Este documento introduce las funciones y algunos conceptos fundamentales relacionados con ellas. Explica que una función es una relación entre elementos de dos conjuntos donde a cada elemento del primer conjunto le corresponde un único elemento del segundo conjunto. Luego define los conceptos de dominio, rango, gráfico de una función y diferentes tipos de funciones como las lineales, cuadráticas, exponenciales y logaritmos. Finalmente presenta ejemplos para ilustrar estos conceptos.

1. FUNCIONES

2. SEGUNDA UNIDAD DE
APRENDIZAJE
OBJETIVO
•RECONOCER LAS FUNCIONES .
•DETERMINAR EL DOMINIO Y RANGO
DE LAS FUNCIONES.

3. En nuestra vida cotidiana tenemos experiencia con relación o
correspondencias de magnitudes .
Ejemplos :
• En un almacén , a cada producto le corresponde un precio.
• Para una temperatura expresada en º C le corresponde un equivalente
en º F.
• A una profundidad determinada en un líquido le corresponde una
presión hidrostática.
• Un gas encerrado en un recipiente tiene una presión especifica.
• El consumo de energía eléctrica se halla relacionado con el costo.
• EL crecimiento poblacional se halla relacionado con el tiempo.
• El cambio de rapidez en el movimiento de un móvil con respecto al
tiempo.
• El decaimiento de una sustancia radiactiva en función del tiempo.
• El área de un circulo con el radio.
Funciones

4. INTRODUCCIONINTRODUCCION. Tipo especial de relaciones entre elementos de. Tipo especial de relaciones entre elementos de
dos conjuntos A y B , llamadas funciones de A en B.dos conjuntos A y B , llamadas funciones de A en B.
Una función expresa la idea de una cantidad o magnitud que dependeUna función expresa la idea de una cantidad o magnitud que depende
de otra u otras , o que está determinada por esta (s).de otra u otras , o que está determinada por esta (s).
Ejemplo. La longitud L de una circunferencia depende de su radio “r”Ejemplo. La longitud L de una circunferencia depende de su radio “r”
Se lee:Se lee:
““ L es función de r. ” o “ L depende de r.”L es función de r. ” o “ L depende de r.”
Ejemplo. El volumen V de un cilindro recto depende de su radio (r) yEjemplo. El volumen V de un cilindro recto depende de su radio (r) y
su altura (h).su altura (h).
Se lee:Se lee:
““ V es función de r y h” o “V depende de r y h”V es función de r y h” o “V depende de r y h”
)(2 rfrL == π
h)(r,fhr2
==πV

5. Definición. Una función de A en B es una relación f С (A × B)
que hace corresponder a cada elemento x del conjunto A a lo
más con un elemento y del conjunto B , denotado por :
También se dice que f es una función definida en A y con valores
en B , si a cada elemento x ε A le corresponde un único
elemento y ε B
Piense en una función como en una máquina, una máquina de
calcular . Ésta toma un número (la entrada) y le produce un
resultado ( la salida) . A cada número en la entrada le
corresponde un único número como salida, pero puede suceder
que varios valores diferentes de entrada den el mismo
valor de salida.
y= f (x) ε B
Función : f• ●A B
Entrada Salida

6. Al conjunto A se le llama conjunto de PARTIDA , y al conjunto
B de LLEGADA.
Notación: f : A B
x y=f (x)
Se lee “ f es una función de A en B. ” o
“ f es una función definida en A y con valores en B.”
La notación y=f (x) se lee:
“ y es el valor de la función f evaluada en x. ” o
“ y es la imagen de x mediante f. ”
Además : y=f (x) es equivalente a ( x , f ( x ) ) ε G r (f).
G r (f) : Gráfico de la función

