden a los demás costos que se componen el almacenamiento de mercaderías, admitiendo que además del 8% anual que corresponde al costo de Stock, hay otros puntos porcentuales que corresponden a la integración de los demás costos que también intervienen en el almacenamiento, haciendo así tasas superiores a la de almacenamiento de Stock, por ejemplo en España se cobraba el 25 % cuando la tasa de mercado era del 15 %. También es muy importante destacar que estos costos que mencionamos ―extras‖ en el almacenamiento, siempre están en relación directa con el tipo de mercadería que se trate, así bien no será lo mismo almacenar arena, o leña contra dinero o caviar. Una estructura razonable para la composición de la tasa es la siguiente: Costo financiero de los Stocks 8% al 20% Almacenamiento Físico 5% al 15% Deterioro o Robo 2% al 5% Para el Ejemplo del almacenamiento de cemento blanco, que requiere un esmerado Almacenaje pero poca manutención, cabe valorarlo con una tasa que contemple solo el costo financiero de Almacenamiento sin ―Extras‖, en este caso 18 %. 0.18 * (2500* 80) * ( 25/365 ) = 2.466 La repercusión, de los costos de almacenamiento, es 0.49 la tonelada, que se suman a los costos del transporte primario hasta el puerto de descarga, y los costos de la distribución capilar hasta el cliente. LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.3 COSTOS DE INVENTARIOS 44
  45. 45. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL COSTOS DE LANZAMIENTO DEL PEDIDO. Los Costos de lanzamiento de los pedidos incluyen todos los Costos en que se incurre cuando se lanza una orden de compra. Los Costos que se agrupan bajo esta rúbrica deben ser independientes de la cantidad que se compra y exclusivamente relacionados con el hecho de lanzar la orden. Sus componentes serían los siguientes: Costos implícitos del pedido: Costo de preparación de las máquinas cuando el pedido lo lanza producción, Costo de conseguir ―LUGAR‖ en el almacén de recepción (movilización de mercancías o transporte a otras localizaciones, por ejemplo), costos de transporte exclusivamente vinculados al pedido (la factura de un ―courier‖ en el caso de una reposición urgente, por ejemplo), costos de supervisión y seguimiento de la necesidad de lanzar un pedido, etc. Costos Administrativos vinculados al circuito del pedido. Costos de recepción e inspección. COSTOS DE ADQUISICION Es la cantidad total Invertida en la compra de la mercancía, o el valor contable del producto cuando se trata de material en curso o productos terminados. En el primer caso (materias primas o componentes), el costo de adquisición incorporará los conceptos no recuperables que el proveedor vaya a incluir en su factura (por ejemplo, el transporte, si es por cuenta del proveedor, pero no el IVA). LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.3 COSTOS DE INVENTARIOS 45
  46. 46. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL Se debe tener en cuenta que muchos proveedores aplican descuentos por volumen, por lo que unas veces el costo de adquisición de un pedido tendrá una componente de costo evitable y otras veces será en su totalidad un costo no evitable. En el segundo caso (material en curso o productos terminados), la determinación del costo de adquisición es más compleja, dependiendo de las prácticas contables de la empresa. En principio debe incorporar los siguientes conceptos: • Costos de Materiales incorporados que, según las prácticas contables de la empresa pueden ser valorados de acuerdo a los siguientes criterios. o Método FIFO (first in, first out ). – (Primero en entrar, primero en salir) PEPS o Método LIFO (last in, first out ). – (Ultimo en entrar, primero en salir) UEPS equivale en cierto modo a un precio de reposición. o Método MIFO (midle in, first out) es un promedio ponderado o Precios estandarte de la empresa o Precios estimados de reposición o Costos directos de producción (MOD, depreciaciones etc.) COSTOS DE RUPTURA DE STOCK Los Costos de ruptura o de rotura de stocks incluyen el conjunto de Costos por la falta de existencias, estos costos no serán absorbidos por la producción en proceso, sino que irán a parar directamente al estado de resultados. Los criterios para valorar estos costos de ruptura son: LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.3 COSTOS DE INVENTARIOS 46
  47. 47. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL • Disminución del ingreso por Ventas: La no integridad contable por falta de referencias en un pedido realizado, supone una reducción de los ingresos por ventas, tanto por el desplazamiento en el tipo de la fecha de facturación, como por la pérdida absoluta de la pérdida. • Incremento de los gastos del Servicio: Aquí se incluyen las penalizaciones contractuales por retrasos de abastecimiento, partes en el proceso de producción, los falsos fletes etc. La valoración de estos costos de ruptura es difícil y poco frecuente, solo es posible si la empresa esta provista de un eficiente sistema de gestión de la calidad, en general el gestor de inventarios deberá conformarse con estimaciones subjetivas o costos Estándar. En literatura especializada estos son considerados entre el 1% y el 4% de los ingresos por ventas, pero esto es también tentativo. 1.4 MODELOS DETERMINÍSTICOS MODELO DE INVENTARIO GENERAL La naturaleza del problema de inventario consiste en hacer y recibir pedidos de determinados volúmenes, repetidas veces y a intervalos determinados. Una política de inventario responde las siguientes preguntas. LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.4 MODELOS DETERMINÍSTICOS 47
  48. 48. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL ¿Cuánto se debe ordenar? Esto determina el lote económico (EOQ) al minimizar el siguiente modelo de costo: (Costo total del inventario) = (Costo de compra) + (costo de preparación + (Costo de almacenamiento) + (costo de faltante). Todos estos costos se deben expresar en términos del lote económico deseado y del tiempo entre los pedidos. El costo de compra se basa en el precio por unidad del artículo. Puede ser constante, o se puede ofrecer con un descuento que depende que dependa del volumen del pedido. El costo de preparación representa el cargo fijo en el cual se incurre cuando se hace un pedido. Este costo es independiente del volumen del pedido. El costo de almacenamiento representa el costo de mantener suficientes existencias en el inventario. Incluye el interés sobre el capital, así como el costo de mantenimiento y manejo. El costo de faltante es la penalidad en la cual se incurre cuando nos quedamos sin existencias. Incluye la perdida potencial de ingresos, así como el costo mas subjetivo de la perdida de la buena voluntad de los clientes. LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.4 MODELOS DETERMINÍSTICOS 48
  49. 49. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL ¿Cuándo se deben colocar los pedidos? Depende del tipo de sistema de inventario que tenemos. Si el sistema requiere una revisión periódica (por ejemplo, semanal o mensual), el momento para hacer un nuevo pedido coincide con el inicio de cada periodo. De manera alternativa, si el sistema se basa en una revisión continua, los nuevos pedidos se colocan cuando el nivel del inventario desciende a un nivel previamente especificado, llamado el punto de reorden. 1.5 PLANEACIÓN DE REQUERIMIENTOS DE MATERIALES. Conceptos de Planeación de Requerimientos de Materiales, qué es el sistema MRP, qué es el Plan Maestro de Producción, Lista de Materiales, programación dinámica, Datos para la Planificación de requerimiento de materiales, modelos heurísticos. Ventajas De Las MRP. Entre las ventajas de un sistema MRP se pueden considerar los siguientes ítems: 1. Capacidad para fijar los precios de una manera más competente. 2. Reducción de los precios de venta. 3. Reducción del inventario. 4. Mejor servicio al cliente. 5. Mejor respuesta a las demandas del mercado. 6. Capacidad para cambiar el programa maestro. 7. Reducción de los costos de preparación y desmonte. 8. Reducción del tiempo de inactividad. 9. Suministrar información por anticipado, de manera que los gerentes puedan ver el programa planeado antes de la expedición real de los pedidos. LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.5 PLANEACIÓN DE REQUERIMIENTOS DE MATERIALES. 49
  50. 50. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL 10. Indicar cuando demorar y cuando agilizar. 11. Demorar o cancelar pedidos. 12. Cambiar las cantidades de los pedidos. 13. Agilizar o retardar la fecha de los pedidos. 14. Ayudar en la capacidad de planeación. 15. Reducción hasta el 40% en las inversiones de inventario. Los sistemas avanzados de MRP, también llamados como siguiente generación de MRP II o simplemente E.R.P incluyen entre sus características básicas: 1. Arquitectura Cliente/Servidor. 2. Base datos centralizados, con consultas SQL y generación de informes. 3. Interface gráfica de usuario, con manejo de ventanas. 4. Soporte de base de datos distribuida. 5. Sistemas iniciales para soporte de decisiones. 6. Manejo electrónico de datos e intercambio de los mismos. 7. Interoperabilidad con múltiples plataformas, entre las que se pueden incluir Windows NT y Unix 8. Manejo de interfaces de programación con interoperabilidad con otras aplicaciones de otros programas. 9. Intercambio de datos utilizando Internet. 10. Comunicación entre clientes y proveedores. LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.5 PLANEACIÓN DE REQUERIMIENTOS DE MATERIALES. 50
  51. 51. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL UNIDAD 2 LÍNEAS DE ESPERA LI. Jesús Abundis Manzanares | UNIDAD 2 51
  52. 52. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL INTRODUCCION. Las colas (líneas de espera) son parte de la vida diaria. Todos esperamos en colas para comprar un boleto para el cine, hacer un depósito en el banco, pagar en el supermercado, enviar un paquete por correo, subir a un juego en la feria, etc. Nos hemos acostumbrado a esperas largas, pero todavía nos molesta cuando lo son demasiado. Sin embargo, tener que esperar no sólo es una molestia personal. El tiempo que la población de un país pierde en colas es un factor importante tanto en la calidad de vida como en la eficiencia de su economía. Por ejemplo, antes de su disolución, la Unión Soviética era notoria por las excesivas colas que sus ciudadanos solían tener que soportar solo para comprar artículos básicos. Hoy en Estados Unidos se estima que las personas pasan 37 mil millones de horas al año en líneas de espera. Si este tiempo se usara de manera productiva significaría cerca de 20 millones de personasaños de trabajo útil cada año. Incluso estas asombrosas cifras no cuentan toda la historia del impacto que causa la espera excesiva. También ocurren grandes ineficiencias debido a otros tipos de espera que no son personas en una Cola. La Teoría de Colas es el estudio de la espera en las distintas modalidades. Usa los modelos de colas para representar los tipos de sistemas de líneas de espera (sistemas que involucran colas de algún tipo) que surgen en la práctica. Las fórmulas para cada modelo indican cuál debe ser el desempeño del sistema correspondiente y señalan la cantidad promedio de espera que ocurrirá, en una gama de circunstancias. LI. Jesús Abundis Manzanares | INTRODUCCION. 52