7. Domino y Rango de una función
Dominio. Es el conjunto de todos sus primeras
componentes o antecedentes de los pares ordenados de
f y se le denota por:
Rango. Denominado también recorrido de la función f,
al conjunto de las segundas componentes (imágenes o
consecuentes) de todos los elementos A
vía f ; y se le denota por:
{ [ ] }
{ [ ] } Af(x)y/Bεy/AεxDfDom
o
Afεy),x(/Bεy/AεxDfDom
f
f
⊂=∃==
⊂∃==
[ ]{ } BByRf ⊂=∃= f(x)y/Ax/ εε

8. ●
●
●
●
●
●
●
●
●
f
Es una función
●
●
●
●
●
●
●
No es una función
●
●
●
●
●
●
●
●
Es una función
f
A B AA B
BA

9. REGLA O LEY DE CORRESPONDENCIA
Es una expresión que permite calcular para cualquier
su correspondiente imagen en el conjunto de llegada
Por ejemplo : ( regla o ley de correspondencia )
al valor de x se le denomina variable independiente, y al valor
se le llama variable dependiente.
Más aún , una función está completamente determinada cuando
se especifica su Dominio y Regla o Ley de correspondencia.
Algunos ejemplos más de reglas o leyes de correspondencia.
fDx ε
)(xfy =
1)( 2
+== xxfy
)(xfy =
2xsiny1-2xyxy4)log(xy
2xy1-xye3y
1-x
2
y
32
21-x
=∗=∗+=∗+=∗
+−=∗=∗=∗=∗
1
83x

10. Ejemplo 1. Sea .
Si , entonces y
Ejemplo 2. a) Halle el valor de K para que la relación :
sea una función .
b) Escribe el rango o recorrido.
{ } { }d,c,b,aB4,3,2,1A == y
{ })b,3(,)b,2(,)a1,(f = { }4,3,2,1f =Dom
{ }b,aRf
=
{ }),(,) 1-k241k27,(,)k5,2(,)k,4(R 2
+=

11. Resolución. Como no pueden existir dos pares ordenados
diferentes con la misma primera componente ,para que R sea
una función los pares ordenados deben ser
iguales , de tal manera que :
a)
Remplazando , tenemos:
b)
Ejemplo3. Dado el conjunto de pares ordenados :
a) Halle los valores de a y b para que f sea una función.
b) Determine el dominio y el recorrido de f.
)1-2k,4()k,4( =
1k1-2kk =→=
{ }3),7(,5),2(,1),4(f =
{ }5,3,1Rf =
{ }2)-,(-1,2b)-a,(5,)a-2b,b-(a,)ba,(-1,7),5(f 22
+=

12. Resolución. Por las consideraciones tomadas en el problema
anterior: , entonces se forman
las siguientes ecuaciones :
Al resolver las ecuaciones se obtiene :
a)
Luego la función:
b)
)2b-a,5()7,5(y)2-,1-(b)a,(-1 ==+
72b-a
2-ba
=
=+
-3b;1a ==
{ })7-,4(,2)-,1-(,)7,(5f =
{ } { },-72-,7R;4,1-,5Dom ff ==

13. GRÁFICA DE UNA FUNCIÓNGRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
• Cuando los conjuntos de partida y de llegada A y B de una función f son
conjuntos de números reales, esta función es llama una FUNCIÓN (de
valor) REAL DE UNA VARIABLE REAL.
• Una Función Real de una Variable Real es un conjunto de pares
ordenados de números reales , y por lo tanto tiene una representación
gráfica como conjunto de puntos en el plano (plano XY),
.
La variable (independiente) x se representa en el eje X (eje de abscisas) ,
mientras que la variable dependiente y=f (x) se representa en el eje Y (eje
de ordenadas).
2
R
{ }f(x)yDxR /xR)y,x(f f
== ,εε
RR:f →

14. Aplicación de A BAplicación de A B
a) Una aplicación es un caso particular de una función.
b) Una función f se llama aplicación de A en B si y sólo si Dom f =A.
c) Un subconjunto f C ( A x B) es una aplicación de A en B si y sólo si
Se lee para todo x perteneciente al conjunto A , existe un único
elemento y perteneciente al conjunto B ,tal que y=f (x)
Notación. f es una aplicación de A en B se denota por:
donde Dom f =A.
→
fy),(xó(x)fy/By,Ax εεε =∃∀
(x)fxo(x)fx
B
f
AoBA:f
→→
→→