  53. 53. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL Por lo tanto, estos modelos de líneas de espera son muy útiles para determinar cómo operar un sistema de colas de la manera más efectiva. Proporcionar demasiada capacidad de servicios para operar el sistema implica costos excesivos; pero al no Contar con suficiente capacidad de servicio la espera aumenta con todas sus desafortunadas consecuencias. Los modelos permiten encontrar un balance adecuado entre el costo de servicio y la cantidad de espera. ORIGEN. El origen de la Teoría de Colas o Líneas de Espera se remonta a los estudios realizados en 1909 por Agner Krarup Erlang (Dinamarca, 1878 - 1929), para analizar la congestión en el sistema telefónico de Copenhague. Sus investigaciones acabaron en una nueva teoría llamada teoría de colas o de líneas de espera. Esta teoría es ahora una herramienta de valor en negocios debido a que muchos de sus problemas pueden caracterizarse, como problemas de congestión llegada - partida. La Teoría de Colas requiere de un estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Estas se presentan cuando ―clientes‖ llegan a un ―lugar‖ demandando un servicio al ―servidor‖, el cual tiene cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma en la ―línea de espera‖. LI. Jesús Abundis Manzanares | INTRODUCCION. 53
  54. 54. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL El problema es determinar qué capacidad o tasa de servicio proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que un cliente no llega a un horario fijo, es decir, no se sabe con exactitud en qué momento llegarán los clientes. También el tiempo de servicio no tiene un horario fijo. Las llegadas se describen por su distribución estadística. Si las llegadas ocurren con una tasa promedio y que son independientes una de otra, entonces ocurren de acuerdo con una distribución de probabilidades de tipo ―Poisson‖. Distribución Poisson. Si la tasa de llegada se da en razón del tiempo que transcurre entre una llegada y otra, entonces se dice que sigue una distribución de tipo ―Exponencial‖. En un supuesto común, la distribución del tiempo de servicio está dada por la distribución ―Exponencial‖. Mientras que el número de servidores puede ser uno o varios. Distribución Exponencial. La tasa de servicio, al igual que la de llegada, debe ser evaluada para ver si se ajusta a una distribución ―Exponencial‖. DEFINICION Una Cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o de sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costes del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado. LI. Jesús Abundis Manzanares | INTRODUCCION. 54
  55. 55. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL Con frecuencia, las empresas deben tomar decisiones respecto al caudal de servicios que debe estar preparada para ofrecer. Sin embargo, muchas veces es imposible predecir con exactitud cuándo llegarán los clientes que demandan el servicio y/o cuanto tiempo será necesario para dar ese servicio; es por eso que esas decisiones implican dilemas que hay que resolver con información escasa. Estar preparados para ofrecer todo servicio que se nos solicite en cualquier momento puede implicar mantener recursos ociosos y costos excesivos. Pero, por otro lado, carecer de la capacidad de servicio suficiente causa colas excesivamente largas en ciertos momentos. Cuando los clientes tienen que esperar en una cola para recibir nuestros servicios, están pagando un coste, en tiempo, más alto del que esperaban. Las líneas de espera largas también son costosas por tanto para la empresa ya que producen pérdida de prestigio y pérdida de clientes. La teoría de las colas en si no resuelve directamente el problema, pero contribuye con la información vital que se requiere para tomar las decisiones concernientes prediciendo algunas características sobre la línea de espera: probabilidad de que se formen, el tiempo de espera promedio. Pero si utilizamos el concepto de ―clientes internos‖ en la organización de la empresa, asociándolo a la teoría de las colas, nos estaremos aproximando al modelo de organización empresarial ―just in time‖ en el que se trata de minimizar el costo asociado a la ociosidad de recursos en la cadena productiva. LI. Jesús Abundis Manzanares | INTRODUCCION. 55
  56. 56. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL El problema es determinar qué capacidad o tasa de servicio proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que un cliente no llega a un horario fijo, es decir, no se sabe con exactitud en que momento llegarán los clientes. También el tiempo de servicio no tiene un horario fijo. Los problemas de ―Colas‖ se presentan permanentemente la vida diaria: un estudio de EE.UU. concluyó que un ciudadano medio pasa 5 años de su vida esperando en distintas Colas, y de ellos casi 6 meses parado en los semáforos. La Teoría de Colas requiere de un estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Estas se presentan cuando ―clientes‖ llegan a un ―lugar‖ demandando un servicio al ―servidor‖, el cual tiene cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma en la ―línea de espera‖. 2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA. Esta notación sirve para etiquetar o nombrar a los diferentes modelos de líneas de espera que se pueden tener. La notación consta de 6 números de la forma siguiente: a/b/c/d/e/f Donde los símbolos representan lo siguiente: a= La distribución de tiempo entre llegadas. b= La distribución de tiempo de servicio. c= El número de servidores en paralelo. d= Tipo de disciplina en el servicio (FCFS, LCFS, SIRO, PRIORIDAD). e= Número máximo admitido en el sistema (línea de espera + en servicio). LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA. 56
  57. 57. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL f= Tamaño de la población de donde se extrae los clientes. Para reemplazar a los símbolos a y b se usan las siguientes iniciales: M = Cuando el tiempo de llegada o servicio tiene una distribución exponencial entrada o salida de Poisson (o Markoviana). D= Cuando el tiempo de llegada o servicio es determinista Ek = Cuando el tiempo de llegada o servicio tiene una distribución de Erlangs con parámetro K. G = Cuando el tiempo de llegada o servicio tiene una distribución general (cualquier distribución arbitraria). Como observamos los elementos básicos para crear un modelo de línea de espera, dependerá de los siguientes factores: Distribución de llegadas. (Individuales o en grupo). Distribución de servicio. (Individuales o en grupo). Diseño de la instalación (estaciones en serie, paralelo, o en red) Disciplina de servicio Tamaño de la línea (finita o infinita) Fuente de los clientes (finita o infinita). USO DE LAS TASAS DE LLEGADA Y DE SERVICIO Como la mayor parte de las técnicas matemáticas, la teoría de líneas de espera tiene su propio conjunto de términos. El de disciplina de la línea de espera se refiere a la condición en que se escogen las llegadas para recibir servicio. LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA. 57
  58. 58. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL En este capítulo el procedimiento consiste en que las llegadas ocupan su lugar en la línea de espera, a base de que el que llega primero queda en primer lugar. Las llegadas pueden ser uniformes durante cierto periodo, o pueden ser aleatorias. La tasa de llegadas puede tomar la forma de empleados que llegan a la caseta de herramientas de la empresa, o en otras condiciones podrían representar el número de clientes que esperan para comer. General-mente, la tasa de llegada se expresa como tasa de llegada por unidad de tiempo. Si es aleatoria los clientes no llegan en un orden o patrón lógico en el transcurso del tiempo, lo que representa la mayor parte de los casos en el mundo de los negocios. En las situaciones en que las llegadas se distribuyen en forma aleatoria puede utilizarse su promedio si se registra durante un periodo suficientemente prolongado. La tasa de servicio se ocupa de la forma en que las instalaciones de servicio pueden manejar las demandas de llegada, y se expresa como una tasa por unidad de tiempo. Por ejemplo, la tasa de servicio podría indicar el número de pedidos que el departamento de piezas de repuesto procesa por hora. También el tiempo de servicio puede ser uniforme o distribuido en forma aleatoria. En las problemas de-negocios ‗se encontraran más casos de tasa uniforme de servicio que de tasa uniforme de llegada. LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA. 58
  59. 59. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL APLICACIONES DE LA TEORIA DE LINEAS DE ESPERA. La teoría de las líneas de espera se ha aplicado a una gran variedad de situaciones de negocios. Una breve descripción de algunas aplicaciones será de gran ayuda para sugerir problemas a los que pueda aplicarse la teoría. Una gran cadena de supermercados ha utilizado las líneas de espera para determinar el número de estaciones de control que se requieren para lograr un funcionamiento continuo y económico de sus almacenes, a diversas horas del día. Otro uso de esta teoría consiste en analizar las demoras en las casetas de peaje de puentes y túneles. Un estudio de esta índole se refiere al número y programación de las casetas de peaje requeridas sobre una base de veinticuatro horas, a fin de reducir al mínimo los costos en determinado nivel de servicio. Otras áreas relacionadas con un cliente, serían las líneas de espera de restaurantes y cafeterías, expendios de gasolina, oficinas de líneas aéreas, almacenes de departamentos y la programación de los pacientes en las clínicas. En todos los casos, los clientes esperan cierto nivel aceptable de servicio, mientras que la empresa espera poder mantener sus costos al mínimo. La teoría de las líneas de espera no solo es aplicable a los establecimientos de ventas a] menudeo o mayoreo, sino que las empresas manu-facturaras también la usan extensamente. Una aplicación muy popular de la teoría de las líneas de espera es el área de las casetas de herramientas. LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA. 59