15. B
Ejemplo. El conjunto si es una función
de A en B , pues cada elemento x ε A tiene asignado un único
elemento y ε B. Asimismo , vemos que f es también una
aplicación de A en B, pues :
El Rango de la función es:
{ }),4(,),3(,),2(,),1( abbaf =
{ }4,3,2,1Af ==Dom
A
1
2
3
4
a
b
c
d
e
f
{ }baRf ,=

16. Haga clic en las ecuaciones que están ubicadas en el
recuadro de la derecha, las que Ud. considere que son
funciones
¿Por qué
algunas de las
ecuaciones son
Funciones?

17. Reconocimiento de una función geométricamente.

18. FUNCIÓN LINEALFUNCIÓN LINEAL
Ecuación de la Recta.
)HorizontalRecta()(constanteky
)VerticalRecta()(constantekx
a)SegmentarioCanónicaEcuación(
b
y
a
x
)PendientePunto(0x-(xm0y-y
)(implícitaoRecta)ladegeneralEcuación(0cbyax
)(explícitao)ónintersecci-Pendiente(bmxy
=∗
=∗
=+∗
=∗
=++∗
+=∗
1
))(

19. PENDIENTE DE UNA RECTAPENDIENTE DE UNA RECTA
21
21
12
12
xx
yy
xx
yy
tgm
−
−
=
−
−
== θ
x
y
●
●
B
.
A
1
x 2
x
2
y
1y
•
•
12 xx −
12 yy −
θ
d
(b)
(a)
-mpendiente
0cbyax:rectaEn
==
=++

20. Distancia entre dos puntos de una Recta (d).
Distancia de un Punto a una Recta.
22
)() 1212
yyx(xd −+−=
22
11
ba
cybxa
d
+
++
=
)11
y,(xP
●
L
d
Ecuación general de la recta L : a x+ b y+c = 0

21. .
Y = f (x) = a x2
+ b x + c ; a , b y c ε Reales y a≠0.
Completando cuadrados : y = a ( x- h )2
+ k , donde
( h , k ) corresponden a las coordenadas del vértice
de la parábola.
:
Corta al eje x en dos puntos
(dos raíces reales y diferentes)
La ecuación del eje de simetría
(recta vertical) , corresponde a :
x
y
• •
∆
Eje de Simetría
x=h
FUNCIÓN CUADRÁTICA
V : (h ,k)
•
V =Vértice
x1
x2
Las raíces son x1 y x2.
parábola
El valor mínimo de la función:
También :
Ymin= k
a > 0 = b2
- 4 a c > 0
V
h =- (b)/(2a) = ( x1+x2 )/2 ; k = f (h).

22. ii) = b2
- 4 a c=0 , la parábola corta al eje x en un
punto (dos raíces reales e iguales).
∆
•
x
y
X =h
iii) =b2
-4 a c < 0 , la parábola no corta al eje x.∆
x
y
Existen dos raíces
complejas y conjugadas
No existen soluciones
reales
ntediscrimina=∆

23. FUNCIÓN CONSTANTE
Sea la recta de ecuación : .Si se
considera , su gráfica es :
0By0CByAx ≠=++
K
B
C
-y:entonces,0A ===
x
y
y=k
Dominio : Reales
Rango : { k }
L
0
(B)
(0)
-mPendiente ===
Recta Horizontal

24. k
90º
Si en la ecuación se considera :
su gráfica es:
0Ay0CByAx ≠=++
k
A
C
-x:entonces,0B ===
x
y
x=k : Recta Vertical.
No es una función.
L
existeNo90ºTg
existeNo
(0)
(A)
-mPendiente
=
=== Dominio : { k }
Rango : Reales

25. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
+x
+y










<
=
>+
=
0xsi,(x)-
0xsi,0
0xsi,(x)
x
2
(x)x:También =
[ [,0:Rango
Reales:Dominio
∞+
xy =
Simetría con respecto al eje y (recta: x=0)
•(0 ,0)

26. FUNCIÓN EXPONENCIAL
+x
+y
y = ax
] [,0:Rango
Reales:Dominio
1ay0a
∞+
≠>
y = ax
1a0 << 1a >
+x
+y
••(0 ,1) (0 ,1)
Las Gráficas no
cortan al eje x
Decreciente Creciente

27. FUNCIÓN LOGARITMO
+x +x
+y +y
•
(1,0)
b > 1
(1,0)
•
0< b <1
1byob;0x
xlogy b
≠>>
=
∞+<<∞
∞+<<
y-:Rango
x0:Dominio
Creciente
Decreciente

28. FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA
+x
+y
•
0x;xy ≥=
(0,0)
[ [
[ [,0:Rango
,0:Dominio
∞+
∞+
Creciente

29. FUNCIÓN IDENTIDAD
Dominio: Reales.
Rango : Reales.
Simetría con respecto al
origen (Función Impar).
Bisectriz de los cuadrantes
l y lll .
Función Creciente.
y=x
Siempre pasa por el
punto ( 0,0)
l
lll
l y lll :Cuadrantes
Ejemplo
Dominio:[-8,8]
Rango :[-8,8]

30. FUNCIÓN CÚBICA
Dominio : Reales.
Rango: Reales.
Función Creciente.
Simetría con respecto
al origen (función impar).
Pasa por (0,0).
Dominio : Reales.
Rango: Reales.
Función Creciente.
Simetría con respecto
al origen (función impar).
Pasa por (0,0).
y=x3
Ejemplo
Dominio:[-3,3]
Rango : [-27,27]
I
III
I y III:
Cuadrantes

31. FUNCIONES RACIONALES
Es una función de la forma : donde P y Q
son funciones polinomiales y Q no es el polinomio
cero. El dominio de una función racional está
constituido por todos los números reales excepto
aquellos donde el denominador Q es cero.
Ejemplos :
Q(X)
P(X)
R(x) =
1x
x
h)
65xx
3x
g)
3)(x
1)(x1)(x
f)
4)-(xx
3)-(x2)(x1)-(x
e)
9)(x1)(x
4-
d)
1x
x3x
c)
4x
x
b)
5x
42x
a)
4
2
22
23
22
3
24
2
2
++−+
+−
+
−+
−
−
−+
−

32. Ejemplo. Graficar .
Operaciones: Función racional propia
1x
x
)(xfy 2
−
==
Igualando el denominador a
cero:
x2
-1 = 0 , entonces:
x = 1 y x = -1.
Dominio: R - { -1 , 1 }
Rango: Reales.
Función Decreciente.
Asíntota vertical :
x =-1 y x= 1.
Asíntota horizontal: y = 0.
Simetría con respecto al origen
(si se cambia x por – x : f (- x )
= - f ( x ) ).
Igualando el denominador a
cero:
x2
-1 = 0 , entonces:
x = 1 y x = -1.
Dominio: R - { -1 , 1 }
Rango: Reales.
Función Decreciente.
Asíntota vertical :
x =-1 y x= 1.
Asíntota horizontal: y = 0.
Simetría con respecto al origen
(si se cambia x por – x : f (- x )
= - f ( x ) ).
Decreciente
Decreciente
Ejemplo
Decreciente
y=0
x=-1
x=1
Decreciente

33. Ejemplo. Graficar .
Al dividir obtenemos :
1-x
2x
y =
{ }
{ }
e.DecrecientFunción
.2-R:Rango
.1-R:Dominio
vertical.asíntota:1x
yhorizontalasíntota:2y
donde,
1-x
2
2
1-x
2x
f(x)y
=
=
+===
Decreciente
Decreciente
x=1
y=2