  60. 60. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL Los sobrestantes se quejan constantemente de que sus hombres tienen que esperar mucho tiempo en las filas para recibir herramientas y piezas. Aunque se presiona a los gerentes de fábrica para que reduzcan los gastos generales de administración, e! aumento de empleados puede reducir realmente los gastos generales de manufactura, porque el personal de la fábrica puede trabajar en vez de esperar en una fila. Otro problema que ha resuelto con éxito la teoría de las líneas de espera. Es la determinación adecuada del número de muelles que se requieren cuando se construyen instalaciones terminales para barcos y camiones. como tanto los costos de los muelles como los de las demoras pueden ser considerables, ya que los primeros disminuyen mientras aumentan los segundos, o viceversa, es muy conveniente construir el número de muelles que reduzcan al mínimo la suma de esos dos costos, Varias empresas manufactureras han atacado el problema de descomposturas y reparaciones de sus máquinas, utilizando la misma teoría, El problema se refiere a una batería de máquinas que se descomponen individual-' mente en diferentes épocas. En realidad, las máquinas que se descomponen. Forman una línea de espera para su reparación por el personal de mantenimiento. Es conveniente emplear el personal de reparaciones necesario para disminuir al mínimo la suma del costo de la perdida de producción causada por el tiempo de espera y del costo de los mecánicos. LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA. 60
  61. 61. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL La teoría de las líneas de espera se ha extendido para estudiar un plan I de incentivos de salarios. Por ejemplo, se había asignado cierto personal de línea de producción para manejar dos máquinas, mientras que a otros se les había asignado para manejar. Cuatro máquinas. Como. Todas las maquinas son. Iguales, los trabajadores reciben el mismo salario básico, pero la gratificación •: de incentivo por la producción sobre la cuota, es de la mitad por unidad i para los operadores con cuatro máquinas que para los que tienen dos: maquinas. Superficialmente ese arreglo parece equitativo. No obstante, un; estudio de las condiciones reales revela que aunque cada una de las dos I maquinas que maneja un solo hombre estarían ociosas alrededor del 12 por ciento de su tiempo programado, cada una de las cuatro máquinas manejadas j por un solo individuo estarían ociosas alrededor del 16 por ciento de su tiempo programado. El problema es que dos (o más) maquinas pueden descomponerse a la vez en el grupo de cuatro máquinas, lo que-general-; mente no ocurre con el grupo de dos máquinas. El individuo que maneja el, grupo de cuatro máquinas tiene que trabajar a mayor eficiencia que el que j maneja un grupo de dos máquinas, a fin de ganar el mismo incentivo. El f problema se resolvería pagando a los operadores de las baterías de cuatro | maquinas un salario básico mayor, determinado básicamente empleando las J probabilidades calculadas con la teoría de las líneas de espera. LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA. 61
  62. 62. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL Las áreas anteriores no agotan en modo alguno las posibles aplicaciones de la teoría de las líneas de espera, que pueden extenderse para incluir la i dotación de personal de las operaciones de oficina, y el equilibrio del flujo I _ de materiales en un taller de tareas. Esa teoría puede tener una influencia bien definida en el desafío de un sistema de inventario y de control de producción. TIEMPOS UNIFORMES DE LLEGABA Y DE SERVICIO. El manejo apropiado de los tiempos uniformes de llegada y de servicio, en términos de costo mínimo, puede demostrarse con un ejemplo. Una empresa manufacturera maneja muchas casetas de herramientas dentro de una de sus grandes fábricas. Actualmente, el grupo de análisis de sistemas tiene en observación una de esas casetas atendida por un trabajador: los maquinistas llegan a solicitar servicio a una tasa uniforme de 10 por hora mientras que se observa que el encargado de la caseta de herramienta ' atiende sus peticiones a una tasa uniforme de 7 1/2 por hora. ¿Seria? lucrativo para la empresa aumentar el número de encargados si se les paga a razón de $3.00 por hora, y se paga a los maquinistas a razón de $4.QO hora? Esas cuotas incluyen los beneficios marginales. Inicialmente, el problema se calcula sobre una base de 4 horas, porque el personal del taller trabaja de las 8 a. m. a las 12, y luego sale a almorzar Los resultados finales se calculan sobre una base de 8 horas. En vista de esos datos —tasa uniforme de llegada de 10 por hora (uno cada 6 minutes) y una tasa uniforme de servicio de 7 1/2 por hora (uno cada 8 minutos)-' el problema puede resolverse empleando la fórmula de la suma de una serie aritmética. LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA. 62
  63. 63. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL Si el primer hombre llega a las 8 a. m. no tiene tiempo de espera. Antes de dar servicio al que llego primero, el que liego en segundo lugar se convierte en el primero que espera en la fila, y su tiempo de espera es de 2 minutos (8 minutos — 6 minutos), antes de que se le dé servicio. Una vez que conocemos el tiempo de espera del primer maquinista, es necesario calcular el tiempo de espera del último hombre en nuestras 4 horas iníciales. Como llegan 40 maquinistas (10 hombres por hora X 4 horas), y el primero no espera, debemos calcular el tiempo de espera de los treinta y nueve restantes, o sea que 39 maquinistas multiplicados por 2 minutos son igual a 78 minutos. Como el aumento del tiempo de espera para cada maquinista adicional es lineal, podemos promediar el tiempo de espera del segundo y del cuadragésimo. El promedio del tiempo de espera de cada maquinista es igual a 2 minutos más 78 minutos, dividido entre 2, 6 40 minutos, lo que se resume en la tabla 14-1. (La probabilidad de que los que lleguen al último no espere en la fila, porque se acerca la hora del almuerzo, no se ha considerado aquí, aunque normalmente lo será.) El examen de los datos indica que el costo se reduce al mínimo empleando dos encargados. En contraste con las tasas uniformes, la mayor parte de los problemas de los negocios se ocupa de tasas aleatorias de llegada y de servicio, cuya solución requiere un proceso diferente, que constituirá el tema del resto de este capítulo. LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA. 63
  64. 64. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL TEORIA DE LINEAS DE ESPERA DE UN SOLO CANAL. En la última sección, estudiamos las tasas uniformes de llegada y de servicio, y ahora estudiaremos las tasas aleatorias de llegada y de servicio en un problema de líneas de espera de un solo canal (una sola estación). No trataremos aquellos casos en los que la capacidad de las instalaciones de servicio es mayor que el promedio de las demandas de las entradas, porque esta condición da por resultado que no haya líneas de espera. En vez de ello nos ocuparemos de un problema de líneas de espera de un solo canal, en el que hay una línea de espera que resulta de tiempos aleatorios de llegada y de servicio. Vale la pena notar que los modelos de líneas de espera pueden usarse para eliminar un exceso de trabajadores, cuando la instalación de servicio es mayor que las demandas de servicio. La forma en que llegan las unidades es aleatoria, si no puede predecirse exactamente cuando llegara cierta unidad. LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA. 64
  65. 65. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL 2.3 MODELO CON REABASTECIMIENTO INSTANTANEO. No se permite el faltante. Suposiciones: 1. La demanda tiene que ser constante. 2. Los costos son constantes (no se permite descuento en adquisiciones voluminosas). 3. Los proveedores entregaran con puntualidad los pedidos en el periodo comprendido. 4. El lote mínimo es igual al inventario máximo. Nomenclatura: Q = tamaño económico del lote. Si es muy grande o muy chico N = número de pedido. Puedes pedir una o 2 veces D = Demanda. Por si las dudas ten cuidado y siempre papelito habla Ci = Costo de compra. Al mejor te sale más barato en otro lado Ch = Costo de mantener un unidad en los inventarios (%). Co = Costo de ordenar. ya ves que hay gandallas que te cobran el envió R = Punto de reorden. L = Tiempo de consumo. en menos de 30 min si te cobran sino pues no T = Tiempo para consumir el inventario máximo. el tiempo en el que te atragantas Imáx = Inventario Máximo. Î =Inventario Promedio. Ct = Costo Total. Ct = Costo de compra + Costo de ordenar + Costo de tenencia. Costo de compra = CiD LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA. 65
  66. 66. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL Costo de ordenar = Costo de tenencia = Si la demanda es de 50 piezas por día y el proveedor pasa 10 días en surtir por tanto necesitamos 500 piezas para no tener faltante. R = ? = 50 * 10 −500 D = 50 pza/día. L = 10 días. R=DL Unidad = 5040 Ejemplo: Una Cía. fabricante de refrescos de la marca de Coca-Cola a observado que requiere anualmente de 3000 baleros que son utilizados en las bombas de agua a propulsión a chorro con un programa de mantenimiento preventivo diseñado por el departamento de producción. El costo de cada unidad es de $ 80,000, el costo de oportunidad de inversión es de 12% del costo del producto. Los costos generados por el control de inventarios como son el sueldo de personal de almacén, agua y electricidad es de 2,400 * unidad lo cual es muy caro porque yo solo pago cuatrocientos pesos de luz, otro costo que representa aun los deterioros, extravió y envejecimiento de los productos almacenados anualmente y alcanzan un costo de $2,000 * unidad .La orden de compra se ha estimado en $120,000. Suponga que el proveedor tarda en promedio 15 días en surtir una orden, determinar: El tamaño económico del lote. LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA. 66
  67. 67. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL El inventario máximo. El inventario Promedio. El punto de reorden. El tiempo requerido para consumir el inventario máximo. Costo total del inventario. Número de pedidos. Datos: D = 3000 unidad por año. Ci = $80,000 Co =$120,000 Ch= 0.12 (80,000)+ 2,900 + 2,000 Ch = 14,000 unidades por año. L = 15 días. Q = 227 unidad. Imáx. = Q = 227 u. = = e) T - Q/D = 0.075 Años = 27 días. f)Ct = $ 243,174,340 g) = LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA. 67
  68. 68. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL 2.3 TEOREMA DE LITTLE Sea un sistema de colas con cualquier distribución de llegadas y servicios y cualquier estructura, Sean L el número de trabajos presentes en el sistema en el estado estacionario, W es tiempo medio de respuesta en el estado estacionario y λ la razón de llegadas al sistema, Entonces: L = λW Explicación intuitiva: Supongamos que cobramos 1€ a cada trabajo por cada unidad de tiempo que pasa en el sistema, Habría dos maneras equivalentes de medir las ganancias: � Colocando un recaudador a la entrada del sistema, le cobrará como media W a cada uno de los λ trabajos que vea pasar por unidad de tiempo � Cada vez que transcurre una unidad de tiempo, cobro 1 € a cada uno de los L trabajos que como media hay en ese instante en el sistema. Si aplico el teorema a la cola, dejando fuera del sistema al servidor, obtengo el siguiente resultado, también muy útil: q q L = λW Las dos fórmulas obtenidas nos sirven para ayudarnos a obtener los valores de las medidas de rendimiento, aunque necesitaremos otras ecuaciones para poder conseguir resultados explícitos. LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA. 68
  69. 69. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL Las ecuaciones de Little expresan que para cualquier sistema o subsistema dado, en estado estacionario el número medio de clientes dentro es igual a la tasa media de entrada de clientes por el tiempo medio de permanencia en ese sistema o subsistema. Casos particulares: el número medio de clientes en el sistema, el número medio de clientes en la cola, el tiempo esperado de permanencia en el sistema y el tiempo esperado de permanencia en la fila satisfacen las siguientes igualdades: s n =l t f n =l t Donde l es la tasa media de llegadas, que viene dada por ¥ = = n0 nnllp. Asimismo, si at t es el tiempo medio de atención, tenemos que at r = l t. Tiempo esperado de permanencia en el sistema Utilizando las igualdades de Little, tenemos que l n ts = Tiempo esperado de permanencia en la fila LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA. 69
  70. 70. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL Aplicando nuevamente las igualdades de Little, llegamos a l =n f t Hemos obtenido ecuaciones para diversas medidas de interés (en estado estacionario) sobre filas de espera con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales sin hacer suposiciones acerca de las tasas de llegada y de atención. A continuación aplicaremos estos resultados ―genéricos‖ para establecer resultados en modelos específicos. A continuación presentamos un estudio de algunos modelos simples de filas de espera con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales. 2.4 PATRONES DE LLEGADAS Y DE SERVICIO. El sistema que se analizó en la sección anterior supone que el número de clientes que requieren servicio en un periodo de tiempo determinado es infinito. Este caso no corresponde a la realidad ya que una población es, por regla, de tamaño finito. Este caso no corresponde a la realidad ya que una población es, por regla, de tamaño finito. Esta consideración, en vez de simplificar el desarrollo de fórmulas que describen cuantitativamente al sistema, lo complica. Por ello, se refiere trabajar con el supuesto de población infinita y no con el real. Suponiendo que una población finita de m elementos (o<m<∞) requiriera servicios de un sistema similar al de la sección anterior, las series infinitas analizadas para la sección 3.4 se convierten en series finitas y generan de manera análoga los siguientes resultados9. LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.4 PATRONES DE LLEGADAS Y DE SERVICIO. 70
  71. 71. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL Si m es la población que pudiera requerir un servicio determinado y n (n < m) elementos de esa población piden ese servicio, entonces P 0 (t) se calcula mediante el uso simultáneo de las expresiones 3.20 y 3.21, determinadas a continuación: (3.20) (3.21) ∑ Una vez conocida (t) se calcula L, W, Ts, Tw de: (3.22) ( ) (3.23) (3.24) (3.25) Obviamente, conocida P0 (t) se calcula Pn (t) de 3.20 de la siguiente manera: (3.26) Ejemplo 3.2. Suponga que en la flota de Aeroméxico existen cuatro aviones del tipo jumbo 747. Se ha venido observando el comportamiento de estos aviones desde 1971 y, en especial, las fallas de las turbinas. LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.4 PATRONES DE LLEGADAS Y DE SERVICIO. 71
  72. 72. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL Los datos indican que las fallas de cualquier turbina de cualquier avión es una variable aleatoria y que el tiempo promedio entre dos fallas consecutivas de cualquier avión es de un año. El tiempo promedio de revisión y compostura de la falla de la turbina es de 45 días (un octavo de año). Solamente se tienes un equipo humano de expertos para dar servicios y se proporciona servicio bajo la política de ―primero que entra al taller, primero que se le sirve‖. Durante el periodo de mantenimiento el avión no vuela. Describa cuantitativamente al sistema de espera. ∑ ∑ ∑ Si se toma como unidad de tiempo un año, entonces ⁄ Como . , se aplica los conceptos anteriores. Se calcula la expresión 3.20 LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.4 PATRONES DE LLEGADAS Y DE SERVICIO. 72
  73. 73. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL Para n = 0, 1, 2, 3, 4 y m = 4, donde n es el número de aviones que esperan compostura y m es la flota de jumbos 747 de Aeroméxico. n m 0 4 1.00000 1 4 0.50000 2 4 0.18750 3 4 0.04688 4 4 0.00576 Tabla 3.2 ∑ Por lo tanto, y de acuerdo con 3.21, se tiene: ∑ Que significa que existe un 5704% de probabilidad de que no se encuentre ningún avión jumbo 747 en el sistema de compostura de turbinas en el tiempo t. LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.4 PATRONES DE LLEGADAS Y DE SERVICIO. 73
  74. 74. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL La probabilidad de que se encuentre un avión en mantenimiento y otro en espera es: El número promedio de aviones de aviones que esperan servicio en 1 año es de: Mientras que el número promedio de aviones en el sistema (esperando en la cola y en el taller) es: El tiempo promedio de espera en la cola para recibir servicio es: O sea aproximadamente 18 días, mientras que el tiempo promedio en el sistema (espera más servicio) es de: O sea casi 64 días: LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.4 PATRONES DE LLEGADAS Y DE SERVICIO. 74
  75. 75. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL ¿Qué representa esto en costo? Suponga que el costo de 1 hora de vuelo de un 747 es de 10 mil pesos, de 2 mil cuando está en tierra y de 5 mil cuando está en mantenimiento. Se supone que estos aviones vuelan, en promedio, 14 horas por día y por cada mil horas de vuelo se les Proporcionaría mantenimiento preventivo (independiente de las composturas de falla de turbina) que dura en promedio 100 horas. Se supone que el sueldo mensual del personal especializado de reparación es de 200 mil pesos y el costo mensual del equipo de reparación (luz, depreciación, seguros, etc.,) es de 125 mil pesos. El costo de la espera para componer las fallas de la turbina de un avión es, por lo tanto, la suma de los siguientes costos: a) Tiempo muerto del avión mientras espera y le reparan la turbina, (Tw). b) Tiempo muerto de la tripulación cuando el avión se encuentra en el taller por compostura de turbinas. c) Tiempo de reparación de la turbina (sin incluir refacciones), es decir T w – Ts. Como la unidad de tiempo es un año, se deben convertir todos los costos unitarios a costo por año. LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.4 PATRONES DE LLEGADAS Y DE SERVICIO. 75
  76. 76. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL En un año (365 días) el avión vuela: Por lo que recibe 5 mantenimientos preventivos de 100 horas cada uno, para un total de 500 de servicio de mantenimiento. Si en un año existen 8760 horas, lo anterior quiere decir que: 8760 – (5110 + 500) = 3150 Estará parado el avión en tierra. Entonces el costo total anual para cada avión será de: (5110 ) + (500 ) + (3150 2000 * 5000 ) = 59.9 Si un avión de este tipo pasa T w = 0.175 de año (64 días), en el sistema de compostura de turbinas, el costo asociado a este tiempo muerto es: (59.9 ) (0.175 años) = 10.48 LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.4 PATRONES DE LLEGADAS Y DE SERVICIO. 76
  77. 77. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL El sueldo mensual de una tripulación es de 400 mil pesos (4.8 millones de pesos por año); por lo tanto, el costo del tiempo muerto de la tripulación asociado a la compostura de una turbina será: ( ) La nómina mensual del equipo de reparación más sus costos mensuales suman 325 mil pesos (3.9 millones de pesos por año). Por lo tanto, el costo del tiempo de reparación por avión, sin tomar en cuenta refacciones es: ( ) El costo total de tener a un avión en el sistema de compostura es: (10.48 + 0.21 + 0.49) = 11.58 Este resultado motiva las siguientes preguntas: ¿Conviene aumentar el equipo especializado de reparación de turbinas a 2 o 3? Si es así, ¿En cuánto disminuiría el costo de la espera por avión en el sistema? ¿A cuánto aumenta el costo del equipo de reparación? ¿Cuál es un buen punto de equilibrio? LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.4 PATRONES DE LLEGADAS Y DE SERVICIO. 77
  78. 78. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II GLOBAL 2.5 SOLUCION ANALITICA LINEAS DE ESPERA. USO DE LAS TASAS DE LLEGADA Y DE SERVICIO Como la mayor parte de las técnicas matemáticas, la teoría de líneas de espera tiene su propio conjunto de términos. El de disciplina de la línea de espera se refiere a la condición en que se escogen las llegadas para recibir servicio. En este capítulo el procedimiento consiste en que las llegadas ocupan su lugar en la línea de espera, a base de que el que llega primero queda en primer lugar. Las llegadas pueden ser uniformes durante cierto periodo, o pueden ser aleatorias. La tasa de llegadas puede tomar la forma de empleados que llegan a la caseta de herramientas de la empresa, o en otras condiciones podrían representar el número de clientes que esperan para comer. General-mente, la tasa de llegada se expresa como tasa de llegada por unidad de tiempo. Si es aleatoria los clientes no llegan en un orden o patrón lógico en el transcurso del tiempo, lo que representa la mayor parte de los casos en el mundo de los negocios. En las situaciones en que las llegadas se distribuyen en forma aleatoria puede utilizarse su promedio si se registra durante un periodo suficientemente prolongado. La tasa de servicio se ocupa de la forma en que las instalaciones de servicio pueden manejar las demandas de llegada, y se expresa como una tasa por unidad de tiempo. Por ejemplo, la tasa de servicio podría indicar el número de pedidos que el departamento de piezas de repuesto procesa por hora. También el tiempo de servicio puede ser uniforme o distribuido en forma aleatoria. En las problemas de-negocios ‗se encontraran más casos de tasa uniforme de servicio que de tasa uniforme de llegada. LI. Jesús Abundis Manzanares | 78

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